安徽大学2010—2011学年第 一 学期
《 量子力学 》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准
一、简答题（每小题5分，共10分）
1. 二电子体系中，总自旋 21s s S += ，写出（z S S ,2
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
解：（2
,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为
]00(1)(2)(1)(2)χαββα=
- 自旋三重态为
]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)
χααχαββαχββ-=⎧⎪
⎪
=+⎨⎪
⎪=⎩
2. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为)12(+j 条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
二、填空题（每小题5分，共30分）
3. 一粒子的波函数()()z y x r ,,ψψ=
，则粒子位于dx x x +~间的几率为()⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ。
4. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨
⎧><∞<<=a
x x a
x x V 2,0,
20,
0)(中运动，其状态波函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤<<=a
x x a x a
x
n a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ，能级表达式为 ,3,2,1,82
2
22==n a
n E n μπ。
5. 粒子在一维δ势阱)0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，则)(x ψ'的跃变条件为
)0(2)0()0(2ψγ
ψψ
m -
='-'-+。若势阱改为势垒()()(0)V x x γδγ=>，则)(x ψ'的跃变条件为
2
2(0)(0)(0)m γ
ψψ+-''-=
。 6. 给出如下对易关系：
[],0,,,2,y z z y x z
y z x
x p z p i y L i x
i L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦
7. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2,2,,
r r s r z ψψψ，则表示电子自旋向上、位置在r
处的几率密度表达式为
()22/, r ψ，表示电子自旋向下的几率的表达式为()
2
32/,⎰-
r r d ψ。
8. 一维谐振子升、降算符a a 、+
的对易关系式为[,]1a a +
=；粒子数算符N 与a a 、+
的关系是N a a +
=；哈密顿量H 用N 或a a 、+
表示的式子是1122H a a N +
⎛⎫⎛⎫
=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
；N （亦即H ）的归一化本征态为0)(!
1
n a n n +=
。 三、证明题（每小题8分，共16分）
9. 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下， 0=t
d A
d 。
证：设束缚定态为ψ ，即有
ψψE H =，
ψψE H = ，
[
]t
A H A i t d A d ∂∂+=ψψ,1
。 因A 不显含时间t ，所以
0=∂∂t
A
，因而
[
]()ψψψψHA AH i H A i t d A d -==
1
,1 (
)()[
][]011
=-=-=
ψψψψψψψψA E A E i HA AH i
。 10. 已知L 、s 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，s L J +=为电子的总角动量。()z 2
J J L , ，2的
共同本征态为j m j l φ。证明j m j l φ是L s
⋅的本征态，并就21+=l j 和21-=l j 两种情况分别求出其相应的本征值。
解： L s L L s s L J
⋅++=⋅++=24322
22
2
2
()
432
1222
--=⋅L J L s
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=--=⋅)0(21,)1(2
21,2
43)1()1(243212
2
22
22l l j l l j l l l j j L J L s j j j
j j m j l m j l m j l m j l m j l φφφφφ 四、计算题
11. 一维运动中，哈密顿量 )(22
x V m
p H +=，求[][]?,?
,==H p H x （8分）
解： [][]
dx d m m p i p i m
p x m H x 22
==2⋅21=21= ,,，
[][])()(,,x V dx
d
i x V p H p
-==。 12. 一个质量为m 的粒子在势)(x V 作用下作一维运动。假定它处在22
2E m
α= 的能量本征态
221/4
2
2
()x x e
ααψπ-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
① 求粒子的平均位置； ② 求粒子的平均动量；
③ 求)(x V ； ④ 求粒子的动量在dp p p +→间的几率。（12分）
解：①
22
1/2
2*
()()0x x x x x dx x e dx ααψψπ+∞+∞
--∞-∞⎛⎫=== ⎪
⎝⎭⎰⎰。
②
22
221/222
20x x d p e
i e dx dx αααπ+∞
---∞
⎛⎫
⎛⎫=-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
⎰ 。 ③ 由S.eq ： )()()(22
22x E x x V dx d m ψψ=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+- ， （1） 而 22
22
22
2422
2()x x d e
x e dx
αα
αα--=-+ ， （2）
注意到 2
22E m α=
， （3）
将式（2）、（3）代入（1），可解得
