2011年北京数学二模分类汇编之函数导数

北京市各区11年二模文导数试题集锦
18. (本小题满分14分）（昌平区11年二模文）
设函数R b a b ax x a x x f ∈+++-=、其中,4)1(3
)(23
（Ⅰ）若函数)(x f 在3=x 处取得极小值是2
1
，求b a 、的值； （Ⅱ)求函数)(x f 的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数()f x 在)1,1(-上有且只有一个极值点， 求实数a 的取值范围。

解：（I ） a x a x x f 4)1(2)(2
'
++-= 。

.。

3分
04)1(69)3('
=++-=∴a a f 得 2
3
=
a 。

.。

.。

.4分 2
1
)3(=
f 解得： 4-=b ………5分 （II ）)2)(2(4)1(2)(2
'--=++-=x a x a x a x x f
令22,0)('
===x a x x f 或即 …。

.7分 当2,21<>>x a x a 时，,即)(x f 的单调递增区间为),2)2,(+∞-∞a 和（…。

8分 当0)2()(12
'
≥-==x x f a 时，，即)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞…。

9分 当2,21><<x a x a 时，，即)(x f 的单调递增区间为),2)2,(+∞-∞和（a …。

10分
（Ⅲ）由题意可得：⎩⎨
⎧<•-<0
)1()1(1
'
'
f f a ……12分
0)12)(12(<+-∴a a 2
1
21<<-
a a ∴的取值范围)
2
1
,21(- ……14分
(18)（本小题共13分）（东城区11年二模文）
已知函数x a x x f ln )(2
-=（R a ∈)． (Ⅰ）若2=a ,求证:)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ)求)(x f 在[1,)+∞上的最小值．
证明（Ⅰ)：当2=a 时,x x x f ln 2)(2-=，
当),1(+∞∈x 时，0)
1(2)(2>-='x
x x f ，
所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ……………………5分
（Ⅱ）解:)0(2)(2>-=
'x x
a
x x f ， 当0a ≤时，'()0f x >，
()f x 在[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =．
当0a >，当)2
,
0(a
x ∈时，)(x f 单调递减； 当),2
(
+∞∈a
x 时，)(x f 单调递增． 若
12
≤a
，即02a <≤时，)(x f 在),1[+∞上单调递增, 又1)1(=f ，所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为1． 若
12>a ,即2>a 时,)(x f 在)2,1[a 上单调递减； 在),2
(
+∞a
上单调递增．
又ln 222
a a a f =-, 所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为
ln 222
a a a
-． 综上,当2a ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最小值为1; 当2a >时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为ln 222
a a a
-．………13分 18。

（本小题共14分）(丰台区11年二模文)
已知函数21(),(0)2a
f x x a x
=
+≠． （Ⅰ)当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； (Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．
解:（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞， ………………1分
2
()a
f x x x '=-
． ………………3分 ∵1x =时函数()y f x =取得极小值，
∴(1)0f '=． ………………4分
∴1a =． ………………5分 当1a =时,在(0,1)内()0f x '<,在(1,)+∞内()0f x '>， ………………6分 ∴1x =是函数()y f x =的极小值点．
∴1a =有意义． ………………7分 (Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，
322
()a x a
f x x x x -'=-=．
令()0f x '=，得x = ………………9分
………………11分
（ⅱ
综上所述： ………………13分
当0a <时,函数()y f x =的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为,(0,)+∞；
当0a >时,函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞，，单调递增区间为)+∞．
………………14分
18。

(本小题共14分）（海淀区11年二模文） 已知函数3
21().3
f x x ax bx =
-+ (,)a b ∈R (I)若'(0)'(2)1f f ==，求函数()f x 的解析式；
（II ）若2b a =+，且()f x 在区间(0,1)上单调递增,求实数a 的取值范围.
解：（Ⅰ)因为2
'()2f x x ax b =-+ ， …………………2分
由'(0)'(2)1f f ==即1441b a b =⎧⎨-+=⎩得1
1a b =⎧⎨
=⎩
, …………………4分
所以()f x 的解析式为32
1()3f x x x x =-+。

…………………5分
（Ⅱ)若2b a =+，则2
'()22f x x ax a =-++，2
44(2)a a ∆=-+ ， …………………6分 （1)当0∆≤，即12a -≤≤时，'()0f x ≥恒成立，那么()f x 在R 上单调递增， 所以，当12a -≤≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增； …………………8分 （2）解法1：当0∆>,即2a >或1a <-时，
令2
'()220f x x ax a =-++=
解得1x a =-
2x a = …9分 列表分析函数()f x 的单调性如下:
…………………10分
要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，
只需210'(0)0a a a f ><-⎧⎪<⎨⎪≥⎩或或211'(1)0a a a f ><-⎧⎪>⎨⎪≥⎩
或，
解得21a -≤<-或23a <≤。

…………………13分
解法2：当0∆>,即2a >或1a <-时，
因为2
'()22f x x ax a =-++的对称轴方程为x a = …………………9分
要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，
需1'(0)0a f <-⎧⎨≥⎩或2
'(1)0a f >⎧⎨
≥⎩
解得21a -≤<-或23a <≤。

…………………13分 综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增. …………………14分 18。

（本小题满分14分）（西城区11年二模文）
设函数()e x
f x =，其中e 为自然对数的底数。

（Ⅰ)求函数()()e
g x f x x =-的单调区间;
（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ,l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值。

解:(Ⅰ）由已知()e e x g x x =-，
所以()e e x
g x '=-， ……………2分 由()e e 0x
g x '=-=，得1x =， ……………3分 所以,在区间(,1)-∞上，()0g x '<，
函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分 在区间(1,)+∞上,()0g x '>，
函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞。

（Ⅱ)因为()e x
f x '=，
所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：0
00e
e ()x x y x x -=-。

……………7分
切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )x
x
x -， ……………9分 因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22
x x S x x x x =
--=-+， ……………10分 02
01e (1)2
x S x '=-, ……………12分
在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减.
…………13分
所以,当01x =-时，S 有最大值，此时2e
S =， 所以，S 的最大值为
2
e
. ……………14分 18。

(本小题满分13分)（顺义区11年二模文）
设函数c x b ax x f +-
=2
3
2
)(,其图像过点（0，1）. （1）当方程01)('
=+-x x f 的两个根分别为是2
1,1时,求f （x ）的解析式；
（2）当0,3
2
≠=b a 时，求函数f(x ）的极大值与极小值.
解：由题意可知，f(0)=1所以c=1 ………… ………………………. ……………………….1分
(Ⅰ）由,12
)(2
3
+-
=x b ax x f 得bx
ax x f -=2'3)(.
因为01)('
=+-x x f ，即0132
=+--x bx ax 的两个根分别为
1,2
1 所以⎪⎩⎪⎨⎧
=+--=+--⨯0113012
12413b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==2
32b a 故132)(23
+-=x x x f ………… ………………………. ………………………。

6分 （Ⅱ）
c x b
x x f +-=232
32)(
所以，)
2
(22)(2
'b x x bx x x f -=-=............ ...........................。

(7)
①若b 〉0，则当)0,(-∞∈x 时，0)('
>x f 函数f （x ）单调递增 当)2
,0(b x ∈时,0)('
<x f 函数f(x ）单调递减 当),2
(+∞∈b x 时，0)('
>x f 函数f(x ）单调递增 因此，f （x)的极大值为f （0)=c=1，
f （x ）的极小值为24
1)23
b b f -=（ ......... ............................ (10)
②若b 〈0,则当)2
,(b x -∞∈时，0)('
>x f 函数f(x ）单调递增 当)0,2
(b x ∈时，0)('
<x f 函数f(x)单调递减 当),0(+∞∈x 时，0)('
>x f 函数f （x)单调递增
因此，f （x)的极大值为24
1)23
b b f -=（
f （x)的极小值为f （0)=1.
综上所述，当b>0时, f （x ）的极大值为1， 极小值为24
13
b -,
当b 〈0时， f(x)的极大值为24
13
b -, 极小值为1。

………………。

……………………….13分
20。

（本小题满分13分）
若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P . （Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由。

①(1)x
y a a =>； ②3
y x =。

（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*
N ），
求证：对任意{1,2,3,
,1}i n ∈-有()0f i ≤；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f 。

若成立给出证明，若不成立给出反例。

证明(Ⅰ)：①函数)1()(>=a a x f x
具有性质P 。

……………1分
111
(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a
-+-++-=+-=+-,
因为1>a ，1(2)0x a a a
+->， ……………3分 即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，
此函数为具有性质P .
②函数3
)(x x f =不具有性质P 。

……………4分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，
2()2f x =-， ……………5分
所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P 。

（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值， ……………6分
则0)1()(>--i f i f , 因为函数()f x 具有性质P ，
所以，对于任意n ∈*
N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--， 所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，
与0)(=n f 矛盾，
所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分
（Ⅲ）不成立. 例如2
()()x x n x f x x
x -⎧=⎨
⎩为有理数，为无理数.
……………10分
证明:当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，
222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，
当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，
22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f
所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，
即函数)(x f 具有性质P 。

……………12分 而当],0[n x ∈(2n >)且当x 为无理数时，0)(>x f 。

所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立。

……………13分 （其他反例仿此给分.
如()
()0()1
x x f x ⎧=⎨
⎩为有理数为无理数，()
()0
()1x x f x ⎧=⎨
⎩为整数为非整数，2
()()
()x x f x x
⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）
20。

（本小题满分14分）(顺义区11年二模文)
对于定义域分别为N M ,的函数)(),(x g y x f y ==，规定：
函数⎪⎩
⎪
⎨
⎧∈∉∉∈∈∈⋅=,),(,),(,
),()()(N x M x x g N x M x x f N x M x x g x f x h 且当且当且当
(1) 若函数R x x x x g x x f ∈++=+=
,22)(,1
1
)(2,求函数)(x h 的取值集合； (2) 若)()(α+=x f x g ,其中α是常数，且[]πα2,0∈，请问，是否存在一个定义域为R 的函数)
(x f y =及一个α的值，使得x x h cos )(=,若存在请写出一个)(x f 的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由。

解(1）由函数R x x x x g x x f ∈++=+=
,22)(,1
1
)(2 可得{}R N x x M =-≠=,1|
从而⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+++=1,11,1
22)(2x x x x x x h ……………………………………………。

2分 当1->x 时，211
111)1(122)(22≥+++=+++=+++=
x x x x x x x x h ……………………。

4分 当1-<x 时, 2)1
1
1(11)1(122)(22-≤--+---=+++=+++=
x x x x x x x x h ...............。

6分 所以)(x h 的取值集合为{}12,2|=≥-≤y y y y 或或 (7)
（2)由函数)(x f y =的定义域为R ，得)()(a x f x g +=的定义域为R 所以，对于任意R x ∈，都有)()()(x g x f x h ⋅= 即对于任意R x ∈,都有)()(cos a x f x f x +⋅=
所以，我们考虑将x cos 分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化
)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2sin 2cos
cos 22
x
x x x x x x -+=-= )4
2cos(2)42cos(2π
π+⋅-=x x
所以，令)4
2cos(2)(π
-=x x f ，且πα=，即可 ………………………………..14分
又)2
sin 21)(2sin 21(2sin
21cos 2x x x x -+=-= 所以，令2
sin 21)(x
x f +=,且πα2=，即可(答案不唯一)
18、（本小题满分13分）（朝阳区11年二模文）
已知函数()x
f x e ax =-，a ∈R 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围。

解：（Ⅰ）()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x
f x e a '=-. …………………………2分
（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞； ……3分 （2）当0a >时,
令()0f x '>，得ln x a >，则()f x 的单调增区间是()ln ,a +∞. …………4分 令()0f x '<,得ln x a <,则()f x 的单调减区间是(),ln a -∞. …………5分
综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞;当0a >时，()f x 的单调减区间是
(),ln a -∞，()f x 的单调增区间是()ln ,a +∞. ………………………6分
（Ⅱ)当0x =时，()10f x =≥成立，a ∈R . ………………………………7分
当()0,x ∈+∞时，()e 0x
f x ax =-≥成立，
即()0,x ∈+∞时,e x
a x
≤成立.
设e ()x
g x x =， …………………………………………………………9分
所以2e e ()x x x g x x -'==2
(1)e x
x x
-。

………………………………10分 当x ∈(0, 1)时,()0g x '<,函数()g x 在(0, 1)上为减函数； …………11分
()1,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在()1,x ∈+∞上为增函数。

…………12分
则()g x 在1x =处取得最小值，(1)e g =。

则e a ≤。

综上所述，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥成立的a 的范围是(, e]-∞。

…………13分。