正比例函数
内容
正比例函数概念
内容解析
一次函数是最简单的函数模型之一。正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积。
小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型。正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y=kx(k是常数，k≠0）的函数叫正比例函数。概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程。这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到
知识技能目标
1.理解正比例函数的概念；
2.根据实际问题列出简单的正比例函数的表达式．
过程性目标
1.经历由实际问题引出正比例函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系；
2.探求正比例函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力．
教学重点
正比例函数的概念，体会具体函数模型研究的一般方法
教学过程
一、创设情境
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？
师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。
思考下列问题：
1. y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？
2.自变量与常量按什么运算符号连接起来的？
3.（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3）呢？
师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。
设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量。
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，
一些练习本摞在一起的总厚度h
（单位：cm ）随练习本的本数n 的
变化而变化．
（4）冷冻一个0°C 的物体，使它每
分钟下降2°C ，物体温度T （单位：°C ）
随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变
化．
师生活动：学生独立写出函数解析式，老师课堂巡视，并进行个别指导。
设计意图：为抽象正比例函数概念提供典型样例。
二、观察概括，形成概念。
问题3 认真观察以上出现的四个函数解析式，说说它们有什么共同点?
师生活动：学生先思考，与小组内同学交流意见；老师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积的形式”为止，老师给出正比例函数的概念：一般地，形如 y=kx(K 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数
追问：所有这些正比例函数，函数数值与相应的自变量值的比有什么特点？
三、辨析概念
问题4、下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值．
（1）y=-0.1x （2） 2
x y
（3）y=2x 2 （4）y 2=4x
追问：如果y 是x 的正比例函数，说出其中的比例系数。
师生活动：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义。
四、学以致用
问题5.列式表示下列问题中y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm ，周长为ycm.
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x 元，他这年（12个月）的总收入为y 元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
师生活动：学生独立完成，小组内交流成果。
追问：在（2）中，此人若每月收入6000元，则一年收入是多少？若一年收入是8400元，则每月收入是多少？
设计意图：帮助学生进一步理解正比例函数解析式的特点，体会正比例函数解析式的特征与对应关系。
问题6、下列说法正确的打“√”，错误的打“×”
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）
（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）
（4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（）
提示：在特定条件下自变量可能不单独就是x了，要注意自变量的变化
问题7、填空：
1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.
2.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________.
3.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.
问题8、已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值．
问题9、若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=6时，求出对应的函数值y.
五、回顾总结
你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？
1.从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积．
2.从外形特征看：一般情况下y=kx(常数k≠0)；
3.从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认为正比例函数
4.从函数关系看：比例系数k一确定，正比例函数就确定；必须知道两个变量x、y
的一对对应值即可确定k．
5.从方程角度看：如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．作业：教科书87页练习第1题。
