高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第9章 第5讲 第1课时 高效演练分层突破

[基础题组练]
1．已知正数m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线x 2
＋y 2
m
＝1的焦点坐标为( )
A ．(±3,0)
B ．(0,±3)
C ．(±3,0)或(±5,0)
D ．(0,±3)或(±5,0)
解析:选B ．因为正数m 是2和8的等比中项,所以m 2
＝16,即m ＝4,所以椭圆x 2
＋y 2
4＝1
的焦点坐标为(0,±3),故选B ．
2．(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2,则( )
A ．a 2＝2b 2
B ．3a 2＝4b 2
C ．a ＝2b
D ．3a ＝4b
解析:选B ．由题意得,c a ＝12,所以c 2a 2＝14,又a 2＝b 2＋c 2
,所以a 2－b 2a 2＝14,b 2a 2＝34,所以4b 2＝3a 2.
故选B ．
3．曲线x 2169＋y 2144＝1与曲线x 2169－k ＋y 2
144－k ＝1(k ＜144)的( )
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
解析:选D ．曲线x 2169－k ＋y 2
144－k ＝1中c 2＝169－k －(144－k )＝25,所以c ＝5,所以两曲
线的焦距相等．
4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为
2
3
,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点,若△AF 1B 的周长为12,则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 2
＝1
B ．x 23＋y 2
2＝1
C ．x 29＋y 2
4
＝1
D ．x 29＋y 2
5
＝1
解析:选D ．由椭圆的定义,知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ,|BF 1|＋|BF 2|＝2a ,所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12,所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝2
3,所以c ＝2,所以b 2＝a 2
－c 2＝5,所以椭圆
C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1,故选D ．
5．(2020·昆明市诊断测试)已知F 1,F 2为椭圆C :x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点,B 为C
的短轴的一个端点,直线BF 1与C 的另一个交点为A ,若△BAF 2为等腰三角形,则|AF 1||AF 2|
＝( )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．3
解析:选A ．如图,不妨设点B 在y 轴的正半轴上,根据椭圆的定义,得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ,|AF 1|＋|AF 2|＝2a ,由题意知|AB |＝|AF 2|,所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ,|AF 1|＝a 2,|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选
A ．
6．若椭圆C :x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为________．
解析:由题意可得b ＝c ,则b 2＝a 2－c 2＝c 2,a ＝2c , 故椭圆的离心率e ＝c a ＝2
2.
答案:
22
7．(2020·贵阳模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2,短轴长为4,则椭圆的标准
方程为________．
解析:由题意可知e ＝c a ＝3
2,2b ＝4,得b ＝2,
所以⎩⎨⎧c a ＝32
a 2
＝b 2
＋c 2
＝4＋c 2
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧a ＝4c ＝2
3
所以椭圆的标准方程为x 216＋y 2
4＝1.
答案:x 216＋y 2
4
＝1
8．(2020·浙江台州月考改编)已知P 为椭圆x 29＋y 2
8＝1上一个动点,直线l 过圆(x －1)2＋y 2
＝1的圆心与圆相交于A ,B 两点,则P A →·PB →
的最大值为________,最小值为________．
解析:由(x －1)2＋y 2＝1
可得圆心O 1(1,0),由x 29＋y 2
8
＝1得椭圆右焦点的坐标为(1,0)．
因为P A →·PB →＝(PO 1→＋O 1A →)·(PO 1→＋O 1B →)＝(PO 1→＋O 1A →)·(PO 1→－O 1A →)＝PO 21→－O 1A 2→＝|PO 1→|2
－
1.因为3－1≤|PO 1→|≤3＋1,所以3≤|PO 1→|2－1≤15,所以P A →·PB →的最大值为15,最小值为3.
答案:15 3
9．已知椭圆的长轴长为10,两焦点F 1,F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程;
(2)若P 为短轴的一个端点,求△F 1PF 2的面积． 解:(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0),
依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＝10
c ＝3因此a ＝5,b ＝4,
所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)易知|y P |＝4,又c ＝3,
所以S △F 1PF 2
＝12|y P |×2c ＝1
2×4×6＝12.
10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆x 24＋y 2
3
＝1有相同的离心率且经过点(2,－3);
(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3,过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
解:(1)由题意,设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 2
3＝t 2(t 1,t 2＞0),因为椭圆过点(2,－
3),所以t 1＝224＋(－3)2
3＝2,或t 2＝(－3)24＋223＝2512.
故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2
25
4
＝1.
(2)由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a
＞b ＞0),
由已知条件得⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3
(2c )2＝52－32
解得a ＝4,c ＝2,所以b 2＝12.
故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 2
12
＝1.
[综合题组练]
1．(综合型)设椭圆:x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ,右焦点为F ,B 为椭圆在第二象限内
的点,直线BO 交椭圆于点C ,O 为原点,若直线BF 平分线段AC ,则椭圆的离心率为( )
A．
1
2B．
1
3
C．
1
4
D．
1
5
解析:选B．如图,设点M为AC的中点,连接OM,则OM为△ABC的中位线,于是△OFM∽△AFB,且
|OF|
|F A|＝
|OM|
|AB|＝
1
2,即
c
a－c
＝
1
2,解得e＝
c
a＝
1
3.故选B．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B 两点．若|AF2|＝2|F2B|,|AB|＝|BF1|,则C的方程为()
A．
x2
2＋y
2＝1 B．
x2
3＋
y2
2＝1
C．
x2
4＋
y2
3＝1 D．
x2
5＋
y2
4＝1
解析:选B．由题意设椭圆的方程为
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0),连接F1A,令|F2B|＝m,则|AF2|＝2m,|BF1|＝3m.由椭圆的定义知,4m＝2a,得m＝
a
2,故|F2A|＝a＝|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点),则sin θ＝
1
a.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ＝
a
2
3a
2
＝
1
3,所以
1
3＝1－2(
1
a)
2,得a2＝3.又c2＝1,所以b2＝a2－c2＝2,椭圆C的方程为
x2
3＋
y2
2＝1.故选B．
3. (创新型)(2020·江西吉安一模)如图,用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线,即椭圆,则该椭圆的离心率为________．
解析:设圆柱的底面圆的直径为R,则椭圆的短轴长为R.因为截面与底面成45°角,所以椭圆的长轴长为2R,所以椭圆的半焦距为⎝⎛⎭⎫
2
2R
2
－⎝⎛⎭⎫
R
2
2
＝
R
2,
则e＝
c
a＝
R
2
2
2R
＝
2
2.
答案:
2
2
4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1,F 2为椭圆C :x 236＋y 2
20＝1的两个焦点,M 为C 上一点且在第
一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为____________．
解析:通解:由椭圆C :x 236＋y 2
20＝1,得c ＝a 2－b 2＝4,不妨设F 1,F 2分别为左、右焦点,则由
题意知|MF 1|＝|F 1F 2|＝2c ＝8,于是由椭圆的定义得|MF 1|＋|MF 2|＝12,所以|MF 2|＝12－|MF 1|＝4,易知△MF 1F 2的底边MF 2上的高h ＝
|F 1F 2
|2－
⎝⎛⎭⎫12|MF 2|2
＝82－22＝215,所以12
|MF 2|·h ＝12|F 1F 2|·y M ,即12×4×215＝1
2×8×y M ,解得y M ＝15,代入椭圆方程得x M ＝－3(舍去)或x M
＝3,故点M 的坐标为(3,15)．
优解:不妨设F 1,F 2分别为左、右焦点,则由题意,得|MF 1|＝|F 1F 2|＝8,由椭圆的焦半径公式得|MF 1|＝ex M ＋6＝2
3x M ＋6＝8,解得x M ＝3,代入椭圆方程得y M ＝15,故点M 的坐标为
(3,15)．
答案:(3,15)
5．已知椭圆C :x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率;
(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最小值．
解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1.
所以a 2＝4,b 2＝2,从而c 2＝a 2－b 2＝2.
因此a ＝2,c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2.
(2)设点A ,B 的坐标分别为(t ,2),(x 0,y 0),其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ,所以OA →·OB →
＝0,即tx 0＋2y 0＝0, 解得t ＝－2y 0
x 0
.又x 20＋2y 2
0＝4, 所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝
⎛⎭⎫x 0＋2y 0
x 02
＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20
＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 2
0)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 2
0≤4)．因为x 202＋8x 20
≥4(0＜x 20≤4),当且仅当x 20＝4时等号成立,所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.
6．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点,P 为C 上的
点,O 为坐标原点．
(1)若△POF 2为等边三角形,求C 的离心率;
(2)如果存在点P ,使得PF 1⊥PF 2,且△F 1PF 2的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围． 解:(1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中,∠F 1PF 2＝90°,|PF 2|＝c ,|PF 1|＝3c ,于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ,故C 的离心率e ＝c
a ＝3－1.
(2)由题意可知,满足条件的点P (x ,y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16,y x ＋c ·y x －c ＝－1,x 2a 2＋y 2b 2＝1, 即c |y |＝16,① x 2＋y 2＝c 2,② x 2a 2＋y 2
b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋
c 2得y 2＝
b 4
c 2,又由①知y 2
＝162
c
2,故b ＝4. 由②③得
x 2＝
a 2c 2
(c 2
－b 2),所以c 2≥b 2, 从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32,故a ≥4 2. 当b ＝4,a ≥42时,存在满足条件的点P . 所以b ＝4,a 的取值范围为[42,＋∞)．。