第4章 函数的应用
第1讲 函数与方程
一、连续函数
连续函数： 非连续函数：
二、方程的根与函数的零点
()()()0001f x x f x x f x ∃、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点.
()()()=0y f x f x y f x x ⇔⇔2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标.
3、零点存在性定理：
()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ⎧⎪⇒⎨⋅<⎪⎩①=在上连续不断；函数=在内有零点②
p q 说明：是充分不必要条件.
()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点？
()()()[]()()()(),:,:,.
0.y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ⎧⎪⇒⎨⎪⋅<⎩①=在区间内单调；②=在上连续不断；函数=在内有唯一一个零点③
()f x 三、用二分法求=0的近似解
步骤：
()()()()()()()12121233131323231,,0;
2,;2
30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +⋅<+=
⋅<⋅<-<1、寻找使、令求、，用重复，，用重复；
4、直到
()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5
=3,2;
3,4;
0,1;
1.5,0.5;
0.75,0.25;
1.125,0.125;
0.3250.5,
1.125,0.75,
= 1.125x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例：用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取
()()0f x g x x 四、方程=的跟
五、含参的二次方程
方法：主要使用图像法，决不能用韦达定理.
()()21100,11,2x ax a ++=例、已知方程2的两实根分别在区间，上，求的取值范围.
()()()
121,32
6,2.a x x a a +=-∈∴∈--错误解：由韦达定理说明：此法会把的范围扩大
()正确解：由函数图像：
()()()00101030
92020f f a a f >⎧>⎧⎪⎪<+<⎨⎨⎪⎪+>>⎩⎩即 9 3.2a ∴-<<-
解题方法：
(1) 画图像；(2)判断端点，根的判别式，对称轴等；(3)解不等式.
第2讲 函数模型及其应用
一、3类函数的增长差异
2212log .x y y x y x ===、在同一直角坐标系中，画出函数①;②;③的图像
l o g ,
x n a x y a y x y x =>=>=随着的增大，增长速度 00log .x n
a x x x a x x >>>因此，总会存在一个，当时，就有
二、常见的5种函数模型
()()()()()21;
23;
4log ;
5.nx a a y ax b y ax bx c
y ma b y m nx b y mx b =+=++=+=+=+一次函数模型二次函数模型指数型模型对数型模型幂函数模型
根据散点图选择恰当模型：
三、应用题
1、理解模型；
2、列函数表达式，写出自变量取值范围；
3、求解.
例 某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份x ，产量y 给出四种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝
ax 2＋bx ＋c ，y ＝ax 12
＋b ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ 分析 由题目可获取以下主要信息：①已知函数模型；②选择最优模型．解答本题可先确定解析式，再通过数据拟合，选择最优模型．本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
解 由题知A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)．
①设模拟函数为y ＝ax ＋b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，
有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1.32a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝0.1b ＝1.
所以得y ＝0.1x ＋1.
此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．
②设y ＝ax 2
＋bx ＋c ，将A ，B ，C 三点代入，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝1.2
9a ＋3b ＋c ＝1.3
，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.05b ＝0.35c ＝0.7. 所以y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.
由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴x ＝3.5)，不合实际．
③设y ＝a x ＋b ，将A ，B 两点的坐标代入，有 ⎩⎨⎧ a ＋b ＝12a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0.48b ＝0.52，
所以y ＝0.48x ＋0.52.
把x ＝3和4代入，分别得到y ＝1.35和1.48，与实际产量差距较大．
④设y ＝ab x
＋c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1ab 2＋c ＝1.2
ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.8b ＝0.5c ＝1.4
， 所以y ＝－0.8×(0.5)x ＋1.4，
把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54
＋1.4＝1.35.
比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳．一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这样的趋势．因此，选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．
