2024届北京人朝分校初三一模数学试题及答案

人大附中朝阳学校初三年级数学学科一模模拟
一．选择题（共16分，每小题2分）
1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体
（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱
2.2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元.将39500用科学记数法表示应为（A ）395×102
（B ）3.95×104
（C ）3.95×103
（D ）0.395×105
3.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（A ）
2
3
（B ）
34
（C ）
25
（D ）
35
4.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为
（A ）60°（B ）40°（C ）20°
（D ）10°
5.正六边形的外角和为（A ）180°
（B ）360°
（C ）540°
（D ）720°
6.已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（A ）1
-（B ）0
（C ）1
（D ）2
7.如下图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，
则z 与x 的函数关系的图象可能是
图1图2
（A）（B）（C）（D）
8.如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足90
AEB
∠=°，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥a
2；②CE
≤a
2
1
5-
；③∠BCE的度数最大值为60°；
④当CE=a时，tan∠ABE=
2
1
.
上述结论中，所有正确结论的序号为
（A）①②（B）①③
（C）①④（D）①③④
二．填空题（共16分，每小题2分）
9.若1
x-在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.
10.分解因式：2
312
x-=_______________.
11.方程
32
2
x x
=
+
的解为____________．
12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数
6
y
x
=的图象经过点()
2
A m
，和点()
2
B n
-，，则m+n =__________.
13.如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC．已知灯杆PO高为5m，树影AC长为3m，树AB与灯杆PO的水平距离AP为4.5m，则树AB的高度为m.
14.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD．若∠BAC＝40°，则∠D＝°．
15.用一组a，b，m的值说明“若a b<，则ma mb
>”是错误的，这组数可以是a=______，b=______．m=_______.
16.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交路线，为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙
地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
（第14题图）
（第13题图）
线路
公交车用时频率
公交车时间
30≤t ≤35
35＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59151166124500B 5050122278500C
45
265
167
23
500
早高峰期间，乘坐________（填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.
三．解答题（共68分）
17.计算：06cos 45185(2)-+--π-°
.18.解不等式组：22135
.2
x x x x +<-⎧⎪
⎨-<⎪⎩，
19.已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．
20.如图，在△ABC 中，AB =AC ．
（1）使用直尺和圆规，作AD ⊥BC 交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．
①∠BEC =
°；
②写出图中一个．．
与∠CBE 相等的角．
21.如图，在四边形ABCD 中，∠ACB =∠CAD =90°，点E 在BC 上，AE ∥DC ，EF ⊥AB ，垂足为点F .
（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分∠BAC ，BE =5，5
4
cos =
B ，求BF 和AD 的长.
22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点
A.
（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值大于一次函数y=kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围.
23.列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过点E作弦CD⊥AB，连接AC，AD.
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若点F是的中点，过点C作CG⊥AF，垂足为点G.若⊙O的半径为2，求CG的长.
25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.在
两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B 中的剩余质量分别为y1，y2(单位:克).
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整:
记录y1，y2与x的几组对应值如下:
x（分钟）05101520…
y1(克)2523.52014.57…
y2(克)252015105…
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1=-0.04x2+bx+c.
场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足一次函数y2=kx+c(k≠0).则b=_______，c=_______，k=_______；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A_______x B（填“＞”，“=”或“＜”）.
26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2-2ax+c（a＞0）上任意两点.
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若x1=a+1，x2=a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围.
27.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），点D是BC的中点，点E是BD的中点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F.
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠B=∠AFE；
（2）连接CF，DF，用等式表示CF，DF之间的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 外一点，给出如下定义：若在⊙O 上存在点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在⊙O 上，则称点Q 为点P 关于⊙O 的“关联对称点”.（1）若点P 在直线y =2x 上；
1
若点P 的坐标为（1，2），则Q 1（0，1），Q 2（1，0），Q 3（22-，2
2
-）中，是点P 关于⊙O 的“关联对称点”的是____________；
2
若存在点P 关于⊙O 的“关联对称点”，求点P 的横坐标P x 的取值范围；
（2）已知点A （2，
2
3
），动点M 满足AM ≤1，若点M 关于⊙O 的“关联对称点”N 存在，直接写出MN 的取值范围.
参考答案
一、选择题：
1. A
2.B
3.D
4.C
5.B
6.C
7.D
8.C
二、填空题：
9.x≥1 10. 3（x＋2）（x－2） 11.4 12.0 13.2 14.50° 15.2 3 4（答案不唯一）16.C
三．解答题
17．计算：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0．
解：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0
＝6×﹣3+5﹣1
＝3﹣3+5﹣1
＝4．
18．解不等式组：．
解：，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＜5，
则不等式组的解集为3＜x＜5．
19．已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）的值．
解：（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）
＝x2﹣4﹣（2x﹣x2）
＝x2﹣4﹣2x+x2
＝2x2﹣2x﹣4，
∵x2﹣x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝3，
则原式＝2（x2﹣x）﹣4＝2×3﹣4＝2．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D（保留作图痕迹）；
（2）以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE．
①∠BEC＝90°；
②写出图中一个与∠CBE相等的角∠BCF（答案不唯一）．
解：（1）如图，AD为所作；
（2）①∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴DB＝DC，AD平分∠BAC，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°；
故答案为：90；
②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝∠BCF，
∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．
故答案为：∠BCF（答案不唯一）．
21.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
，求BF和AD的长．
（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=4
5
（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD∥CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，
∵EF⊥AB，AE平分∠BAC，∠ACB=90°，
∴EF=CE，
∴EF=CE=AD，
，
∵BE=5,cosB=4
5
=4，
∴BF=BE⋅cosB=5×4
5
∴EF=√BE2−BF2=3，
∴AD=EF=3．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x轴交于点A．
（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；
（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），
∴，
解得，
该一次函数的表达式为y＝﹣x+1，
令y＝0，得0＝﹣x+1，
∴x＝2，
∴A（2，0）；
（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于等于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴2x+m≥﹣x+1，
∴m≥﹣4．
23．列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x
件，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．
24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若点F是的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．
（1）证明：连接OC，如图：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵OC＝OB，点E为OB的中点，
∴OE＝OB＝OC，
在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴∠CAE＝∠COE＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE＝30°，
∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，
∴∠D＝60°，
∵点F为弧AC的中点，
∴∠CAF＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OB＝2，
∵点E为OB的中点，
∴OE＝1，
∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，cos∠CAE＝，
∴AC＝＝＝，
在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，
∴CG＝AC＝．
25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂
的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：
．场景B的图象是直线的一部分y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+c（k≠0）．则b＝﹣0.1，c＝25，k＝﹣1；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A＞x B（填“＞”，“＝”或“＜”）．
解：（1）由题意，作图如下．
（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．
又点（0，25），（10，20）在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．
对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝kx+c．
又（0，25），（10，15）在函数图象上，
∴，
解得：，
∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．
故答案为：﹣0.1，25，﹣1；
（3）由题意，当y＝4时，
场景A中，x A≈21.7，
场景B中，4＝﹣x B+25，
解得：x B＝21，
∴x A＞x B．
故答案为：＞．
26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）
上任意两点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．
解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，
∴y1＜y2；
（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，
∴＜，
∵y1＜y2，a＞0，
∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，
∴
解得：m．
27.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），D是BC的中点，E是BD
的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF ⊥AE 交射线AM 于点F .
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠B ＝∠AFE ；
（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
答案.（1）①依题意补全图形.
②∵AB AC =，2BAC α∠=, ∴1802902
B C α
α︒−∠=∠=
=︒−.
∵EF AE ⊥, ∴90AEF ∠=︒. ∵EAF α∠=, ∴90AFE α∠=︒−.
∴B AFE ∠=∠.
（2） 线段CF 与DF 的数量关系为CF =DF .
证明：延长FE 至点G ，使EG =EF ，连接AG ，BG . ∵AE ⊥EF ， ∴AE 垂直平分GF . ∴AG =AF .
∴∠GAE =∠EAF =α.
∴∠GAF =∠GAE ＋∠EAF =2α. ∵∠BAC =2α， ∴∠GAF =∠BAC . ∴∠GAB =∠F AC .
B
C
∠
°
∠
°
M C
∵AB=AC，AG=AF，
∴△AGB≌△AFC（SAS）.
∴GB=FC.
∵E为BD中点，
∴BE=DE.
∵∠GEB=∠DEF，
∴△GBE≌△FDE（SAS）.
∴GB=DF.
∴DF=CF.
28．（2024•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．
（1）若点P在直线y＝2x上；
①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P
关于⊙O的“关联对称点”的是Q2，Q3．；
②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标x P的取值范围；
（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．
解：（1）解：如图所示，
PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，
故答案为：Q2，Q3．
②如图所示，点P在线段RS和UW上，
设R（m，2m），
在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，
解得m＝或m＝﹣（舍），
∴x R＝；
同理x S＝，x U＝﹣，x W＝﹣，
∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；
（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，
∵AM≤1，
则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，
∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，
如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，
∴OA＝＝，
设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，
∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，
∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，
∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，解得x＝，
∴≤MN≤4．。