最新黄冈中学自主招生预录考试数学训练题(三)含答案

高中预录考试数学训练题（三）

参考答案

一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 1．B ． 2．A ． 3．B ． 4．A ．

解析：黑甲壳虫爬行的路径为：

111111111......AA A D D C C C CB BA AA A D →→→→→→→→

白甲壳虫爬行的路径为：

111111111......AB BB B C C D D A A A AB BB →→→→→→→→

黑，白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因为 =336×6，所以当黑，白两个甲壳虫各爬行完第 条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点A ，白甲壳虫也停在点A ． 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 5．3． 6．50． 7．36． 8．2

1

221

2+≤-≥

k k 或． 9

．1

9n -⨯．

10．1111 113

2

，，．

解析：

2221112=333()1113=4()3(0)

425()26111=5x y z k

x k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨+⎪⎪⎪⎪

+=++=⎩⎩⎪⎪=+⎪⎪

⎩+⎩

令1111

,,1132

k x y z x y z ⇒=++=

+⇒=+=== 11．11．

解析：因为每份菜单价（单位：元）分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9，共9种菜，所有符合要求的购菜方案为：1+9，2+8，3+7，4+6，1+2+7，1+3+6，1+4+5，2+3+5，

A B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

1+2+3+4，共9种，又共有92人就餐，∴92÷9=10……2． 12．0．

解析：分别画出函数22y

x

x 和2y

x

（x ＞0）图象，因为函数22y x x 和2y x 的图象在第一象限内无交点，所以222x x x

无正数根．

另解：令2x －x 2=0，解得x 1=0，x 2=2，易知方程22

2x x x 的正数解x 的值

的范围应是0

x

＞1，所以原方程无正数根．

三、解答题（本大题共4小题，共60分）

13．（本题满分14分）（1）)90(≤≤=x x y A ，⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤+-≤≤=)91(,2)1(8

1)

10(,22

x x x x y B ； （2）当9=x 时，)(191092)1(8

1

32m x x y B =+=+-+

=，∴容器的总容量是19m 3；

（3）225225+<<-x ．

14．（本小题12分）由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数．注意到2，3，4，…， 中有1007个奇数，有1008个偶数．

（1）若裁判擦去的是奇数，不管甲取什么数，只要还有奇数，乙就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，乙获胜．

（2）若裁判擦去的数是偶数，不妨设裁判擦去的数是 ，则所剩的数配成1007对：（3，4），…，（2m -1，2m ），(2m+1，2m +2)，…，(202X ， )，不管乙取哪一个数，甲就去所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，甲一定获胜． 所以，甲获胜的概率为

2015

1008

． 15．（本小题18分）（Ⅰ）（1）∵a 1 =1，4S n =（a n +1）2，

∴当n =2时，4S 2=（a 2 +1）2，

4（a 1 + a 2）=（a 2 +1）2， 4（1 + a 2）=a 22 +2a 2+1， a 22﹣2a 2﹣3=0，

a 2 =﹣1（舍去）或a 2 =3， 当n =3时，4S 3=（a 3 +1）2， 4（a 1 + a 2 + a 3）=（a 3 +1）2， 4（1 + 3+a 3）=a 32 +2a 3+1， a 22﹣2a 2﹣15=0， a 3 =﹣3（舍去）或a 3 =5， ∴a 2 =3，a 3 =5；

（2）∵a 1 =1，a n +1﹣a n =2，∴a 2 =3，a 3 =5，…，a n =2n ﹣1，

∴T n =a 1+a 2+a 3 +…+a n =1+3+5+…+ 2n ﹣1=

1

2

n （1+ 2n ﹣1）= n 2； （Ⅱ）（1）∵a 1 =5，当a n 为奇数时，a n +1=3a n +1，当a n 为偶数时，a n +1=2

n

a ， ∴a 2=3a 1+1=3×5+1=16，a 3=

22a =16

2

=8； （2）S 3=a 1+a 2+a 3=5+16+8=29，∵a 4=32a =82=4，a 5=42a =42=2，a 6=52a =2

2

=1，

a 7=3a 6+1=3×1+1=4，a 8=72a =42=2，a 9=82a =2

2

=1，…

∴当n ≥3时，S n =771

(31)3770

(32)3766

(3)3n n n n n n +⎧⎪⎪

+⎪⎨⎪+⎪⎪⎩

被除余被除余能被整除；

（3）∵b n =(﹣1) n a n ，

∴b 1=﹣a 1=﹣5，b 2=a 2=16，b 3=﹣a 3=﹣8，b 4=a 4=4，b 5=﹣a 5=﹣2，b 6=a 6=1，b 7=

﹣a 7=﹣4，b 8=a 8=2，b 9=﹣a 9=﹣1，…

∴T 1= a 1 =﹣5，T 2=T 1+ a 2=11，T 3=T 2 + a 3=3，T 4=T 3+ a 4=7，T 5=T 4+ a 5=5，T 6=T 5+ a 6=6，

T 7=T 6 + a 7=2，T 8=T 7 + a 8=4，T 9=T 8 + a 9=3，…

∵ =336×6，∴T =T 6=6．

16．（本小题16分）（1）在旋转过程中，BH =CK ，四边形CHOK 的面积始终保持不变，其值为△ABC 面积的一半.

理由如下：连接OC ．∵△ABC 为等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，CO ⊥AB ， ∴∠OCK =∠B =45°，CO =OB ．

又 ∵∠COK 与∠BOH 均为旋转角，∴∠COK =∠BOH =α,∴△COK ≌△BOH ，

∴BH =CK ，S 四边形CHOK =S △COK +S △COH =S △BOH +S △COH =S △COB =

1

2

S △ABC =9. （2）①由（1）知CK =BH =x ，∵BC =6，∴CH =6－x ，根据题意，得12CH ·CK =5

2

，

即(6－x ）x =5，解这个方程得x 1=1，x 2=5，此两根满足条件：0＜x ＜6，所以当△CKH 的面积为

2

5

时，x 的取值是1或5； ②设△OKH 的面积为S ，由（1）知四边形CHOK 的面积为9，

∴S △OKH = S 四边形CHOK －S △CKH =9－

12x （6－x ）=12（x 2－6x ）+9=12（x －3）2+92

， ∵12>0，∴当x =3时，函数S △OKH 有最小值92

， ∵x =3满足条件0＜x ＜6，∴△OKH 的面积存在最小值，此时x 的值是3.