高考数学小题综合限时练(2)

高考小题限时练21．(2017·江苏运河中学质检)设集合M ＝{2,0，x }，集合N ＝{0,1}，若N ⊆M ，则x ＝________. 答案 1解析 ∵集合M ＝{2,0，x }，N ＝{0,1}，∴若N ⊆M ，则集合N 中元素均在集合M 中，∴x ＝1.2．已知集合M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2，＋∞)解析 M ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)， 因为M ⊆N ，所以a ≥2.3．(2017·江苏如东、丰县中学联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,0)处切线的斜率为________． 答案1ln 2解析 ∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.4．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________． 答案 13解析 从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，所取2个数的和能被3整除的基本事件有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共5个．∴所取2个数的和能被3整除的概率为515＝13.5．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机地投一个点，则该点落在Ω2内的概率为________． 答案 34解析 区域Ω1是半径为1的圆面，其中在区域Ω2内的部分是34个圆面，故所求的概率是34.6．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．答案 1 326解析 初始值S ＝4，k ＝2；第一次循环，S ＝4>8×2＋5＝21不成立．S ＝42－5＝11，k ＝2＋1＝3；第二次循环，S ＝11>8×3＋5＝29不成立，S ＝113－5＝1 326，k ＝3＋1＝4；第三次循环，S ＝1 326>8×4＋5＝37成立，此时结束循环．故输出S 的值是1 326. 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为________．答案 6解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________． 答案 [3，＋∞)解析 依题意可知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立消去y ，得x 2±bax ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2，∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca≥3.9．已知角α，β满足tan αtan β＝－4，cos(α＋β)＝13，则cos(α－β)＝________.答案 －15解析 方法一 设cos(α－β)＝x ，即 cos αcos β＋sin αsin β＝x .①又cos(α＋β)＝13，即cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝16＋x 2，sin αsin β＝x 2－16，所以tan αtan β＝x 2－16x 2＋16＝－4，解得x ＝－15.方法二 由tan αtan β＝－4，得 sin αsin β＝－4cos αcos β，①由cos(α＋β)＝13，得cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝115，sin αsin β＝－415，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－15.10．已知函数f (x )＝x 2－4x 的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，若曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则3x 1－2x 2的最大值是________． 答案 2－ 6解析 由题意得f ′(x )＝2x －4，因为曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以x 1≠2，x 2≠2，(2x 1－4)·(2x 2－4)＝－1. 又x 1<x 2，所以2x 1－4<0,2x 2－4>0，x 1＝－14x 2－8＋2，则3x 1－2x 2＝3×⎝⎛⎭⎪⎫－14x 2－8＋2－2x 2＝－2x 2－34x 2－8＋6＝－⎣⎡⎦⎤12(4x 2－8)＋34x 2－8＋2≤－212(4x 2－8)·34x 2－8＋2＝2－6， 当且仅当12(4x 2－8)＝34x 2－8时，上式取等号，因此3x 1－2x 2的最大值为2－ 6.11．已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 ∵a 1＋b 1>0，a 2＋b 2＝a 1＋2＋2b 1<0， ∴0<a 1＋b 1<－2－b 1，b 1<－2，b 2＝2b 1<－4.∴a 3＋b 3＝a 2＋2＋2b 2＝a 2＋b 2＋2＋b 2<0＋2－4＝－2， 则a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．12．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 为边CD 上的一个动点(含端点C ，D )，则AP →·BP →的取值范围是________． 答案 [0,1]解析 方法一 由题意得当点P 与点D 或点C 重合时，AP →·BP →取得最大值，且最大值为AD →·BD →＝|AD →|·|BD →|·cos 〈AD →，BD →〉＝1×5×15＝1；当P 在DC 的中点时，AP →·BP →取得最小值，且最小值为AP →·BP →＝|AP →|·|BP →|·cos 90°＝0.故AP →·BP →的取值范围为[0,1]． 方法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．A (0,0)，B (2,0)，设P (x,1)，x ∈[0,2]．AP →·BP →＝x (x －2)＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2∈[0,1]．13．已知在三角形ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在三角形ABC 的内切圆上运动，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为________． 答案 －2解析 因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．由题意可知三角形ABC 的内切圆的圆心为(1,1)，半径为1. 因为点P 在三角形的内切圆上运动， 所以可设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(0≤θ<2π)．所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－1－cos θ)·(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2θ－2＋2sin 2θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，P A →·(PB →＋PC →)取到最小值，且最小值为－2.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e ax，x <0，x e x ，x ≥0的图象过点⎝⎛⎭⎫－1，1e (其中e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程[f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞解析 由题意可得a ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e x，x <0，x e x ，x ≥0.当x ≥0时，f ′(x )＝e x ＋x e x >0恒成立，所以f (x )在区间[0，＋∞)上为增函数；当x <0，f ′(x )＝－e x －x e x ＝－e x (x ＋1)，由f ′(x )＝0，得x ＝－1，当x ＝(－∞，－1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e x，x <0，x e x ，x ≥0在(－∞，0)上有一个极大值f (－1)＝1e ，结合函数图象(图略)，得要使方程[f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根， 令f (x )＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不相等的实根，且一个根在⎝⎛⎭⎫0，1e 内，一个根在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞内．令g (t )＝t 2－mt ＋1，因为g (0)＝1>0， 则只需g ⎝⎛⎭⎫1e <0，即⎝⎛⎭⎫1e 2－m ×1e＋1<0， 解得m >e 2＋1e ，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞.。

专题04：临考强化理科数学小题综合限时提分专练〔解析版〕一、单项选择题1．集合{}2560M x x x =--<，{}ln 0N x x =>，那么M N =〔 〕A ．{}01x x << B ．{}16x x << C ．{}13x x << D ．{}23x x <<【答案】B 【分析】求出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】集合{}{}256016M x x x x x =--<=-<<，{}{}ln 01N x x x x =>=>， 因此，{}16M N x x ⋂=<<. 应选：B.2．设i 为虚数单位，复数(12)1i z i +=-，那么z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z ，再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】1(1)(12)131312(12)(12)1455i i i i z i i i i -----====--+-++， 所以z =1355i -+，∴z 对应点为13(,)55-，在第二象限．应选：B3．“石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳〞，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断开展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风行世界游戏规那么是：“石头"胜"剪刀〞､“剪刀〞胜“布〞､“布〞胜“石头〞，假设所出的拳相同，那么为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头､剪刀､布〞游戏比赛，那么小华经过三局获胜的概率为〔〕A．19B．29C．427D．727【答案】C【分析】由题设知小华经过三局获胜的根本领件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，概率乘法公式求概率即可.【详解】由题设知：小华经过三局获胜的根本领件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，∴小华经过三局获胜的概率为121214 33327C⋅⋅⋅=. 应选：C.4．函数2cos()e xx xf x-=的图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和()00f>确定正确选项. 【详解】由2cos()()xx xf x f xe---=≠知，()f x的图象不关于y轴对称，排除选项A，C．()010f=>，排除选项D．应选：B5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，假设输入2x =，2n =，依次输入a 的值为1，2，3，那么输出的s =〔 〕A ．10B ．11C ．16D ．17【答案】B 【分析】根据循环结构，令1,2,3a =依次进入循环系统，计算输出结果. 【详解】解：∵ 输入的2x =，2n =，当输入的a 为1时，1S =，1k =，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a 为2时，4S =，2k =，不满足退出循环的条件； 当输入的a 为3时，11S =，3k =，满足退出循环的条件； 故输出的S 值为11． 应选：B6．中国古代制定乐律的生成方法是最早见于?管子·地员篇?的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其13，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长13，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.假设五音中的“宫〞的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽〞的律数为〔 〕 A ．72 B ．48C ．54D ．64【答案】B 【分析】按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果 【详解】依题意，将“宫〞的律数81三分损一可得“徵〞的律数为181(1)543⨯-=，将“徵〞的律数54三分益一可得“商〞的律数为154(1)723⨯+=，将“商〞的律数72三分损一可得“羽〞的律数为172(1)483⨯-=.应选：B7．假设log 2x y =-，那么x y +的最小值是〔 〕A ．B ．3C D ．3【答案】A 【分析】应用指对数互化得20yx，而222x x x y x -+=++，根据三元根本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由log 2x y =-，得20yx且(0,1)(1,)x ∈+∞，∴222x x x y x -+=++≥，当且仅当22x x -=，即x =.应选：A8．设定义在R 的函数()f x ，其图象关于直线1x =对称，且当1≥x 时，()ln 1f x x =-，那么13f ⎛⎫⎪⎝⎭，23f ⎛⎫⎪⎝⎭，32f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为〔 〕 A ．123332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．312233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】根据函数的对称性，函数的单调性进行求解即可. 【详解】当1x e ≤≤时，()ln 11ln f x x x =-=-，此时函数单调递减，而函数图象关于直线1x =对称，因此函数在[]2,1e -上单调递增，而13()=()22f f ，又因为11221323e -<<<<，所以112()()()323f f f <<，所以132()()()323f f f <<，应选：B9．函数()sin cos f x x a x ωω=+(0a >，0>ω)，假设函数()f x 的最小正周期2T π<且在6x π=处取得最大值2，那么ω的最小值为〔 〕 A ．5 B ．7C ．11D ．13【答案】D 【分析】由函数式的最大值2结合函数的特点求出a 值，再把函数式化成2sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由取最大值的条件结合周期范围得解. 【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，所以()f x ，即2=，又0a >，所以a =()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.又()f x 在6x π=处取得最大值2，所以2sin 2663f πππω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2632k k Z πππωπ+=+∈，即()112k k Z ω=+∈，又函数()f x 的最小正周期2T π<，所以22ππω<，又0>ω，所以1ω>，所以ω的最小值为13.应选：D【点睛】涉及解决sin cos a x b x)x ϕ+是关键.10．设曲线()1*n y xn +=∈N 在()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，那么220192010120102010log log log x x x ++⋅⋅⋅+的值为〔 〕A ．2010log 2009-B ．1-C ．2010log 20091-D ．1【答案】B 【分析】利用导数求出切线方程，可求得n x 的表达式，再利用对数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】 对函数()1*n y xn +=∈N 求导得()1ny n x'=+，切线斜率为1k n =+，所以，曲线()1*n y xn +=∈N 在()1,1处的切线方程为()()111y n x -=+-，即()y n 1x n =+-，由题意可得()10n n x n +-=，可得1n nx n =+，那么()2010201020102010log log log log 11n nx n n n ==-++， 因此，220192010120102010log log log x x x ++⋅⋅⋅+201020102010201020102010log 12log 2log 3log 2009log 20101log =-+-++-=-.应选：B. 【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：〔1〕()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔2〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔3〕()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；〔4(1k=. 11．设F 1，F 2为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，点P 是双曲线C 上一点，假设右焦点2(2,0)F ，124PF PF a +=，且一条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，那么12PF F △的最小内角的余弦值为〔 〕A ．B C D 【答案】C 【分析】由渐近线与圆22(2)1x y -+=相切求得b ，从而求得a ，由1PF 与2PF 的关系求出它们的值，进而判断12PF F △的最小内角，再结合余弦定理即可求解． 【详解】在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，2c =，且0bx ay -=是一条双曲线的渐近线．又0bx ay -=与圆22(2)1x y -+=相切，∴圆心〔2，0〕到直线0bx ay -=的距离1d =，1=，即|2|1b c =，1b =，从而a =124PF PF a +==不妨设点P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，122PF PF a -==，1224∴==F F c ，13PF a ==，2PF a ==12PF F △的最小内角为12PF F ∠，由余弦定理可得，2222121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，12cos PF F ∴∠=应选：C 【点睛】关键点点睛：由渐近线与圆22(2)1x y -+=相切求得b ，进而求得1PF 与2PF 是关键点．12．函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有f (x +2)=f (x )，且当11x -<时.3,(),x x x Z f x e x Z ⎧∉=⎨∈⎩，函数log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩，假设关于x 的方程()()f x g x =在[1,)-+∞恰有5个互异的实数解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(]7,9B ．(]11,7,997⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]11,9,11119⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭D ．()(]1111,,9,1010,111110109⎡⎫⎛⎫⋃⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D 【分析】方程()()f x g x =在[1,)-+∞恰有5个互异的实数解可转化为函数()f x 与()g x 的图象有5个交点，利用图象数形结合，建立不等式求解即可. 【详解】 因为f (x +2)=f (x )， 所以()f x 的周期2T =，作出3,(),x x x Z f x e x Z ⎧∉=⎨∈⎩与log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩的图象如下，当0x <时，()f x 与()g x 无交点， 故5个交点同在y 轴的右侧，由图象可知，()y f x =与()y g x =在(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9)这些区间中共有5个交点，故()y g x =会在(9,10)或(10,11]内与1y =相交需满足log 91log 101a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩或log 91log 111a a ⎧<⎪⎨≥⎪⎩解得11091110110a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<<<<⎪⎩或或或19091111111a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<≤≤<⎪⎩或或，即111110a ≤<或11109a <<或910a <<或1011a <≤，综上可知()(]1111,,9,1010,111110109a ⎡⎫⎛∈⎫⋃⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 应选：D 【点睛】关键点点睛：根据方程的根的个数，转化为图象交点的个数，利用数形结合的思想，根据交点个数建立不等式，是解决此题的关键所在，属于较难题目.二、填空题13．假设x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，那么z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，那么z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】此题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．262()x x+的展开式中常数项是__________〔用数字作答〕．【答案】240 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=. 故答案为：240. 【点睛】此题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()n a b +的展开通项公式1C r n r r r n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于根底题.15．圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23π 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于223122AM -=1222222S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，那么： ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()1332222r =⨯++⨯= 解得：22r ，其体积：3423V r π==. 2. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16．数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，那么1a =______________.【答案】7【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++ 135********()()a a a a a a a a =+++++++ 111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.【点睛】此题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.。

限时练2(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022北京,1)已知全集U={x|3<x<3},集合A={x|2<x≤1},则∁U A=()A.(2,1]B.(3,2)∪[1,3)C.[2,1)D.(3,2]∪(1,3)2.(2023全国甲,理2)若复数(a+i)(1a i)=2,则a=()A.1B.0C.1D.23.(2023全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.44.(2023四川泸州三模)执行下图所示的程序框图,若输入N的值为8,则输出S的值为()A. B. C.0 D.5.(2023江西南昌二模)已知函数f(x)=2sin x,命题p:∃x1,x2∈(0,π),使得f(x1)+f(x2)=2,命题q:∀x1,x2∈(),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则下列命题中为真命题的是()A.p∨qB.p∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)6.(2023河南郑州三模)若向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则向量b与向量ab的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°7.(2023安徽黄山二模)先后掷两次骰子,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A=“x+y为奇数”,事件B=“x,y满足x+y<6”,则概率P(B|A)=()A. B. C. D.8.(2023山东泰安一模)若的二项展开式中x6的系数是16,则实数a的值是()A.2B.1C.1D.29.(2023河南郑州一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角C=,b sin(+A)a sin(+B)=c,则角B=()A. B. C. D.10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=BC=2,CC1=2,则异面直线AC1与A1B1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°11.(2023河北张家口一模)已知实数a,b,c满足log a2=e,b=,ln c=,则()A.log c a>log a bB.a c1>b a1C.log a c<log b cD.c a>b c12.已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在第二象限内,且满足|F1P|=a,()·=0,线段F1P与双曲线C交于点Q,若|F1P|=3|F1Q|,则C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2023宁夏银川一中一模改编)已知函数f(x)=对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围是.14.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2sin A sin C=1+2cos A cos C,a+c=3sin B,则b的最小值为.15.(2022浙江,17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则+…+的取值范围是.16.(2023河北邯郸二模)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,线段BF的中垂线交C于M,N两点,交y轴于点P,=2,△BMN的周长为16,则椭圆的标准方程为.限时练21.D解析∵U={x|3<x<3},∴∁U A=(3,2]∪(1,3),故选D.2.C解析由(a+i)(1a i)=2,可得a+i a2i+a=2,即2a+(1a2)i=2,所以解得a=1.故选C.3.A解析从该校的学生中任取一名学生,记A表示事件:“取到的学生爱好滑冰”,B表示事件:“取到的学生爱好滑雪”.由题设知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.7.由P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB),得P(AB)=P(A)+P(B)P(A∪B)=0.6+0.50.7=0.4.所求的概率为P(A|B)==0.8.4.C解析程序运行可得S=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+1++01+0=0.故选C.5.A解析命题p:当0<x<π时,0<sin x≤1,所以1<2sin x≤2,即1<f(x)≤2,则∀x1,x2∈(0,π),f(x1)+f(x2)>2,故命题p为假命题;命题q:当<x<时,由复合函数的单调性得f(x)=2sin x在()上是增函数,所以当<x1<x2<时,f(x1)<f(x2),故命题q为真命题.则命题p∨q为真,故A正确;命题p∧q为假,故B错误;命题p∧( q)为假,故C错误;命题( p)∧( q)为假,故D错误.故选A. 6.D解析由题意|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2=|b|2,所以2a·b=|a|2,所以|ab|=|a|.b(ab)=|b||ab|cos<b,ab>=|a|2cos<b,ab>,又b(ab)=b·ab2=|a|2|a|2=|a|2,所以|a|2cos<b,ab>=|a|2,cos<b,ab>=,又0°≤<b,ab>≤180°,所以<b,ab>=150°.故选D.7.B解析用(x,y)表示先后掷两次骰子分别得到的点数,基本事件的个数为6×6=36.记事件C=“x+y为奇数,且x+y<6”,所以事件A包含的基本事件的个数为3×3×2=18,事件C包含的基本事件个数为(1,2),(1,4),(2,3),(2,1),(4,1),(3,2),共6个,根据古典概率公式知,P(A)=,P(C)=P(AB)=,P(B|A)=故选B.8.D解析(x)8的二项展开式的通项公式为T r+1=x8r·()r=(a)r x82r,0≤r≤8,r∈N*.令82r=6,得到r=1.由x6的系数是16,得到(a)1=16,解得a=2.故选D.9.C解析由题意及正弦定理,得sin B·sin(+A)sin A sin(+B)=sin C,整理得(sin B cos A sin A cos B)=,即sin(BA)=1.因为A,B∈(0,),所以BA∈(),所以BA=又B+A=,所以B=故选C.10.C解析由题画图(图略),连接AC1,BC1,又AB∥A1B1,则∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角或其补角.∵AB⊥BC,且三棱柱为直三棱柱,∴AB⊥CC1,BC∩CC1=C,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC1,又AB=BC=2,CC1=2,∴BC1==2,∴tan∠BAC1=,∴∠BAC1=60°.故选C.11.D解析由log a2=e,得a e=2,∴a=又b=,函数y=2x在R上是增函数,∴a<b<20=1.由ln c=>0,得c>1,∴c>1>b>a>0,∴y=log c x在(0,+∞)上是增函数,y=log a x在(0,+∞)上是减函数,故log c a<log c1=0,log a b>log a1=0,∴log c a<log a b,A错;由c1>0,得a c1<1.∵a1<0,∴b a1>1,故a c1<b a1,B错;∵log a c=,log b c=,且log c a<log c b<0,,即log a c>log b c,C错;∵c a>c0=1,b c<b0=1,故c a>b c,D对.故选D.12.C解析取线段F1P的中点E,连接F2E,因为()=0,所以F2E⊥F1P,所以△F1F2P是等腰三角形,且|F2P|=|F1F2|=2c,在Rt△F1EF2中,cos∠F2F1E=,连接F2Q,又|F1Q|=,点Q在双曲线C上,由|F2Q||F1Q|=2a,则|F2Q|=,在△F1QF2中,cos∠F2F1Q=,整理得12c2=17a2,所以离心率e=故选C.13.(1,2]解析因为对任意x1≠x2,都有>0成立,所以f(x)在定义域内是增函数,所以解得1<a≤2,即a的取值范围是(1,2].14解析因为2sin A sin C=1+2cos A cos C,整理可得cos(A+C)=因为A+B+C=π,所以cos B=又因为0<B<π,所以B=由余弦定理可得b2=a2+c2ac=(a+c)23ac,又因为a+c=3sin B=,所以b2=3ac3()2=,当且仅当a=c=时等号成立,所以b的最小值为15.[12+2,16]解析如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴,A1A5所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A1(0,1),A2(),A3(1,0),A4(,),A5(0,1),A6(,),A7(1,0),A8().设P(x,y),则+…+=8(x2+y2)+8.因为cos22.5°≤|OP|≤1,所以x2+y2≤1,故所求取值范围为[12+2,16].16=1解析设椭圆的半焦距为c.如图,由=2,得点P在线段BO上,且|BP|=b,|PO|=b.连接PF,由点P在线段BF的中垂线上,得|BP|=|PF|.在Rt△POF中,由勾股定理得|OP|2+|OF|2=|PF|2,所以(b)2+c2=(b)2,整理得b2=3c2,所以a2c2=3c2,即a2=4c2,所以a=2c.在Rt△BOF中,cos∠BFO=,所以∠BFO=设直线MN交x轴于点F',交BF于点H,在Rt△HFF'中,有|FF'|==a=2c,所以F'为椭圆C的左焦点.又|MB|=|MF|,|NB|=|NF|,所以△BMN的周长等于△FMN的周长.又△FMN的周长为4a,所以4a=16,解得a=4,所以c=2,b2=a2c2=12.故答案为=1.。

集合的含义与表示（第2课时）一．知识巩固（一）选择题（共9题，每题5分，共45分） 1.(李东峰) 下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R 2.(李东峰) 给出下列说法:①在直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y )|xy >0}; ②所有奇数组成的集合为{x|x =2n +1}; ③集合{(x,y )|y =1-x }与{x|y =1-x }是同一集合. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个C.3个D.0个3.(李东峰) .集合{x ∈N +|2x -1<9}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}4.(李东峰) 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}5.(李东峰) 下列各组集合，表示相等集合的是( )①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．②C ．③D ．以上都不对6．下列四个集合中，是空集的是( )A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+-7.(李东峰)已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8.(李东峰) 方程x 2–1=0的解集可表示为 ( )A ．{x =1或x =–1}B ．{x 2–1=0}C ．1，–1D ．{1，–1}9.(李东峰)对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是 ( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x =4k +1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x =4t –3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x =4s –3，s ∈N *，且s ≤5}二．能力提升（一）选择题（共4题，每题5分，共20分） 10. (李东峰)已知M ＝{x |x －1<2}，那么( )A ．2∈M ，－2∈MB ．2∈M ，－2∉MC ．2∉M ，－2∉MD ．2∉M ，－2∈M11.(李东峰) 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．212.(李东峰) 下列命题中正确的是( )A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R}中有两个元素 B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合13.(李东峰)集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B （二）填空题（共6题，共35分）14.（杨素娟）用列举法表示集合A={y|y=x 2-1,-2≤x ≤2,且x ∈Z}是________ ． 15.（杨素娟）集合{x ∈N |2x －5＜0}中所有元素的和为________．16.（杨素娟）若A={2,3,4},B={x|x=n-m，m，n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数为________.17.（杨素娟）设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.18.（杨素娟）若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．19.（杨素娟）已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________20．由||||(,)a ba b Ra b+∈所确定的实数集合是 .（三）解答题（15分）21.(李东峰)用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．(3)所有能被3整除的数的集合；(4)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；(5)不等式2x－1>5的解集．三．拓展延伸（22题10分，23题10分，24题15分）22．已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.23.（杨素娟）已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值的集合.24．若集合A＝221y kx xy⎧⎫⎧=--⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭（x,y）| 有且只有一个元素，试求出实数k的值，并用列举法表示集合A.班级：小组：组号：姓名：__________ 一、选择题二、填空题14、15、16、17、18、19、20、。

高三数学限时练习题本文是一份高三数学限时练习题集，旨在帮助学生加强对数学知识的掌握和应用能力。

请同学们根据题目要求认真思考并完成每一道题目，以检验自己在数学方面的能力。

第一题：已知函数 f(x) = 2x^2 + bx + c，其中 b，c 为常数。

若该函数在 x = -2 处有极值，并且在 x = -1 处取得最小值 -5，则求函数 f(x) 的解析式。

第二题：给定一准直光线 AO 与反射线 BC，如图所示。

已知入射角α=60°，折射角β=30°，弯折角δ=105°。

求反射角θ。

（插入图示）第三题：已知集合 A = {x | x^2 - 5x + 6 ≤ 0}，集合 B = {x | 2x - 1 > 0}，求 A∩ B 的解集。

第四题：某市的人口数量随年份变化，已知2015 年的人口数量为100 万人，且每年增长率恒定。

设 x 为年份，y 为该年份的人口数量（单位：万人）。

试求人口数量 y 关于年份 x 的增长函数 f(x) 的解析式，函数图像的横坐标为年份 x（2015 ≤ x ≤ 2020），纵坐标为人口数量y（单位：万人）。

第五题：已知集合 U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}，集合A = {x | 2x + 1 ≠ 0}，集合 B = {x | -x^2 + 4x ≠ 0}，求集合 A ∪ B 的解集。

第六题：某公司计划购买一批电脑，设公司购买的电脑总价为 x 元（单位：万元），购买数量为 N 台。

电脑的单价为 4000 元/台。

已知公司预算为 100 万元，且购买数量 N 为整数。

求购买数量 N 的取值范围，使得购买电脑的总价 x 不超过预算。

题目描述如上，请同学们认真思考，通过合理的数学计算和推理，逐题解答。

希望这份限时练习题能够为同学们的数学学习提供一定的帮助。

如果遇到任何难题，可以向老师或同学请教，共同进步。

加油！（文章共计193字）。

(限时：分钟)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) .已知集合＝{－－≤}，＝{(－)＞}，则∩＝( ).(，) .(，].(－，－) .[－，－)解析∵－－≤，∴－≤≤，∴＝[－，].又∵(－)＞，∴－－＞，∴＜－或＞，∴＝(－∞，－)∪(，＋∞).∴∩＝(，].故选.答案.若复数满足(－)＝，则的虚部为( ).－.－解析依题意得＝＝＝＋，因此复数的虚部为.故选.答案.在等比数列{}中，若、是方程－＋＝的两根，则的值是( ).±.－.±解析由题意可知＝，＝，或＝，＝.当＝，＝时，设公比为，则＝＝，∴＝，∴＝＝；同理可求当＝，＝时，＝.答案.将函数()＝的图象向右平移φ个单位长度后得到函数()的图象，若对于满足()－()＝的，，有－＝，则φ＝( )解析由题意知，()＝(－φ)，－≤()≤，又－≤()≤，若，满足()－()＝，则，分别是函数()，()的最值点，不妨设()＝－，()＝，则＝＋π(∈)，＝＋π(∈)，－＝(，∈)，又－＝，＜φ＜，所以－φ＝，得φ＝，故选.答案.如图，多面体－的底面为正方形，＝＝，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析注意，在平面上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除，选项，观察，选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则，的投影为虚线，故选.答案.已知直线＋＋－＝(＞)经过圆＋－－＝的圆心，则＋的最小值是( )解析依题意得，圆心坐标是(，)，于是有＋＝，＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当即＝＝时取等号，因此＋的最小值是.故选.答案.已知四面体－的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且＝，＝＝，则球的表面积为( )π ππ π解析依题意记题中的球的半径是，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是、、，于是有()＝＋＋＝，π＝π，∴球的表面积为π.。

专题02：考强化新高考数学小题综合提分专练（解析版）一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，{}2,5,6N =，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}1B ．{}1,4C ．5,6D ．{}1,2,4,5,6【答案】C 【分析】根据集合的补集和交集运算的概念可求得结果. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分所表示的集合是(){}{}{}3,5,62,5,65,6UM N ⋂=⋂=.故选：C.2．已知复数z 满足1212i iz i i--⋅=++，则z =（ ） A ．3455-i B ．4355i -C ．3455i +D ．4355i +【答案】D 【分析】根据复数运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()()()()()11221234,1112225i i i i i i ii i i i i i i -------==-==++-++-， 因为1212i i z i i--⋅=++，即34()55z i i ⋅-=-，所以4355z i =+.故选：D.3．已知0a >，且1a ≠．若1b a >，则（ ） A ． ab b >B ． ab b <C ．a b >D ．a b <【答案】A 【分析】对a 分成01a <<和1a >两种情况进行分类讨论，由此确定正确选项. 【详解】依题意0a >，且1a ≠，1b a >当01a <<时，0b <，(),10,a b ab b b a ab b >-=->>，由此排除BD 选项. 当1a >时，()0,10,b ab b b a ab b >-=->>，,a b 可能相同，如22,21a b ==>，由此排除C 选项. 故选：A4．向量a ，b 满足||4a =，()0b a b ⋅-=．若a b λ-的最小值为()2λ∈R ，则a b ⋅=（ ） A ．0 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C 【分析】由已知得2a b b ⋅=，然后把a b λ-平方转化为数量积的运算，利用二次函数知识得最小值，从而求得a b ⋅． 【详解】()20b a b a b b ⋅-=⋅-=，所以2a b b ⋅=，222222162()a b a a b b a b a b λλλλλ-=-⋅+=-⋅+⋅，由题意264()4()464a b a b ⋅-⋅=，解得8a b ⋅=．故选：C ．5．函数sin ()()x f x e x ππ=-≤≤的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】求出函数的导数，根据导数求出函数的单调性，即可判断. 【详解】 函数sin ()()xf x ex ππ=-≤≤，sin ()cos x f x e x '=，,2x ππ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭和,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，只有D 符合.故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，再向左平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 是（ ） A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数【答案】C 【分析】首先根据图象变换求函数()g x 的解析式，再判断函数的性质. 【详解】将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，可得cos 2y x =的图象， 再向左平移4π个单位，得到函数()cos 2sin 22g x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭的图象，故()g x 是周期为π的奇函数. 故选：C .7．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布()50,100N ；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布()60,16N ，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ） A ．①、② B ．②、①C ．①、①D ．②、②【答案】B 【分析】分别比较甲、乙走线路①、②的概率大小，由此可得出结论. 【详解】对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为()()705070210P X -⎛⎫≤=Φ=Φ ⎪⎝⎭，走第二条线路赶到的概率为()()706070 2.54P X -⎛⎫≤=Φ=Φ⎪⎝⎭，()()2 2.5Φ<Φ，所以甲应走线路②；对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为()()645064 1.410P X -⎛⎫≤=Φ=Φ ⎪⎝⎭，走第二条线路赶到的概率为()()64606414P X -⎛⎫≤=Φ=Φ⎪⎝⎭， ()()1.41Φ>Φ，所以乙应走线路①.故选：B.【点睛】 结论点睛：若()2,XN μσ，作变换X Y μσ-=，则()0,1YN ，()P X ξμξσ-⎛⎫≤=Φ ⎪⎝⎭.8．已知函数21()ln 12f x x x =-+，若()0f x kx ->恰有3个正整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．ln 27ln 37,2436⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．ln 27ln 37,2436⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．ln 27ln 37,2436⎛⎤--⎥⎝⎦ D ．ln 27ln 37,2436⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可. 【详解】解：由题意，()0f x kx ->恰有3个正整数解，转换为ln y x =的图象与2112y x kx =-+的图象交点问题， 作出ln y x =和2112y x kx =-+的图象，如图：要使21ln 12x x kx >-+恰有3个正整数解， 则需满足：9ln 313k2ln 474k⎧>-+⎪⎨⎪<+⎩， 解得：ln 27ln 372436k -<<-， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.二、多选题9．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（ ） A ．可能是家常菜青椒土豆丝 B ．可能是川菜干烧大虾 C ．可能是烹制西式点心 D ．可能是烹制中式面食【答案】BD 【分析】根据合情推理，分别假设小华选择的烹饪选修课，判断甲、乙、丙的说法即可得出选项. 【详解】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件； 若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除； 若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件． 故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食， 所以选：BD ． 10．已知复数121z i=-+（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）． A ．1z 对应的点在第三象限B ．1z 的虚部为1-C ．414z =D ．满足1z z =的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，化简得到11z i =--，根据复数的坐标表示，可判定A 正确，根据复数的概念，可判定B 正确；根据复数的运算，可判定C 不正确；根据复数的几何意义，可判定D 不正确. 【详解】 由题意，复数()()()12121111i z i i i i --===---+-+--， 所以复数1z 在复平面内对应的点(1,1)--位于第三象限，所以A 正确； 由11z i =--，可得复数的虚部为1-，所以B 正确；由()()()2422411124z i i i ⎡⎤=--=--==-⎣⎦，所以C 不正确；由1z ==所以满足1z z =的复数z D 不正确. 故选：AB.11．已知0a >，0b >，21a b +=，则（ ）A ．2215a b +≥B ．113a b+≥+ C ．22a b +> D ．22log log 3a b +≤-【答案】ABD 【分析】利用12a b =-将22a b +化为关于b 的二次函数形式，结合b 的范围可求得A 正确；由()11112a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可知B 正确； 由11a b b +=-<可知C 错误；利用基本不等式可求得18ab ≤，结合对数函数单调性可求得D 正确. 【详解】 对于A ，0a >，0b >，21a b +=，120a b ∴=->，解得：102b <<， ()2222212541a b b b b b ∴+=-+=-+，∴当25b =时，()2min 4815411555b b -+=-+=，2215a b ∴+≥，A 正确；对于B ，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即a =时取等号，B 正确； 对于C ，0b >，21a b +=，11a b b ∴+=-<，22a b +∴<，C 错误；对于D ，21a b +=≥（当且仅当2a b =时取等号），18ab ∴≤，22221log log log log 38a b ab ∴+=≤=-，D 正确.故选：ABD. 【点睛】易错点睛：本题重点考查了利用基本不等式和函数单调性求最值的问题；利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．在四面体ABCD 中，ABC 是边长为2的正三角形.60ADB ∠=︒，二面角D AB C --的大小为60︒，则下列说法正确的是（ ）A ．AB CD ⊥B ．四面体ABCD 的体积V 的最大值为C ．棱CDD ．四面体ABCD 的体积最大时，四面体ABCD 的外接球的表面积为529π 【答案】BCD 【分析】若AB CD ⊥，取AB 的中点为点E ，可证明DE AB ⊥，得ABD 是正三角形，与已知条件不符，判断A ；四面体ABCD 的体积V 最大，即D 到平面ABC 距离最大，而二面角D AB C --不变，因此D 到AB 距离最大，D 在以AB 为弦的圆弧上，因此ABD △为正三角形，由此可求得四面体体积，判断B ，可得此时CD 最小，求出CD长度判断C ，作,ABC ABD 外心作所在面的垂线得球心，求出球半径可得球表面积，从而判断D ． 【详解】由题意可知，对于选项A ，若AB CD ⊥，可取AB 的中点为点E ，由ABC 是正三角形，可得CE AB ⊥，CDCE C =，,CD CE ⊂平面CDE ，由AB ⊥平面CDE ，而DE ⊂平面CDE ，则DE AB ⊥，则ABD 是正三角形，已知中ABD 不一定是正三角形，所以选项A 错误；对于选项B ，60ADB ∠=︒，D 点在以AB 为弦的圆弧上，点D 对,A B 的张角为60︒，D 到AB 的距离最大值为3（此时ABD △为正三角形），四面体ABCD 的体积13ABC V S DF =⋅△（DF 为三棱锥D ABC -的高），高DF 最大时，D 到边AB 的距离最大（因为二面角D AB C --固定不变），ABD △为正三角形，DEC ∠为二面角D AB C --的平面角，大小为60︒，此时33sin 602DF =⨯︒=，体积达到最大值，且113333322ABC V S DF =⋅≤⋅⋅=△，所以选项B 正确； 由选项B 可知，同样由对称性．当高DF 最大时(或ABD △为正三角形时)，此时CD 最小，333cos 602CF =-⨯︒=，22min 33322CD ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，ABD △和ABC 都是正三角形，M 是ABD △外心，可过点M 作MT ⊥平面ABD ，F 是ABC 外心，过F 作FT ⊥平面ABC ，FT 与MT 交于点T ，则T 为D ABC -外接球球心，易知延长,DM CF 交于点E 为AB 中点，60MEF ∠=︒（二面角D AB C --的平面角）， 由上面所作线面垂直得,TF CE TM DE ⊥⊥，223333DM CF ==⨯=， 所以TM TF =，所以1302MET FET DEC ∠=∠=∠=︒， 132EF CF ==，331tan 30333TF EF =︒=⨯=， 所以222212313339R TC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则外接球的表面积为25249R ππ=，所以选项D 正确．故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间直线平面间垂直关系，考查四面体的体积与球的表面积，解题关键是确定四面体体积最大时，ABD △为正三角形，在此条件下求得四面体体积，线段长，外接球半径得球表面积．三、填空题13．若2sin15a =︒，4cos15b =︒，a 与b 的夹角为30°，则a b ⋅=___________. 3【分析】利用数量积定义及二倍角公式，即可得到结果.【详解】 ∵2sin15a =︒，4cos15b =︒，a 与b 的夹角为30°，∴8sin15cos15cos304sin 30cos302sin 60a b ⋅=︒︒︒=︒︒=︒=14．设8(21)x -280128a a x a x a x =++++，则128a a a +++=___________．【答案】0【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0128a a a a ++++的值，由此可计算出128a a a +++的值.【详解】 令0x =，所以()8011a -==，令1x =，所以2818011a a a a +++=+=，所以128110a a a +++=-=，故答案为：0.【点睛】 方法点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种处理二项展开式相关问题的比较常用的方法.对形如()()()2,,,nn ax b ax bx c a b c R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和、系数的绝对值之和等，可通过令0,1x =±求得相关式子的值，然后求解出结果. 15．设F 为抛物线2y x =的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则3AF BF +的最小值为__________．1 【分析】直线AB 方程与抛物线方程联立，根据抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可. 【详解】解：由抛物线的方程可得焦点1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知，显然直线AB 存在斜率，设直线AB 的方程为：14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立214y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，整理可得：2222110216k k x k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 12116x x =， 由抛物线的性质可得114AF x =+，214BF x =+，所以1231113x x AF BF =++≥=++，故答案为：12+． 【点睛】 关键点睛：利用抛物线的定义，结合基本不等式是解题的关键.16．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确有______.（将所有正确的序号填在横线上）①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 ②()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点④()f x 的值域为[]1,2-【答案】②③【分析】利用特殊值法可判断①；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断②；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断③④.【详解】对于①，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故①错误；对于②，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故②正确；对于③④，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=-- ()cos x x f x -=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由②可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min 1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，且函数()f x 的值域为⎡-⎣，故③正确，④错误.故答案为：②③.【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）。

专题08：临考强化新高考数学小题综合限时提分专练（解析版）一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，集合{}2,xB y y x A ==∈，则AB =（ ）A ．∅B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．11,0,,1,2,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C 【分析】根据指数函数性质确定集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】由题意1{,1,2,4}2B =，所以{1,2}A B =．故选：C ．2．设a R ∈且0a ≠，若复数3(1)ai +是实数，则2a =（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．2【答案】C 【分析】对给定式子进行运算，利用复数为0的充要条件求解即得. 【详解】因为()23323(1)133()()133ai ai ai ai a a a i +=+++=-+-， 所以330a a -=，又0a ≠，所以23a =. 故选：C3．在等比数列{}n a 中，2651116a a a a +=，则39a a 的最大值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【分析】根据等比数列性质可求得3948a a a a =及224816a a +=，利用基本不等式可求得48a a 的最大值，即为所求结果. 【详解】由等比数列性质知：3948a a a a =，22265114848162a a a a a a a a +=+=≥（当且仅当48a a =时取等号），488a a ∴≤，398a a ∴≤，即39a a 的最大值为8.故选：B.4．条件p ：2450x x --<是条件q ：2650x x ++>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分又非必要条件【答案】A 【分析】分别解不等式化简命题，利用充分不必要条件的定义求解即可． 【详解】p ：由2450x x --<，解得：15x -<<， q ：由2650x x ++>，解得：1x >-或5x <-， 由p q ⇒，而q 推不出p ，p ∴是q 的充分不必要条件，故选：A .5．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin cos 5αα+=，则tan α=（ ） A ．2- B ．2C ．211D ．211-【答案】A 【分析】对等式进行平方运算，用同角三角函数关系式中平方和关系进行代换，最后利用同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可. 【详解】22222224sin cos 4sin cos (2sin cos )4sin cos 4sin cos sin cos αααααααααααα+++=++==+224tan 14tan 9tan 15ααα++=+，所以211tan 20tan 40αα+-=，解得tan 2α或2tan 11α=，又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2α.故选：A6．2020年3月，中共中央国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段，贯穿家庭､学校､社会各方面，与德育､智育､体育､美育相融合，紧密结合经济社会发展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式”.贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分.已知甲､乙两人进行选课，则仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310D ．35【答案】D 【分析】求出两人各选2门课程的方法数，再计算仅有一门相同的方法数（方法是先选一门相同的课程，然后两人各选一门不相同的课程），由概率公式计算概率． 【详解】甲､乙两人进行选课的总方法数为2255100C C =，仅有一门相同的方法数为11154360C C C =，所求概率为6031005P ==． 故选：D ．7．如图所示，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()0,3A x 是抛物线上一点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，HF 交抛物线于点B ，且2HB BF =，则p =（ ）A ．2B 3C 2D ．1【答案】B 【分析】设(),B x y ，,32p H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2HB BF =化为坐标关系即可求解p 值． 【详解】解： 设(),B x y ，,32p H ⎛⎫-⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为2HB BF =，所以,32,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6p x =，1y =，所以126pp =⋅，所以p = 故选：B ．8．已知平面向量a 、b 、c ，若,3a b π=，4a =，231c a -=，则c 在b 方向上投影的最小值为（ ）A ．B ．31-C ．52D ．2【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，将各向量均转化为共起点O 的向量，由231c a -=知向量c 终点在圆上运动，过终点作向量b 所在直线的垂线，数形结合得到投影最小值. 【详解】不妨设(4,0)a OA ==，b OB =，c OC =，由231c a -=，可得3122c a -=，又3(6,0)2a =，故点C 在以(6,0)M 为圆心，12为半径的圆上运动.如图，由,3a b π=，不妨设b 在直线y =上，过点C 、M 分别作直线OB 的垂线，垂足为1C 、1M ， 则c 在b 方向上投影的最小值即为1OC ，即1115cos60222OM OM -=-=. 故选：C.【点睛】向量投影问题的处理通常有两个角度：一是利用数量积变形公式cos a b a bθ⋅=求解；二是利用投影的几何意义，作垂直辅助线，数形结合求解.二、多选题9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，48a =，则（ ） A ．226n S n n =- B ．23n S n n =-C ．48n a n =-D ．2n a n =【答案】AC 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式和求和公式可求得n a 和n S . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则314133038S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得144a d =-⎧⎨=⎩，()()1144148n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，()()211421262n n n dS na n n n n n -=+=-+-=-. 故选：AC. 【点睛】本题考查的等差数列的通项公式和前n 项和公式，一般要求出等差数列的首项和公差，考查运算求解能力，属于基础题.10．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【分析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断. 【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+， 所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确； 因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误. 故选：BD.11．当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ）A ．2xyx y≤+B ．114x y x y+≥+C ．11x y +D ．22334x y x y x y++≥【答案】ABD 【分析】利用基本不等式变形，判断ABC 选项，选项D 首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断. 【详解】对于A ，2xy x y =+x y =时取等号，正确. 对于B ，()1124y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号，正确.对于C ，211xy x y x y xy xy++=≥=，当且仅当x y =时取等号，错误. 对于D ，()()()()23322224x y x y x y xy xy x y ++=++-≥，当且仅当x y =时取等号，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式判断不等式，本题的关键选项是D ，需利用立方和公式，先化简再判断.12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC 【分析】对于选项AD 可以利用反证法分析得解；对于选项B 可以证明；对于选项C ，可以先找到截面再计算得解. 【详解】根据题意，假设直线D 1D 与直线AF 垂直，又1DD AE ⊥,,,AEAF A AE AF =⊂平面AEF ，所以1DD ⊥平面AEF ,所以1DD EF ⊥,又11//DD CC ,所以1CC EF ⊥,与4EFC π∠=矛盾，所以直线D 1D 与直线AF 不垂直，所以选项A 错误；因为A 1G ∥D 1F ，A 1G ⊄平面AEFD 1，1D F ⊂平面AEFD 1，所以A 1G ∥平面AEFD 1，故选项B 正确．平面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形AEFD 1，由题得该等腰梯形的上底22EF =下底12AD =5，所以梯形面积为98，故选项C 正确；假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故选项D 错误． 故选：BC ．【点睛】方法点睛：对于空间几何线面位置关系命题的判断，常用的方法有：（1）举反例；（2）直接证明；（3）反证法. 要根据已知条件灵活选择方法解答.三、填空题13．若实数x 、y 满足202300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为_____________．【答案】6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得最优解，将最优解代入目标函数即可得最值. 【详解】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知直线2z x y =-，即2y x z =-过点()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最大值为6.故答案为：6.14．孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用()10523n n +∈N 表示.试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是___________. 【答案】19 【分析】列举出被3除余1的整数有、被4除少1的整数、被5除余4的整数，从中找到同时满足条件的最小整数可得结果. 【详解】因为被3除余1的整数有：1,4,7,10,13,16,19,22,25,,被4除少1即被4除余3的整数有：3,7,11,16,19,23,27,,被5除余4的整数有：4,9,14,19,24,29,,所以这个数最小为19. 故答案为：1915．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．【答案】10【分析】根据题意设出三边，根据正弦定理，结合二倍角的正弦公式、余弦公式进行求解即可. 【详解】解：因为ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数， 设b x =，则2a x =-，2c x =+，又2C A =，则由正弦定理sin sin a cA C=，可得2222sin sin sin 22sin cos x x x x A C A A A -+++===， 解得2cos 24x A x +=-，由余弦定理可得222222(2)(2)8cos 22(2)24b c a x x x x A bc x x x +-++--+===++，所以282424x x x x ++=-+，解得10x =，所以10b =． 故答案为：10． 【点睛】关键点睛：根据角的关系由正弦定理转化为边的关系是解题的关键.16．若函数2()1x af x x +=+在(1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(,1]-∞- 【分析】函数在(1,)-+∞上单增，说明其导数在(1,)-+∞上大于等于0，恒成立，从而解得参数取值范围. 【详解】22222(1)()2()(1)(1)x x x a x x af x x x +-++-'==++，(1,)x ∈-+∞ ()f x 在(1,)-+∞上单增，等价于2()020f x x x a '≥⇔+-≥，在(1,)-+∞上恒成立，22y x x a =+-的对称轴为1x =-，则22y x x a =+-在(1,)-+∞上单增，则22120x x a a +-≥--≥ 即1a ≤-故答案为：(,1]-∞-【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调递增，则其导数在去上大于等于0，恒成立.试卷第11页，总11页。

小题限时训练(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·江西重点中学协作体第二次联考]已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝Error!，则A ∩B ＝( )A. B ．(0，＋∞)(0，12)C. D ．∅(12，1)2．[2018·全国卷Ⅰ]设z ＝＋2i ，则|z |＝( )1－i 1＋i A ．0 B.12C ．1 D.23．[2018·重庆七校联考]已知函数f (x )＝Error!，若f (f (－1))＝18，那么实数a 的值是( )A ．0 B ．1C ．2D ．34．[2018·山东日照联考]已知向量a ＝(－2，m )，b ＝，m ∈R ，则“a ⊥b ”是“m ＝(1，m 2)2”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2018·江南十校二模]已知a ＝40.4，b ＝－0.6，c ＝－log 4，则a ，b ，c 的大小(12)1222关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a6．[2018·河北景县月考]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．87．[2018·福建三明一中模拟]随机变量X 服从正态分布X ～N (10，σ2)，P (X >12)＝m ，P (8≤X ≤10)＝n ，则＋的最小值为( )2m 1n A ．3＋4 B ．6＋222C ．8＋2D ．6＋4228．[2018·河北衡水中学三轮测试]如图是正四面体的展开图，G ，H ，M ，N 分别是DE ，BE ，EF ，EC 的中点．在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．[2018·陕西吴起中学期中]已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确的是( )π6A ．φ＝5π6B.是f (x )图象的一个对称中心(π12，0)C ．f (φ)＝－2D ．x ＝－是f (x )图象的一条对称轴π610．[2018·河南中原名校预测金卷]已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．811．[2018·福建适应性练习]已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 为球心的球面上，且AB ⊥平面BCD ，BC ＝BD ＝2，AB ＝2CD ＝4，则球O 的表面积为( )3A ．16π B ．32πC ．60πD ．64π12．已知定义域为R 的函数f (x )＝Error!若关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x ＋x ＋x ＝( )21223A ．13 B.2b 2＋2b 2C ．5 D.3c 2＋2c 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·天津南开中学第五次月考]已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰为PB 的中点，则直线l 的斜率为________．14．[2018·山东威海第二次模拟]二项式5的展开式中各项系数的和为－1，则该(x ＋a x)展开式中系数最大的项为________．15．[2018·浙江大学附属中学模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知c －a cos B ＝，则角A 为________，若b －c ＝，a ＝2，则BC 边上的高为________．b 26316．[2018·名校联盟模拟]有一个数阵排列如下：1　2　3　4　5　6　7　8……2　4　6　8　10　12　14……4　8　12　16　20……8　16　24　32……16　32　48　64……32　64　96……64……则第10行从左至右第10个数字为________．。

专题06：临考强化新高考数学小题综合限时提分专练（原卷版）一、单选题1．已知集合{|0lg 1}A x x =<<，集合2{|0}B x x x =-<，则A B =（ ）A ．∅B ．{|010}x x <<C ．{|0}x x >D ．{|110}x x <<2．在复平面内，复数12,z z 对应的点关于实轴对称，112z i =+，则12z z =（ ） A ．-5B ．5C ．1-4iD ．-1+4i3．已知a ，b 为实数，则“0a =”是“()2f x x a x b =++为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y 看成年份序号x （2012年作为第1年）的函数．运用Excel 软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的个数为（ ）①销售额y 与年份序号x 呈正相关关系； ②销售额y 与年份序号x 线性相关不显著；③三次函数回归曲线的效果好于回归直线的拟合效果；④根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知直线0()0ax by c abc ++=≠与圆221x y +=无交点，则三条边长分别为||a ，||b ，||c 的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在6．若3AB =，2AC CB =，平面内一点P 满足PA PC PB PC PAPB⋅⋅=，则sin PAB ∠的最大值是 （ ） A ．3B ．12C ．13D ．2237．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线C 的离心率为（ ）． A ．423+B ．31-C ．31+ D ．31+8．如图，长方形ABCD 中，15AB =，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C ．15112D ．518二、多选题9．已知直线:0l kx y +=与圆22:2210M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切C ．当1k =-时，直线l 与圆M 的相交弦最长D ．圆心M 到直线l 的距离的最大值为210．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗11．已知数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ） A ．数列{}n n a b 是等比数列B ．数列{}n n a b +是等比数列C ．数列lg n n b a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等差数列D ．数列(){}22lg n a b n是等差数列12．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC △，AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角ABC 内的一点，,,A B C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则（ ）A ．O 为ABC 的垂心B ．AOBC π∠=-C ．:sin :si n :n :si O A A OB O CC B =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC三、填空题13．在()()8911x x +-的展开式中，4x 项的系数为________（结果用数值表示） 14．如图，1111A B C D 是以ABCD 为底面的长方体的一个斜截面，其中4AB =，3BC =，115AA DD ==，118BB CC ==，则该几何体的体积为___________.15．已知,(0,),x y a R ∈+∞∈，若22(sin 1)(32sin )2x y x y αα-+++-=，则3x y+的最小值为______.16．设0a >，函数()1af x x x=--在定义域上有两个零点m ，n ，函数()ln 1a xg x x x=-+有两个零点p ，q ，e 为自然对数的底数，若m p n q <<<，则实数a 的取值范围是___________.。

专题02：临考强化理科数学小题综合限时提分专练〔原卷版〕一、单项选择题1．集合{}2A x x =>，{}0,1,2,3,4B =，那么AB =〔 〕 A ．{}3,4B ．{}0,3,4C ．{}0,1,2D ．{}0 2．2i 12i -=+〔 〕 A ．1B ．−1C ．iD ．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，那么不同的安排方法共有〔 〕A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．设a ∈R ，那么“1a >〞是“2a a >〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数241x y x =+的图象大致为〔 〕 A ． B ． C ． D ． 6．假设棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为〔 〕A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 7．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么,,a b c 的大小关系为〔 〕 A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 8．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．假设C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，那么双曲线C 的方程为〔 〕A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=9．函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出以下结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是〔 〕A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 10．函数()21x f x x =--，那么不等式()0f x >的解集是〔 〕．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，那么数列{}n T 〔 〕．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项12．函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩假设函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，那么k 的取值范围是〔 〕A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞二、填空题13．函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 14．0,0a b >>，且1ab =，那么11822a b a b+++的最小值为_________． 15．设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，那么2cos θ的最小值为_______．16．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如以下图所示.给出以下四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．。

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．已知可逆矩阵273a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A的逆矩阵27ba--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1A，则a b+= .2．行列式cos sin66sin cos66ππππ的值是 0.5 。

评卷人得分二、解答题3．（本题满分10分）已知矩阵123aA⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值是1-，求矩阵A的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量。

4．（本小题满分14分）已知二阶矩阵M属于特征值－1的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 及其逆矩阵1-M ．5．已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．6．给定矩阵M=⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－13 23，N=⎣⎡⎦⎤2112及向量e1=⎣⎡⎦⎤11，e 1=⎣⎡⎦⎤1－1. (1)证明M 和N 互为逆矩阵； (2)证明e 1和e 1都是M 的特征向量．7．已知矩阵2112,.0112-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B (Ⅰ)计算AB ；(Ⅱ) 若矩阵B 把直线l ：x y ++2=0变为直线l '，求直线l '的方程．1．（矩阵与变换选做题）8．试求曲线x y s in =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．8；2．考查行列式运算法则= 评卷人得分二、解答题3． 解：矩阵123a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式是()(1)(3)2f a λλλ=---， 由(1)0f -=得4a =，令()0f λ=，则1λ=-或5λ=，解方程组⎧⎨⎩(51)402(53)0x y x y --=-+-=可得一组不为零的解是⎧⎨⎩11x y ==所以矩阵A 的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ．4． 解：M=1120⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………7分 1M -=121201⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.……………7分 5．设A =NM，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………………………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴21()22x y-=，即218y x =．………………………………10分6．(1)因为MN =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，NM =⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10， 所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3131=31⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11， 所以e 1和e 2是M的特征向量．………………………………………………………10分7． (Ⅰ)AB = 2314-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； ………………………………3分 (Ⅱ) 任取直线l 上一点P （x ，y ）经矩阵B 变换后为点(),P x y '''， ……………4分则12201x x x y y y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………6分 2,,x x y y y '=-⎧∴⎨'=⎩∴2,.x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩……………………………8分代入x y ++2=0得：220,x y y '''+++=∴320,x y ''++=∴直线l '的方程为320x y ++=． ………………………………10分8．MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分即在矩阵MN 变换下⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤=⎢⎣⎡⎥⎦⎤''''→⎢⎣⎡⎥⎦⎤y x y x y x 221…………………………………………6分即曲线x y s in =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分。