第2章平面向量
章末复习
学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量运算法则(或几何意义)坐标运算
向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相
同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相
反；当λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx1，λy1)
向量的数量积运算a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规
定0·a＝0，
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上
的投影的积
a·b＝x1x2＋y1y2
2．两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，
有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)向量共线定理
如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直
a ，
b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
a ∥
b 有唯一实数λ使得
b ＝λa (a ≠0) x 1y 2－x 2y 1＝0 a ⊥b
a ·
b ＝0
x 1x 2＋y 1y 2＝0
1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．
2．若向量AB →和向量CD →
共线，则A ，B ，C ，D 四点在同一直线上．( × ) 提示 也可能AB ∥CD .
3．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( × )
4．若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 提示 当a ，b 同向共线时，a·b >0，但a 和b 的夹角为0.当a ，b 反向共线时，a·b <0，但a 和b 的夹角为π.
类型一 向量的线性运算
例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →
，则实数m 的
值为________．
答案
3
11
解析 设BP →＝λBN →
，
则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →
＝(m －1)AB →＋211AC →
.
BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14
AC →.
∵BP →与BN →
共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311
.
反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．
跟踪训练1 如图，在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23
BE →
，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．
解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.
BD →
＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23
(BC →
＋CE →
)＝BC →＋23
CE →
⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →
⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13
CA →
.
所以当点D 为AC 的三等分点⎝
⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，
BD →
＝13BC →＋23
BE →
.
类型二 向量的数量积运算
例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；
(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小． 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2
＝3(a －k b )2
，
∴k 2a 2
＋2k a ·b ＋b 2
＝3a 2
－6k a ·b ＋3k 2b 2
. ∴(k 2
－3)a 2
＋8k a ·b ＋(1－3k 2
)b 2
＝0.
∵|a |＝cos 2
α＋sin 2
α＝1，|b |＝cos 2
β＋sin 2
β＝1，
∴k 2
－3＋8k a ·b ＋1－3k 2
＝0， ∴a ·b ＝2k 2
＋28k ＝k 2
＋1
4k
.
(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k ＋1k .
由对勾函数的单调性可知，f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫
k ＋1k 在(0，1]上单调减，在[1，＋∞)上单调增，
∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝1
2
，
此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝1
2
，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.
反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
a ∥
b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 2
1＋y 2
1. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21 x 22＋y 2
2
. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值． 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →
＝(6，－3)， OC →
＝(5－m ，－(3＋m ))，
∴AB →＝(3，1)，BC →
＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →
不平行，
∴－3m ≠－m －1，解得m ≠1
2，
∴当实数m ≠1
2
时满足条件．
(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →
＝(2－m ，1－m )，
