宁波诺丁汉大学附属中学2020-2021学年高二10月月考 数学(实验班)试题(含答案)

浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2021年高考数学中“立体几何多选题”的类型分析附答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C ．1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】AC 【分析】对A ，分别计算()21++AA AB AD 和2AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算11,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】对A ，由题意，11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ，所以()2222111112*********++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB ADAA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ，所以()()22126++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10⋅=O AB A ，又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ，()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD ABAB AD BD ，1116cos ,23⋅<>===⋅B AC D BD BD AC AC，故D 不正确；对C ，112==AC BD ，在1A AC 中，111,2,3===A A AC AC ，所以22211+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 21∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；故选：AC【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.3．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故2252OD OG GD =+=，由矩形的性质知：15OB OE OF OB ====令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则52R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为35435V R π==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，()22221182262PA AA PA =+=+=同理可得62PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，所以，截面圆的半径2r =≥=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.5．在直角梯形ABCD 中，2ABC BCD π∠=∠=，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒D ．在四棱锥D ABCE -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE所成的角的正切为155【答案】ABD 【分析】对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角，由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，15tan DF DBF BF ∠==，可判断D 正确；【详解】对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知得1DE =，则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4DAE π∠=，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π，故B 正确； 对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且ECED E =，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为2π，故C 错误； 对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，222222113122152tan 5511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为15，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2=AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEF S =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.7．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，NQ=2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==，G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.8．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24【答案】CD 【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13223224⨯⨯=D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确．【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.9．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1；当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S 的最大值为2所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体，所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 6【答案】BCD 【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62.【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.平面1BFD E平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为162322⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。

宁诺附中2020-2021学年第一学期高二年级月考化学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间90分钟。

可能用到的相对原子质量 H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Cl 35.5 K 39 Mn 55 Fe 56 Cu 64 Br 80选择题部分一、选择题(本题共25小题，每小题2分，共50分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1．下列说法不正确．．．的是A．二氧化氮会导致酸雨和光化学烟雾，危害较大B．铝的氧化物熔点高，常用于制造耐火材料C．人体中极少量的NO会促进血管扩张，可防止血管栓塞D．Al(OH)3胶体能凝聚水中的悬浮物并使之沉降，因此明矾常用于自来水消毒剂2．下列过程不属于氮的固定的是A．闪电时大气中氮的氧化物的生成 B．由NH3制备NH4ClC．用N2和H2合成氨 D．豆科植物的根瘤菌把大气中的氮转化成氨3．下列关于NO的叙述正确的是A．NO是一种红棕色的气体B．含等质量的氧元素的NO和CO 的物质的量相等C．常温常压下，NO不能与空气中的O2直接化合 D．NO易溶于水，不能用排水法收集4．只用一种试剂就能将NH4Cl、(NH4)2SO4、NaCl、Na2SO4四种溶液区分开，这种试剂是A．NaOH溶液B．AgNO3溶液C．Ba(OH)2溶液D．BaCl2溶液5．把一小块金属钠放入过量的AlCl3溶液中，所得产物是A．Al(OH)3、NaAlO2和H2B．NaAlO2和H2C．Al(OH)3、NaCl和H2D．Al、NaCl和H26．下列化学反应属于放热反应的是①浓硫酸的稀释②工业合成氨③NaOH固体溶于水④氢氧化钡晶体与氯化铵混合⑤CaO溶于水⑥Al在高温条件下与Fe2O3的反应⑦酸碱中和反应A．①②③⑤⑦B．②⑥⑦C．②⑤⑥⑦D．全部7．接触法制硫酸和工业制硝酸分别经过以下的变化：FeS2SO2SO3H2SO4NH3NO NO2HNO3。

宁波诺丁汉大学附属中学高二年级2020-2021学年考试信息技术试题卷答卷时间：[45分钟] 满分：[50]一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1. 下列有关信息及信息技术的说法，正确的是（）A. 信息必须依附于载体才能得以表示、存储和传播B. 信息在传递和共享的过程中会产生损耗C. 信息技术是计算机出现后才产生的D. 虚假的内容不属于是信息2. i=3:s=1/(i-3) 无法执行，原因是它违反了算法特征中的（）A. 有穷性B. 唯一性C. 可行性D. 确定性3. s=0For i = To 2s=s+iNext i若要使语句s=s+i执行3次，则循环变量i的初值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 下列描述正确的是（）A. 字符“2020 宁诺附中！”共占14字节B. 字符“！”是在全角模式下输入的C. “2”的内码为“32”，“10”的内码为“3A”D. 图中有6个ASCII码，4个汉字编码。

5. 下列问题适合使用枚举算法解决的是（）A. 计算已知半径圆的面积B. 超市打折方案C. 校园歌曲大赛的成绩排名D. 计算10000以内的所有的素数 6. 下列VB 表达式中，值最大的是（ ）A. 15/2B. 3\2C. 7 mod 10D. 2^27. VB 表达式Int(Rnd*9)+54\3^2/3的值可能是（ ）A. 9B. 16C. 19D. 278. 将文本框Text2内输入的字符数据"abc"送到字符型变量n 中，应使用的语句是（ ） A. n=text B. n=text2.text C. n=val(text2)D. n=val(text2.text) 9. 产生[1,100]范围内某一随机整数的表达式是（ ）A. Int(Rnd*100+1)B. Int(Rnd*98+2)C. Int(Rnd*99+1)D. Int(Rnd*99+2) 10. 下列VB 表达式的值等于2016的是（ ）A. 2016 Mod 2 ^ 20B . Len(“2015”) + 1C. Str(2008) +“8”D. Mid(“20160501”，1，4)11. 有如下程序段，运行时程序出现如下错误提示，出错语句的位置是（）Private Sub Command1_Click()Dim i As IntegerDim a(10) As Integer ’For i = 1 To 10 ’a(i) = Rnd * 100 ’Next iLabel1.Caption = Str(a(i)) ’End SubA. B. C. D.12. 有如下VB程序段，执行该程序段后，文本框Text1中显示的内容是（）s = 2: k = 1If Not k = s Then s = s + k Else s = 0Text1.Text = Str(s)A. 0B. 1C. 2D. 313. 有如下VB程序段：s=0 : i=1Do Whiles=s+ii=i+1Loop执行该程序段后，变量s的值等于10，则程序中划线处的语句是（）A. i < 5B. i <= 5C. i = 4D. i <= 614. 阅读下面程序：Dim i As Integer, c As String, s As String , t As Strings=”GaoEr1YueXKChongA！”For i = 1 To Len(s)c=Mid(s, i, 1)If c >= “A” And c<=”Z” Then t=t+cNext iText1.Text = t程序运行结束后是在文本框Text1中输出结果是（）A. GEYXKCAB. aoeuehongC. ACKXYEGD. gnoheueoa15. 现要求刚好输出1至100内所有能被7整除的数字，下列哪段程序不能实现（）A. For i = 1 To 100If i Mod 7 = 0 Then List1.AddItem Str(i)Next iB. For i = 7 To 100 Step 7List1.AddItem Str(i)Next iC. i = 1: s = 7Do While s <= 100List1.AddItem str(s)i = i + 1s = i * 7LoopD. Do While s <= 100s = s + 7List1.AddItem str(s)Loop二、非选择题（本大题3小题，其中第16题8分，第17题4分，第18题8分，共20分）16. 对下列数字按要求进行进制转换：（1）D8H转换成10进制（2）81H转换成2进制（3）A3H转换成10进制（4）56转换成2进制17. 下面VB程序完成将一个四位数的百位和十位交换，个位和千位交换的任务，如输入1954，输出4591.程序运行界面如图所示，在文本框Text1中输入某四位数，单击“切换”按钮Comd1，在文本框Text2中输出转换后的结果。

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B 1C 2D 22．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±3．已知ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =（ ）A ．5B 1C ．5或1D4．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.5．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．0x ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．20x y ±=6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x yx y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14B ．13 C ．12D ．238．设02x π≤≤1sin 2sin cos x x x -=-，则（ ） A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-10．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC 2e - D 4e- 11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<12．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学高三数学第一学期期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤3．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=4．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．100825．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．726．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．2053π7．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥8．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．1810．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=12．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max3a c-=B ．max3a c+=C ．min3a c-= D ．min3a c+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届浙江省宁波诺丁汉大学附属中学化学高二上期末联考模拟试题含答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(共包括22个小题。

每小题均只有一个符合题意的选项）1、下列事实：①NaHSO4溶液呈酸性；②长期使用化肥(NH4)2SO4会使土壤酸性增大，发生板结；③加热能增加纯碱的去污能力；④配制 CuCl2溶液，用稀盐酸溶解CuCl2固体；⑤NaHS溶液中c(H2S)>c(S2－)；⑥氯化铵溶液可作焊药去除金属制品表面的锈斑；⑦加热FeCl3·6H2O晶体，往往得不到FeCl3固体。

其中与盐类的水解有关的叙述有( ) A．7项B．6项C．5项D．4项2、红磷(P)和Cl2发生反应生成PCl3和PCl5，反应过程和能量的关系如图所示，图中的ΔH表示生成1 mol产物的数据。

可知PCl5分解生成PCl3和Cl2，该分解反应是可逆反应。

下列说法正确的是A．其他条件不变，升高温度有利于PCl5的生成B．反应2P(s)＋5Cl2(g)===2PCl5(g)对应的反应热ΔH＝－798 kJ·mol－1C．P和Cl2反应生成PCl3的热化学方程式为：2P(s)＋3Cl2(g)===2PCl3(g)ΔH＝－306 kJ·mol－1D．其它条件不变，对于2PCl5(g)===2P(s)＋5Cl2(g)ΔH反应，增大压强，PCl5的转化率减小，ΔH减小3、对于可逆反应A(g)＋2B(g) 2C(g)ΔH>0，下列图象中正确的是A．B．C．D．4、已知：S（s）+O2（g）＝SO2（g）△H＝﹣297.2kJ•mol﹣1．下列说法中正确的是（）A．S（s）具有的能量大于SO2（g）具有的能量B．S（g）+O2（g）＝SO2（g）的△H＞﹣297.2kJ•mol﹣1C．S（s）的燃烧热△H＝﹣297.2kJ•mol﹣1D．形成1mol SO2中的化学键所需能量大于断裂1molS中的化学键所需能量5、用N A表示阿佛加德罗常数，下列说法正确的是A．22．4L H2的物质的量约为1molB．标准状况下，11．2L H2O的物质的量约为0．5 molC．1 L 1mol/L的MgCl2溶液中Cl-的物质的量浓度为 2mol/LD．0．1mol铁与足量的盐酸完全反应，铁失去的电子数为0．3N A6、物质的量浓度相同的三种盐NaX、NaY和NaZ的溶液，其pH分别为8、9、10，则HX、HY、HZ的酸性由强到弱的顺序是()A．HX、HZ、HY B．HY、HZ、HXC．HZ、HY、HX D．HX、HY、HZ7、举办“人文奥运”的一个重要体现就是禁止运动员服用兴奋剂。

浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2020-2021学年高二（实验班）上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在下列命题中，不是公理的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2．直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是（ ）A ．a α⊥B ．//a αC ．a α⊆D ．a α⊆或//a α3．已知空间中不过同一点的三条直线,l ,m n ．“,l ,m n 共面”是“,l ,m n 两两相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）A ．（,1052-）和（1052--）；B ．；C ．）和（）；D ．（,1052--）； 5．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面7．已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC ，表示向量OG 是( )A ．2233OG OA OB OC =++ B ．122233OG OA OB OC =++ C ．111633OG OA OB OC =++ D ．112633OG OA OB OC =++ 8．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E, F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅=（ ） A ．0 B ．12 C ．34- D ．12- 9．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中错误的是A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等二、双空题11．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的体积为________；表面积为________.12．已知(4,2,)a x =-，(2,1,3)b =-，如果//a b ，则x =________；如果a b ⊥，x =________.13．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则BM ________EN （用“>，<，=”填空），直线BM 与直线EN 的位置关系是________．14．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则该棱柱的体积为________；异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．三、填空题15．如图，E 是棱长为2的正方体的棱1AA 的中点，F 为棱AB 上的一点，且190C EF ∠=︒，则线段AF 的长为________．16．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为 ．17．正四面体A BCD -中，2DA =，保持BC 在平面α内，正四面体A BCD -绕BC 旋转过程中，正四面体A BCD -在平面α内的投影面积的最大值等于________．四、解答题18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面,ABC VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且,AC BC O M ==分别为,AB VA 的中点．（1）求证：//VB 平面MOC ；（2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；19．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥．求证：（1）11//AB A B C 平面；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．20．在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面VAD ．（2）求平面VAD 与平面VDB 所成的锐二面角的余弦值．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,ABC ,AC BC ⊥2AC BC ==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1,AD =2,CE =M 为棱11A B 的中点．（1）求证：11C M B D ⊥；（2）求二面角1B B E D --的余弦值；（3）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面 1A BC ⊥侧面 11A ABB ，且12AA AB ==(1) 求证：AB BC ⊥；(2) 若直线AC 与平面 1A BC 所成的角为 6π，求锐二面角 1A A C B --的大小．参考答案1．A【解析】试题分析：选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的． B,C,D 四个命题是平面性质的三个公理，所以选A ．考点：点，线，面的位置关系．2．D【分析】根据直线和平面的位置关系得到答案.【详解】直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是a α⊆或a α‖.故选D【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，漏解是容易发生的错误.3．B【分析】根据空间中不过同一点的共面的三条直线，则两两相交或两个平行，另一条与之相交或三条两两平行判断.【详解】空间中不过同一点的三条直线,l ,m n ．若,l ,m n 共面，则,l ,m n 两两相交或,l ,m n 两个平行，另一条与之相交或三条两两平行，所以“,l ,m n 共面”是“,l ,m n 两两相交”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系以及逻辑条件的判断，属于基础题.4．A【解析】根据共线的定义可得，设与向量(3,4,5)--共线的单位向量为(3,4,5)k k k --，所以2222(3)(4)(5)501k k k k -+-+==，可得k =，所以与向量(3,4,5)--共线的单位向量为(或，故选A ． 5．B【解析】 若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．6．B【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【详解】解：对于A ，α内有无数条直线与β平行，αβ或//αβ；对于B ，α内有两条相交直线与β平行，//αβ；对于C ，α，β平行于同一条直线，αβ或//αβ； 对于D ，α，β垂直于同一平面，αβ或//αβ．故选：B ．【点睛】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题． 7．C【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【详解】解：23OG OM MG OM MN =+=+ 2()3OM MO OC CN =+++ 121()333OM OC OB OC =++- 111633OA OB OC =++ ∴111633OG OA OB OC =++ 故选：C ．【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题． 8．D【解析】AE CF ⋅()11·22AB AC AD AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1111····4422AB AD AC AD AB AC AC AC =+-- ()000111cos6011cos602cos6024=⨯⨯+⨯⨯-⨯- =﹣12. 故答案为D ．9．B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详解】因为(1,2,1)A -，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA =--，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅===. 故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题10．D【解析】可证11AC D DBB AC BE ⊥⊥平面，从而，故A 正确；由∥平面ABCD ，可知//EF ABCD 平面，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，，三棱锥A BEF -的体积为为定值，C 正确；D 错误．选D ．11． 12+【分析】根据给定的几何体的三视图，得到该几何表示底面边长为2等边三角形，侧棱长为2的直三棱柱，结合体积公式、侧面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】 根据给定的几何体的三视图，可得该几何表示底面边长为2等边三角形，侧棱长为2的直三棱柱，如图所示，所以该三棱柱的体积为1222V Sh ==⨯=，三棱柱的表面积为2232222124S S S =+=⨯⨯+⨯=+侧底面.故答案为：12+【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 12．-6 103【分析】根据//a b ，由=a b λ求解，根据a b ⊥，由0a b ⋅=求解. 【详解】因为(4,2,)a x =-，(2,1,3)b =-，且//a b ， 所以=a b λ，则4223x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 解得26x λ=-⎧⎨=-⎩，因为a b ⊥，0a b ⋅=， 则()422130x -⨯+⨯-+= 解得103x =，故答案为：-6，103【点睛】本题主要考查空间向量共线和垂直的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．> 相交 【分析】（1）由已知条件中平面与平面垂直可得出直线与平面垂直，进而得出直线与直线垂直，设出正方形边长，在直角三角形中利用勾股定理分别求出BM 、EN ，即可比较大小； （2）由（1）得，BM 、EN 都是BDE 的中线，一定相交 【详解】（1）设正方形ABCD 的边长为2，如图，过E 作EQ CD ⊥，由ECD 为正三角形得，Q 为CD 中点，连接QN ，过M 作MP CD ⊥于P ，连接BP ，故有//EQ MP ，由M 为ED 中点，可得，2MP EQ =，故32CP =，12DP =，因为平面ECD ⊥平面ABCD ，由EQ CD ⊥，EQ ⊂面CDE ，所以，EQ ⊥面ABCD ，MP ⊥面ABCD ，所以，BPM△和EQN △为直角三角形，又由ECD 为正三角形，所以，2ED EC CD ===，所以，EQ =由Q 为CD 中点，N 为BD 中点，所以，112QN BC ==，所以，在Rt QNE 中，2EN ==，而Rt BCP △中，52BP ===，BM===，故BM EN>；故答题空1为：>（2）如图，连接BD，因为点N为正方形ABCD的中心，故B、D、N三点共线，所以，N为BD中点，M是线段ED的中点，所以，在BDE中，BM与EN共面，故由已知条件可得，BM与EN在面内相交故答题空2为：相交【点睛】本题主要考查两直线的位置关系和数量关系、平面与平面垂直的性质，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力，考查核心素养是直观想象、逻辑推理14【分析】根据直三棱柱111ABC A B C-中，120ABC∠=︒，2AB=，11BC CC==，分别求得底面面积ABCS高1CC，然后由1ABCV S CC=⋅求解；建立空间直角坐标系，分别求得向量11,B AC B坐标，然后由111111cos,B AC BB AC BB AC B⋅=⋅求解.【详解】直三棱柱111ABC A B C-中，因为120ABC∠=︒，2AB=，11BC CC==，所以底面面积11sin1202122ABCS AB BC=⋅⋅︒=⨯⨯=11CC=所以该棱柱的体积为12ABCV S CC=⋅=，建立如图所示空间直角坐标系：则)()()11,1,0,1,0,0,0,1AC B -，所以()()113,1,1,0,1,1B A C B =-=-，所以111111cos ,5B A C B B AC B B A C B⋅===⋅，5【点睛】本题主要考查几何体的体积求法以及空间向量法求异面直线所成的角，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 15．12【分析】先建立空间直角坐标系，设AF t =，并确定点E 、F 、1C的坐标和向量EF 、1EC 的坐标表示，再结合190C EF ∠=︒，建立方程210t -=，求线段AF 的长. 【详解】解：由题意：以点D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，并设AF t =，则(2,0,1)E ，(2,,0)F t ，1(0,2,2)C ，则(0,,1)EF t =-，1(2,2,1)EC =- 因为190C EF ∠=︒，所以1EF EC ⊥，则10EF EC ⋅=， 所以210t -=，解得12t =所以线段AF 的长为12. 故答案为：12【点睛】本题考查利用空间向量垂直关系的坐标表示求长度，是基础题 16．【解析】试题分析：由题意可知：截面是MNP ∆的外接圆，而MNP ∆是边长为2的等边三角形，所以外接圆022sin 60r ==r =226S r πππ==⨯=.考点：1.平面截圆的性质；2.三角形外接圆半径的求法. 17．2 【分析】设二面角A BC D --的平面角为AED θ∠=，由正四面体绕BC 旋转过程中，面ABC 与面α右半面(以BC 为参照)的夹角ϕ有三个阶段：2ππθϕ-≥≥、22ππθϕ-≤<、02πϕθ≤<-，又2ππθϕ-≥≥与02πϕθ≤<-是对称的，仅需讨论2ππθϕ-≥≥、22ππθϕ-≤<，结合三角函数即可求得投影面积的最大值.【详解】若初始位置为底面BCD 在面α内且顺时针旋转，E 为BC 中点，连接,AE DE ，如下图示：由正四面体的结构特征知，二面角A BC D --的平面角为AED θ∠=，且AE DE ==每一个面的面积S =ABC 与面α右半面(以BC 为参照)夹角为ϕ(旋转过程中逐渐变小)，由余弦定理知：2222cos AD AE DE AE DE θ=+-⋅⋅，故1cos 3θ=，有sin 3θ=且32ππθ<<，∴1、2ππθϕ-≥≥时，投影面积随ϕ的减小逐渐变小，初始位置为S S '==2ϕπ=为cos()sin 23S S S πθθ'=⋅-=⋅=，即3S '≤≤， 2、22ππθϕ-≤<时，投影面积()()()cos ?cos cos cos 2sin ,tan S S S S ϕπθϕϕθϕϕσσ⎡⎤=⋅+--=⋅-+=+=⎣⎦'，∴6πσ>，即22ππθσϕσσ-+<+<+，而623πππθσ<-+<，故sin()ϕσ+的最大值为1，此时投影面积S '最大为2.综上可知正四面体A BCD -在平面α内的投影面积的最大值等于2. 故答案为：2 【点睛】本题考查了正四面体，根据几何体绕一边旋转求投影面积的最值，应用了余弦定理求二面角余弦值、三角函数的性质求最值，属于中档题. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）因为,O M 分别为,AB VA 的中点，所以//OM VA ，由线面平行的判定定理，即可得到//VB 平面MOC ；（2）因为,AC BC O =为AB 的中点，得到OC AB ⊥，利用面面垂直的性质定理可证得OC ⊥平面VAB ，由面面垂直的判定定理，即可得到平面MOC ⊥平面VAB ．【详解】（1）因为O 、M 分别为AB 、VA 的中点，所以//OM VB . 又因为VB ⊄平面MOC ，所以//VB 平面MOC ； （2）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥ ，又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB ，OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面VAB .【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 19．（1）见解析（2）见解析 【详解】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB 1A 1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明..20．（1）证明过程见详解；（2）7【分析】（1）先建立空间直角坐标系，设正方形边长为1，再求出各点的坐标与向量的坐标表示接着证明AB AD⊥，利用面面垂直的性质定理可证明AB⊥平面VAD.AB=是平面VAD的法向量，再求平面VDB的一个法向量（2）先由（1）得(0,1,0)(1,1,n =-，最后求平面VAD 与平面VDB 所成的锐二面角的余弦值． 【详解】证明：（1）作AD 的中点O ，连接VO ，则VO ⊥底面ABCD ．以点O 为原点，建立空间直角坐标系，如图，并设正方形边长为1，则1002A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，1,1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2V ⎛ ⎝⎭， 所以(0,1,0)AB =，(1,0,0)AD =，1,0,22AV ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,1,22VB ⎛=- ⎝⎭，(1,1,0)BD =--，由()()0,1,01,0,00AB AD ⋅=⋅=，所以AB AD ⊥，又平面VAD ⊥底面ABCD 、平面VAD ⋂底面ABCD AD =， 所以AB ⊥平面VAD .（2）由（1）得(0,1,0)AB =是平面VAD 的法向量， 设(,,)n x y z =是平面VDB 的法向量，则00n VB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则1022x y z x y ⎧+-=⎪⎨⎪--=⎩，令1x =，则1y =-，3z =-， 则平面VDB的一个法向量(1,1,n =-所以(0,1,0)1,1,3cos,7AB n⎛⎫⋅-⎪<>==-，所以平面VAD与平面VDB．【点睛】本题考查利用空间向量证明线面垂直、利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题. 21．（1）证明见解析；（2）6（3【分析】（1）由1CC⊥平面ABC，可推出1BB⊥平面111A B C，进而得平面11ABB A⊥平面111A B C，易知111C M A B⊥，再由面面垂直的性质定理可证得1C M⊥平面11ABB A，故11C M B D⊥；（2）以C为原点，以CA、CB、1CC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出A、B、D、1B、E 的坐标，根据法向量的性质求得平面1B ED的法向量m；可证得AC⊥平面1BEB，故平面1BEB的一个法向量为(1n=，0，0)，由cos m<，||||m nnm n>=即可得解；（3）设直线AB 与平面1DB E所成的角为θ，则sin|cos ABθ=<，|||||||AB mmAB m>=，从而得解．【详解】解：依题意，以C为原点，分别以,CA,CB1CC的方向为,x,y z轴，建系如图，得(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,3)C ，1(2,0,3)A ，1(0,2,3)B ，(2,0,1)D ，(0,0,2)E ，(1,1,3)M ．（1）证明：依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（2）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，取(1,1,2)n =-． 因此有6cos ,||CA n CA n CA n ⋅〈〉==||，所求二面角1B B E D -- （3）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)n =-为平面1DB E 的一个法向量， 于是3cos ,||||AB n AB n AB n ⋅〈〉==-．所以，AB 与平面1DB E 【点睛】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的性质定理，以及利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（1）见解析； （2）3π. 【分析】试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线AD ，即可得到1AD A B ⊥，利用面面垂直的性质，得到1AD A BC ⊥平面，再利用线面垂直的性质，得到 AD BC ⊥，同理，得到 1AA BC ⊥，利用线面垂直的判定，得到 BC ⊥侧面 11A ABB ，从而利用线面垂直的性质，得到 AB BC ⊥；第二问，可以利用传统几何法，证明二面角 1A A C B --的平面角为AED ∠，在三角形中，利用边角关系解出角 AED ∠的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面 1A BC 和平面1A AC 的法向量，利用夹角公式计算.试题解析：（1）证明：如图，取1A B 的中点 D ，连接 AD ， 1分因1AA AB =，则 1AD A B ⊥ 2分由平面1A BC ⊥侧面 11A ABB ，且平面 1A BC 侧面 11A ABB 1A B =， 3分得1AD A BC ⊥平面，又 BC ⊂平面 1A BC ，所以AD BC ⊥. 4分因为三棱柱111—ABC A B C 是直三棱柱，则1AA ABC ⊥底面，所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A ，从而BC ⊥侧面 11A ABB ， 又AB 侧面 11A ABB ，故 AB BC ⊥. 7分（2）解法一：连接CD ，由（1）可知 1AD A BC ⊥平面，则CD 是 AC 在1A BC 平面内的射影∴ ACD ∠即为直线 AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠ 8分 在等腰直角1A AB ∆中， 12AA AB ==，且点 D 是 1A B 中点 ∴112AD A B ==，且 =2ADC π∠， =6ACD π∠ ∴AC =9分过点A 作1AE A C ⊥于点 E ，连 DE由（1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD A C ⊥，且 AE AD A = ∴ AED ∠即为二面角 1A A C B --的一个平面角 10分 且直角1A AC ∆中：1132A A AC AE AC === 又AD ， =2ADE π∠ ∴sin =AD AED AE ∠== 1A A C B --为锐二面角 ∴ =3AED π∠，即二面角1A A C B --的大小为3π 14分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且 1BB ABC ⊥底面，所以以点B 为原点，以所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则(0,2,0)A ， (0,0,0)B ， (,0,0)C a ， 1(0,2,2)A (,0,0)BC a =， 1(0,2,2)BA =， (,2,0)AC a =-， 1(0,0,2)AA = 9分 设平面1A BC 的一个法向量 1(,,)n x y z =由1BC n ⊥， 11BA n ⊥ 得： 0{220xa y z =+= 令1y = ，得 0,1x z ==-，则 1(0,1,1)n =- 10分 设直线AC 与 1A BC 平面所成的角为θ，则6πθ= 得11·1sin 624AC n AC n π===，解得 2a =，即 (2,2,0)AC =- 12分 又设平面1A AC 的一个法向量为 2n ，同理可得，2(1,1,0)n = 设锐二面角1A A C B --的大小为 α，则 121212·1cos cos ,2n n n n n n α===，且 (0,)2πα∈，得 3πα= ∴ 锐二面角1A A C B --的大小为3π． 14分 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法.【详解】。

浙江省宁波诺丁汉大学隶属中学2020 学年高二数学上学期期中试题（实验班）答卷时间： 120 分钟满分：150分一、选择题（每题4分共 40分）1、直线3x 3y 20 的倾斜角等于A. 300B.1500C.1200D.600x3y32、若x, y知足拘束条件x y 10 ，则z x y 的最大值等于y0A． 5B． 4C． 3D． 23、直线a与b垂直，b又垂直于平面，则 a 与的地点关系是A. aB. a //C.aD.a或a //4、过三点 A（ 1， -1 ）， B（ 1,4 ）， C（ 4， -2 ）的圆的方程是A. x2y27x 3y 2 0B.x2y27x 3y 20C.x2y27x 3y 2 0D.x2y27x 3y 2 05、若直线x 3 y70, kx y 20 和x轴、y轴围成的四边形有外接圆，则实数 k 等于A．3B．3C．6 D ．66、无论 m为什么实数，直线 (m－ 1)x － y＋ 2m＋ 1＝ 0 恒过定点A ．(1,1B．( －2, 0)C． (2, 3)D．( －2, 3) )27、在三棱锥P ABC 中， PA PB PC5，AB3, AC4,BC 5，则PA与平面 ABC 所成的角为A．30o B． 45o C． 60o D． 90o8、若直线x cos y sin10 与圆 ( x cos )2( y1)21相切，且为锐角，则16这条直线的斜率是A．3B．3C．3D．3 339、已知直三棱柱ABC A1 B1C1中，ABC 1200 ,AB2, BC CC1 1, 则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为3B.15C.10D.3A.553 210、正四周体 A-BCD中， DA=2,保持 BC在平面α内，正四周体A-BCD绕 BC旋转过程中，正四周体 A-BCD在平面α内的投影面积的最大值等于A．2 3 B ．3C．4D．2二、填空题（单空题每题 4 分，多空题每题 6 分共 36 分）11、直线l1: x y2a0 和直线l 2 : (a 22)x y 20 相互平行，则 a.12、方程x2y 22x my m30表示圆 C中，则圆 C 面积的最小值等于.13、棱长为 2 的正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E点是 DD 1的中点，P点是正方体 ABCD A1B1C1 D1表面上一动点，若B1 P ∥平面 A1C1 E ，则P点轨迹的长度等于.14、直线l :3 x y a0和圆 C : x2y22x 4 y 0订交于 A,B 两点 . （1）若直线 l 过圆心C，则a;(2)若三角形 ABC是正三角形，则a15、正三棱锥 A-BCD中，底面边长为6，侧棱长等于 5. （ 1）则正三棱锥 A-BCD的体积 V=；（ 2）正三棱锥A-BCD的外接球的半径R=.16、过 O(0,0)引圆 C：(x4)2( y4)2 4 的切线,切点为A,B.（1）A,B两点之间距离 AB;（ 2）直线AB的方程是：.x2y4017、若x, y知足线性拘束条件x y 1 0. （ 1）x24x y2的最小值等于；x1（2）若1ax y 4 恒建立，则 a 的取值范围是.三、解答题（共74 分）x m18、（ 14 分）不等式组x y0表示的平面地区为D，z 2 x y 的最大值等于8.2x y 0（1）求m 的值；y（2）求的取值范围；x2（3）若直线l过点 P(-3,3)，求地区 D 在直线l上的投影的长度的取值范围.19、（ 15 分）如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形， PD⊥平面 ABCD,PD=AD,点 M为线段PA上随意一点（不含端点），点 N 在线段 BD上，且 PM=DN.（1）求证：直线 MN∥平面 PCD.（2）若点 M为线段 PA 的中点，求直线 PB与平面 AMN所成角的余弦值 .20、（ 15分）已知直线l : (a1)x y 2a0 （a R ）.（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）当O（0,0 ）点到直线l 距离最大时，求直线l 的方程.21、（ 15 分）如图，四棱锥P ABCD 中， PC ⊥平面 ABCD ，AB AD ，AB∥CD，PD AB 2AD 2CD 2 ，E为PB的中点.（Ⅰ）证明：平面EAC平面PBC；（Ⅱ）求直线PD 与平面AEC所成角的正弦值.22、已知圆 C 的圆心在x轴的正半轴上，且y 轴和直线x3y 20 均与圆相切.（ 1）求圆 C的标准方程；（ 2）设点 P（ 0,1 ），若直线y x m 与圆订交于M,N两点，且∠ MPN=90°，求m的值 .2020 学年度第一学期期中考试高二数学参照答案一、选择题1、B2、D3、D4、A5、B6、D7 、C8、A9、C10、D二、填空题11、a112 、313 、4514、⑴a1⑵ a15615、⑴ V 3 39⑵ R=25 1322616、⑴14⑵ x y717、⑴713⑵a22三、解答题18、（ 14 分）⑴m =2⑵1,1⑶2,6 219、（ 15 分）⑴连AN延伸交CD于Q，连PQ.PM DN QN MA NB NA∴ MN ∥ PQ, MN平面PCD, PQ平面PCD MN∥平面 PCD⑵cos 22320、（ 15分）⑴3x y0 或 x y 2⑵过定点（ 1，-3 ），x 3y10 021、（ 15分）⑴ 证明 :PC⊥平面 ABCD，故 PC⊥ AC．222AC⊥ BC 又 AB＝2， CD＝1， AD⊥ AB，因此 AC＝ BC＝2．故 AC＋ BC＝ AB，即因此 AC⊥平面 PBC，因此平面 ACE⊥平面 PBC．（2）解:PC⊥平面 ABCD，故 PC⊥ CD．又 PD＝2，因此 PC＝3．在平面 ACE内，过点 P 作 PF垂直 CE，垂足为 F．由（Ⅰ）知平面ACE⊥平面 PBC，因此 PF垂直平面 ACE．由面积法得：即CE PF 1PC BC．又点 E为 AB的中点，2CE 1PB 5 ．因此PF30 ．225又点 E为 AB的中点，因此点P到平面 ACE的距离与点 B 到平面 ACE的距离相等．连接交于点，则＝ 2．BD AC G GB DG因此点D到平面的距离是点B到平面的距离的一半，即1ACE ACE PF ．21因此直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为PF30 .2PD20 22．（ 15 分）⑴设圆心（a,0 ）a0∴圆的半径为 r a ，因此a 2a ，解得：a 2222圆的标准方程是：( x 2)y4y x m，消去 y 得：2x22(m2) x m20 ( x2) 2y24△= 4(m2) 28m20，得：22 2 m2 2 2 x1x2 2 m y1y2 2 mx1x2m2,y1y2m2，又PM PN0 22m2( x1 , y1 1) ( x2 , y2 1)x1 x2y1 y2 ( y1y2 ) 1 0m2m10m15.2。

浙江省宁波市诺丁汉大学附中2021-2021学年高二（下）期中试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 空间中，与向量(3,0,4)a =同向共线的单位向量e 为（ ）A ．(1,0,1)e =B ．(1,0,1)e =或(1,0,1)e =--C ．34(,0,)55e =D ．34(,0,)55e =或34(,0,)55e =-- 2. 函数2cos y x x =+，则y '等于（ ）A ．2cos x +B ．2sin x -C ．2sin x +D ．2sin x x + 3. “函数ax x y 33+=在1=x 处的切线的斜率为6”是“直线0x y +=和直线=0x ay -互相垂直”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器——三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”， 三节棍体ABCD 四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A （0,0,0）、B （0,4,0）、C （4,4,0）、D （0,0,2），则此三节棍体外接球的表面积是（ ）A. 36πB. 24πC. 18πD. 12π5. 已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确保点M 与点,,A B C共面的是（ ） A.OM OA OB OC =++B.2OM OA OB OC =--C.1123OM OA OB OC =++ D.111632OM OA OB OC =++6. 已知空间四面体D ABC -的每条边都等于1，点,E F 分别是,AB AD 的中点，则FE DC ⋅等于（ ） A ．14B ．14-C ．3 D ．3-7. 若点M 是曲线x x y ln 2-=上的点，则点M 到直线02=--y x 的最小距离为（ ） A ．2 B ．5 C ．2 D ．38. 在下列三个说法中：①已知A 、B 、C 、D 是空间的任意四点，则0=+++DA CD BC AB ． ②若{c b a ,,}为空间的一组基底，则{a c c b b a +++,,}也构成空间的一组基底． ③|||||||)(|c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅．其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09. 路灯距地平面为8 m ，一个身高为1.6 m 的人以2 m/s 的速率在地平面上，从路灯在地平面上射影点C 开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v 为（ ） A.720m/s B.724 m/s C.722m/s D.12m/s10. 已知函数()(sin cos )x f x a x b x e -=+⋅在6=x π处有极值，则函数sin cos y a x b x =+的图象可能是（ ）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 设A （3,4,1），B （1,0,5），C （0,1,0）则AB 中点M 到点C 距离为 . 12. 已知函数32()f x ax x =+（R ∈a ）在43x =-处取得极值,则a 的值为 . 13. 若(1,,2)a λ=，(2,1,1)b =-，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 .14. 如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+= .垂直的单位向量，而||13c =，3c a ⋅=，15. 已知a ，b 是两个相互12,t t ，12||c t a t b --的最小值4c b ⋅=.则对于任意实数是 .16. 若不等式3-2log 0a x x ≤在20,]x ∈（恒成立，则实数a 的最小值为 ． 17. 如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱AB 、AC 、AD 都在平面α的同侧.若顶点B ，C 到平面α的距离分别为1，2.建立如图所示的空间直角坐标系，设平面α的一个法向量为000(,,)x y z ，若0=1x 则0=y ，0=z ，且顶点D 到平面α的距离是 .三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分10分） 正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且． （1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值．19. （本题满分10分） 已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象经过原点，且在1x =处取得极值，（1）若()y f x =在原点处的切线的斜率为3-，求()f x 的解析式和极值；（2）若()f x 在1x =处取得的是极小值，问是否存在实数3,,[1,]2m n t ∈使得()()()f m f n f t +<成立，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.20. （本题满分11分）如图，在三棱锥P ABC -中，直线PA ⊥平面ABC ，且90ABC ∠=︒，又点Q ，M ，N 分别是线段PB ，AB ，BC 的中点，且点K 是线段MN 上的动点. （1）证明：直线//QK 平面PAC ；（2）若PA AB BC ==，求二面角Q AN M --的平面角的余弦值. 21. （本题满分11分） 已知函数. （1）求的单调区间；（2）是否存在实数，使得对任意的，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1111D C B A ABCD -2O AC BD E 1B B 112B E =⊥D B 1AC D 1O D 1D A 11D O AEC 211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R ()f x a [)1,x ∈+∞()0f x ≤a二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.14 ； 12.12； 13. 1或-17； 14.2； 15.12； 16. 14; 17. 2，6，6三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分8分）解:（1）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -． 则(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ∴1(2,0,2)AD =-，(2,2,0)AC =-，1(2,2,2)B D =---．114040AD B D ⋅=+-=，14400AC B D ⋅=-+=,又AC 与1AD 交于A 点 11AD B D ⊥，1AC B D ⊥，∴1B D ⊥平面1D AC ．（2）设D A 1与O D 1所成的角为θ．1(0,0,2)D ，(1,1,0)O ，1(2,0,2)A ． ∴1(2,0,2)A D =--，1(1,1,2)DO =-． ∴1111||3cos 6||||226A D D O A D D O θ⋅===⋅⨯．所求异面直线D A 1与O D 1所成角的余弦值为36（3）设平面AEC 与直线O D 1所成的角为φ．设平面AEC 的法向量为(,,)x y z =n ．3(2,2,)2E ，(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，3(0,2,)2AE =，3(2,0,)2EC =--．304304x z AE EC y z ⎧=-⎧⎪⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=-⎪⎩n n ，令1z =，则33,44x y =-=-，∴33(,,1)44=--n ． ∴111|751sin |cos ,|||||D O D O D O φ⋅=<>==⋅|n n n ．所求平面AEC 与直线O D 1所成角的正弦值为75151． 19.（本题满分12分）解：（1）b ax x x f ++='23)(2由题可得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-===302303)0('0)1('0)0(b b a c f f f ，解得0,3,0=-==c b ax x x f 3)(3-=∴且)(x f 的极大值为2)1(=-f ，极小值为2)1(-=f（2）由题320230--=⇒⎩⎨⎧=++=a b b a c)323)(1()32(23)(',)32()(223++-=+-+=+-+=∴a x x a ax x x f x a ax x x f因为)(x f 在1=x 处取得的是极小值，则可得31332->⇒<+-a a 且)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1上单调递增，要想存在实数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1,,t n m 使得)()()(t f n f m f <+成立，则只需)23()1(2f f <，10238943)2(2->⇒--<--a a a ，1023->∴a . 20. （本题满分10分）解：以B 为原点，以BC 、BA 所在直线为x 轴y 轴建空间直角坐标系，设2PA AB BC ===则A （0,2,0），M （0,1，0），N （1,0,0），p (0,2,2),Q (0,1,1),AQ =(0,-1,1), (1,2,0)AN =-记(,,)n x y z AQN =为平面的一个法向量，则0200n AQ y zx y n AN ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩取12y z x ===则 (2,1,1)n =又平面ANM 的一个法向量(0,0,1)m =，所以cos θ=22m n m n⋅==⋅， 即为所求.21. （本题满分12分）当时，令得或.函数,随的变化如下：+ 0↗极大值↘所以的单调递增区间是，单调递减区间是.综上所述，当时，的单调递减区间是；的单调递增区间是，单调递减区间是.①，即时，在上单调递减.所以在上的最大值为，即对任意的，都有.a>'()0f x=x a=x a=()f x'()f x xx(0,)a a(,)a+∞'()f x-()f x()f x)a,)a+∞a<()f x(0,)+∞()f x a,)a+∞1a≤01a<≤()f x[1,)+∞()f x[1,)+∞(1)0f=[1,)x∈+∞()0f x≤。

HY消费建立(jiànlì)兵团第十师北屯高级中学2021-2021学年高二数学10月月考试题理〔实验班〕一、选择题1．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全一样．现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的数字之和为3的概率是〔〕A． B． C． D．2．展开式的二项式系数之和为64,那么的值是〔〕3．三名老师教六个班的课，每人教两个班，分配方案一共有〔〕Ａ．18种Ｂ．24种Ｃ．45种Ｄ．90种4. 离散型随机变量的概率分布如下：ξ 1 3 5P m那么其数学期望Eξ等于〔〕.A．1 B.0.6 C. D.2.4 5．气象台预测，7月12日历城区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为110，设A为下雨，B为刮风，那么〔〕A. B. C. D.6．口袋(kǒu dɑi)内装有大小一样的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是〔 〕7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进展一场比赛,那么田忌马获胜的概率为〔 〕A. B. C. D.8. 假设的值是A.B. C. D.9．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式一共有〔 〕A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种 10．随机变量服从正态分布，，那么〔 〕A. B. C. D.11．甲，乙两人随意入住两间空房，那么甲乙两人各住一间房的概率是〔 〕 A. . B.C.21D.无法确定 12. 有一批产品，其中12件正品，4件次品，有放回地任取4件，假设表示取到次品的件数，那么A.34B. C. D.25二、填空题13. 现有(xiàn yǒu)6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种.14. 设离散型随机变量，那么15．假设，那么_______16．某要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，假设用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，那么数学期望E(X)＝________(结果用最简分数表示)．三、解答题17．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不一样的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的数？18.同时抛掷两枚大小形状都一样、质地均匀的骰子，求：〔1〕点数之和为4的概率；〔2〕至少有一个点数为5的概率．19.设随机变量(suí jī biàn liànɡ)X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3,4)．(1)求P(X＜3)；(2)求P；20．符合以下三个条件之一，某名牌大学就可录取：①获国家高中数学联赛一等奖〔保送录取，联赛一等奖从高中数学竞赛优胜者中考试选拔〕；②自主招生考试通过并且高考分数到达一本分数线〔只有高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格〕；③高考分数到达该大学录取分数线〔该大学录取分数线高于一本分数线〕．某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他方案：假设获国家高中数学联赛一等奖，那么保送录取；假设未被保送录取，那么再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．这名同学获高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数到达一本分数线的概率是0.6，高考分数到达该大学录取分数线的概率是0.3．〔I〕求这名同学参加考试次数 的分布列及数学期望；〔II〕求这名同学被该大学录取的概率．21．某单位为了(wèi le)理解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温〔℃〕14 12 8 6用电量〔度〕22 26 34 38〔1〕求线性回归方程；〔〕〔2〕根据〔1〕的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=， =﹣．22．为理解少年儿童的肥胖是否(shì fǒu)与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进展了问卷调查，并得到如以下联表．平均每天喝以上为“常喝〞，体重超过为“肥胖〞．常喝不常喝合计肥胖 2不肥胖18合计30在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．〔1〕请将上面的列联表补充完好；〔2〕是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；〔3〕常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝．．碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关安康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．参考数据：0．150 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．0012．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828其中为样本容量理科(lǐkē)实验参考答案一、选择题ACDDB DACDB CB二、填空题(13)240 (14) 1/2 (15) 33 (16)4/7三、解答题17解：(1)A64＝120(个)．(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝216(个)．18. 〔1〕〔2〕19. (1)310(2)20.〔I〕记“获高中数学竞赛优胜奖〞为事件A;记“获国家高中数学联赛一等奖〞为事件B；记“通过自主招生考试〞为事件C；记“高考分数到达一本分数线〞为事件D;记“高考分数到达该大学录取分数线〞为事件E.随机变量(su í j ī bi àn li àn ɡ)ξ的可能取值有2、4。

第一学期期中实验班考试高二年级 数学试题卷答卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每小题4分共40分）1320y +-=的倾斜角等于A.030B. 0150C. 0120D. 060 2、若,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤+00133y y x y x ，则z x y =+的最大值等于A ．5B ．4C ．3D ．23、直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是A.a α⊥B.//a αC.a α⊆D.a α⊆或//a α4、过三点A （1，-1），B （1,4），C （4，-2）的圆的方程是A.227320x y x y +--+=B.227320x y x y ++-+=C.227320x y x y ++++=D.227320x y x y +-++=5、若直线02,073=--=-+y kx y x 和x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 等于A ．3-B ．3C ．6-D ．66、不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点A ．(1, 12-) B ．(－2, 0) C ．(2, 3) D ．(－2, 3) 7、在三棱锥P ABC -中，5PA PB PC ===，3,4,5AB AC BC ===，则PA 与 平面ABC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．908、若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(cos )(1)16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则 这条直线的斜率是A ．B ．3-C ．3D 9、已知直三棱柱111ABC A B C -中，01120,AB 2,BC CC 1,ABC ∠====则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A. 2B. 5C.5D.310、正四面体A-BCD 中，DA=2,保持BC 在平面 α内，正四面体A-BCD 绕BC 旋转过程中，正四面体A-BCD 在平面α内的投影面积的最大值等于A ．BC ．4D ．2二、填空题（单空题每小题4分，多空题每小题6分共36分）11、直线1:20l x y a +-=和直线 02)2(:22=+--y x a l 互相平行，则a = .12、方程22230x y x my m +-+--=表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于 .13、棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 点是1DD 的中点，P 点是正方体1111D C B A ABCD -表面上一动点，若P B 1∥平面E C A 11，则P 点轨迹的长度等于 .14、直线:30l x y a ++= 和圆22C :240x y x y ++-=相交于A,B 两点.（1）若直线l 过圆心C ，则a = ;(2)若三角形ABC 是正三角形，则a =15、正三棱锥A-BCD 中，底面边长为6，侧棱长等于5.（1）则正三棱锥A-BCD 的体积V= ；（2）正三棱锥A-BCD 的外接球的半径R= .16、过O(0,0)引圆C ：4)4()4(22=-+-y x 的切线,切点为A,B.（1）A,B 两点之间 距离=AB ; （2）直线AB 的方程是： .17、 若,x y 满足线性约束条件240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩.（1）224x x y -+的最小值等于 ；（2）若14ax y ≤+≤恒成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（共74分）18、（14分）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤020y x y x m x 表示的平面区域为D ，y x z +=2的最大值等于8.（1）求m 的值；（2）求2+x y 的取值范围； （3）若直线l 过点P(-3,3)，求区域D 在直线l 上的投影的长度的取值范围.19、（15分）如图，四棱锥P-ABCD 底面为正方形，PD ⊥平面ABCD,PD=AD,点M 为线段PA 上任意一点（不含端点），点N 在线段BD 上，且PM=DN.（1）求证：直线MN ∥平面PCD.（2）若点M 为线段PA 的中点，求直线PB 与平面AMN 所成角的余弦值.20、（15分）已知直线02)1(:=-+++a y x a l （R a ∈）.（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）当O （0,0）点到直线l 距离最大时，求直线l 的方程.21、（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AB CD ∥，222PD AB AD CD ====，E 为PB 的中点.（Ⅰ） 证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值.22、已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线023=+-y x 均与圆相切.（1）求圆C 的标准方程；（2）设点P （0,1），若直线m x y +=与圆相交于M,N 两点，且∠MPN=90°，求m 的值.高二数学参考答案一、选择题1、B2、D3、D4、A5、B6、D 7 、C 8、A 9、C 10、D二、填空题11、1-=a 12、π3 13、5414、⑴1=a ⑵ 2651±=a 15、⑴ 393=V ⑵ R= 261325 16、⑴ 14 ⑵ 7=+y x 17、⑴ 27-⑵ 231≤≤a 三、解答题18、（14分）⑴m =2 ⑵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 ⑶ []6,2 19、（15分）⑴ 连AN 延长交CD 于Q ，连PQ. NAQN NB DN MA PM == ∴ MN ∥PQ, MN ⊄平面PCD, PQ ⊂ 平面PCDMN ∥平面PCD⑵ 322cos =α 20、（15分）⑴ 03=+y x 或 2=+y x ⑵ 过定点（1，-3）， 0103=--y x21、（15分）⑴ 证明: PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥AC ．又AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥AB ，所以AC ＝BC ． 故AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC 所以AC ⊥平面PBC ，所以平面ACE ⊥平面PBC ．（2）解: PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥CD ．又PD ＝2，所以PC在平面ACE 内，过点P 作PF 垂直CE ，垂足为F ．由（Ⅰ）知平面ACE ⊥平面PBC ，所以PF 垂直平面ACE ． 由面积法得：即12CE PF PC BC ⋅=⋅．又点E 为AB 的中点，12CE PB =． 所以PF = 又点E 为AB 的中点，所以点P 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等． 连结BD 交AC 于点G ，则GB ＝2DG ．所以点D 到平面ACE 的距离是点B 到平面ACE 的距离的一半，即12PF ． 所以直线PD 与平面AEC所成角的正弦值为12PF PD .22．（15分）⑴设圆心（0,a ）0>a∴ 圆的半径为a r =，所以a a =+22 ，解得：2=a 圆的标准方程是：4)2(22=+-y x⑵设),(),,(2211y x N y x M .⎩⎨⎧=+-+=4)2(22y x m x y ，消去y 得：0)2(2222=+-+m x m x △=08)2(422>--m m ，得：222222+-<<--m ⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+m m y y m y y m x x m x x 222,222212122121， 又 0=⋅ 01)()1,()1,(2121212211=++-+=-⋅-y y y y x x y x y x 251012--=⇒=-+m m m .。