高二数学下学期第一次周考试题 文

深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A ．9B ．8C ．6D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A ．6B ．7C ．8D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )A. 20B. 21C. 22D. 234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．115 B ．715 C ．815 D ．14155．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为( )A ． 30B ．36C ．360D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )A ．256B ． 258C ．260D ．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省六安第二中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知抛物线的准线是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（）A ．24y x=B ．24y x =-C ．24x y=D ．24x y=-2．若椭圆2214x y m +=的一个焦点为(0,1)-，则m 的值为（）A ．5B ．3C ．4D ．23．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣4．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=6．设12,e e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅= ，则2212212()e e e e +的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．不确定7．直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN =2132二、多选题9．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或-3C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e ，2e ，则下列结论正确的是（）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．2112e e +=D ．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁11．已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（）A ．若直线y kx =与双曲线C 无交点，则2k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为212．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列说法一定正确的是（）A ．AB 的最小值为2B ．线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切C ．12x x 为定值D ．若(1,0)M -，则AMF BMF∠=∠三、填空题13．抛物线26y x =-的焦点坐标为__________．14．直线y x b =+与曲线x =则b 的取值范围是__________．15．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点，若A ，B 两点在双曲线的左支上，则实数a 的取值范围是__________．16．若点P 在椭圆C 1：22x ＋y 2＝1上，C 1的右焦点为F ，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋10x －8y ＋39＝0上，则PQ PF -的最小值为__________．四、解答题17．已知圆22:410C x y y +-+=，点()11M --，.(1)若过点M 的直线l 与圆交于A ，B 两点，若AB =l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，记切点为T ，若满足PT ＝PM ，求使PT 取得最小值时点P 的坐标．18．已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.19．已知抛物线C 的方程为28x y =，点)(0,4M ，过点M 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)2211AMBM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；(2)若点Q 是直线:4l y =-上的动点，且OQ AB ⊥，求ABQ 面积的最小值20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)求证：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．21．如图，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =;(3)是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.【详解】将两圆2240x y +-=、2230x y y ++-=的方程相减得：1y =-，显然圆2240x y +-=的圆心(0,0)到直线1y =-距离1小于其半径2，圆2230x y y ++-=的圆心1(0,)2-到直线1y =-距离12小于其半径2，因此直线1y =-是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，所以抛物线的标准方程为：24x y =.故选：C 2．B【分析】由题意判断椭圆焦点在y 轴上，则4=+1m ，解方程即可确定m 的值.【详解】有题意知：焦点在y 轴上，则2224,,1a b m c ===，从而4=+1m ，解得：=3m .故选：B.3．A【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4．D【分析】设过右焦点F)y x c =-，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得a b ，的关系，由此求双曲线的离心率取值范围.【详解】设过右焦点F)y x c t =-+，联立方程组22221)x y a b y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简可得22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=，方程22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=的判别式4222222224=364(3)(3)160a c b a a c a b a b ∆+-+=>，设方程的解为12x x ，，∵直线与双曲线的左右支各有一个交点，∴120x x ⋅<，∴222222303a c a b b a --<-，∴2240c a ->，∴双曲线的离心率2e >，即双曲线的离心率取值范围是(2,)+∞.故选：D.5．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d =>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP ，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6．C【分析】设它们共同的焦距为2c ，椭圆的长轴长12a ，双曲线的实轴长为22a ，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理建立关于12,,a a c 的方程，联立解得可得222122a a c +=,再根据离心率的定义化简整理可得到()2212212e e e e +的值.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，P 为两曲线的一个公共点，则1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，平方相加得2222121222PF PF a a +=+，又1212,0PF PF PF PF ⋅∴⊥=，22222221212124,2PF PF F F c a a c ∴+==∴+=，2212222a a c c∴+=，即221222*********e e e e e e ++==.故选：C.7．B【分析】分类讨论，0x ≥和0x <，分别解方程组得解了和个数，也即得交点个数．【详解】解：若0x ，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得225720x x -=，解得0x =或72x 25=，均满足题意，所以直线与半椭圆有两个交点；若0x <，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得225720x x +=，解得7225x =-，满足题意，所以直线与半双曲线有一个交点．综上所述，直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为3个．故选：B ．8．B【分析】由题意可得直线PF的方程为)2y x =-，再将直线的方程与抛物线28y x =的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN 的长．【详解】抛物线C ：28y x =的焦点为F (2,0)，准线为:2l x =-．如下图．设()()1122,,,,,M x y N x y M N 到准线的距离分别为,M N d d ，由抛物线的定义可知122,2M N MF d x NF d x ==+==+，于是124MN MF NF x x =+=++．作MH ⊥l 于H ，∵3PF MF = ，∴22PM MF MH ==，∴60PMH ∠︒=，根据对称性可得直线AB的斜率为∴直线PF的方程为)2y x =-.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2320120x x -+=，∴12203x x +=．于是1220324433MN x x =++=+=．故选B ．【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．9．ACD【分析】将直线化为(2)310a x y y -+-=可判断A ；将1a =或-3代入直线方程可判断B ；根据12120A A B B +=可判断C ；将直线化为11y x a=-+，即可求解.【详解】2l ：(2)310a x y y -+-=过点21,33⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确；1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．ABC【解析】由122a a =，12222c a c c =+>，得出A 正确；由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到B 正确；由122a a =，122c a c =+，得出离心率判断C 正确；求出12e e >，判断D 错误．【详解】解：对于A 、由122a a =，12222c a c c =+>，所以11222()a c a c +>+，所以选项A 正确；对于B 、由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到：1122a c a c -=-，所以选项B 正确；对于C 、由122a a =，122c a c =+，得2122212122c c a c a a a ++==，即2112e e +=，所以选项C 正确；对于D 、根据选项C 知，122212e e e =+>，所以12e e >，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项D 错误．故选：ABC ．11．BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A ；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B ；设点(),P x y ，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C ；求出,PA PB 的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.【详解】对A，双曲线的渐近线方程为2y x =±，若直线y kx =与双曲线C无交点，则k ≥.A 错误；对B ，由A渐近线方程为0x ±=，焦点为()±，则焦点到渐近线的距离2d =.B 正确；对C ，设点(),P x y ，则222212884x y x y -=⇒-=，点P 到两条渐近线的距离之积为222833x y -.C正确；对D，易得()(),A B -，由C 点(),P xy 满足(22418x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，所以直线,PAPB的斜率之积为22224181882x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===---.D 错误.故选：BC.12．BCD【分析】根据抛物线焦点弦的性质即可结合选项逐一判断.【详解】对A ，抛物线2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为=1x -，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值24p =，故A不正确；对B ，如图，设线段AB 的中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线的定义可知11AA AF BB BF ==，，所以11112()12DD AA BB AB ==+,所以以线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切，故B 正确；对C ，设AB 所在的方程为1x ny =+，由21,4x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ny --=，所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；对D ，由C 得124y y n +=，()()()()()12121212121222880111111AM BM ny y y y y y n n k k x x x x x x ++-++=+===++++++，故D 正确．故选:BCD13．10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.【详解】由26y x =-，得216x y =-，故抛物线的焦点坐标为10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭14．11b -<≤或b =.【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =可得221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故答案为：11b -<≤或b =【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.15a <<【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】由221,31,y ax x y =+⎧⎨-=⎩得()223220a x ax ---=，方程在⎛-∞ ⎝⎭有两个不相等的负实根，所以(()()2222122212230Δ48(3)003333660,3333a a a a x x a a x x a ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎛⎪++=> ⎪⎨ ⎪-⎪⎝⎭⎝⎭⎪--⎪+++=<⎪-⎩,a <<.a <16．2【分析】根据椭圆的定义得222PE PF a +==，结合圆的性质以及四点共线即可求解最小值.【详解】记椭圆C 1：22x ＋y 2＝1的左焦点为E (－1,0)，右焦点F (1,0)，由椭圆的定义可得，222PE PF a +==，所以22PQ PF PQ PE -=+-，由22108390x y x y ++-+=，得()()22542x y ++-=，即圆C 2的圆心为()5,4-，半径为2r =，作出图形如图所示，由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，22PQ PF PQ PE -=+-223322PC PE EC ≥+-≥-＝22(51)4-++32-＝42－32＝2(当且仅当C 2，Q ，P ，E 四点共线时，等号成立)，所以PQ PF -的最小值为2.故答案为：217．(1)=1x -或4310x y -+=.(2)131,2020⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的弦长求解，即可根据直线有无斜率讨论求解，（2）根据两点间距离公式可得点P 轨迹，根据点到直线的距离即可求解最小值，联立方程即可求解交点坐标.【详解】（1）圆C 的标准方程为()223=2x y +-，圆心为()02，，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，此时AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1=1y k x ++，即10kx y k -+-=，.∵AB =，∴圆心C 到直线l 的距离d＝1，∴d＝1，解得k ＝43，则直线l 的方程为4310x y -+=，∴所求直线l 的方程为=1x -或4310x y -+=.（2）设()00P ,x y ,PT=∵PT PM =，∴，化简得002610x y ++=，∴点()00,P x y 在直线2610x y ++=.当PT 取得最小值时，即PM 取得最小值，即为点()1,1M --到直线2610x y ++=的距离，此时直线PM 垂直于直线2610x y ++=，∴直线PM 的方程为6240x y -+=，即320x y -+=.由2610,320,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得13,201,20x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 的坐标为(－1320，120).18．（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M 计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x ，又因为双曲线过点M ，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m+=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.19．(1)是定值，116；【分析】（1）由题意设出AB 所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得2211||||AM BM +为定值116；（2）当AB 的斜率为0时，求得三角形ABQ的面积为AB 的斜率不为0时，由弦长公式求解||AB ，再由点到直线的距离公式求Q 到AB 的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形ABQ的面积大于ABQ 面积的最小值．【详解】（1）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为4y kx =+，联立抛物线C 的方程可得28320x kx --=，设)(11,A x y ，)(22,B x y ，则128x x k +=，1232x x =-，所以1AM =，2BM =，所以)()(22222212111111k x k x AM BM +=+++)()()()()(22121222221264121161321k x x x x k k x x ++-==++，所以2211AM BM +是定值116；（2）当直线AB 的斜率为0时，)(0,4Q -，又)(A，)(B -，此时182ABQ S =⨯=△．当直线AB 的斜率不力0时，12AB x =-==，又因为OQ AB ⊥，且直线AB 的斜率不为0，所以1:OQ y x k=-，即)(4,4Q k -，所以点Q 到直线AB的距离d =，此时111622ABQ S AB OQ ==⋅ 因为)(3228k +>，所以，综上，ABQ 面积的最小值为．20．(1)y 2＝4x(2)证明见解析【分析】（1）由焦点坐标得焦参数p ，从而得抛物线方程；（2）直线垂直于x 轴时直接求出面积比，直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得12x x ，然后计算面积比可得．【详解】（1）由焦点坐标可知，2p ＝1，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .（2）证明：当直线垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似，所以ABO MNO S S !!＝(2OF )2＝14.当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以ABO MNO S S !!＝1sin 21sin 2AO BO AOB MO NO MON ⋅⋅∠⋅⋅∠＝AO BO MO NO ⋅⋅＝12x ·22x ＝14，综上，ABO MNO S S !!＝14.21．(1)28x ＋24y ＝1，24x －24y ＝1；(2)证明见解析；(3)存在，8.【分析】（1）由题可得a 、c ，再根据222a b c =+，即可求出椭圆方程，由双曲线的离心率，设双曲线方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，由顶点坐标求出m ，即可求出双曲线方程；（2）设()00,P x y ，即可表示1k ，2k ，再根据P 在双曲线上，即可得到22004x y -=，从而得解；（3）设直线1PF 的方程为1(1)y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由弦长公式表示出||AB ，再设直线2PF 的方程为2(1)y k x =-，即可得到CD ，则11||||AB CD λ=+代入计算可得；【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：2c a =，由椭圆定义知)2241a c +=，所以2c =，a =222a b c =+，因此24b =，故椭圆的标准方程为228:14x y M +=，由题意知双曲线为等轴双曲线，设其标准方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，因为双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2m c ==，因此双曲线的标准方程为22:144x y N -=；（2）设()00,P x y ，由于1(2,0)F -，2(2,0)F ，则0102y k x =+，0202y k x =-，因为点P 在双曲线22:144x y N -=上，所以22004x y -=，因此20001220001224y y y k k x x x =⋅==+--，即121k k =为定值；（3）由于直线1PF ､2PF 斜率一定存在，设直线1PF 的方程为1(2)y k x =+联立122(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222111128880k x k x k +++-=，由于()213210k ∆=+>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有211221812k x x k -+=+，2112218812k x x k -=+，则由弦长公式||AB ==，化简得)21211||12k AB k +=+即21||AB =直线2PF 的方程为()22y k x =-，同理可得21||CD =由于121k k =，可得)()2212121||81k CD k +=+，所以)())())()2221112221111223311||||8181881k k k AB CD k k k λ+++=+=+==+++，综上，存在常数8λ=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立.。

2021-2022学年河南省灵宝市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．复数）z A ．-1B ．1C ．D ．i -i【答案】A【分析】利用复数模长与四则运算进行计算即可.【详解】，所以虚部为-1.()()()21i 1i 1i 1i z -==-+-故选：A2．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）(,)x y (3,10)D A ．相关系数r 变大B ．相关指数变大2R C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】C【分析】去掉离群点D 后，结合散点图对各个选项进行判断得解.【详解】解：由散点图知，去掉离群点D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r 的值变大，故选项A 正确；相关指数的值变大，残差平方和变小，故选项B 正确，选项C 错误；2R 解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，故选项D 正确.故选：C ．3．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题332p q +=2p q +≤2p q +>②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是24x =2x =-2x =2x ≠-2x ≠A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确【答案】C【详解】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①的命题否定为，故①的假设正确.2p q +≤2p q +>或”的否定应是“且”② 的假设错误，2x =-2x =2x ≠-2x ≠所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.4．关于下面几种推理，说法错误的是（ ）A ．“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理B ．演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论不一定正确C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理D ．“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”这是演22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=绎推理【答案】B【分析】根据归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念逐个判断可得结果.【详解】对于，“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理，说法正确；A 对于，演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确，所以说法错误；B 对于，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理，说法正确；C 对于，“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”D 22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=这是演绎推理，说法正确.故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念，属于基础题.5．在平面内，点到直线的距离公式为()00,x y 0Ax By C ++=d 可求得在空间中，点到平面的距离为（ ）()2,1,2210x y z ++-=A ．BCD ．3【答案】B【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=d所以点到平面的距离为.()2,1,2210x y z ++-=d 故选B【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．下列使用类比推理正确的是A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若，则”类比推出“若，则”12x x+=2212x x +=2212x x -=C ．“实数，，满足运算”类比推出“平面向量满足运算”a ()()abc a bc =,,a b c ()()a b c a b c ⋅=⋅ D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”【答案】D【分析】根据类比结果进行判断选择.【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A 错；因为“若，则”，所以B 错；12x x -=22112x x x =-≠因为，所以C 错；()()a b c a b c ⋅≠⋅ 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以正确.选D.D 【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在数学课堂上，张老师给出一个定义在上的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这R ()f x 个函数的一条性质：甲：在上函数单调递减；(],0-∞()f x 乙：在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 丙：函数的图像关于直线对称；()f x 1x =丁：不是函数的最小值.()0f ()f x 张老师说：你们四位同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】采用反证法判断.【详解】假设甲，乙正确，则丙，丁错误，与题意矛盾所以甲，乙中必有一个错误假设甲错误乙正确，则在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 而函数的图像不可能关于直线对称，则丙错误，与题意矛盾；()f x 1x =所以甲正确乙错误；故选：B8．已知下列命题：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆybx a =+(),x y ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程 中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；20.5ˆyx =-ˆy ⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表2R x y 2R 示回归效果越好；⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度X Y 2K k k X Y 越大．⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好. 则正确命题的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；相关指数R 2的大小，可判断⑤；由的随机变量K 2的观测值k 的大小可判断⑥；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断⑦．【详解】对于①，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故①y b x a ∧∧∧=+x y ，错误；对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，故②错误；对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；对于④，在回归直线方程2﹣0.5x 中，当解释变量x 每增加一个单位时，y ∧=预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；y ∧对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R 2表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；对于⑥，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故⑥错误；对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．其中正确个数为4．故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．9．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N 个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中100m,N m *=∈N 40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N 的最小值为（ ）附，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A ．400B ．300C ．200D ．100【答案】B【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，22⨯2K m 求解即可.【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：50m 喜欢不喜欢总计男30m 20m 50m 女20m 30m 50m 总计50m50m100m，()22224100900400=450505050m m m K mm -=⨯⨯⨯有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，，解得，410.828m ∴> 2.707m >，m *∈N ，3m ∴≥.min 300N ∴=故选：B10．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）C z ∈1,z i i -=35z i--A ．B ．C ．D ．5678【答案】B【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.35z i--(3,5)A 35z i--【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆.表示圆C 上的点到的距离，|35|z i -- (3,5)A 的最大值是，|35|z i ∴--||516CA r +=+=故选B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（ ）1C 2C 3C 4C 4C A ．B ．C ．D ．1289649642712827【答案】B【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.{}n C 13C =43【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，131111433n n n n C C C C ---=+=所以为首项为，公比为的等比数列，{}n C 13C =43.34464339C ⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭故选：B.12．如图，“大衍数列”：、、、、来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，024812主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（ ）n 8m =S =A ．B ．C ．D ．4468100140【答案】C【分析】写出程序运行的每一步，即可得出输出结果.【详解】第1次运行， ，不符合 ，继续运行；211,0,0002n n a S -====+=n m ≥第2次运行，，不符合 ，继续运行；22,2,0222n n a S ====+=n m ≥第3次运行，，不符合 ，继续运行；213,4,4262n n a S -====+=n m ≥第4次运行，，不符合，继续运行；24,8,86142n n a S ====+=n m ≥第5次运行，，不符合 ，继续运行；215,12,1412262n n a S -====+=n m ≥第6次运行，，不符合 ，继续运行；26,18,2618442n n a S ====+=n m ≥第7次运行，，不符合 ，继续运行；217,24,2444682n n a S -====+=n m ≥第8次运行，，符合 ，退出运行，输出.28,32,68321002n n a S ====+=n m ≥100S =故选：C.二、填空题13．已知复数的对应点在复平面的第二象限，则||的取值范围是(2)(1)i()z a a a R =-++∈1i a +________．【答案】【分析】根据的几何意义，得的复平面内对应的点，列出不等式组求得，再(2,1)a a -+1a 2-<<结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数在复平面内对应的点，(2)(1)i()z a a a R =-++∈(2,1)a a -+因为该点位于第二象限，所以，解得，2010a a -<⎧⎨+>⎩1a 2-<<所以.|1i|a ⎡+=⎣故答案为：.14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．【答案】乙【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满..足题意，不满足排除．【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，.如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是()1错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙().2说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．.故答案为乙．【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．15．有下列一组不等式：，根据111111111111111111,,,,3424562567826789102+>++>+++>++++> 这一规律，若第2020个不等式为，则__________．11111122m m m n ++++>++ m n +=【答案】6064【分析】由归纳推理得：第个不等式为：，若第2020个不等式为k 111123222k k k ++⋯+>+++，所以，，即可得解．11111122m m m n +++⋯+>++2022m =4042n =【详解】解：因为由，，，，，根据这一111342+>11114562++>1111156782+++>1111116789102++++>⋯规律，则第个不等式为：，k 111123222k k k ++⋯+>+++若第2020个不等式为，11111122m m m n +++⋯+>++即，，22022m k =+=224042n k =+=所以，，2022m =4042n =即，202240426064m m +=+=故答案为：．6064【点睛】本题考查了归纳推理，属于基础题．16．已知变量y 关于x 的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测y 值可能为2e kx y +=8x =___________.x 23456y1.5e 4.5e 5.5e 6.5e 7e 【答案】8e【分析】由已知回归方程取对数并令，得线性回归方程，根据线性回归直线过中ln z y =2z kx =+心点求得值，然后代入可得预测值．k 8x =【详解】由得：，令，即，2ekx y +=ln 2y kx =+ln z y =2z kx =+因为，2345645x ++++==，1.5 4.5 5.5 6.57ln e ln e ln e ln e ln e 1.5 4.5 5.5 6.57555z ++++++++===将点代入直线方程中，即可得：，(4,5)2z kx =+0.75k =所以回归方程为， 0.752e +=x y 若，则.8x = 0.75828ee ⨯+==y 故答案为：．8e 三、解答题17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，xOy C 22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θ轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.xl cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；l C （2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为，求的值.l C ,M N P ()0,2-22||||PM PN +【答案】（1）曲线：，直线：；（2）.C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=32【分析】（1）利用公式消除参数，可得曲线的方程，再利用直角坐标与极坐标22sin cos 1θθ+=θC 的转化公式求得直线的方程；l （2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）曲线：，直线：C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=（2）设：(为参数)l 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 将的参数方程代入,l 22(2)(1)4x y -+-=得,222)(3)4-+-+=,290t -+=故,12t t +=129t t =,22222121212()2501832PM PN t t t t t t +=+=+-=-=故.2232PM PN +=【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2ρcos ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，sin ρθθ从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.18．设实部为正数的复数，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限z ()12i z +的角平分线上.（1）求复数；z （2）若为纯虚数，求实数的值.()i1i m z m R -+∈+m 【答案】（1）；（2）.3i z =-5-【分析】（1）根据待定系数法求解，设且，由题意得到关于的方程组求i(,z a b a b R =+∈0)a >,a b 解即可．（2）根据纯虚数的定义求解即可．【详解】（1）设，，，由题意：①i z a b =+,a b R ∈0a >2210a b +=，得②()()()()12i 12i i 22i z a b a b a b +=++=-++22a b a b -=+①②联立，解得，得.3a =1b =-3i z =-（2），()()i 1i i113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭所以且，解得.1302m -+=1102m +-≠5m =-19．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行A 车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投x y 放量与年使用人次的散点图如图所示.x yx1234567y611213466101196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数lg =+y a b x 模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用(0,0)=⋅>>xy c d c d x人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；y y x （2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户2000.2每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？18000参考数据：其中，.lg ii v y =117nii v v ==∑y v71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.141.54253550.12 3.47参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆa y bx =-小二乘估计公式分别为.121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ 【答案】（1）适宜，；（2）年.xy c d =⋅0.25ˆ 3.4710x y =⨯6【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设x y c d =⋅xy c d =⋅lg lg lg y c x d =+，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结lg y v =lg lg v c x d =+v x ，果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.xy c d =⋅x y 由，两边同时取常用对数得.x y c d =⋅()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+设，则.lg y v =lg lg v c x d =+因为，，，，4x = 1.54v =721140ii x==∑7150.12==∑i ii x v所以.7172217lg 7==-==-∑∑i i i ii x v x vd xx250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯把代入，得，(4,1.54)lg lg =+v c x d lg 0.54c =所以，所以，ˆ0.540.25vx =+ˆlg 0.540.25y x =+则，0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y+⨯==故关于的回归方程为.y x 0.25ˆ 3.4710xy =⨯（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，80.2583.4710347⨯⨯=每年的收益为（千元），347(10.2)277.6⨯-=总投资千元，800020016000001600⨯==假设需要年开始盈利，则，即，n 277.61600⨯>n 5.76>n 故需要年才能开始盈利.620．已知圆有以下性质：222:C x y r +=①过圆上一点的圆的切线方程是.C ()00,M x y 200x x y y r +=②若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则()00,M x y C M C ,A B 垂直，即.OM AB 1AB OM K K ⋅=-（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明)；2222:1x y C a b +='()00,M x y （2）若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于2222:1x y C a b +='()00,M x y M 两点，求证：为定值.,A B AB OM K K ⋅【答案】（1）切线方程是；（2）见解析.00221x x y ya b +=【详解】分析：（1）根据类比推理可得结果；（2）设由（1）得过椭圆上点()()1122,,,A x y B x y 的切线的方程是，同理，又过两点的直线是唯一的，直()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=2020221x x y y a b +=,A B 线的方程是，，又，从而可得结果.AB 00221x x y y a b +=2020AB b x k a y =-00OM y k x =详解：（1）过椭圆上一点的的切线方程是()2222:10x y C a b a b =>'+>()00,M x y 00221x x y ya b +=（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=∵直线过点，1l ()00,M x y ∴1010221x x y y a b +=同理2020221x x y y ab +=又过两点的直线是唯一的，,A B ∴直线的方程是.AB 00221x x y ya b +=∴，2020AB b x k a y =-又，0OM y k x =∴为定值.22002200AB OM b x y b k k a y x a ⋅=-⋅=-点睛：本题主要考查类比推理、圆锥曲线的切线，圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动23没有兴趣.(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？22⨯90%有兴趣没兴趣合计男55女合计(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率.附表：.22(),()()()()-==+++++++n ad bc n a b c da b c d a c b d χ【答案】(1)有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；90%(2).710【分析】（1）根据已知数据得到列联表，根据列联表中的数据计算出，可得结论；2χ（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100由列联表中的数据可得，()22100451510301003.0305545752533χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为，23.030 2.706χ≈>所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n ）,（B,m,n ）,（C,m,n ）,（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ）,（A,B,C ），共10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C ），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ），共6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求概率为．710P =22．写出以下各式的值：()1______；()()22sin 60sin 30sin 30 +-⋅-=______；()()22sin 150sin 120sin 120+-⋅-=______．22sin 15sin 15sinl5+⋅= 结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．()2()1【答案】（1），，； （2）见解析.141414【分析】利用特殊角的三角函数进行计算()1当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=()可．【详解】，()()()2211sin 60sin 30sin 304+-⋅-=，()()221sin 150sin 120sin 1204 +-⋅-=，221sin 15sin 15sinl54+⋅=当，，()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=证明：，则，αβ30+= β30α=-，()()2222sin αsin βαsin βsin αsin 30ααsin 30α∴++⋅=+-⋅-，2211sin α(cos αα)αcos αα22⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.222222133111sin αcos ααsin αααcos αsin αsin αcos α442444sin =+++-=+=【点睛】本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、单选题（本大题共12小题，共60分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．命题“，”的否定是（ ）0x ∃>210x ->A ．，B ．，0x ∃≤210x ->0x ∃>210x -≤C ．，D ．，0x ∀>210x -≤0x ∀≤210x ->2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=ABCD3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”x ∃∈R 2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC △A B >sin sin A B >4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（1111ABCD A B C D -1A B 1B C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．己知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线()222210,0x y a ba b -=>>的虚轴长为（ ）A ．6B ．C ．D ．6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是2y mx =+2219x y n +=（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,+∞7．己知，分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，满足1F 2F 22145x y -=，则的面积为（ ）12MF MF ⊥12F MF △A ．5B ．10C D．8．己知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线()2222:10x y E a b a b +=>>1F 2F 交E 于P ，Q 两点，且，且，，则椭圆E 的标准22PF F Q ⊥24PF Q S =△226PF F Q +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22143x y +=22154x y +=22194x y +=22195x y +=9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线()222:12026x y M m m m-=-≤<+方程为（）A ．B ．C ．D ．y =y x =±2y x=±12y x=±10．己知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C 的离心率为1F 2F 122PF PF =，则（ ）12F PF ∠=A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆（，且为常数）和半圆22221y x a b +=0y ≥0a b >>组成的曲线G 如图2所示，曲线G 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的()2220x y b y +=<正半轴于点C ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为时，的面12⎫-⎪⎪⎭ACM △积最大，则半椭圆的方程是（）A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥12．已知，为椭圆与双曲线1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且，()222222222:10,0x y C a b a b -=>>12π3F MF ∠=，的离心率，则的最小值为（ ）1e 2e 1C 2C 12e e A B C ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的2241x y +=1F 另一个焦点构成的的周长为__________．2F 14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是__________．x ∀∈R 210ax ax ++≥15．己知椭圆，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，22:12516x y C +=1F 2F 点A 的坐标为，则的范围为__________．()2,11PA PF +16．己知，是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且，1F 2F 1260F PF ∠=︒，若C ，则的值为__________．()121PF PF λλ=>λ三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）己知，，其中．2:7100p x x -+<22:430q x mx m -+<0m >（1）若且为真，求x的取值范围；4m =p q ∧（2）若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝18．（本题满分12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；（1）短轴长为的椭圆；23e =（2）与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -19．（本题满分12分）己知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===E 为的中点．1AA =11B D（1）证明：平面；AE ∥1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -20．（本题满分12分）己知椭圆，且过点．()2222:10x y E a b a b +=>>(P （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行．设直()2,1M 线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求AB 的长度．21．（本题满分12分）己知双曲线．221416x y -=（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于S ，T 两点，使N 为线段ST 的中点，()1,1N 如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；（2）直线与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线():2l y kx m k =+≠±分别交x 轴、y 轴于，两点，当点M 运动时，求点的轨迹方()0,0A x ()00,B y ()00,P x y 程．22．（本题满分12分）己知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为()2222:10x y C a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F 4．（1）求椭圆C 的方程．（2）若在椭圆C 上存在两点P ，Q ，使得直线AP 与AQ 均与圆相切，问：直线PQ 的斜率是否为定值？若是定值，请求()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭出该定值；若不是定值，请说明理由．内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题答案一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

武钢三中高二数学周考试题20231202一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.记△AAAAAA的面积为SS，若AAAA+AAAA=10，AAAA=6，则SS的最大值为( )A. 4B. 6C. 12D. 242.已知椭圆AA：xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)，四点PP1(1,1)，PP2(0,1)，PP3(−1,√ 32)，PP4(1,√ 32)中恰有三个点在椭圆AA 上，则这三个点是( )A. PP1，PP2，PP3B. PP1，PP2，PP4C. PP1，PP3，PP4D. PP2，PP3，PP43.直线ll经过抛物线yy2=6xx的焦点FF，且与抛物线交于AA，AA两点．若|AAFF|=3|AAFF|，则|AAAA|=( )A. 4B. 92C. 8D. 944.又设FF为抛物线AA：yy2=4xx的焦点，过FF且倾斜角为60°的直线交AA于AA,AA两点，OO为坐标原点，则△OOAAAA的面积为( )A. 4√ 33B. 9√ 38C. 43D. 945.设椭圆xx216+yy212=1的左、右焦点分别为FF1，FF2，点PP在椭圆上，且满足PPFF1�������⃗⋅PPFF2�������⃗=9，则|PPFF1|⋅|PPFF2|的值为( )A. 8B. 10C. 12D. 156.如图，椭圆AA1:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)的左、焦点分别为FF1、FF2，点AA是AA1上一点，过FF1的直线交AA1于AA，AA两点，且∠FF1AAFF2=ππ3，AAFF2//AAAA，|AAFF1|=|AAAA|，则椭圆AA1的离心率为( )A. 13B. 12C. √ 33D. √ 227.如图所示，已知抛物线AA1:yy2=2ppxx过点(2,4)，圆AA2:xx2+yy2−4xx+3=0，过圆心AA2的直线ll与抛物线AA1和圆AA2分别交于PP,QQ,MM,NN，则|PPMM|+4|QQNN|的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 138.已知FF 1，FF 2是椭圆和双曲线的公共焦点，PP是它们的一个公共点．且∠FF 1PPFF 2=30°，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为( )A. 2B. 1C. 32D. 43二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

江油中学2021级高二下期第一阶段考试数学（理）试题一、单选题（每小题5分，共60分）1．4i1i-的虚部为（）A ．2-B ．2C ．2iD ．2i-2．命题“0x ∀>，20x >”的否定是（）A ．0x ∃>，20x ≤B ．0x ∀≤，20x >C ．0x ∃≤，20x ≤D ．0x ∀≤，20x ≤3．若z 满足（1+i ）z =−4+2i ，则z =（）A ．10BC ．20D ．4．已知函数f （x ）=13x 3﹣f '（2）x 2+x ﹣3，则f '（2）＝（）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．55．下列导数运算正确的是（）A ．()sin cos x x'=-B ．()33xx'=C ．()21log ln 2x x '=⋅D ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭6．“a<0”是“关于x 的不等式210ax ax +-<对任意实数x 恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()2ln f x x =-2x 的单调递增区间为（）A ．(1∞--，)B ．(1，+∞)C ．(-1，1)D ．(0，1)8．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8cm ，高为20cm ，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积V （单位：ml ）关于时间t （单位：s ）的函数为()()32π2π0V t t t t =+≥，不考虑注液过程中溶液的流失，则当4st =时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）A ．2cm /sB ．4cm /sC ．6cm /sD ．8cm /s9．已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如表：x ﹣10245f （x ）312.513f （x ）的导函数f '（x ）的图象如图所示．给出下列四个结论：①f （x ）在区间[﹣1，0]上单调递增；②f （x ）有2个极大值点；③f （x ）的值域为[1，3]；④如果x ∈[t ，5]时，f （x ）的最小值是1，那么t 的最大值为4．其中，所有正确结论的序号是（）A ．③B ．①④C ．②③D ．③④10．已知命题:p 函数()()40f x x x x=+≠的最小值为4；命题:q 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“A B >”是“a b >”的充要条件.则下列命题为真命题的是（）A ．()p q⌝∧B ．()p q ∨⌝C ．p q∧D ．()()p q ⌝∧⌝11．若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A ．14B ．4C ．2D ．1812．已知函数()e 23ln x f x t x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有两个极值点，则t 的取值范围为（）A ．()3e ,+∞B ．{}31,e 2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(){}31,e e,e 2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ D ．()1,e e,2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数()cos2f x x =，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为__________．14．若z C ∈且22i 1z +-=，则22i z --的最大值为_______．15．已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为__________．.16．已知函数()33f x x x =-，()e 22xx g x a =-+，对于任意[]12,0,2x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a的取值范围是________.三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．复数(1)(1)()z m m m i m R =-+-∈.（Ⅰ）实数m 为何值时，复数z 为纯虚数；（Ⅱ）若m =2，计算复数1z z i-+．18．设集合{}23280A x x x =+-<，集合{}21B x m x m =-<<+．(1)已知p ：3B ∈，若p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．已知函数f(x)=e x (x −2)(1)求()f x '，()0f '，()1f '-﹔(2)求曲线()y f x =在点(0,-2)处的切线方程;(3)求函数f(x)的极值.20．已知p ：方程x 2+y 2﹣4x +a 2＝0表示圆：q ：方程1322=+ax y （a ＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p Ⅴq 为真，p Λq 为假，求实数a 的取值范围．21．已知函数()323f x x mx nx =++在=1x -时有极值0.(1)求,m n 的值.(2)求g(x)=f(x)−x 3−3lnx 的单调区间.22．已知函数21()ln 2f x x ax x =-+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且()()123ln 24f x f x -≥-，求a 的取值范围.江油中学2021级高二下期3月数学（理）试题参考答案1．B 2．A 3．B 4.B5．C 6．D 7．D 8．B 9．D10．A11．B12．【答案】D 【详解】函数()e 23ln x f x t x xx x ⎛⎫=++- ⎪的定义域为()0,∞+，13．202y x +-=14．515．1a ≤-.16．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】依题意得，对于任意[]12,0,2x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立可等价为对于任意[]12,0,2x x ∈，都有()()max 12f x g x ≤成立，()33=- f x x x ，()()231f x x '∴=-，[]0,2x ∈，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当12x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；又()()00,22f f == ，()()max 22f x f ∴==，∴对于任意[]0,2x ∈，都有()2g x ≥成立，即对于任意[]0,2x ∈，都有2x e a x ≤成立，等价为mine 2x a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，令()e xh x x =，[]0,2x ∈，()()2e 1x x h x x -'∴=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；()()min 1e h x h ∴==，2e a ∴≤，e 2a ∴≤，a ∴的取值范围是e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.17．【答案】（1）0m =（2）1122i -试题解析：（1）欲使z 为纯虚数，则须()10m m -=且10m -≠，所以得0m =18．【答案】(1)()2,5(2)[]5,3-【详解】（1）由题意得3B ∈，故231m m -<<+，解得：25m <<，故实数m 的取值范围是()2,5；19．【答案】(1))1()(-='x e x f x ，ef f 2)1(,1)0(-=-'-='，(2)02=++y x （3）极小值-e 20．【答案】（1）﹣2＜m ＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．21．【答案】(1),13m n ==；(2)函数g(x)=f(x)−x 3−3lnx 的单调减区间为(0,34)，单调增区间为(34,+∞).【详解】（1）由题可得2()36f x x mx n '=++，22．【答案】(1)答案见详解(2)32,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【详解】（1）因为函数21()ln 2f x x ax x =-+，则211()x ax f x x a x x -+'=-+=，0x >，令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-，。

成都七中2021级高二下期入学考试题(理)命题人: 邓灏然、张锦淏、李勃希、张思宜 审题人：廖学军一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.)1. 抛物线4x 2=y 的准线方程是（ ）A.y =1 B .y =−1 C.y=116 D.y =−1162. 在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3. 容量为100的样本，其数据分布在[2，18]，将样本数据分为4组：[2，6），[6，10），[10，14），[14，18）得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A.样本数据分布在[6，10）的频率为0.32 B.样本数据分布在[10，14）的频数为40 C. 样本数据分布在[2，10）的频数为40 D.估计总体数据大约有10%分布在[10，14）4. 下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12；④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（ ） A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．①②5. 惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio 完成的.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成y 2-2x m=1（m>0）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为2x −my =0，则此双曲线的离心率为（ ） A ．4 B ．√3 C ．2 D ．√56. 在区间[0,π]上随机取一个数θ，使得2≤2sin θ+2cos θ≤2成立的概率是 ( ) A.1 B.1 C.1D.18. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75 9. 新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不．正确的是（ ） A ．甲同学的体温的极差为0.5℃ B ．甲同学的体温的众数为36.3℃C ．乙同学的体温的中位数与平均数不相等D ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定 10. 中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（ ） A ．180 B ．179 C ．178D ．17711. 20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中rand （ ）是产生[0，1]内的均匀随机数的函数，k ∈N ∗），则π的值约为（ ） A.m k B.2m k C.4-m k D. 4m k12. 已知A ，B 是曲线|x |−1=√−y 2+2y +3上 两个不同的点，C （0，1），则|CA|+|CB|的最大值 与最小值的比值是（ ） A ．√53 B ．3√55C ．√2D ．√3二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)13. 圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a= ． 14. 用秦九韶算法下列计算多项式：65432()3456781f x x x x x x x =++++++，当x=2时，v 2=____.15. 直线y =kx −2与双曲线x 2−y 2=1有且仅有一个公共点，则k=_______.16. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球吋,发现当篮球放在地面上吋,篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆,但他自己还是不太确定这个想法,于是回到家里翻阅了很多参考资料,终于明白自己的猜想是没有问题的,而且通过学习,他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验:如图所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在球的右上方有一个灯泡P (当成质点),灯泡与桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面的点为A ,影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率e=_____.三、解答题：(本大题共6个小题，17题10分其余每道小题各12分，共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知p ：m ＜a +1＜m 2+2：q ：函数f （x ）=log 2x −a 在区间(14，4)上有零点． （1）若m=1，求使p 假q 真时实数a 的取值范围；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分．经验表明新车商业险保险费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：（1）根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程（精确到0.01）；（2）某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保险费倍率，上一年没有出险，则下一年保险费倍率为85%，上一年出险一次，则下一年保险费倍率为100%，上一年出险两次，则下一年保险费倍率为125%．成都的好心先生2022年1月购买了一辆价值32万元的新车．若该车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，好心先生到汽车维修店询价，预计修车费用为800元，理赔人员建议好心先生自费维修（即不出险），你认为好心先生是否应该接受该建议？请说明理由．（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品） 参考数据：71i ii x y =∑=445605 721ii x=∑=3500 y̅=2809.86 参考公式： b ̂=121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑=1221ni ii nii x y nxyxnx ==--∑∑19. 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于P,Q 两点，|PQ |=4.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，直线OA 与准线l 交于点M.连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N.求证：O,B,N 三点共线.20. 已知双曲线C ：2222x y -=与点()1,2P ．（1）求过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；（2）在(1)的前提下,如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．21. 已知椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成面积为√3的等边三角形. （1）求C 的方程；（2）如图，设C 的左，右顶点分别为A,B ，右焦点为F ，P 是C 上异于A,B 的动点，直线AP 与直线x=a 交于点D ，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明.22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，离心率为√33，(√3,√6)为C 上一点，过点F 1且与y 轴不垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)求C 的方程；(2)在平面内是否存在定点Q ，使得QA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．成都七中2021级高二下期入学考试题(理)参考答案及评分标准命题人: 邓灏然、张锦淏、李勃希、张思宜 审题人：廖学军一、选择题：(12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.)1. 抛物线4x 2=y 的准线方程是（ D ）A.y =1 B .y =−1 C.y=116 D.y =−1162. 在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为（ C ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3. 容量为100的样本，其数据分布在[2，18]，将样本数据分为4组：[2，6），[6，10），[10，14），[14，18）得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ D ） A.样本数据分布在[6，10）的频率为0.32 B.样本数据分布在[10，14）的频数为40 C. 样本数据分布在[2，10）的频数为40 D.估计总体数据大约有10%分布在[10，14）4. 下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12；④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（ A ） A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．①②5. 惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio 完成的.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成y 2-2x m=1（m>0）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为2x −my =0，则此双曲线的离心率为（ D ） A ．4 B ．√3 C ．2 D ．√56. 在区间[0,π]上随机取一个数θ，使得2≤2sin θ+2cos θ≤2成立的概率是 (B ) A.1 B.1 C.1D.18. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ D ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75 9. 新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不．正确的是（ C ） A ．甲同学的体温的极差为0.5℃ B ．甲同学的体温的众数为36.3℃C ．乙同学的体温的中位数与平均数不相等D ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定 10. 中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（ D ） A ．180 B ．179 C ．178D ．17711. 20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中rand （ ）是产生[0，1]内的均匀随机数的函数，k ∈N ∗），则π的值约为（ B ） A.m k B.2m k C.4-m k D. 4m k12. 已知A ，B 是曲线|x |−1=√−y 2+2y +3上 两个不同的点，C （0，1），则|CA|+|CB|的最大值 与最小值的比值是（ B ） A ．√53 B ．3√55C ．√2D ．√3二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)13. 圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a= 3 ． 14. 用秦九韶算法下列计算多项式：65432()3456781f x x x x x x x =++++++，当x =2时，v 2=____.2515. 直线y =kx −2与双曲线x 2−y 2=1有且仅有一个公共点，则k=_____.±1，±√516. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球吋,发现当篮球放在地面上吋,篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆,但他自己还是不太确定这个想法,于是回到家里翻阅了很多参考资料,终于明白自己的猜想是没有问题的,而且通过学习,他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验:如图所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在球的右上方有一个灯泡P (当成质点),灯泡与桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面的点为A ,影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率e=_____.79三、解答题：(本大题共6个小题，17题10分其余每道小题各12分，共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知p ：m ＜a +1＜m 2+2：q ：函数f （x ）=log 2x −a 在区间(14，4)上有零点． （1）若m=1，求使p 假q 真时实数a 的取值范围；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解:(1)当m=1时，p:0<a<2，则p 为假时，￢p:a ⩽0或a ⩾2. (2分) ∵函数f(x)=log2x −a 在区间（14，4)上单调递增，且函数f(x)=log2x −a 在区间（14，4)上有零点，∴由零点存在定理：f(14)=log214−a<0且f(4)=log24−a>0，解得−2<a<2，则q:−2<a<2. (4分)∴p 假q 真，解得−2<a ⩽0.则a 的取值范围是(−2,0]. (5分) (Ⅱ)∵p:m<a+1<m 2+2，q:−2<a<2，且p 是q 成立的充分条件。

新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.1505.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D. 6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈- D.()3,1m ∈--7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A .17B.18C.19D.208.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --= D.4370x y +-=10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A.B.5C.D.211.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = 16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n nb S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <A【详解】试题分析：由“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”得“若1x >，则0x >”的否命题是若1x ≤，则0x ≤.故选：A.考点：否命题.2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.B【分析】先根据三角形内角和求得A ，进而利用正弦定理求得b ．【详解】由题意可知，180457560A =︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知sin sin a bA B=，所以2sin 2sin 32a Bb A⋅==．故选：B ．3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.150C【分析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前n 项和公式求和即可.【详解】由行列式的定义有9711(10)0a a ⨯-⨯-=，即1875a d a +==，所以11581515()1527522a a a S +⨯===.故选：C.5.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D.D【分析】由正弦定理得30︒∠=CAD，进而结合余弦定理计算得BC =.【详解】解：由正弦定理，sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即2sin 22CAD=∠，故1sin 2CAD ∠=，所以30︒∠=CAD ，所以120BAC ︒∠=，所以由余弦定理，BC ==故选：D ．6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈-D.()3,1m ∈--D【分析】由“方程22131x y m m +=+-表示椭圆”可求得实数m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程22131x ym m +=+-表示椭圆，则301031m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得3<1m -<-或11m -<<.故方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是()3,1m ∈--.故选：D.7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A.17B.18C.19D.20C【分析】按照程序框图逐步计算.【详解】方法一：运行情况如下：执行次数mnr177920915222091525731525738457381953819所以输出的19m =.方法二：易知该程序是求两数的最大公约数，而779和209的最大公约数是19,.故选：C【点睛】本题考查程序框图，属于基础题.8.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-A【分析】根据递推关系式得到11n n b b n --=-，进而利用累加法可求得结果．【详解】 数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，11122n n n n a a n --∴=+-，2n n n a b = ，11n n b b n -∴-=-，且11b =，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-++-+L ()()()()211121211122n n n n n n ⎡⎤-+--+⎣⎦=-+-+++=+=，故选：A ．9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --=D.4370x y +-=D【分析】判断点M 与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB 的斜率即可计算作答.【详解】显然点()1,1M 在椭圆22134x y +=内，设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()034x x x x y y y y -+-++=，而弦AB 恰好被点()1,1M 平分，即12122,2x x y y +=+=，则直线AB 的斜率121212124()43()3y y x x k x x y y -+==-=--+，直线AB ：41(1)3y x -=--，即4370x y +-=，所以AB 所在的直线方程为4370x y +-=.故选：D10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C.D.2A【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标(,0)c ，渐近线方程为：by x a=±,距离为：化简得：2b a =，又：222c b a =+，得：2225,5,c c a e a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．11.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列D【分析】由分母不等于0可判断A ；取非0常数列可判断BC ；先判断()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，是否为常数列，然后对211n n n na a a a +++--化简可判断D.【详解】若0k =，则32210a a a a -=-，即320a a -=，则4332a a a a --无意义，故A 错误；当数列{}n a 为常数列，1n a =，则数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，显然不是“等差比数列”，故BC 不正确；当()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，时，11((1)0)n nnn n a b c a a b c ab a b ++⋅+-⋅=--+=≠，所以1211(1)(1)n n n nn n a a ab b a a ab b b ++++---==-，故D 正确.故选：D12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞C【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点(),x y到定点与定直线之比为常数e =，进而可得结果.【详解】已知方程可以变形为()2222321x y m x y y -+=-++==其表示双曲线上一点(),x y 到定点()0,1-与定直线230x y -+=之比为常数e =又由1e >，可得05m <<，故选：C.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.【分析】根据已知等式，由复数除法的几何含义，即可求z的值.【详解】由题设，知：221i i z i i++====--.故答案为14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.10【详解】作出不等式区域,如图所示:目标2z x y =+的最大值,即为平移直线2y x z =-+的最大纵截距,当直线经过点7A ,32⎛⎫⎪⎝⎭时z 最大为10.故答案为10.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = ①④【分析】比较圆心到渐近线的距离和半径的关系可判断①；以2F 为圆心，4为半径作圆，数形结合可判断②；观察直线()2y k x =-与渐近线的位置关系可判断③；根据双曲线定义与已知列方程组求1PF ，2PF ，然后判断12PF F △的形状，由面积公式可得.【详解】双曲线C中，渐近线为y =，焦点为(20)±,，a =1，b =，c =2.圆22(2)3x y -+=的圆心(2,0)0y -=的距离2d r ===，∴①正确；以2F 为圆心，4为半径作圆，由图可知②错误；当k =时，直线()2y k x =-与渐近线平行，由图可知，此时直线与双曲线的左支不相交，故③错误；不妨设点P 在右支上，则由双曲线定义得1222PF PF a -==，又因为128PF PF +=，联立求解可得15PF =，23PF =，所以2221212PF PF F F =+，所以212PF F π∠=，所以12212162PF F S PF F F == ，故④正确.故答案为：①④16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．163π9【分析】根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.【详解】如图，2223a b c S +=+，222431sin 32a b c ab C ∴+-=⋅，222323a b c C ab +-∴=，tan C ∴=π3C ∴=，又2c AB ==，ABC ∴ 外接圆半径为3，π3C =，所以点C 的轨迹长度为4π23⨯=，故答案为：163π9.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．（1）[)2,3.（2）()[)1,23,-⋃+∞.【分析】（1）由已知得p ，q 均为真命题，分别求得p 为真命题，q 为真命题时，实数a 的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得p ，q 一真一假，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题．若p 为真命题，则()()()214130a a a ∆=--=+-<，解得13a -<<；若q为真命题，则1222x xa =+≥=，当且仅当122x x =，即0x =时，等号成立，此时2a ≥．故实数a 的取值范围是[)2,3；【小问2详解】解：若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 一真一假．当p 真，q 假时，则13,2,a a -<<⎧⎨<⎩得a ∈()1,2-；当p 假，q 真时，则13,2,a a a ≤-≥⎧⎨≥⎩或得[)3,a ∈+∞．故实数a 的取值范围为()[)1,23,-⋃+∞．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.（1）13；（2）32.【分析】（1）利用正弦定理求得sin B 的值，由此求得cos 2B 的值.（2）利用余弦定理求得cos A ，结合基本不等式求得A 的最大值，由此求得此时ABC 的面积.【详解】（1）由正弦定理sin sin a b A B =，得321sin 2B =，解得3sin 3B =所以21cos 212sin 3B B =-=.（2）由余弦定理得22221cos 24b c a c A bc c +-+==.因为2121442c c c c +≥=，当且仅当1c =时，等号成立，所以1cos 2A ≥，则03A π<≤，则A 的最大值为3π.此时，ABC 的面积113sin 21sin 2232S bc A π==⨯⨯⨯=.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iiix x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.（1）由散点图可判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）100.6y =+；（3）508.6吨．【分析】（1）由散点图可以知x ,y 关系是非线性的即可判断；（2）令w =，则 y c dw =+ ，利用根据题中数据可计算ˆd ，c的值，即可得y 关于w 的线性回归方程，再将w =代入即可求解；（3）将36x =代入y 关于x 的回归方程即可求解.【详解】（1）由散点图可以判断：y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8ˆ681.6iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， 56368 6.8100.6ˆcy d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为 68100.6y w =+，所以y 关于x 的回归方程为100.6y =+；（3）由（2）知：当36x =时，年销售量y 的预报值100.6508.6y =+=故年宣传费36x =千元时，年销售预报值是508.6吨．20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.（1）证明见解析，n a =；（2）3【分析】（1）由题得()22112n n S S n --=≥，即得数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列，再求出n S =，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)先求出112121n b n n =--+，再利用裂项相消求出n T ，最后解二次不等式得解.【详解】（1）证明：221n n n a S a -= ，∴当2n ≥时，()()21121n n n n n S S S S S -----=，整理得，()22112n n S S n --=≥，又211S =，∴数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列.2n S n ∴=，又0n S >，n S ∴=2n ∴≥时，1n n n a S S -=-=111a S ==适合此式∴数列{}n a的通项公式为n a =；（2）解：()()422412121n nb S n n ==--+112121n n =--+1111335n T ∴=-+-+112121n n ⋅⋅⋅+-=-+1121n -+*n N ∈ 123n T T ∴≥=依题意有()221336m m >-，解得14m -<<，故所求最大正整数m 的值为3.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？（1）2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．【分析】（1）根据题意，分019x <<、19x ≥两种情况可写出答案；（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出019x <<、19x ≥时的最大值，然后作比较可得答案.【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则x 万件商品销售收入为25x 万元，依题意得，当019x <<时，2222()251002410033L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭，当19x ≥时，400400()2526320100220L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当019x <<时，22()(18)1163L x x =--+，此时，当18x =时，()L x 取得最大值()18116L =万元，当19x ≥时，400()22022022040180L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭万元，此时，当且仅当400x x=，即20x =时，()L x 取得最大值180万元，因为116180<，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．（1）2214x y +=；（2）是定值，5π.【分析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得12k k 为定值，12S S +也为定值，从而可得1212S S k k +是定值．【小问1详解】由题意知||||PQ AQ =，||||||||||4||3AQ CQ PQ CQ CP AC ∴+=+==>=，根据椭圆的定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2,3a c ==21b ∴=，∴曲线E 的方程为2214x y +=；【小问2详解】由题意知直线l 的方程为1(12y x m m =+≠±且m ≠0)，设直线l 与椭圆的交点为1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，222220x mx m ++-=，22244(22)840m m m ∆=--=->22m ⇒<，∴212122,22+=-=-x x m x x m ，∴2212121212221212121211()11(2)12242422444x m x my y m x x m m m m k k x x x x x x x x m m +++⋅-=⋅=⋅=++=++=--，222222121212(||||)()44S S OM ON x x y y ππ+=+=+++， 22222121212()242(22)4x x x x x x m m +=+-=--=，∴222222121212(1)(1)21444x x x x y y ++=-+-=-=，∴1254S S π+=，∴121254514S S k k ππ+==，∴1212S S k k +是定值，为5π．。

2021—2022学年度（下）高二年级省六校协作体期初考试数学试卷考试时间：120 分钟 满分150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l 经过点A (0,4 )，且与直线2x −y −3 =0 垂直，则直线l 的方程是（）A ．240x y -+=B ．280x y ++=C ．240x y --=D ．280x y +-=2．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（）A ．54B ．5C ．5×4×3×2D ．453．过点(46)P ，且与双曲线2212y x -=有相同渐近线的双曲线方程为（）142.22=-y x A 124.22=-y x B 124.22=-x y C 142.22=-x y D4．已知椭圆()22105x y m m +=>的离心率e =，则m 的值为（）3325.或A 3.B C D ．35．已知()213a = ，-，，()142b =-- ，，，()13c λ= ，，，若向量a b c r r r，，共面，则实数λ等于（）A ．1B ．2C ．3D ．46．若22nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）A ．90B ．-90C ．180D ．-1807．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A ．36-B ．36C ．13-D ．338．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是()A ．53B ．173C ．172D ．94二、多选题9．已知直线l ：10kx y k -+-=和圆O ：2216x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()1,1-B ．若1k =-，则直线l 被圆O 截得的弦长为22C ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y -+=垂直D ．直线l 与圆O 相交10．对任意实数x ，有()()()()()923901239231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-.则下列结论成立的是（）A ．01a =B ．2144a =-C ．20911a a a a ++++=L D ．9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90B ．直线1BC 与平面1ACD C ．1B D ⊥平面1ACDD ．点1B 到平面1ACD 12．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．12PF F △的周长为8B ．12PF F △C ．12PF PF ⋅的取值范围为[23)，D ．12||||PF PF 的取值范围为(34]，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是___________.14．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为___________.15．已知半径为2的球O 有一内接正四面体ABCD ，()OA OB OC OD ⋅++________.16．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3)2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。

河北省唐山市开滦第二中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A ．35种B ．53种C ．3种D ．15种2．已知二项式((0)na >的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中2x 项的系数为84，则a 为A ．2B ．1C ．15D ．3103．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种4．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下表关系：x24568y3040605070y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5y x =+，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）A ．10-B ．20-C ．20D ．105．将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有A ．240B ．480C ．720D ．9606．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种7．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为A ．20B ．18C ．16D ．118．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种二、双空题9．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X 012Px4x5x由此可以得到期望E (X )=___________，方差D (X )=___________.三、填空题10．设随机变量()~3,1X N ，若()4P X p >=，则()24P X <<=___________.11．若2019220190122019(12)()x a a x a x a x x R -=++++∈ ，则010********()()()()a a a a a a a a ++++++++ =_______．（用数字作答）12．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有___________种不同的种花方法.13．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.14．投掷3枚骰子，记事件A ：3枚骰子向上的点数各不相同，事件B ：3枚骰子向上的点数中至少有一个3点，则()P A B =___________.四、解答题15．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(1)求所选3人既有女生又有男生的概率；(2)设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望.16．考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：成绩性别合格不合格合计男性4510女性30合计105(1)完成此表；(2)根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.参考公式：①相关性检验的临界值表：()20P k x ≥0.400.250.150.100.050.0250.100x 0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635②卡方值计算公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++.其中n a b c d =+++.17．有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答）(1)没有空盒子的方法共有多少种？(2)可以有空盒子的方法共有多少种？(3)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？(4)恰有一个小球放入自己编号的盒中，有多少种不同的放法？18．已知在()*n n N ∈的展开式中，第6项为常数项．()I 求n 的值；()II 求展开式的所有项的系数之和；()III 求展开式中所有的有理项．19．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.（1）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望；（2）求乙至多击目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.20．某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为23；丙通过B组测试的概率为12；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.(1)求丁、戊都竞聘成功的概率；(2)记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，根据分步计数原理得到结果．【详解】：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，∴根据分步计数原理知共有35种结果，故选：B ．2．B【分析】如果n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n 是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n 的值，进而利用展开式，根据二次项的系数，即可求出a 的值．【详解】∵二项式(0)na ⎛> ⎝的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴9n =，又∵9⎛⎝的通项为：275999362199r r r r r r r r T C a x x a C x -----+==，令27526r-=，解得3r =，又∵展开式中2x 项的系数为84，即63984a C =，解得1a =或1a =-（舍去）故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，根据展开式中某项的系数求参数，属于中档题3．B【详解】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解：最左端排甲，共有55A =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有1444C A =96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B ．【分析】随机误差的效应（残差）为观测值减去预测值【详解】当广告支出5万元时，观测值为60，预测值为ˆ 6.5517.550y=⨯+=，则随机误差的效应（残差）为605010-=.故选：D.5．B【详解】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有24+43=20⨯⨯，所以不同坐法有4420480A =,选B.6．A【详解】人数分配上有两种方式即122，，与113，，若是113，，，则有311352132260C C C A A ⨯=种若是122，，，则有122354232290C C C A A ⨯=种则不同的分派方法共有150种故选A点睛：本题主要考查的知识点是排列，组合及简单计数问题．由题意知本题是一个分类问题，根据题意可知人数分配上两种方式即122，，与113，，，分别计算出两种情况下的情况数目，相加即可得到答案．7．C【分析】根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可.【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有232312A A =；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16，故选C ．【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题.【详解】首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有1222C A 4=种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46A 360=去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有24A 12=种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有43121248⨯=种不同的排法，选B ．9． 1.40.44【详解】根据分布列的性质可知：45101x x x x ++==，解得110x =.()042514 1.4E x x x x x =⨯++⨯==.()()()()2220 1.41 1.442 1.45 1.960.64 1.80.44D x x x x x x x =-⨯+-⨯+-⨯=++=.10．12p-【分析】由正态曲线的对称性直接求得.【详解】因为随机变量()~3,1X N ，()4P X p >=，所以由正态曲线的对称性可得：()2P X p <=，所以()()()2112442p P X P X P X <<=->=--<.故答案为：12p -.11．2017【分析】由题意，根据二项式的展开式，令0x =和1x =可得00120191,1a a a a =+++=- ，进而得01020201900122019()()()2018()a a a a a a a a a a a ++++++=+++++ ，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知201922018201901220182019(12)x a a x a x a x a x -=+++++ ，令0x =，可得01a =，令1x =，可得012320191a a a a a +++++=- ，所以01020302019001232019()()()()2018()a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++++++ 2018112017=⨯-=，故答案为2017.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．72【分析】根据题意，分4步进行分析：依次分析区域1、2、3、4和5的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分4步进行分析：①对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，③对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法，④对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选，若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选，所以区域4、5共有2+1=3种着色方法；综上，一共有4×3×2×(1+2)=72种着色方法；故答案为：7213．90【分析】一共有3个奇数，故只能是3个奇数加1个偶数，分类讨论该偶数是不是为0.【详解】一共有3个奇数，故只能是3个奇数加1个偶数.当该偶数不为0时，则有1434C A 72=种；当该偶数为0时，0不能作为首位，则有1333C A 18=种；故共有721890+=种.故答案为：90.14．6091【分析】分别求出事件B 和事件AB 所包含的基本事件的个数，再根据条件概率公式求解即可.【详解】解：投掷3枚骰子，3枚骰子向上的点数共有36216=种情况，其中3枚骰子向上的点数没有一个3点的有35125=种，则3枚骰子向上的点数中至少有一个3点有21612591-=种，即()91n B =，3枚骰子向上的点数中至少有一个3点且3枚骰子向上的点数各不相同有1235C A 60=种，即()60n AB =，所以()6091P A B =.故答案为：6091.15．(1)45(2)分布列见解析，1【分析】（1）根据对立事件的概率和为1得，之需求两人来自同一性别即可.(2)此分布为超几何分布，对应的概率为()32436C C C k kP k ξ-==.【详解】（1）3个人来自于两个不同专业的概率为3436C 41C 5-=（2）ξ可能取的值为0，1，2.()32436C C C k k P k ξ-==，0,1,2k =.∴ξ的分布列为ξ012P153515∴ξ的数学期望为1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=16．(1)答案见解析(2)可以，有97.5%的把握【分析】（1）直接根据题意即可完成表格；（2）计算得出2 6.109k ≈，根据独立性检验思想即可得结果.【详解】（1）成绩合格不合格合计性别男性451055女性302050合计7530105（2）假设0H ：性别与考试是否合格无关，()2210545203010 6.10975305550k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.若0H 成立，()25.2040.025P k ≥=，∵2 6.109 5.204k ≈≥，∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关.17．(1)24(2)256(3)144(4)8【分析】（1）4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列即可求得.（2）有4个球，每个球有4种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完.（3）恰有一个空盒，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球.(4)恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种.【详解】（1）没有空盒子的方法：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列共44A 24=种；（2）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共44256=种；（3）恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，先将四盒中选一个作为空盒，再将四球中选出两球绑在一起，再排列共123443C C A 144=种；（4）恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种，则共14C 28⋅=种.18．（I ）10n =；（II ）11024；（III ）有理项分别为23454T x =，6638T =-；2945256T x -=⋅.【分析】()1在二项展开式的第六项的通项公式1055361()2n n T C x -=⋅-⋅中，令x 的幂指数等于0，求出n 的值；()2在二项展开式中，令1x =，可得展开式的所有项的系数之和；()3二项式()*n n N ∈的展开式的通项公式为10231101()2r r r r T C x -+=⋅-⋅，令1023r -为整数，可求出r 的值，即可求得展开式中所有的有理项．【详解】()1在()*n n N ∈的展开式中，第6项为1055361(2n n T C x -=⋅-⋅为常数项，1003n -∴=，10n ∴=．()2在()*10)n n N ∈=的展开式中，令1x =，可得展开式的所有项的系数之和为1011(1)21024-=．()3二项式()*n n N ∈的展开式的通项公式为10231101()2r r r r T C x -+=⋅-⋅，令1023r -为整数，可得2r =，5，8，故有理项分别为22231014544T C x x =⋅⋅=，50610163328T C x ⎛⎫=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭；8822910145(2256T C x x --=⋅-⋅=⋅．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.19．（1）分布列见解析，1.5；（2）1927；（3）124.【分析】(1)ξ的可能取值为0,1,2,3，根据独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得ξ的数学期望；(2)根据独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(3)根据互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式求解即可.【详解】(1)ξ的概率分布列为ξ0123P()E ξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5或()E ξ＝3×＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C ()3＝.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝×＋×＝.20．(1)925(2)分布列见解析，116【分析】对于（1），因两人竞聘成功相互独立，算出一人竞聘成功概率即可.而一人竞聘成功概率，相当于从6道题中至少抽中3道会做题的概率；对于（2），由题意可知通过的总人数可能为3，2，1，0.又甲，乙，丙竞聘成功相互独立，结合题目条件可分别算得人数为3，2，1，0的概率，即可得答案.【详解】（1）设参加C 组测试的每个人竞聘成功为A 事件，则()43144246C C C 183C 155P A ++===又两人竞聘成功相互独立，故丁、戊都竞聘成功的概率等于3395525⨯=（2）由题意可知ξ可取0，1，2，3，又3人竞聘成功相互独立，则()21210112318P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221121512113323218P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22112182213323218P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221433218P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故ξ的分布列为：ξ0123P 118518818418所以()15843311 0123 181********E=⨯+⨯+⨯+⨯==ξ.。

第一次月考数学试题 第一卷 试题卷一、选择题：（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1．如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）（A ）A B（B ）()U A C B （C ）AB（D ）()U BC A2．已知向量(1,1),(2,0)a b ==，则向量,a b 的夹角为 （ ）A ．3π B ．6π C ．4π D ．2π3．已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于 ( ) A ．0.1 B ．0.2C ．0.6D ．0.84．若直线03=++a y x 过圆04222=-++y x y x 的圆心，则a 的值为（ ） A.1- B.1 C.3 D.3- 5.“1a =-”是“直线260ax y ++=和(1)30x a y +-+=平行”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么α2tan 的值等于 （ ） A.43- B. 724C.724-D.347．若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则 ( )A.α内的所有直线与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内存在唯一的直线与l 平行D.α内的直线与l 都相交8．下列命题中错误的个数是 （ ）①命题“若2320x x -+=则x=1”的否命题是“若2320x x -+=则x ≠1”②命题P:0x R ∃∈,使0sin 1x >，则0:P x R ⌝∀∈,使0sin 1x ≤ ③若P 且q 为假命题，则P 、q 均为假命题 ④"2()"2k k Z πφπ=+∈是函数sin(2)y x φ=+为偶函数的充要条件A ．1 B.2 C.3 D.49．有6人被邀请参加一项活动，必然有人去，去几人自行决定，共有（ ）种不同去法 A. 36种 B. 35种 C. 63种 D. 64种x k b 1. c o m10．二项式3(ax 的展开式的第二项的系数为2-，则22a x dx -⎰的值为（ ）A.3B. 73C. 3或73D. 3或103-11．已知点F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 （ ）A.34 B.1 C.54 D.7412．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）A ．9B ．10C ．9-D ．10- 二、填空题：（每小题5分，共20分）13． 如图，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．14．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则λ=15．已知数列{}n a 为等差数列，若3459a a a ++=，则7S = ．16．如果一条直线l 和平面α内的一条直线平行，那么直线l 和平面α的关系是 . 三、解答题：（写出必要的解题过程，6大题共70分） 17.（本题满分10分）设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量ξ的期望EX 与方差DX ．18.(本题满分12分)已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（6分）（Ⅱ）在ABC ∆中，若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.（6分）19.(本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ；（5分） （2）求数列92{}2nna -的前n 项和T n 。

2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是A.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-ab数3()f x x =的极值点.以上推理中A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为A.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2- 7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性 回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．(,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）A ．B ．C ．D ． 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞eD.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<,AD =,则∠CAD 的弧度数为 .15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____. 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若11,32EC ED EB EA ==，求DCAB的值； （Ⅱ）若2EF FA FB =⋅，证明：//EF CD ．18.(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A 等（优秀），在[60，80）的学生可取得B 等（良好），在[40，60）的学生可取得C 等（合格），在不到40分的学生只能取得D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现23按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ） 请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计男生 a=12 b= 女生 c= d=34 合计n=100附：．P （k 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.01k 0 2.0722.7063.841 6.63519．(本小题满分l2分)设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +->对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．20．(本小题满分l2分)设函数2()f x ax bx c =++且(1)2af =-，322.a c b >> （1）试用反证法证明：0a > （2）证明：33.4b a -<<-21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C ．（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ，切点为T ，求||||TM TN ⋅的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是 CA.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函 数3()f x x =的极值点.以上推理中 A A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )CA.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）D17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-abA ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为 BA.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）c A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点，故选A ．8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( )D A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ）B (,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-()2.5,3.5A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）AA ．B ．C ．D ．12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为 BA.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．2 AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,AD =,则∠CAD 的弧度数为 . 15.15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.)2(116422≥=-x y x 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<23512π类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R= ． 2222a b c ++三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分l0分)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF 2=FA•FB，证明：EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．18(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=女生c= d=34合计n=100附：．P（k2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.01k0 2.072 2.706 3.841 6.635解：（Ⅰ）抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1﹣10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人）．…（4分）（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=48 60女生c=6 d=34 40合计18 82 n=100 …（10分）∵，所以，没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．…（12分）19．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．20．(本小题满分l2分)设函数f（x）=ax2+bx+c且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b．（1）试用反证法证明：a＞0（2）证明：﹣3＜．【解答】证明：（1）假设a≤0，∵3a＞2c＞2b，∴3a≤0，2c＜0＜，2b＜0，将上述不等式相加得3a+2c+2b＜0，∵f（1）=﹣，∴3a+2c+2b=0，这与3a+2c+2b＜0矛盾，∴假设不成立，∴a＞0；（2）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；∵a＞0，∴﹣3＜＜﹣．21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．22．(本小题满分l2分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）…。

高二数学半月考（一）一．选择题（共8小题）1．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝2D．2．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．3．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）4．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．5．在（1+x）4（1+y）6的展开式中，记x m y n项的系数为P（m，n），则P（2，1）+P（1，2）＝（）A．45B．60C．72D．966．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为E（X），D（X），摸出红球个数Y的均值和方差分别为E（Y），D（Y），则（）A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）＜E（Y），D（X）＞D（Y）C．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）D．E（X）＜E（Y），D（X）＜D（Y）7．老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（44，4），下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（33，16），下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为不合理的是（）（参考数据：Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973）A．若乘坐线路B，18：00前一定能到家B．乘坐线路A和乘坐线路B在17：58前到家的可能性一样C．乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家的可能性更大D．若乘坐线路A，则在17：48前到家的可能性不超过1%8．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种A．204B．288C．348D．396二．多选题（共4小题）9．下列计算正确的是（）A．（e﹣x）'＝﹣e﹣x B．C．（sin2x）'＝2cos2x D．（lgx）'＝10．已知（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anx n（n∈N*），则下列结论正确的是（）A．a0＝anB．当a3＝10时，n＝5C．若（1+x）n（n∈N*）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13 D．当n＝4时，11．已知离散型随机变量X的分布列如下，则（）X1234P p23p21﹣2p+p21﹣3p+p2A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝|x﹣2|+1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值可以是（）A．0.6B．0.7C．0.85D．0.75三．填空题（共4小题）13．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划“招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为．14．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为．15．设随机变量ξ～B（2，P），随机变量η～B（3，P），若P（ξ≥1）＝，则P（η≥1）＝．16．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A 2和A3表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是．①事件A1，A2相互独立；②；③；④；⑤．四．解答题（共2小题）17．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为m；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为n．（1）计算甲掷硬币国徽面朝上不同次数的概率：（2）现规定：若m＞n，则甲胜；若n≥m，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？18．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：红灯12345等待时间6060903090（秒）（1）设学校规定7：20后（含7：20）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望．答案参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝2D．【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，其中，∴P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣，E（X）＝，故A正确，E（3X+12）＝3E（X）+2＝，故B正确，D（X）＝，D（3X+2）＝，故C正确，D错误．故选：D．2．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝，为非奇非偶函数，可以排除C、D，又由f（0）＝＝1，排除A；故选：B．3．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【解答】解：构造函数，则，∴F（x）在R上为增函数，又∵F（1）＝＝1，∴原不等式f（x）﹣e x＜0可化为F（x）•e x﹣e x＜0，∴e x[F（x）﹣1]＜0，∴F（x）＜1，∴F（x）＜F（1），又∵F（x）在R上为增函数，∴x＜1，故选：C．4．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．【解答】解：事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（AB）＝＝，P（B）＝＝，P（A|B）＝＝，故选：A．5．在（1+x）4（1+y）6的展开式中，记x m y n项的系数为P（m，n），则P（2，1）+P（1，2）＝（）A．45B．60C．72D．96【解答】解：由于（1+x）4的展开式为，且（1+y）6的展开式，记x m y n项的系数为P（m，n），所以P（2，1）＝，P（1，2）＝，故P（2，1）+P（1，2）＝96．故选：D．6．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为E（X），D（X），摸出红球个数Y的均值和方差分别为E（Y），D（Y），则（）A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）＜E（Y），D（X）＞D（Y）C．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）D．E（X）＜E（Y），D（X）＜D（Y）【解答】解：由题意，甲箱中摸到白球的概率为，红球的概率为，乙箱中摸到白球的概率为＝，红球的概率为＝，由题意可知X的可能取值为0，1，2，所以P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝×+×＝，P（X＝2）＝×＝，所以E（X）＝0×+1×+2×＝，D（X）＝（﹣0）2+×（﹣1）2+×（﹣2）2＝；由题意可知Y的可能取值为0，1，2，所以P（Y＝0）＝×＝，P（Y＝1）＝×+×＝，P（Y＝2）＝×＝，所以E（Y）＝0×+1×+2×＝，D（Y）＝×（﹣0）2+×（﹣1）2+×（﹣2）2＝；所以E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）．故选：C．7．老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（44，4），下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（33，16），下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为不合理的是（）（参考数据：Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973）A．若乘坐线路B，18：00前一定能到家B．乘坐线路A和乘坐线路B在17：58前到家的可能性一样C．乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家的可能性更大D．若乘坐线路A，则在17：48前到家的可能性不超过1%【解答】解：对于A，因为P（B＞45）＝（1﹣P（21≤Z≤45））＝×（1﹣0.9973）＝0.00135，所以乘坐线路B，18：00前不一定能到家，选项A错误；对于B，P（B＜41）＝（1﹣P（25≤Z≤41））+P（25≤Z≤41）＝0.97725，P（A＜48）＝（1﹣P（40≤Z≤48））+P（40≤Z≤48）＝0.97725，所以选项B正确；对于C，P（B＜37）＝（1﹣P（29≤Z≤37））+P（29≤Z≤37）＝0.84135，P（A＜44）＝＜0.84135，选项C 正确；对于D，P（A＜38）＝（1﹣P（38≤Z≤50））＝0.00135＜0.01，选项D正确．故选：A．8．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种A．204B．288C．348D．396【解答】解：①若6人乘坐3辆缆车，则将4个大人分成2，1，1三组有＝6种方法，然后将三组排到三个缆车有＝6种方法，再将两个小孩排到三个缆车有3×3﹣1＝8种方法，所以共有6×6×8＝288种方法．②若6人乘坐2辆缆车，（1）两个小孩不在一块：则大人分成2，2两组的方法有＝3种方法，将两组排到两辆缆车有＝6种方法，再将两个小孩排到两辆缆车有＝2种方法，故共有3×6×2＝36种方法．（2）两个小孩在一块：则大人分成3，1两组，分组方法为＝4种方法，小孩加入1人的组有1种方法，再将两组从3辆缆车中选两辆排入有＝6种方法，故共有4×1×6＝24种方法．综上共有：288+36+24＝348种方法．故选：C．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列计算正确的是（）A．（e﹣x）'＝﹣e﹣x B．C．（sin2x）'＝2cos2x D．（lgx）'＝【解答】解：A选项，（e x）′＝﹣e x，故A选项正确；B选项，，故B选项错误；C选项，（sin2x）'＝2cos2x，故C选项正确；D选项，（．故D选项错误；故选：AC．（多选）10．已知（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n（n∈N*），则下列结论正确的是（）A．a0＝a nB．当a3＝10时，n＝5C．若（1+x）n（n∈N*）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13D．当n＝4时，【解答】解：由题意可知，＝1，＝1，故选项A正确；＝＝10，∴n＝5，故选项B正确；若n为偶数二项式展开式中的二项式系数最大项为正中间一项，（1+x）n（n∈N*）的展开式中第7项的二项式系数最大此时n＝12，若n为奇数二项式展开式中的二项式系数最大项为中间两项，（1+x）n（n∈N*）的展开式中第7项的二项式系数最大此时n＝11或n＝13，故选项C错误；当n＝4时，＝4，＝6，＝4，＝1，∴＝2+++＝，故选：ABD．（多选）11．已知离散型随机变量X的分布列如下，则（）X1234P p23p21﹣2p+p21﹣3p+p2A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，6p2﹣5p+2＝1，解得或．当时，，故，A不正确，B正确；，C正确；，则，D正确．故选：BCD．（多选）12．已知函数f（x）＝|x﹣2|+1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值可以是（）A．0.6B．0.7C．0.85D．0.75【解答】解：作出函数f（x）＝|x﹣2|+1的图象如图，直线y＝kx过坐标原点O，若k≤0，不满足方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，当k＝1时，直线y＝x与射线y＝x﹣1（x≥2）所在直线平行，，则要使方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则k∈（），结合选项可得，实数k的取值可以是ABCD．故选：ABCD．三．填空题（共4小题）13．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划“招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C 招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为．【解答】解：∵该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率P＝xy+x（1﹣y）+y（1﹣x）＝﹣xy＝，∴该同学至少通过1所大学招生考试的概率为1﹣（1﹣x）（1﹣y）＝+＝＝，由﹣xy＝得，x+y﹣xy＝，∴x+y＝，即xy﹣2+≥0，解得或，又∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜xy＜1，∴xy，∴该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率为，最大值为．故答案为：，．14．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为6+．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），∴P（X≥10）＝，由P（8≤X≤10）＝n，得P（10≤X≤12）＝n，又P（X＞12）＝m，∴m+n＝，且m＞0，n＞0，则＝（）（2m+2n）＝6+≥6+2＝6+4．当且仅当，即m＝，n＝时等号成立．∴的最小值为6+4．故答案为：6+．15．设随机变量ξ～B（2，P），随机变量η～B（3，P），若P（ξ≥1）＝，则P（η≥1）＝．【解答】解：∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）＝，∴P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＜1）＝1﹣C20•（1﹣p）2＝，∴p＝，∴P（η≥1）＝1﹣P（η＝0）＝1﹣C30（）0（）3＝1﹣＝．故答案为：．16．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是③④⑤．①事件A1，A2相互独立；②；③；④；⑤．【解答】解：由题意可得，，，，故②错误，P（A1A2）≠P（A1）P（A2），故①错误，∵＝，＝，故④正确，P（B|A3）＝＝，P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3）＝，故③正确，＝，故⑤正确．故答案为：③④⑤．四．解答题（共2小题）17．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为m；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为n．（1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：（2）现规定：若m＞n，则甲胜；若n≥m，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？【解答】解：（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：（2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则m＞n当m＝3时，n＝2，1，0，其概率为当m＝2时，n＝1，0，其概率为；当m＝1时，n＝0，其概率为；∴甲获胜的概率为若乙获胜，则m≤n当n＝2时，m＝2，1，0，其概率为；当n＝1时，m＝1，0，其概率为；当n＝0时，m＝0，其概率为；∴乙获胜的概率为甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的．18．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：红灯12345等待时间（秒）6060903090（1）设学校规定7：20后（含7：20）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，该同学会迟到，∴这名学生迟到的概率：p＝．（2）由题意知X～B（5，），∴P（X≥2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）＝1﹣﹣＝．（3）由题意知Y＝0，1，2，3，4，5，P（Y＝0）＝，P（Y＝1）＝，P（Y＝2）＝，P（Y＝3）＝（）3＝，P（Y＝4）＝，P（Y＝5）＝＝，∴随机变量Y的分布列：Y012345P∴EY＝＝．。

2022-2023学年北京市人大附中北京经济技术开发区学校高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则（ ）()|P B A =A ．B ．C ．D ．12131416【答案】D【分析】求出事件和事件所含基本事件的个数，然后可计算出概率．A AB 【详解】由题意，，∴．()3618n A =⨯=()3n AB =()31(|)()186n AB P B A n A ===故选：D ．【点睛】本题考查条件概率，掌握求条件概率的方法是解题基础．2．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格60%40%率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）95%90%A ．B ．C ．D ．0.920.930.940.95【答案】B【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品A 为事件，B 则，，()0.6P A =()0.4P B =记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，:C ()0.95P C A =()0.9P C B =所以，()()()()()()()0.60.950.40.9P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=⨯+⨯.0.93=故选：B.3．已知随机变量的分布列为，则（ ）X ()()1,2,3,410kP X k k ===()13P X <≤=A ．B ．C ．D ．310351215【答案】C【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可.【详解】随机变量的分布列为X ()()1,2,3,410kP X k k ===，2(2)10P X ∴==3(3)10P X ==231(13)10102P X ∴<=+= 故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取到次品的个数，则等于( )ξ()E ξA ．B ．C ．D ．1358151415【答案】A【分析】依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望；ξ012【详解】解：由题意知的可能取值为，，，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，ξ012所以，，．27210C 7(0)C 15P ξ===1173210C C 7(1)C 15P ξ⋅===23210C 1(2)C 15P ξ===所以．()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=故选：A ．5．掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为，事件B 的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）()P A ()P B ()1P A B -⋂A ．两个点数都是偶数B ．至多有一个点数是偶数C ．两个点数都是奇数D ．至多有一个点数是奇数【答案】D【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数，A B ⋂由概率指的是事件的对立事件的概率，()1P A B -⋂A B ⋂则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.A B ⋂故选：D.6．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为.若设事件“为奇数”，事件“为偶数”，事x A =x B =x 件“为3的倍数”，事件“”，其中是相互独立事件的是（ ）C =xD =3x ≤A ．事件与事件B ．事件与事件A B BC C ．事件与事件D ．事件与事件A D C D【答案】B【分析】分别写出，，， 包含的样本空间，根据相互独立事件满足的乘法公式，即可判A B C D 断.【详解】由题意可得，3，5，，，4，6，，,，,{1A =7}{2B =8}{3C =6}{}1,2,3D = ,{}{}{},6,1,3,3AB BC AD CD =∅===由古典概型概率公式可得：,()()()()1113,,,2248P A P B P C P D ====()()()()1110,,,848P AB P BC P AD P CD ====所以，，,，()()()P AB P A P B ≠()()()P BC P B P C =()()()P AD P A P D ≠()()()P CD P C P D ≠故ACD 错误，B 正确．故选：B7．随机变量的分布列是X X-212Pab12若，则（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4()336E X +=()D X =【答案】B【解析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式()336E X +=,a b 即可求出．()D X【详解】由题意可知，，()111621321363a a b a b b ⎧⎧=⎪++=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+++==⎩⎪⎩又，所以；()()33336E X E X +=+=()1E X =所以.()()()()2221112111212632D X =--⨯+-⨯+-⨯=故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8．已知是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：,x y x12345y4m 9n11其回归直线过点的一个充分不必要条件是（ ）A ．B ．ˆˆˆy bx a =+()37，5m n ==6m n ==C ．D ．11+=m n 56m n ==，【答案】D【分析】由回归直线过可求，结合充分、必要条件即可求解.()37，11+=m n 【详解】若回归直线过点，由题知，故为样本中心，所以ˆˆˆy bx a =+()37，5115,3i i x x ===∑()37，，，所以的一个充分不必要条件可以是.491135m n ++++=11+=m n 11+=m n 56m n ==，故选：D9．若数列{an }满足，则的值为（ ）1112,1nn n a a a a ++==-2020a A ．2B ．－3C ．D ．12-13【答案】D 【解析】分别求出，得到数列是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果.23456,,,,a a a a a {}n a 【详解】由题意知，，，，，，…，212312a +==--3131132a -==-+411121312a -==+51132113a +==-612312a +==--因此数列是周期为4的周期数列，{}n a ∴.20205054413a a a ⨯===故选D.【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.10．已知随机变量的分布列为：ξξx y Pyx则下列说法正确的是（ ）A ．存在x ，，B ．对任意x ，，(0,1)y ∈1()2E ξ>(0,1)y ∈1()4E ξ≤C ．对任意x ，，D ．存在x ，，(0,1)y ∈()()D E ξξ≤(0,1)y ∈1()4D ξ>【答案】C【分析】对A 、B ：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C ：先求，利用作差法比()D ξ较大小；对D ：换元令，结合二次函数求的取值范围.t xy =()D ξ【详解】由题意可得：，且，即，()1,,0,1x y x y +=∈11,22x y ≠≠1y x =-对A 、B ：由题意可得：，()2()22122E xy yx xy x x x x ξ=+==-=-∵开口向下，对称轴，，()222f x x x=-12x =110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则，故，()()11010,22f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭10()2f x <<即，()102E ξ<<不存在x ，，，A 错误；(0,1)y ∈1()2E ξ>例如，则，即存在x ，，，B 错误；12,33x y ==()4194E ξ=>(0,1)y ∈1()4E ξ>对C ：，[][]()()222222()()()224D x E y y E x x xy y y xy x xy x y ξξξ=-⨯+-⨯=-+-=-则，2222()()440D E xy x y xy x y ξξ-=--=-<故对任意x ，，则，C 正确；(0,1)y ∈()()D E ξξ<对D ：令，()110,24t xy E ξ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭则开口向下，对称轴，且，()24g t t t=-18t =()11100,4816g g g ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，即，()1016g t <≤10()16D ξ<≤不存在x ，，，D 错误；(0,1)y ∈1()4D ξ>故选：C.二、填空题11．已知随机变量X 服从正态分布，若，，则()2,N μσ()260.6P X <<=()60.2P X ≥=______．μ=【答案】4【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可.()2P X ≤【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥∴与关于对称26x μ=∴．4μ=故答案为：412．已知随机变量，则___________.23,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～()31D ξ-=【答案】6【分析】先根据二项分布求出，再按照公式求即可.()D ξ()31D ξ-【详解】由随机变量可得，则.23,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～()22231333D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭()()23136D D ξξ-==故答案为：6.13．袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答）ξξ【答案】2011【分析】由题意，服从超几何分布，求出的所有可能取值对应的概率，利用期望公式即可求解.ξξ【详解】解：由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,4，ξ，，，，()46411C 10C 22P ξ===()3165411C C 101C 33P ξ===()2265411C C 52C 11P ξ===()1365411C C 23C 11P ξ===，()45411C 14C 66P ξ===所以的数学期望，ξ()1105212001234223311116611E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：.201114．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则______.()E X =【答案】##3.56255716【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意银行营业时长为8小时，可得到达银行时服务窗口的个数X 的分布列为X 54342P183165161418则.13511()54342 3.56258161648E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：3.562515．已知x ，y ，，且，记随机变量为中的最大值，则__________.*z ∈N 10x y z ++=ξ,,x y z ()E ξ=【答案】173【分析】求出可能取值，求出相应的概率，得出的分布列，即可求出期望.ξξ【详解】由题意可得：的可能取值为，ξ4,5,6,7,8用隔板法可求得：事件总情况为种，29C 36=若，三个正整数为或，则有种，故；4ξ=3,3,42,4,41133C C 6+=()614366P ξ===若，三个正整数为或，则有种，故；5ξ=1,4,52,3,53333A A 12+=()1215363P ξ===若，三个正整数为或，则有种，故；6ξ=1,3,62,2,63133A C 9+=()916364P ξ===若，三个正整数为，则有种，故；7ξ=1,2,733A 6=()617366P ξ===若，三个正整数为，则有种，故；8ξ=1,1,813C 3=()3183612P ξ===故的分布列为：ξξ45678P16131416112故.1111117()456786346123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：.173三、解答题16．有三个同样的箱子，甲箱中有只红球，只白球，乙箱中有只红球，只白球，丙箱中有2664只红球，只白球.35（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；（2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.【答案】（1）；（2）.916049120【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解；（2）结合条件概率公式以及概率的加法公式求解.【详解】解:（1）记从甲箱中取一球为红球，从乙箱中取一球为红球，从丙箱中取一球1:A 2:A 3:A 为红球，取得的三球都为红球，且事件相互独立，:B 123,,A A A 所以，()()()1231339()458160P B P A P A P A =⋅⋅=⨯⨯=所以三球都为红球的概率为9.160（2）记该球为红球，取甲箱，取乙箱，取丙箱:C 1:D 2:D 3:D 因为()()()123133,,,458P C D P C D P C D ===所以()()()()()()112233()P C P D P C D P D P C D P D P C D =⋅+⋅+⋅11131349,343538120=⨯+⨯+⨯=所以该球为红球的概率为49.12017．地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100(1)求频率分布直方图中的值；m (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再[)[)[]70,80,80,90,90,100从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；ξ[)80,90ξ(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A 等级，成绩在的为B 等级，其它为C 等[]90,100[)70,90级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的B 人数不少于2人的概率.【答案】(1)；0.012(2)分布列见解析，数学期望为；911(3).0.352【分析】（1）根据频率和为列方程计算求解；（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在1的三组人数为，根据超几何分布计算取对应的概率，从而写[)[)[]70,80,80,90,90,1007,3,1ξ0,1,2,3出分布列并计算期望；（3）根据频率分布直方图判断出成绩为A ,B ,C 等级的频率分别为，可判断出从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B 等级的人数服从二项分布，0.04,0.4,0.56利用二项分布计算获得B 等级的人数不少于2人的概率.【详解】（1）由频率和为可得，120.004100.022100.03100.02810101m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+=解得.0.012m =（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，[)[)[]70,80,80,90,90,1007:3:1根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为，[)[)[]70,80,80,90,90,1007,3,1所以的可能取值为.ξ0,1,2,3，，()38311C 560C 165P ξ===()2183311C C 281C 55P ξ===，()1283311C C 82C 55P ξ===()33311C 10C 165P ξ===所以的分布列为ξξ123P5616528558551165()28819123555516511E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（3）由题意，成绩为A ,B ,C 等级的频率分别为，0.04,0.4,0.56设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B 等级的人数为，η则服从二项分布，η()~3,0.4B η所以获得B 等级的人数不少于2人的概率为223333C 0.40.6C 0.40.352P =⨯⨯+⨯=18．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，100测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法A 50kg 的箱产量不低于”，估计的概率；50kg A （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；99%箱产量50kg<箱产量50kg≥旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）．0.01附：()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）0.409299%．52.35kg 【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于B 50kg C ”，利用频率分布直方图计算出、的估计值，再利用独立事件的概率乘法公式可求50kg ()P B ()P C 得事件的概率；A（2）根据频率分布直方图可完善列联表，计算出的观测值，对比临界值表，由此可得出结22⨯2K 论；（3）在新养殖法对应的频率分步直方图中，利用中位数左边的直方图的面积之和为可求得中位0.5数的值.【详解】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于B 50kg C ”．50kg 由题意知．()()()()P A P BC P B P C ==⋅旧养殖法的箱产量低于的频率为，50kg ()0.0120.0140.0240.0340.0450.62++++⨯=故的估计值为.()P B 0.62新养殖法的箱产量不低于的频率为，50kg ()0.0680.0460.010.00850.66+++⨯=故的估计值为.()P C 0.66因此，事件的概率估计值为；A ()()()0.620.660.4092P A PB PC =⋅=⨯=（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量50kg<箱产量50kg ≥旧养殖法6238新养殖法3466，()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关；15.705 6.635>99%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，50kg ()0.0040.020.04450.340.5++⨯=<箱产量低于的直方图面积为，55kg ()0.0040.020.0440.06850.680.5+++⨯=>故新养殖法产量的中位数为，则，解得.x ()0.34500.0680.5x +-⨯=()0.165052.350.068x kg =+≈因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值为.52.35kg 19．如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，111ABC A B C -1BB ⊥ABC 90BAC ∠=︒E BC．12AC AB AA ===（1）求异面直线与所成的角的大小；AE 1A C （2）若为中点，求二面角的余弦值．G 1C C C AG E --【答案】（1）；（260 【分析】（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，1,,AB AC AA ,,x y z 1,AE AC 求得夹角的余弦值，然后求得夹角的大小.（2）通过计算平面和平面的法向量，利用空CAG EAG 间向量夹角公式，计算得二面角的余弦值.【详解】解：在三棱柱中，平面ABC ，，()1111ABC A B C -1BB ⊥90BAC ∠=E 是BC 的中点，．12AC AB AA ===以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，1AA 0，，0，，2，，1，，0，，(0,A 0)(2,B 0)(0,C 0)(1,E 0)1(0,A 2)1，，2，，(1,AE = 0)1(0,A C = 2)-设异面直线AE 与所成的角为，1A C θ则，111cos 2AE A C AE A C θ⋅===⋅，60θ∴= 异面直线AE 与所成的角为．∴1A C 602，，2，，()2(0,G 1)(0,AG =1)设平面AGE 的法向量y ，，(,m x = )z 则，取，得，020m AE x y m AG y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1,1,2m =- 平面ACG 的法向量0，，(1,n = 0)设二面角的平面角为，C AG E --α．cos m n m n α⋅===⋅二面角．∴C AG E --【点睛】本小题主要考查利用空间向量的方法计算异面直线所成角、计算二面角的余弦值，属于中档题.20．已知椭圆C :在椭圆C 上，O为坐标原点．22221(0)x y a b a b +=>>A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点l l 225x y +=，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．1P 2P 1OP 2OP1k 2k 12k k ⋅【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．2214x y +=【分析】（I ）根据椭圆的离心率和椭圆上的一点，列方程组，求解出点的值，从而求得椭圆,,a b c 方程；（II ）分斜率斜率存在和不存在讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式为零求得参数的相互关系，联立直线方程和圆的方程，写出韦达定理，由此计算出的值，即得.12k k ⋅【详解】Ⅰ由已知得：，解得：，，()221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2a =c =1b =所以椭圆C 的方程为：；2214x y +=Ⅱ当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为，()2x =±易得直线，的斜率之积，1OP 2OP 1214k k =-当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为，y kx m =+由方程组，得：，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以，即，()()222(8)441440km k m ∆=-+-=2241m k =+由方程组，得，225y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()2221250k x kmx m +++-=设，，则，，()111,P x y ()222,P x y 12221km x x k -+=+212251m x x k -=+所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++=⋅==，222222222252511551m km k km m m k k k m m k --+⋅+-++==--+将代入上式，得，2241m k =+212211444k k k k -+==--综上，为定值．12k k 14-21．已知集合.对集合A 中的任意元素，(){}1234,,,,,1,2,3,4i A x x x x x N i αα==∈=()1234,,,x x x x α=定义，当正整数时，定义（约定()12233441(),,,α=----T x x x x x x x x 2n ≥()1()()αα-=n n T T T ）.1()()αα=T T (1)若，求；(2,0,2,1)α=4()αT (2)若满足，且，求的所有可能结果；()1234,,,x x x x α={}0,1(1,2,3,4)i x i ∈=2()(1,1,1,1)α=T α(3)是否存在正整数n 使得对任意都有?若存()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x ()(0,0,0,0)α=n T在，求出n 的所有取值；若不存在，说明理由.【答案】(1)4()(0,0,0,0)T α=(2)、、、(1,0,0,1)(0,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,1)(3)存在，*{N |6}n n ∈≥【分析】（1）根据定义写出即可得结果.(),{1,2,3,4}n T n α∈（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；()T α(1,0,1,0)(0,1,0,1)α（3）由定义得，依次写出直到即可判断12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----()n T α()(0,0,0,0)α=n T 存在性，并确定n 的所有取值.【详解】（1）由题意，，，，()(2,2,1,1)T α=2()(0,1,0,1)T α=3()(1,1,1,1)T α=4()(0,0,0,0)T α=（2）由且，2()(1,1,1,1)α=T {0,1}(i 1,2,3,4)ix ∈=①，12232334344141121111x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧---=⎪⎪---=⎪⎨---=⎪⎪⎪---=⎩当或1时，，10x =411224||||||||1x x x x x x ---=-=同理，或1时，，20x =122313||||||||1x x x x x x ---=-=或1时，，30x =233424||||||||1x x x x x x ---=-=或1时，，40x =344113||||||||1x x x x x x ---=-=所以①等价于，则，，132411x x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩13x x ≠24x x ≠当，，则为满足；10x =20x =α(0,0,1,1)当，，则为满足，10x =21x =α(0,1,1,0)当，，则为满足，11x =20x =α(1,0,0,1)当，，则为满足，11x =21x =α(1,1,0,0)综上，的所有可能结果、、、.α(1,0,0,1)(0,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,1)（3）存在正整数n 使且，理由如下：()(0,0,0,0)α=n T *{N |6}n n ∈≥由，则，()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----所以，21322413424()(|2|,,|2|,)T x x x x x x x x x x α=+--+--若，，132|2|a x x x =+-134|2|b x x x =+-所以，324242424()(||,||,||,||)T x x a x x b x x b x x a α=--------若，则，，，2424||||||c x x a x x b =-----4()(,0,,0)T c c α=5()(,,,)T c c c c α=6()(0,0,0,0)T α=所以，对都有，()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 6()(0,0,0,0)T α=当时，恒成立，7n ≥()(0,0,0,0)α=n T 综上，n 所有取值为使成立.*{N |6}n n ∈≥()(0,0,0,0)α=n T 【点睛】本题解题关键是理解清楚集合定义，按照所给定义结合已知分析推理即可.。

高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（ ）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（ ）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（ ）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的 ，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（ ） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（ ） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（ ） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（ ）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分） 已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时， ，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时， ，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令 则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。

三明一中2022-2023学年下学期高二第1次月考数学学科试卷（总分150分，时间：120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线()ln f x x x =在1x =处的切线的方程为A .022=--y xB .01=--y xC .01=-+y x D .013=--y x 2.有3名新冠肺炎疫情防控的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有A .12种B .9种C .8种D .6种3.函数()()ln 21f x x x =-+的单调递增区间是A .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．函数()||2()e 2x f x x =-的大致图像为A ．B ．D ．C.5.把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为A .1B .πC .2D .216.《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有A .30种B .54种C .60种D .64种7.若函数()21ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为A .10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.对任意()0,x ∈+∞，不等式()()1ln e xa x ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为A .(]0,1B .(]0,e C .(]0,2e D .(20,e⎤⎦二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是函数()y f x =的导函数()f x '的图象，则下面判断正确的是A .()f x 在(3,1)-上是增函数B .()f x 在(1,3)上是减函数C .()f x 在(1,2)上是增函数D .当4x =时，()f x 取得极小值10.在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到A,B,C 三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是A .共有18种安排方法B .若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法C .若A 学校需要两名志愿者，则有24种安排方法D .若甲被安排在A 学校，则有12安排方法11.已知函数()2ln f x x x =-，则下列说法正确的是A .()f x在2x =处取得最大值B .()f x在12⎛ ⎝⎭上单调递增C .()f x 有两个不同的零点D .()2e 2xf x x <--恒成立（第9题图）12.已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则A .baa b<B .eeabab >C .eeb aa a >D .eeb ba a <三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.小明跟父母､爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．则小明的父母都与他相邻的排法总数为****．14.由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数****．15.设函数()ln 2f x x mx =-（m 为实数），若()f x 在[1,)+∞上单调递减，则实数m 的取值范围****．16.已知奇函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[)0,x ∈+∞，都有()()30f x xf x '+>恒成立，()22f =，则不等式()()31116x f x --<的解集是****．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（10分）求值：（要有详细的运算过程）（1）计算：215103134A A A A -+;（2）已知()22*1717C C N x x x +=∈，求x .已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极小值1.（1）求实数,a b 的值；（2）求函数()y f x =在区间[]22-,上的值域.19.（12分）（1）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序共有多少种；（2）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有多少种不同的分配方法．.已知函数()2(1)xf x x e ax =--．（1）讨论()f x 单调性；（2）若函数()()xg x f x xe x =-+在[]1,2上不单调，求a 的取值范围．21.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件.(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a .已知函数()()1e 1xf x x =-+.（1）证明：()2102f x x +≥；（2）若0x ≥时，()()ln 1f x mx x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.三明一中2022-2023学年下学期高二第1次月考数学学科参考答案一、选择题123456789101112BCDACBABCDBDABDAD二、填空题13.12种14.22个15.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16.()1,3-三､解答题17.解：（1）215103134A A 5410101A A 321410-⨯-===+⨯⨯+………………5分（2）已知221717C C x x +=，则22x x =+或2(2)17x x ++=………………7分解得：2x =或5x =，经检验均符合.………………9分故2x =或5x =.…………………10分18.解：（1）因为()322f x x ax bx a =+++，所以()232f x x ax b '=++，………………1分根据题意，(1)1,(1)0,f f =⎧⎨='⎩………………3分即121,320,a b a a b +++=⎧⎨++=⎩………………5分解得a ＝3，b ＝－9，经检验满足题意.………………6分（2）由（1）知，()()()()322396,369331f x x x x f x x x x x =+-+=+-=+-'，令()0f x '=，解得3x =-或1x =，………………7分当[]2,2x ∈-时，()f x '及()f x 的变化情况如下表：x 2-()2,1-1()1,22()f x '-+()f x 28单调递减1单调递增8………………9分因此当1x =时，()f x 取得最小值()11f =，当2x =-时，()f x 取得最大值()228f -=，………………11分故()f x 的值域为[]1,28.………………12分19.解：（1）先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有=344C 种，………2分再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有552260A A =，总共有460240⨯=种.………………5分（2）根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，………………8分二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，………………11分所以共有6090150+=种分配方法.………………12分20.解：（1）函数)(x f 的定义域为R ,()()'(1)22x x x f x e x e ax x e a --=+-=，……………1分（i ）当0a ≤时，20xe a ->，所以0x <时，()'0f x <，此时()f x 单调递减；0x >时，()'0f x >，此时()f x 单调递增；……………2分（ii ）当102a <<时，ln 20a <时，令()'0f x >，得ln 2x a <或0>x ，令()'0f x <，得ln 20a x <<，所以()f x 的单调递增区间为),0(),2ln ,(+∞-∞a ，()f x 的单调递减区间为)0,2(ln a ……………3分（iii ）当12a =时，()'0f x ≥恒成立，()f x 在R 上单调递增.……………4分（iv ）当12a >时，ln 20a >，令()'0f x >，得ln 2x a >或0<x ，令()'0f x <，得0ln 2x a <<，所以()f x 的单调递增区间为),2(ln ),0,(+∞-∞a ，()f x 的单调递减区间为)2ln ,0(a 5分综上所述：当0a ≤时，()f x 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；当102a <<时，()f x 在()ln 2,0a 上单调递减，在(),ln 2a -∞和（0，+∞）上单调递增；当12a =时，()f x 在R 上单调递增；当12a >时，()f x 在()0,ln 2a 上单调递减，在(),0-∞和),2(ln +∞a 上单调递增.……………6分（2）函数()()2xxg x f x xe x x e ax =-+=--，若函数()g x 在[]1,2上不单调，则()'0g x =在()1,2上有解.……………7分又()'120xg x e ax =--=，可得：12xe a x-=……………8分令()1xe h x x -=，则有()()()()221'11x x x e x e x e h x x x---=-⋅-=，……………9分因为()1,2x ∈，则有()'0h x <恒成立，所以()h x 在()1,2上单调递减，……………10分所以()21,12e h x e ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即21212e a e -<<-，……………11分解得：21142e e a --<<，则a 的取值范围为21,41(2ee --.……………12分21.解：（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．……………3分（2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，……………4分令0L '=，解得：3823a x +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤，……………5分①当38216173a +≤<，即5 6.5a ≤<时，……………6分当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减，……………7分∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -；……………8分②当38217183a +≤≤，即6.58a ≤≤时，……………9分当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，……………10分∴当17x =时，L 取最大值7a -，……………11分综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩……………12分22.解：（1）证明：令()()()22111e 122x g x f x x x x =+=-++，x ∈R ，()00g =，………1分()()e 1x g x x '=+，由()0g x '<可得0x <，由()0g x '>可得0x >.……………2分所以，函数()g x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+，……………3分所以，()()00g x g ≥=，故原不等式得证.……………4分（2）解：当0x ≥时，由()()ln 1f x mx x ≥+可得()()1e ln 110x x mx x --++≥，…………5分令()()()1e ln 11x h x x mx x =--++，其中0x ≥，()()e ln 11x x h x x m x x ⎡⎤'=-++⎢⎥+⎣⎦，且()00h '=，……………6分令()()p x h x '=，其中0x ≥，则()()()()()()32221e 21e 211xx m x x x p x x m x x x ⎡⎤+++'=+-=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，令()()31e 2xx t x m x +=-+，其中0x ≥，则()()()()222157e 02xx xx t x x +++'=>+，所以，函数()t x 在[)0,∞+上为增函数，则()()min102t x t m ==-.……………7分①当102m -≥时，即当12m ≤时，对任意的0x ≥，()0p x '≥且()p x '不恒为零，故函数()p x 在[)0,∞+上为增函数，则()()00h x h ''≥=且()h x '不恒为零，故函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，则()()00h x h ≥=，合乎题意；……………8分②当102m -<时，即当12m >时，()1002t m =-<，()()()33321e 1210222mm m m m m t m m m m m m +++++=->-=>+++，高二数学第5页共5页所以，存在()00,x m ∈，使得()00t x =，当00x x <<时，()0t x <，则()0p x '<，此时函数()p x 单调递减，则当00x x <<时，()()00p x p <=，即()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递减，所以，()()000h x h <=，不合乎题意.……………11分综上所述，12m ≤.……………12分。

2022—2023学年第二学期期初考试高 二 数 学（B ）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1. 抛物线24y x =的准线方程是( ).A ．1x =−B ．1x =C ．1y =−D ．1y =2. 在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则3a =( ).A ．3B ．9C ．27D ．813. 若0a <，0b <，则直线1x ya b+=经过第( )象限. A ．一、二、三B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二､三､四4. 下列求导数运算正确的是( ).A ．(2)2x x '=B ．21(log )x x'=C ．22()x x e e '=D ．(sin )cos x x '=5. 圆221:4C x y +=与圆222:68240C x y x y +++−=的位置关系为( ).A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切6. 已知函数1()1ln f x x x=−−，则()f x 的图象大致为( ).7. 若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”. 下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( ).A ．22162x y +=B ．2219y x +=C ．22194x y +=D ．22184x y +=8. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，记{}n a 的前n 项和为n S ，则8n S n +的最小值为( ).A ．223B ．173 C ．D ．6二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分) 9. 下列四个结论，其中正确的有( ).A ．经过点(1,2)A ，(3,4)B 的直线的斜率为1 B ．直线30x y +−=的倾斜角为135°C ．直线1(2)y k x −=−恒过定点(2,1)D ．过点(2,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条10. 已知双曲线22:13x M y −=，则下列说法中正确的有( ).A ．双曲线M 的实轴长为2B ．双曲线M 的焦距长为4C ．双曲线M 的渐近线方程为y =D ．双曲线M11. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且45S S >，56S S =，67S S <，则下列说法中正确的有( ).A ．60a =B ．0 d <C ．当5n =或6时，n S 取最小值D ．100S <12. 已知函数()e x f x =，()ln g x x =，其中e 2.71828=，则下列说法中正确的有( ).A ．函数()y f x =与()y g x =的图象没有交点B ．函数()xy f x =与()g x y x=的最大值相等 C ．函数()()g x y f x =在(1,)+∞上单调递减 D ．函数()()y f x g x =⋅在(0,)+∞上单调递增三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 两条平行直线0x y −=与20x y −+=之间的距离为 .14. 若直线20x +=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长为 .15. 若x m =是函数2()(21)x f x x x e =−−的极小值点，则实数m 的值为 .16. 已知等差数列{}n a 中，13a =，公差0d >，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列{}n b 的前三项，则d = ；若对任意的正整数n ，6n n a b λ−≤恒成立，则实数λ的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知直线:3450l x y ++=，求：(1) 过点(1,1)A 且与直线l 平行的直线的方程； (2) 过点(1,1)A 且与直线l 垂直的直线的方程.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且11a =，10324a a −=. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知函数3()f x x ax =+，且(1)0f '=．(1) 求实数a 的值及曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； (2) 当[2,2]x ∈−时，求()f x 的最大值．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22()[(23)]1x m y m −+−−=，m ∈R . (1) 当1m =−时，过原点O 作直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2) 对于(2,2)P −，若圆C 上存在点M ，使MP MO =，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1(1)2(1)n n nS n S n n +−+=+，*n ∈N . (1) 求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2) 令22n n n b a a +=，证明：12361n b b b b ++++<.22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的离心率为2，且过点，设1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点S 为直线4x =上一动点（在x 轴上方），直线1A S 交椭圆C 于点M ，直线2A S 交椭圆于点N ，记12A SA △、MSN △的面积分别为1S 、2S .(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若1254S S =，求点S 的坐标.2022—2023学年第二学期期初考试高 二 数 学（B ）参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题四、解答题17. 【答案】(1) 因为直线:3450l x y ++=的斜率为34−，所以与直线l 平行的直线的斜率为34−，又所求直线过(1,1)A ，所以所求直线方程为1(1)43y x −=−−，即3470x y +−=. ················································ 5分(2) 因为直线:3450l x y ++=的斜率为34−，所以与直线l 垂直的直线的斜率为43，又所求直线过(1,1)A ，所以所求直线方程为1(1)34y x −=−，即4310x y −−=. ·················································· 10分18. 【答案】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则103111292(2)5a a a d a d a d −=+−+=−+，所以154a d −+=， 又11a =，所以1d =，所以1(1)n a n n =+−=. ····························································································· 6分 (2) 由(1)知2n n b =，所以12(12)2212n n n T +−==−−. ····················································································· 12分19. 【答案】(1) 2()3f x x a '=+，所以(1)30f a '=+=，即3a =−. ······································· 2分所以3()3f x x x =−，2()33f x x '=−，所以(2)2f =，(2)9f '=．所以曲线()y f x =在点(2,2)处的切线方程为29(2)y x −=−，即916y x =−． ··············· 6分(2) 由(1)得()3(1)(1)f x x x '=+−， 令()0f x '=，则x ＝1或－1．列表：所以()f x 在区间[2,2]−上的最大值为2． ···························································· 12分20. 【答案】(1) 当1m =−时，圆C 的方程为22(1)(5)1x y +++=，① 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，满足条件； ····································· 2分 ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =， 由直线l 与圆C 相切，则d r =1=，解得125k =，所以l 的方程为125y x =.综上得，直线l 的方程为0x =或1250x y −=. ······························································· 6分 (2) 圆心(,23)C m m −.要使得MP MO =，则M 在PO 的中垂线2y x =+上， ···················································· 8分 所以存在点既要在2y x =+上，又要在圆上，所以直线20x y −+=与圆C 有公共点， ···································································· 10分 所以d r ≤1≤，解得55m −≤≤+所以[5m ∈+. ·························································································· 12分21. 【答案】(1) 因为1(1)2(1)n n nS n S n n +−+=+，所以121n nS S n n+−=+， ······························································································· 3分 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11211S a ==，公差为2的等差数列. ··················································· 5分(2) 由(1)得2(1)22nS n n n=+−⨯=，则22n S n =， ························································· 6分 所以()22*122(1)422,n n n a S S n n n n n −=−=−−=−≥∈N . ················································· 7分 又12a =符合上式，所以()*42n a n n =−∈N . ································································ 8分 所以22111()(42)(46)218232n n n b a a n n n n +===−−+−+，·················································· 10分 所以123n b b b b ++++111111111111(1)()()()()()537592521232121283n n n n n n ⎡⎤=−+−+−++−+−+−⎢⎥−−−+−+⎣⎦111111111(1)()3212321868623n n n n =+−−=−+<++++. ··················································· 12分M C22. 【答案】(1)因为c e a ==，即222a c =，所以2222()a a b =−，即222a b =. 故椭圆方程为222212x y b b+=，代入点211b +=，解得22b =， 所以椭圆方程为22142x y +=. ····················································································· 4分 (2) 设(4,)S t ，则0t >，直线1:(2)6t SA y x =+，直线2:(2)2tSA y x =−.由221,42(2),6x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2222(18)44720t x t x t +++−=，解得12x =−，22223618t x t −+=+，即2223618M t x t −+=+. ··································································································· 6分同理，由221,42(2),2x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩可得22242N t x t −=+. ····································································· 8分所以1211221sin 12122144(4)(4)sin 2M N M N SA SA S S SA SA S SM SN x x x x SM SN S ⋅⋅∠⋅====⋅−⋅−−⋅−⋅⋅∠ ························ 10分 222222224242(18)(2)5(6)42362444182t t t t t t t +⋅−++===+−−+⋅−++，所以4220360t t −+=，即22(18)(2)0t t −−=，所以218t =或22t =.又0t >，所以S的坐标为或. ······························································· 12分。

宁远二中高二数学周考试题（2013.12）时量70分钟 满分100分 命题人：廖财春 考试内容：数学必修5及选修2-1一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是 （ ）A ．103-B ．6-C ．6D ．1032．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是 ( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->3. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =， 则10S 的值是 ( ) A ．511 B ．1023 C ．1533 D ．30694. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件． C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5. 设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆ 的面积是 （ ）A.1B.25C.2D.56. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是 （ ）A. 1B. 51C. 53D. 577. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为 A ．233 B ． 433 C ．43D ．843- ( ) 8．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是 （ ） A ．[]2,1B ．()2,1C ．()+∞,2D ． [)+∞,2宁远二中高二数学周考试题答卷（2013.12）班次 学号 姓名 得分一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.9．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .10. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是 .11. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .12. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 .三、解答题:本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13. （本小题满分10分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，⑴求12,a a 的值； ⑵数列{}n a 的通项公式。