2024版高考数学大一轮第六章数列6-2等差数列
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选①③作条件证明②：因为 ， 是等差数列，所以公差 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：设 ，则 ，当 时， ；当 时， ,因为 ，所以 ，解得 或 ；当 时， , ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；当 时， ， 不合题意，舍去.综上可知, 为等差数列.
第六章 数列
6.2 等差数列
课程标准 有的放矢
必备知识 温故知新
自主评价 牛刀小试
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
A. B. C. D.
解：因为 ，所以 ，所以 ，所以 是公差为 的等差数列，又 ，即 ，解得 ，所以 .故选C.
【点拨】①在等差数列五个基本量 , , , , 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前 项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.②有些问题，需要先判断数列是等差数列，再进行计算.
（2） 是等差数列 （ , 是常数）.若 且 ,则 从第2项起成等差数列.
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 若数列 满足 ,则 是等差数列.( )
×
（2） 已知数列 为等差数列，且公差 ,则 是递增数列.( )
√
（3） 数列 是等差数列，若 ， ， ， ，则 .( )
（2） （2021年全国甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列 是等差数列;②数列 是等差数列；③ . 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①②作条件证明③：设 ，则 ，当 时， ；当 时， ,因为 是等差数列，所以 ，解得 .所以 ，所以 .
15
解:因为 ，所以 ，又 ，所以 .故 ，解得 .故填15.
（2） 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 ，可设 ，则 .因为 为等差数列，所以 , , 为等差数列，即 , , 成等差数列，所以 ，即 ，所以 .故选D.
（2）等差中项：由三个数 , , 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做 与 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道， ______.
差
常数
公差
2.等差数列的通项公式与前 项和公式
（1）通项公式： _____________.该式又可以写成 ______________,这表明 时， 是关于 的一次函数，且 时是增函数， 时是减函数.
√
变式1.（1） 为等差数列 的前 项和，满足 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解:设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，所以 解得 故选A.
√
（2） 设 是等差数列 的前 项和， ，且 , , 成等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 得， ，要使 为整数，则需 为整数，所以 , , , , ，共有5个.故选D.
【点拨】在等差数列 中，依据题意应用其前 项和的性质解题常可以比较简便地求出结果.
√
变式4.（1） 已知等差数列 的前 项和 满足 ， ， ，则 ____.
【点拨】等差数列的四个判定方法：①定义法：证明对任意正整数 都有 等于同一个常数；②等差中项法：证明对任意正整数 都有 ；③通项公式法：得出 （ , 是常数）；④前 项和公式法：得出 （ ， 是常数）.
变式2.（1） 【多选题】已知数列 ， 均为无穷等差数列，则下列说法正确的是( )
（2）前 项和公式： _ _______=______________.该式又可以写成 ________________，这表明 时， 是关于 的二次函数，且 时图象开口向上， 时图象开口向下.
3.等差数列的性质
（1）与项有关的性质 ①等差数列 中，若公差为 ，则 ，当 时， _______. ②在等差数列 中，若 ，则__________________.特别地，若 ，则______________. ③若数列 是公差为 的等差数列，则数列 （ , 为常数）是公差为____的等差数列. ④若数列 ， 是公差分别为 , 的等差数列，则数列 （ , 为常数）也是等差数列，且公差为____________. ⑤数列 是公差为 的等差数列，则从数列中抽出项 , , ， ，组成的数列仍是等差数列，公差为____.
25
解：因为等差数列 中， ， ，所以 ， ，即 ，则 .故填25.
4.（2023届广西高三上西部联考）已知数列 满足 ，其中 ，则 ___.
2
解：由 ，得 ,所以 是公差为 的等差数列， .故填2.
考点一 等差数列基本量的计算
例1 （1） 记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则( )
A. B. C. D.
解：设公差为 ，则 解得 故 .故选A.
√
（2） 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解:因为 ， ，所以 即 解得 所以 ，所以 .故选B.
√
（3） 已知 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ( )
由 知，抛物线的对称轴为 ，由图可知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，且 .又 ，所以当 或9时， 有最大值.（方法二）设等差数列 的公差为 ，由 得 , .
,因为 ， ，所以当 或9时， 有最大值.（方法三）由方法二得 .设此数列的前 项和最大，则 即
考点二 等差数列的判定与证明
例2 （1） 【多选题】设 是无穷数列， ，则下列给出的四个判断中，正确的有( )
A.若 是等差数列，则 是等差数列B.若 是等差数列，则 是等差数列C.若 是等差数列，则 是等差数列D.若 是等差数列，则 是等差数列
√
√
√
解:对于A，若 是等差数列，设公差为 ，则 ，则 时， ，所以 是等差数列，故A正确；对于B，若 是等差数列，设公差为 ，当 时， ，即数列 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；C显然正确.故选ACD.
A. B. C. D.
解:设等差数列 的公差为 ,因为 ，所以 , , ，因为 , , 成等差数列，所以 ，所以 , ，所以 .故选C.
√
（3） 已知数列 满足 ，且 , ，则 _____.
解：由题意可知，数列 为等差数列，故设数列 的公差为 ，则 ，即 ， , , , .故填 .
等差
【常用结论】
4.关于 的结论
（1）在等差数列 中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为 ，等价于 ,以及 .
（2）若 （ , 为常数），则 一定是公差为 的等差数列.
5.关于 的结论
（1）等差数列前 项和的最值与 的单调性有关. ①若 ， ，则数列的前面若干项为正项（或0），所以将这些项相加即得 的最大值. ②若 ， ，则数列的前面若干项为负项（或0），所以将这些项相加即得 的最小值. ③若 ， ，则 是递增数列， 是 的最小值；若 ， ，则 是递减数列， 是 的最大值.
A.数列 是等差数列B.数列 是等差数列C. 是等差数列D.若 ,则 为等差数列
解：由等差数列概念知A对，B错，C对，D对.故选ACD.
√
√
√
（2） （2021年全国乙卷）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 .证明：数列 是等差数列.
证明：由 ,得 ,且 ， ,取 ,由 得 ,由于 为数列 的前 项积，所以 ,所以 ，由两式作商得 ,因为 ，所以 ，即 ,其中 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
考点三 等差数列的性质
命题角度1 与项有关的性质
例3 （2023届辽宁六校高三上期初）设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 ( )
A. B. C. D.
解：由等差数列的性质可知 ，所以 ， .故选D.
【点拨】利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将 与 相结合，可减少运算量.
√
变式3 （2023届广西柳州市新高三摸底考）记等差数列 的前 项和为 ，若 , ，则公差 ___, ____．
1
33
解：由 ， 得 ，则公差 ，所以 .故填 ; .
命题角度2 与和有关的性质
例4 （1） 设等差数列 的前 项和为 ，已知前6项和为36，最后6项的和为180， ，则 ____； ____.
（2）与和有关的性质 ①等差数列中依次 项之和 , , , 组成公差为_____的等差数列. ②记 为所有偶数项的和， 为所有奇数项的和.若等差数列的项数为 ,则 , ____, ;若等差数列的项数为 ,则 （ 是数列的中间项）, , . ③ 为等差数列 为______数列. ④两个等差数列 ， 的前 项和 ， 之间的关系为 _____ .
√
（3） 等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解：依题意， .故选D.
√
命题角度3 单调性与最值
例5 （1） 等差数列 的首项 ，设其前 项和为 ，且 ，则当 为何值时， 有最大值？
解：（方法一）由题意知 ，因为 ,设 ,如图,
18
36
解：由题意知 ，① ，②①+②得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 .因为 ， ，所以 ，从而 .故填 ； .
（2） （教材例题改编题） 为等差数列的前 项和，若 , ,则 ___.
6
解：因为 ,即 ,解得 .故填6.
（3） 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的正整数 的个数是( )
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
【教材梳理】
1.等差数列的概念
（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的____都等于同一个______，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母 表示，即____________ （ ，且 ）或__________
×
（4） 若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列.( )
√
（5） （ , 为常数， 不为0, ）是 为等差数列， ,则 ( )
A. B. C. D.
解： .故选B.
√
3.（2020年全国Ⅱ卷）记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则 ____.
选②③作条件证明①：设 ，则 ，当 时， ；当 时， ,因为 ，所以 ，解得 或 ；当 时， , ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；当 时， ， 不合题意，舍去.综上可知, 为等差数列.
第六章 数列
6.2 等差数列
课程标准 有的放矢
必备知识 温故知新
自主评价 牛刀小试
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
A. B. C. D.
解：因为 ，所以 ，所以 ，所以 是公差为 的等差数列，又 ，即 ，解得 ，所以 .故选C.
【点拨】①在等差数列五个基本量 , , , , 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前 项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.②有些问题，需要先判断数列是等差数列，再进行计算.
（2） 是等差数列 （ , 是常数）.若 且 ,则 从第2项起成等差数列.
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 若数列 满足 ,则 是等差数列.( )
×
（2） 已知数列 为等差数列，且公差 ,则 是递增数列.( )
√
（3） 数列 是等差数列，若 ， ， ， ，则 .( )
（2） （2021年全国甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列 是等差数列;②数列 是等差数列；③ . 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①②作条件证明③：设 ，则 ，当 时， ；当 时， ,因为 是等差数列，所以 ，解得 .所以 ，所以 .
15
解:因为 ，所以 ，又 ，所以 .故 ，解得 .故填15.
（2） 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 ，可设 ，则 .因为 为等差数列，所以 , , 为等差数列，即 , , 成等差数列，所以 ，即 ，所以 .故选D.
（2）等差中项：由三个数 , , 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做 与 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道， ______.
差
常数
公差
2.等差数列的通项公式与前 项和公式
（1）通项公式： _____________.该式又可以写成 ______________,这表明 时， 是关于 的一次函数，且 时是增函数， 时是减函数.
√
变式1.（1） 为等差数列 的前 项和，满足 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解:设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，所以 解得 故选A.
√
（2） 设 是等差数列 的前 项和， ，且 , , 成等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 得， ，要使 为整数，则需 为整数，所以 , , , , ，共有5个.故选D.
【点拨】在等差数列 中，依据题意应用其前 项和的性质解题常可以比较简便地求出结果.
√
变式4.（1） 已知等差数列 的前 项和 满足 ， ， ，则 ____.
【点拨】等差数列的四个判定方法：①定义法：证明对任意正整数 都有 等于同一个常数；②等差中项法：证明对任意正整数 都有 ；③通项公式法：得出 （ , 是常数）；④前 项和公式法：得出 （ ， 是常数）.
变式2.（1） 【多选题】已知数列 ， 均为无穷等差数列，则下列说法正确的是( )
（2）前 项和公式： _ _______=______________.该式又可以写成 ________________，这表明 时， 是关于 的二次函数，且 时图象开口向上， 时图象开口向下.
3.等差数列的性质
（1）与项有关的性质 ①等差数列 中，若公差为 ，则 ，当 时， _______. ②在等差数列 中，若 ，则__________________.特别地，若 ，则______________. ③若数列 是公差为 的等差数列，则数列 （ , 为常数）是公差为____的等差数列. ④若数列 ， 是公差分别为 , 的等差数列，则数列 （ , 为常数）也是等差数列，且公差为____________. ⑤数列 是公差为 的等差数列，则从数列中抽出项 , , ， ，组成的数列仍是等差数列，公差为____.
25
解：因为等差数列 中， ， ，所以 ， ，即 ，则 .故填25.
4.（2023届广西高三上西部联考）已知数列 满足 ，其中 ，则 ___.
2
解：由 ，得 ,所以 是公差为 的等差数列， .故填2.
考点一 等差数列基本量的计算
例1 （1） 记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则( )
A. B. C. D.
解：设公差为 ，则 解得 故 .故选A.
√
（2） 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解:因为 ， ，所以 即 解得 所以 ，所以 .故选B.
√
（3） 已知 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ( )
由 知，抛物线的对称轴为 ，由图可知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，且 .又 ，所以当 或9时， 有最大值.（方法二）设等差数列 的公差为 ，由 得 , .
,因为 ， ，所以当 或9时， 有最大值.（方法三）由方法二得 .设此数列的前 项和最大，则 即
考点二 等差数列的判定与证明
例2 （1） 【多选题】设 是无穷数列， ，则下列给出的四个判断中，正确的有( )
A.若 是等差数列，则 是等差数列B.若 是等差数列，则 是等差数列C.若 是等差数列，则 是等差数列D.若 是等差数列，则 是等差数列
√
√
√
解:对于A，若 是等差数列，设公差为 ，则 ，则 时， ，所以 是等差数列，故A正确；对于B，若 是等差数列，设公差为 ，当 时， ，即数列 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；C显然正确.故选ACD.
A. B. C. D.
解:设等差数列 的公差为 ,因为 ，所以 , , ，因为 , , 成等差数列，所以 ，所以 , ，所以 .故选C.
√
（3） 已知数列 满足 ，且 , ，则 _____.
解：由题意可知，数列 为等差数列，故设数列 的公差为 ，则 ，即 ， , , , .故填 .
等差
【常用结论】
4.关于 的结论
（1）在等差数列 中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为 ，等价于 ,以及 .
（2）若 （ , 为常数），则 一定是公差为 的等差数列.
5.关于 的结论
（1）等差数列前 项和的最值与 的单调性有关. ①若 ， ，则数列的前面若干项为正项（或0），所以将这些项相加即得 的最大值. ②若 ， ，则数列的前面若干项为负项（或0），所以将这些项相加即得 的最小值. ③若 ， ，则 是递增数列， 是 的最小值；若 ， ，则 是递减数列， 是 的最大值.
A.数列 是等差数列B.数列 是等差数列C. 是等差数列D.若 ,则 为等差数列
解：由等差数列概念知A对，B错，C对，D对.故选ACD.
√
√
√
（2） （2021年全国乙卷）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 .证明：数列 是等差数列.
证明：由 ,得 ,且 ， ,取 ,由 得 ,由于 为数列 的前 项积，所以 ,所以 ，由两式作商得 ,因为 ，所以 ，即 ,其中 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
考点三 等差数列的性质
命题角度1 与项有关的性质
例3 （2023届辽宁六校高三上期初）设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 ( )
A. B. C. D.
解：由等差数列的性质可知 ，所以 ， .故选D.
【点拨】利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将 与 相结合，可减少运算量.
√
变式3 （2023届广西柳州市新高三摸底考）记等差数列 的前 项和为 ，若 , ，则公差 ___, ____．
1
33
解：由 ， 得 ，则公差 ，所以 .故填 ; .
命题角度2 与和有关的性质
例4 （1） 设等差数列 的前 项和为 ，已知前6项和为36，最后6项的和为180， ，则 ____； ____.
（2）与和有关的性质 ①等差数列中依次 项之和 , , , 组成公差为_____的等差数列. ②记 为所有偶数项的和， 为所有奇数项的和.若等差数列的项数为 ,则 , ____, ;若等差数列的项数为 ,则 （ 是数列的中间项）, , . ③ 为等差数列 为______数列. ④两个等差数列 ， 的前 项和 ， 之间的关系为 _____ .
√
（3） 等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解：依题意， .故选D.
√
命题角度3 单调性与最值
例5 （1） 等差数列 的首项 ，设其前 项和为 ，且 ，则当 为何值时， 有最大值？
解：（方法一）由题意知 ，因为 ,设 ,如图,
18
36
解：由题意知 ，① ，②①+②得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 .因为 ， ，所以 ，从而 .故填 ； .
（2） （教材例题改编题） 为等差数列的前 项和，若 , ,则 ___.
6
解：因为 ,即 ,解得 .故填6.
（3） 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的正整数 的个数是( )
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
【教材梳理】
1.等差数列的概念
（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的____都等于同一个______，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母 表示，即____________ （ ，且 ）或__________
×
（4） 若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列.( )
√
（5） （ , 为常数， 不为0, ）是 为等差数列， ,则 ( )
A. B. C. D.
解： .故选B.
√
3.（2020年全国Ⅱ卷）记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则 ____.