高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》真题汇编附解析

【高中数学】数学《推理与证明》高考复习知识点
一、选择题
1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）
A ．30010
B ．40010
C ．50010
D ．60010
【答案】A 【解析】 【分析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.
故选：A 【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题
2．已知数列{}n a 满足1
32n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i
行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*
,i j N ∈且j i ≤），则
()21,20a =（ ）
A ．20932⨯
B ．21032⨯
C ．21132⨯
D ．21232⨯
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】
由题可知,第i 行有i 个数,
当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,
()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,
则前20行共有
()1+2020=2102
⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a
,
所以()211
21221,2032a a ==⨯,
故选:C 【点睛】
本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.
3．已知0x >，不等式12x x +
≥，243x x +≥，327
4x x
+≥，…，可推广为1n a
x n x
+
≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n n
C ．2n
D ．222n -
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a
x n x
+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发
现一般性规律的重要方法．
4．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a，b，c，d，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：
则a，b，c，d四个出水口放水速度最快的是（）
A．d B．b C．c D．a
【答案】A
【解析】
【分析】
利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.
【详解】
由题易解得a，b，c，d放水时间分别为70，100，90，50，所以d出水速度最快.
故选：A.
【点睛】
本题考查了方程的思想，属于基础题.
5．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】
【分析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
6．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．无法预测
【答案】A 【解析】 【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

【详解】
若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。

因此，第三名是甲，故选：A 。

【点睛】
本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。

7．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<
【答案】C 【解析】 【分析】
类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】
在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，
因为433
4857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-
32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，
所以4857b b b b +>+成立．
故选：C 【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．
8．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】A 【解析】 【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果． 【详解】
①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲. 故选：A. 【点睛】
本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．
9．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76
C ．123
D ．199
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，
347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，
294776,4776123+=+=，
即1010123a b +=, 故选C.
考点：观察和归纳推理能力.
10．观察下列等式：
12
133+=，781011123333
+++=，161719202223
39333333
+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，31323231
3333
n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -
C ．33m n +
D ．33m n -
【答案】B 【解析】 【分析】
观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】
31323231
3333
n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为
3131
33
n m m n +-+=+， 31323231
3333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，
故选:B. 【点睛】
本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.
11．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1
c z x
=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2 D ．至少有一个不小于2
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得
111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
====
=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48
C ．63
D ．80
【答案】C 【解析】 【分析】
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】
因为====
==，==
所以===63n =. 故选：C. 【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
13．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C 【解析】 【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
14．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是()
A．3 971 B．3 972 C．3 973 D．3 974
【答案】D
【解析】
【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n组有n个数且最后一个数为n2，则前n组共
1+2+3+…+n
()1
2
n n+
=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
则第n组有n个数且最后一个数为n2，
则前n组共1+2+3+…+n
()1
2
n n+
=个数，
设第2019个数在第n组中，
则(
)
()120192
120192
n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．
15．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）
A ．53
B ．63
C ．73
D ．83
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案. 【详解】
如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角. 第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角. …………………………
所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.
故选：C 【点睛】
本题考查归纳推理，属于中档题.
16．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（ ）．（取lg 20.3010,lg30.4771==） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18
【答案】C 【解析】 【分析】
由折线长度变化规律得到n 次构造后，曲线的长度为1
444333n n
n l a a -⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，建立不
等式41003n
a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利用对数运算求解. 【详解】
设原线段长为a ，经过n 次构造后，曲线的长度为n l ， 则经过1次构造后，曲线的长度为14433
a a l =
⨯=， 经过2次构造后，曲线的长度为2
21444333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 经过3次构造后，曲线的长度为3
31144443333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 依次类推，
经过n 次构造后，曲线的长度为1
444333n n
n l a a -⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，
则41003n
a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
， 所以43lg10022
log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3
n ≥=
===-⨯-， 所以至少需要通过构造的次数是17. 故选：C
本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
17．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ）
A ．甲同学三个科目都达到优秀
B ．乙同学只有一个科目达到优秀
C ．丙同学只有一个科目达到优秀
D ．三位同学都达到优秀的科目是数学
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案.
【详解】
甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；
至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定 故选：C
【点睛】
本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.
18．三角形的面积为1()2
S a b c r =
++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =
B ．13V Sh =
C ．1()3V ab bc ca h =
++，（h 为四面体的高） D ．()123413
V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
【答案】D
【解析】
【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13
=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．
【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214
S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为
12V V =（ ） A ．164 B ．127 C ．19 D ．18
【答案】B
【解析】
【分析】
平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
【详解】
设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，
所以
BE=2,3a PE ===， 所以在Rt BEH ∆中
，22233a r r a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得12r =，所以
-=，所以13r R =， 根据的球的体积公式有，33132413427
3
r V r V R R ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
20．已知数组1
()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121
n n n n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( ) A ．911 B ．1011 C ．1112 D ．910
【答案】B
【解析】
【分析】
设a 200在第n 组中，则()()1120022
n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：
19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111
=
=-+，得解． 【详解】 由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022
n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 解得：n ＝20，
即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：
19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111
=-+， a 2001011
=
， 故选B ．
【点睛】 本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．。