中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性练习题和测验题
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函数的极值、最大值和最小值练习题 一、求下列函数的极值： 1、
1 x
y e cos x
x
2
2、
yx
54 二、求函数 y x ( x 0)的最值 . x
曲线的凹凸性和拐点练习题
一、填空题： 1、 若函数 y f ( x )在（ a , b ）可导，则曲线 f ( x )在 ( a , b )内取凹的充要条件是____________. 2、 曲线上____________的点，称作曲线的拐点 . 2 y ln( 1 x ) 的拐点为__________. 3、 曲线 4、 曲线 y ln( 1 x )拐点为_______.
x ln( 1 x ) x . 二、若 x 0,试证 1 x
三、设 f ( x ) ax 3 bx 2 cx d 有拐点（1，2） ， 并在该点有水平切线， f ( x )交 x 轴于点（3，0） ， 求 f ( x ).
（A）必有； （B）可能有； （C）没有； （D）无法确定.
3、如果 f ( x )在[a , b]连续，在 (a , b)可导， c 为介于 a , b 之间的任一点，那么在 (a , b)（ ）找到两点 x 2 , x1，使 f ( x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f (c)成立. （A）必能； （B）可能； （C）不能； （D）无法确定能 . 4、若 f ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b)内可导，且 x (a, b)时， f ( x ) 0 ，又 f (a ) 0 ,则（ ）. （A） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （B） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （C） f ( x )在[a , b]上单调减少，且 f (b) 0； （D） f ( x )在[a , b]上单调增加，但 f (b)的 正负号无法确定.
5、 f ( x 0 ) 0 是可导函数 f ( x )在 x 0 点 处有极值的（ ）. （A） 充分条件； （B） 必要条件 （C） 充要条件； （D） 既非必要又非充 分 条件. 6、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则（ ）. （ A） 极大值一定是最大值， 且极小值一定是最小值； （ B） 极大值一定是最大值， 或极小值一定是最小值； （C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值； （D）极大值必大于极小值 .
洛必达法则练习题
用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； 2 x ( 2 x )
2
1 ln( 1 ) x ； 2、 lim x arctan x
2 1 )； 4、 lim ( 2 x 1 x 1 x 1
1 tan x 6、 lim ( ) ； x 0 x
中值定理练习题
一、证明等式 arcsin 1 x arctan 1 x2 2 ( x (0,1) ) . 二、设 a b 0 ， n 1，证明
2
x
nb n1 (a b ) a n b n na n1 (a b ) .
三、证明
arctan a arctan b a b ；
7、若在 (a , b)内，函数 f ( x )的一阶导数 f ( x ) 0 ， 二阶导数 f ( x ) 0,则函数 f ( x )在此区间内( ). （A）单调减少，曲线是凹的； （B）单调减少，曲线是凸的； （C）单调增加，曲线是凹的； （D）单调增加，曲线是凸的. 8、设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ，且在点 a 的某
x a x a
பைடு நூலகம்
邻域中（点 a 可除外） ， f ( x )及 F ( x )都存在， f ' ( x) f ( x) 且 F ( x ) 0,则 lim 存在是 lim ' x a F ( x ) x a F ( x ) 存在的（ ）. （A）充分条件； （B）必要条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件 .
二、求曲线 y e arctan x 的拐点及凹凸区间 .
三 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 (1,3) 为 曲 线 3 2 y ax bx 的拐点？
中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性 测验题
一、选择题
1、若 f ( x )在 (a , b)可导且 f (a ) f (b) ,则（ ） （A） 至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （B） 一定不存在点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （C） 恰存在一点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （D） 对任意的 (a, b) ，不一定能使 f ( ) 0 . 2、已知 f ( x )在[a , b]可导，且方程 f(x)=0 在 (a , b)有 两个不同的根 与 ，那么在 (a , b)（ ） f ( x ) 0 .
3、 lim x cot 2 x ；
x 0
5、 lim x
x 0
sin x
；
2 7、 lim ( arctan x ) x . x
函数的单调性练习题
证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； x 2 2、当 x 4时， 2 x ； 1 3 3、若 x 0，则 sin x x x . 6
1 x
y e cos x
x
2
2、
yx
54 二、求函数 y x ( x 0)的最值 . x
曲线的凹凸性和拐点练习题
一、填空题： 1、 若函数 y f ( x )在（ a , b ）可导，则曲线 f ( x )在 ( a , b )内取凹的充要条件是____________. 2、 曲线上____________的点，称作曲线的拐点 . 2 y ln( 1 x ) 的拐点为__________. 3、 曲线 4、 曲线 y ln( 1 x )拐点为_______.
x ln( 1 x ) x . 二、若 x 0,试证 1 x
三、设 f ( x ) ax 3 bx 2 cx d 有拐点（1，2） ， 并在该点有水平切线， f ( x )交 x 轴于点（3，0） ， 求 f ( x ).
（A）必有； （B）可能有； （C）没有； （D）无法确定.
3、如果 f ( x )在[a , b]连续，在 (a , b)可导， c 为介于 a , b 之间的任一点，那么在 (a , b)（ ）找到两点 x 2 , x1，使 f ( x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f (c)成立. （A）必能； （B）可能； （C）不能； （D）无法确定能 . 4、若 f ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b)内可导，且 x (a, b)时， f ( x ) 0 ，又 f (a ) 0 ,则（ ）. （A） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （B） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （C） f ( x )在[a , b]上单调减少，且 f (b) 0； （D） f ( x )在[a , b]上单调增加，但 f (b)的 正负号无法确定.
5、 f ( x 0 ) 0 是可导函数 f ( x )在 x 0 点 处有极值的（ ）. （A） 充分条件； （B） 必要条件 （C） 充要条件； （D） 既非必要又非充 分 条件. 6、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则（ ）. （ A） 极大值一定是最大值， 且极小值一定是最小值； （ B） 极大值一定是最大值， 或极小值一定是最小值； （C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值； （D）极大值必大于极小值 .
洛必达法则练习题
用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； 2 x ( 2 x )
2
1 ln( 1 ) x ； 2、 lim x arctan x
2 1 )； 4、 lim ( 2 x 1 x 1 x 1
1 tan x 6、 lim ( ) ； x 0 x
中值定理练习题
一、证明等式 arcsin 1 x arctan 1 x2 2 ( x (0,1) ) . 二、设 a b 0 ， n 1，证明
2
x
nb n1 (a b ) a n b n na n1 (a b ) .
三、证明
arctan a arctan b a b ；
7、若在 (a , b)内，函数 f ( x )的一阶导数 f ( x ) 0 ， 二阶导数 f ( x ) 0,则函数 f ( x )在此区间内( ). （A）单调减少，曲线是凹的； （B）单调减少，曲线是凸的； （C）单调增加，曲线是凹的； （D）单调增加，曲线是凸的. 8、设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ，且在点 a 的某
x a x a
பைடு நூலகம்
邻域中（点 a 可除外） ， f ( x )及 F ( x )都存在， f ' ( x) f ( x) 且 F ( x ) 0,则 lim 存在是 lim ' x a F ( x ) x a F ( x ) 存在的（ ）. （A）充分条件； （B）必要条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件 .
二、求曲线 y e arctan x 的拐点及凹凸区间 .
三 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 (1,3) 为 曲 线 3 2 y ax bx 的拐点？
中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性 测验题
一、选择题
1、若 f ( x )在 (a , b)可导且 f (a ) f (b) ,则（ ） （A） 至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （B） 一定不存在点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （C） 恰存在一点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （D） 对任意的 (a, b) ，不一定能使 f ( ) 0 . 2、已知 f ( x )在[a , b]可导，且方程 f(x)=0 在 (a , b)有 两个不同的根 与 ，那么在 (a , b)（ ） f ( x ) 0 .
3、 lim x cot 2 x ；
x 0
5、 lim x
x 0
sin x
；
2 7、 lim ( arctan x ) x . x
函数的单调性练习题
证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； x 2 2、当 x 4时， 2 x ； 1 3 3、若 x 0，则 sin x x x . 6