江苏省姜堰市蒋垛中学2008届高三第四次模拟(数学)

江苏省姜堰市蒋垛中学高三年级第四次模拟考试
数学试题
一：填空题（每题5分，共计70分） 1、已知集合
,则= .
2、已知等差数列{a n },其中
则n 的值为 。

3、已知函数的图象如右图所示,则= 。

4、右面程序的输出结果为____ __。

5、直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于两点M 、N ， 若满足C 2＝A 2＋B 2，则·
（O 为坐标原点）
等于 _ 。

6、若数据x 1, x 2, x 3, x 4, x 5的方差为2, 数据a x 1 + b , a x 2 + b ,
a x 3 +
b , a x 4 + b , a x 5 + b 的方差为4,则正实数a 的值为 .
7、在△中,,, ，则
的值为 . 8、从点
射出的光线沿与向量
平行的直线射到轴
上，则反射光线所在直线的方程为 。

9、如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心 是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。

在这个图形上随机撒
一粒黄豆， 它落在扇形内的概率为 （用分数表示）
10、已知函数f (x ) =x 3 +a x 2 +4 x 存在极值，则实数a 的取值范围是 。

11、关于的方程
至少有一个正实根的充要
条件是 。

12、已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），
根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积
是 cm 3．
左视图 主视图
8 12
俯视图
10 （第12题） 4 8
O １ －２
y
x x
x ←5
y ←－20 If x <0 Then x ←y －3
Else
y ←y +3 End If
a ←x －y
Print a （第4题）
13、已知双曲线的焦点为F 1、F 2，
点M 在双曲线上且
则点M
到x 轴的距离为 . 14、设
是定义在上的函数，
给定下列三个条件：（1）是偶函数； （2）的图象关于直线对称；
（3）
为
的一个周期．
如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为 条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题
中真命题的个数有 个． 二：解答题（共6大题，共计90分） 15、（本题满分14分）
已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，
B=60°, E, F 分别是
棱CC 1与BB 1上的点,且EC=BC=2FB ，G 为AE 的中点。

(1) 求证：GF ∥平面ABCD ；
（2）求证：平面AEF ⊥平面AA 1CC 1。

16、（本题满分14分）
在中，的对边分别为.
⑴若成等比数列，求的值域；
⑵若
成等差数列，且
，求
的值。

C 1 A 1
B 1 D A
B
F
C E •
G
D 1
17、（本题满分14分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
18、（本题满分16分）
已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（I）求过点O、F，并且与：相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围
19、（本题满分16分）
已知命题：在上有意义；命题：数列中，，且对，均有
恒成立．若命题与有且仅有一个是正确的，试求实数的取值范围．
20、（本题满分16分）
已知
（Ⅰ）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在R上恒为增函数，试求的取值范围;
（Ⅲ）已知常数，数列满足,试探求的值，使得数列成等差数列．
参考答案
一：填空题
1、{-1}
2、50
3、27
4、22
5、-2
6、
7、
8、
9、 10、a>2或a<– 2 11、 12、640＋80π 13、
14、3
二：解答题
15、证明：（1）连接BD 交AC 于O
，连接GO ，因为G 为AE 中点， 所以OG 1 2 EC ，又因为BF=2EC ，所以BF 1 2 EC , 所以OG BF ，所以MOBF 是平行四边形，所以GF ∥OB ； 因为OB 平面ABCD ，GF 平面ABCD ，
所以GF ∥平面ABCD ； …………7分 （2）在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥OB ，
又因为底面ABCD 是菱形，所以OB ⊥AC ，得 OB ⊥平面AA 1CC 1， 因为GF ∥OB ，所以 GF ⊥平面AA 1CC 1，又GF 平面AEF ， 所
以
平
面
AEF ⊥
平
面
AA 1CC 1. …………14分 16、解：⑴ ，
当且仅当时取等号，
， …………
4分
由于
，
又，
， …………6分 即
的
值
域
为
. …………7分
⑵
又
…………10分
展开化简，得
，
…………
12分
. …………14分
17、解：（1）若
千米/小时，每小时耗油量为
升/小时. (2)
C 1
A 1
B 1
D A
B
F C
E
D 1
O 1
• G O
= ∥
=
∥
=
∥
分
共耗油
升. ………………………………4分
所以，从甲地到乙地要耗油17.5
升. ………………………………5分
（2）设当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，，耗油量为S
升.
………………6分
则，………………9分
，…………………………
……10分
令，解得，. ………………………………11分
列表：
极小值
11.25……………………………………………………………………………13分
所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升. ……14分
18、解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上。

………………3分
设则圆半径
由得解得
所求圆的方程为………………8分
（II）设直线AB的方程为
代入整理得………………10分
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

记中点
则
的垂直平分线NG的方程为………………12分令得
……15分
点G横坐标的取值范围为………………16分
19、解：⑴对于命题，由在上有意义，
知,恒成立, ．．．．．．．．．．．2分即,恒成立.解得．．．．．．．．．．．5分
所以，若命题成立，则
．．．．．．．．．．6分
⑵对于命题，
∴
．．．．．．．．．．．8分
∴≥ 1 解得：
．．．．．．．．．．．11分
因为命题与有且仅有一个是正确的，
所以，若命题成立，不成立，则，所以．．．．12分
若命题不成立，成立，……14分
综合知，的取值范围是. ．．．．．．．．．．．16分
20、解：（Ⅰ）当时，………………………1分
（1）时，
当时，；当时，………………2分
（2）当时，
当时，；当时，……………4分综上所述，当或4时，；当时，…… 5分（Ⅱ）…7分
在上恒为增函数的充要条件是，解得………10分（Ⅲ），
①当时，，即（1）
当n=1时，；当n≥2时，（2）
（1）—（2）得，n≥2时，，即
又为等差数列，∴此时…………13分
②当时，即∴
若时，则（3），将（3）代入（1）得，
对一切都成立
另一方面，，当且仅当时成立，矛盾
不符合题意，舍去. (15)
分
综合①②知，要使数列成等差数列，则………………16分。