随机过程课程第五章 平稳过程
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随机过程习题解答第一章习题解答1.设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,kP X k pqk ===。
求X 的特征函数,EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ =()1jt k jtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑(其中 0(1)nnnn n n nx n x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)nn S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰同理 2(1)2kkkk k k k k kx k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令2()(1)kk S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk kk k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、(1) 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为(2) 其期望和方差;(3)证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。
解 (1)设X 服从(,)p b Γ分布,则 (2)'1()(0)Xp E X fjb∴==(4)若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则同理可得:()()i i P X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(kZ F X E Zk =并求是常数)。
X 是一随机变量,()F x 是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。
(1)(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数; (2)ln (),()(kZ F X E Z k =并求是常数)。
解(1)11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<==(01y ≤≤) ∴00()0111y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩∴()F x 在区间[0,1]上服从均匀分布()F x ∴的特征函数为11001()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ (2)ln ()()()[]jtz jt F x Z f t E e E e ===1ln 01jt ye dy ⋅⎰=111jty dy jt =+⎰4、设12n X X X ,,相互独立,且有相同的几何分布,试求1nkk X =∑的分布。
随机过程理论定义: 设{X (t ),t ∈T } 是随机过程,如果:(1) {X (t ),t ∈T }是二阶矩过程;(2) 对任意的t ∈T,m x (t )=EX (t )=常数;(3)对任意的s,t ∈T,Rx (s,t )=E [X (s )X (t )]=Rx (s −t );则称{X (t ),t ∈T }为广义平稳过程,简称为平稳过程。
大数定理: 设独立同分布的随机变量序列{X n ,n =1,2,3⋯}具有E [X n ]=m,D [X n ]=σ2 (n =1,2,3⋯),则lim N→∞P {|1N ∑X k Nk=1−m|<ε}=1 大数定律表明,随着时间n 的无限增长,随机过程的样本函数按时间平均以来越来越大的概率近似于过程的统计平均。
也就是说,只要观测时间足够长,则随机过程的每个样本函数能够‘遍历’各种状态。
随机过程的这种特性即谓遍历性或埃尔古德性,或叫各态历经性。
根据随机过程的定义可知,对于每一个固定的t ∈T ,X(t)是一个随机变量,E [X (t )]=m x (t)为统计的平均;对于每一个固定的e ∈Ω,X(t)为普通的时间函数,若在T 上对t 取平均,即得时间平均。
定义: 设{X (t ),−∞<t <+∞}为均方连续的平稳过程,则分别称:〈X (t )〉=l.i.m T →∞12T ∫X (t )dt T −T〈X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅〉=l.i.m T →∞12T ∫X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅T −Tdt 为该过程的时间平均和时间相关函数。
定义: 设{X (t ),−∞<t <+∞}为均方连续的平稳过程,若〈X(t)〉=E[X(t)],即:l.i.m T →∞12T ∫X(t)dt T −T=m x 以概率1成立,则称该平稳过程的均值具有各态历经性。
若〈X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅〉Pr.1=E[X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅],即 l.i.m T →∞12T ∫X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅T −Tdt =R x (τ) 以概率1成立,则称该平稳随机过程的相关函数具有各态历经性。
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程,平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机过程,它的特点是:过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说,如果对于任意的n (=1,2…),12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时,n 维随机变量(X(1t ),X(2t ),…,X(t n ))和 (X (1t h +),X (2t h +),…,X (n t h +)) 具有相同的分布函数,则称随机过程{}X ∈(t ),t T 具有平稳性,并同时称此过程为平稳随机过程,或简称平稳过程。
在实际工作中,确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布,这在实际问题中往往不易办到,因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验,以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化,就会提出这样一个问题:能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢?所谓各态历经,是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性;具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程,只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X (t )是均方连续平稳随机过程,如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X (t )〉存在,即〈X (t )〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在,而且〈X (t )〉=E {X (t )}=X μ依概率1相等。
即〈X (t )〉依概率1等于X μ= E {X (t )}, X μ代表随机过程的集平均(或称统计平均),则称该过程的均值具有各态历经性。