2020高中数学新课标测试模拟试卷及答案(两套)

2020最新⾼考数学模拟测试卷含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．（1）化简?---160cos 120cos 20cos 20sin 212得（）（A ）-40sin 1（B ）-?20sin 20cos 1（C ）1 （D ）－1（2）双曲线8822=-ky kx 的⼀个焦点是（0，－3），则k 的值是（）（A ）1 （B ）－1（C ）315（D ）－315（3）已知)(1x fy -=过点（3，5），g （x ）与f （x ）关于直线x =2对称，则y =g （x ）必过点（）（A ）（－1，3）（B ）（5，3）（C ）（－1，1）（D ）（1，5）（4）已知复数3)1(i i z -?=，则=z arg（）（A ）4π（B ）－4π（C ）47π（D ）4cos(=+πθρ的距离为1，则r 属于集合（）（A ）}97|{<（D ）{9}（⽂）已知两条直线0:,:21=-=y ax l x y l ，其中a 为实数，当这两条直线的夹⾓在)12,0(π内变动时，a 的取值范围是（）（A ）（0，1）（B ）)3,33(（C ）)3,1( （D ）)3,1()1,33(Y 6．半径为2cm 的半圆纸⽚卷成圆锥放在桌⾯上，⼀阵风吹倒它，它的最⾼处距桌⾯（）（A ）4cm （B ）2cm（C ）cm 32 （D ）cm 3 7．（理）)4sin arccos(-的值等于（）（A ）42-π（B ）234π-（C ）423-π（D ）4+π（⽂）函数23cos 3cos sin 2-+=x x x y 的最⼩正周期为（）（A ）4π（B ）2π（C ）π（D ）2π②665646362C C C C +++③726-④26P 其中正确的结论为（）（A ）仅有①（B ）有②和③（C ）仅有②（D ）仅有③ 9．正四棱锥P —ABCD 的底⾯积为3，体积为,2 2E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的⾓为（）（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π10．给出四个函数，分别满⾜①)()()(y f x f y x f +=+ ②)()()(y g x g y x g ?=+③)()()(y x y x +=? ④)()()(y x y x ωωω?=?⼜给出四个函数的图象则正确的配匹⽅案是（）（A ）①—M ②—N ③—P ④—Q （B ）①—N ②—P③—M ④—Q（C ）①—P ②—M ③—N ④—Q （D ）①—Q ②—M③—N ④—P11．P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b为2c ，则21F PF ?的内切圆的圆⼼横坐标为（）（A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+12．某债券市场发⾏的三种值券：甲种⾯值为100元，⼀年到期本利共获103元；⼄种⾯值为50元，半年期本利共50.9元；丙种⾯值为100元，但买⼊时只付97元，⼀年到期拿回100元，这三种投资收益⽐例从⼩到⼤排列为（）M QNN（A ）⼄，甲，丙（B ）甲、丙、⼄（C ）甲、⼄、丙（D ）丙、甲、⼄第Ⅱ卷 (⾮选择题)⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．⼀个球的内接长⽅体的长、宽、⾼分别为1，2，3，则这个球的表⾯积是．14．若26)1()1(ax x -+展开式中的x 3项的系数为20，则⾮零实数a = ．15．△ABC 顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知A （－6，8），且△ABC的重⼼在原点，则过B 、C 两点的直线⽅程为． 16．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有的⾃然数n ，有2nn a t tS +=成⽴，若t a S nn n <∞→lim ，则t 的取值范围是．三、解答题：本⼤题共6⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设复数)23(sin cos 1πθπθθ<<+-=i z 且24arg θsin 21)4cos(2θπθ--的值．18．（理）（本题满分共12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为，M为棱A 1C 1上的动点．（Ⅰ）当M 在何处时，BC 1//平⾯MB 1A ，并证明之；（Ⅱ）在（I ）下，求平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成的⼆⾯⾓的⼤⼩；（Ⅲ）求B —AB 1M 体积的最⼤值． 18．（⽂）（图同理18，本题满分12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为a ，M 为A BA 11棱A 1C 1的中点（Ⅰ）求证BC 1//平⾯MB 1A ；（Ⅱ）求平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成的⼆⾯⾓的正切值；（Ⅲ）求B —AMB 1的体积．19．（理）（本题满分12分）设常数,01>>>b a 不等式0)lg(>-x x b a 的解集为M （Ⅰ）当ab =1时，求解集M ；（Ⅱ）当M=（1，+∞）时，求出a ，b 应满⾜的关系． 19．（⽂）（本题满分12分）已知函数)1(log )(x a a x f -= （其中a ＞0，且a ≠1），解关于x 的不等式)1()1(log 1->-fa x a20．（本题满分12分）⼀家企业⽣产某种产品，为了使该产品占有更多的市场份额，拟在2001年度进⾏⼀系列的促销活动，经过市场调查和测算，该产品的年销量x 万件与年促销费⽤t 万元之间满⾜：3－x 与t +1（t ≥0）成反⽐例，如果不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，已知2001年⽣产该产品的固定投资为3万tx x g 2)332(23)(++=时，则当年的产销量相等．（Ⅰ）将2001年的利润y 表⽰为促销费t 万元的函数；（Ⅱ）该企业2001年的促销费投⼊多少万元时，企业的年利润最⼤？（注：利润=收⼊－⽣产成本－促销费）21．（本题满分12分）A 、B 是两个定点，且|AB|=8，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建⽴直⾓坐标系．（Ⅰ）试求P 点的轨迹c 的⽅程；（Ⅱ）直线)(04R m m y mx ∈=--与点P 所在曲线c 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的⾯积的最⼤值．A22．（本题满分14分）已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)21(-=f 且满⾜x 、y ∈（－1，1）有)1()()(xyy x f y f x f ++=+．（Ⅰ）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数；（Ⅱ）对数列,12,21211nn n x x x x +==+求)(n x f ；（Ⅲ）（理）求证;252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n Λ（⽂）求证.2)(1)(1)(121->+++n x f x f x f Λ数学试题参考答案⼀、选择题（理）CBACD DCBCD AB （⽂）CBACD DCBCD AB ⼆、填空题（13）14π（14）5 （15）084=-+y x （16）),22(3+∞ 三、解答题 17．解：)24(arg θπθπ+=∴+=tg z tg z （2分）即2121cos 1sin θθθθtgtg -+=- 即212121θθθtgtg tg-+=即012222=-+θθtgtg（6分）212±-=∴θtg2124322πθπtgΘ（8分）)1(22cos )sin (cos 222sin 21)4cos(2θθθθθπθtg +=+=--∴2])21(1)21(21[22)21221(2222=------=-+=θθtg tg即22sin 21)4cos(2=--θπθ（12分）AA 1G18．（理）解：（I ）当M 在A 1C 1中点时，BC 1//平⾯MB 1A ∵M 为A 1C 1中点，延长AM 、CC 1，使AM 与CC 1延长线交于N ，则NC 1=C 1C=a连结NB 1并延长与CB 延长线交于G ，则BG=CB ，NB 1=B 1G （2分）在△CGN 中，BC 1为中位线，BC 1//GN⼜GN ?平⾯MAB 1，∴BC 1//平⾯MAB 1 （4分）（II ）∵△AGC 中， BC=BA=BG ∴∠GAC=90° 即AC ⊥AG ⼜AG ⊥AA 1 A AC AA =I 1平⾯（6分）∴∠MAC 为平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成⼆⾯⾓的平⾯⾓ 221==∠∴a a MAC tg ∴所求⼆⾯⾓为.2arg tg （8分）（Ⅲ）设动点M 到平⾯A 1ABB 1的距离为h M ．3221232361213131111a a a h a h S V V M M ABB B AB M M AB B =?≤?=?==?--即B —AB 1M 体积最⼤值为.1233a 此时M 点与C 1重合．（12分）18．（⽂）（Ⅰ）同（理）解答，见上（Ⅱ）同理科解答：设所求⼆⾯⾓为θ，则2=θtg （Ⅲ）3224323213111a a a V V ABB M AMBB =??==--19．（理）解：（I ）⾸先,0>-x x b a 即xx b a >即0,11)(>>∴>x baba x得由.1)1(1>-∴>-x x x x aa b a （3>--x x a a解得251-51+>x a251log +>∴a x ),251(log +∞+=∴a M （6分）（II ）令x x b a x f -=)(，先证),0()(+∞∈x x f 在时为单调递增函数 )212112212211()()()(,0x x x x x x x x b b a a b a b a x f x f x x -+-=+--=-+∞<<<Θ0,,0,,,011212212121<-∴<<-<∴<>>>x x x x x x x xb b b b a a a a x x b a Θ).()(21x f x f <∴得证（8分）欲使解集为（1，+∞），只须f （1）=1即可，即a －b=1，∴a =b+1 （12分） 19．（⽂）解：)1(log )1().1(log )(1 1a fa x fa x a -=-=--由可知0＜a ＜1 （4分）∴不等式)0()1(log )1(log )1()1(log即为（8分）10101110101<<<->-∴x aa a a a a a a x x xx ∴原不等式的解集为{x |0＜x ＜1} （12分） 20．解：（I ）由题意得21,0,1 3===+=-k x t t kx 代⼊得将（2分）123+-=∴t x从⽽⽣产成本为3)123(32++-t 万元，年收⼊为]2)332(23[)(xtx x x xg ++=（4分）]3)123(32[]2)332(23[]3)123(32[)(++--++?=++--=∴t x t x x t x xg y （6分）)0()1(235982≥+++-=t t t t∴年利润为y )0()1(235982≥+++-=t t t t（8分）（II ）y 4216250)13221(50)1(235982=-≤+++-=+++-=t t t t t （万元）当且仅当4271+y t t t 时即（12分）∴当促销费定为7万元时，利润最⼤．21．解（I ）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则A （－4，0），B （4，0）|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 （2分）∴2a =10 2c=8 ∴a =5，c=4 ∴P 点轨迹为椭圆19 2522=+y x（4分）（II ）04=--m y mx 过椭圆右焦点B （4，0）)0(192541925)4(2222≠=++=?=+-=m y x m yx y x x m y Θ092525)1681(9222=?-+++∴y y m y m整理得08172)259(22=-++y m y m（6分）2591814259724)(||2222122121+??+?+=-+=-∴m m m y y y y y y 2222190925m m m m +?+=*（8分）∵m 为直线的斜率，∴可令m=tg θ代⼊*得 )0sin (|sin 25cos 9sin 90|sec |25990192590||22222222221>?+=+=++=-θθθθθθθθθθθθθΘtg tg tg tg tg tg tg y y.4152490916290sin 9sin 1690sin 169sin 902==≤+=+=θθθθ当且仅当169sin sin 9sin 162==θθθ即即43sin =θ时，.415||max 21=-y y().15415821max =??=∴?AEF S （12分）22．证：（I ）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数（4分）（II ）1)2 1()(1-==f x f ，)(2)()()1()12()(21n n n n n nn nn n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=?++=+=+ )}({.2)()(1n n n x f x f x f 即=∴+是以－1为⾸项，2为公⽐的等⽐数列．1xf （4分）（III ）（理）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ΛΛ2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n⽽.2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n 252)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n Λ（6分）（III ）（⽂）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ΛΛ .2212)212(2 1121111->+-=--=---=--n n n。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量13(,)2BA =uu v ,31(,),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是（ ）(A) 各月的平均最低气温都在00C以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （ ） （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）185+（B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π （11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

高中数学新课标测试模拟试卷（一）一、填空题（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）1、数学是研究（）的科学，是刻画自然规律和社会规律的 科学语言和有效工具。

2、数学教育要使学生掌握数学的基本知识、（）、基本思想。

3、高中数学课程应具有多样性和（），使不同的学生在数学上得到不同的发展。

）能力。

4、高中数学课程应注重提高学生的数学（5、高中数学选修 2-2 的内容包括：导数及其应用、（复数的引入。

）、数系的扩充与 6、高中数学课程要求把数学探究、（块和专题内容之中。

）的思想以不同的形式渗透在各个模 7、选修课程系列 1 是为希望在（ ）等方面发展的学生设置的， 系列 2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。

8、新课程标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，（9、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与（ 的一种工具。

）。

）10、数学探究即数学（学习的过程。

）学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、 二、判断题（本大题共 5 道小题，每小题 2 分，共 10 分）1、高中数学课程每个模块 1 学分，每个专题 2 学分。

（） 2、函数关系和相关关系都是确定性关系。

（ 3、统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依 据。

（ 4、数学是人类文化的重要组成部分，为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值。

） ）（ ）5、教师应成为学生进行数学探究的领导者。

（）三、简答题（本大题共4道小题，每小题7分，共28分）1、高中数学课程的总目标是什么？2、高中数学新课程设置的原则是什么？3、评价学生在数学建模中的表现时，评价内容应关注哪几个方面？4、请简述《必修三》中《算法初步》一章的内容与要求。

四、论述题（本大题共2道小题，第一小题12分，第二小题20分）1、请完成《等差数列前n项和》第一课时的教学设计。

2、请您结合自己的教学经验，从理论和实践两个方面谈谈如何改善课堂教学中的教与学的方式，能使学生更主动地学习？答案一、填空题1、空间形式和数量关系2、基本技能3、选择性4、思维5、推理与证明6、数学建模7、人文、社会科学8、情感、态度、价值观9、三角函数10、探究性课题二、判断题1、错，改：高中数学课程每个模块2 学分，每个专题1 学分。

2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=_______．14．已知向量，且，则=_______．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_______．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【考点】极差、方差与标准差．【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．3．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【考点】程序框图．【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【考点】解三角形．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=2﹣i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．14．已知向量，且，则=5．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．（2）列联表如下：收绝收合计南区160 40 200北区270 30 300合计430 70 500∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED==30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE ⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE==30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．2020年9月9日。

65C ． -33D ． - 63，第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分．共 60 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A = {x || x - 2 |≤ 2, x ∈ R }, B = { y || y = - x 2,-1 ≤ x ≤ 2}, 则等于（）A ．RB ． {x | x ∈ R 且x ≠ 0}C ．{0}D ． ∅R（A∩B ）2 ． 已 知 cos(α - β ) =3 ,sin β = - 5 , 且α ∈ (0, π ), β ∈ (- π ,0), 则 s in α =51322（）A ． 3365B ． 63653．对于平面α 和共面的直线m ，n 下列命题中真命题是（）A ．若 m ⊥ α , m ⊥ n , 则n // αC ．若 m ⊂ α，n // α，则m // nB ．若 m // α，n // α，则m // nD ．若 m ，n 与α所成的角相等，则m // n4．数列{a }中，若 a = 1 ， a =n12n1 1 - an -1(n ≥ 2, n ∈ N ) 则 a2007的值为A -1B1 C 1D225.如果 f '(x) 是二次函数, 且 f '(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1,－那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()3),A. (0, 2π 3 ]B. [0, π 2π π 2π )∪[ , π)C. [0, ]∪[ 2 3 2 3, π) D.π 2π[ , ] 2 3a 2b 2| A ．(1,2 + 3 ⎤B (1, 3 ⎤⎡2+ 3, +∞)D ⎡2 - 3,2 + 3 ⎤11．如图, 直线 MN 与双曲线 C: x 2线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又NP= λPM (λ∈R), 则6．两直线 3x ＋y －2=0 和 y ＋a=0 的夹角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7．已知函数 y = f ( x )( x ∈ R)满足f ( x + 2) = f ( x ) 且当 x ∈ [-1,1]时f ( x ) = x 2 ，则y = f ( x )与y = log x 的图像的交点个数为（）7A ．3B ．4C ．5D ．68．若关于 x 的方程 4cos x - cos 2 x + m - 3 = 0 恒有实数解，则实数 m 的取值范围是A. [ -1,+∞)B. [-1,8]C [0,8]D [0,5]9．如图，在杨辉三角中，斜线的上方从 1 开始按箭 头所示的数组成一个锯齿形数列 1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为{a } ，则 a 等于n21A ．55B ．65C ．78D ．6610．已知点 F 、F 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点， P 为右1 2支上一点，点 P 到右准线的距离为 d ，若 | PF | 、PF| 、d 依次成等差数列，12则此双曲线离心率的取值范围是（）⎦⎦C⎣ ⎣ ⎦a 2 － y 2b 2 = 1的左右两支分别交于 M 、N 两点, 与双曲线 C 的右准→ →实数λ的取值为 ( )11A. B.1 C.2 D.2312．△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()1221A.1B.C.D.1或333第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．x2113．二项式(－)9展开式中的系数为________2x x14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15．过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B 分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________ 16．定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)+f(x)=0,且函数f(x+5)为奇函24数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是5；②函数f(x)的2图像关于点(5,0)对称；③函数f(x)的图像关于直线x=5对称；④42函数f(x)的最大值为f(5).2其中正确结论的序号是__________(写出所有你认为正确的结论的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分。

湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥的组合体D. 不能确定 2.已知集合{}1,3A =，{}3,4B =，则A B 等于（ ） A. {}1,3B. {}3,4C. {}3D. {}1,3,4 3.若()1cos 2πα+=-，322παπ<<，则sin α=（ ） A. 12B. 3±C. 32D. 3-4.如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 5.63a =，1b =，9a b ⋅=-，则a 与b 的夹角（ ）A. 120︒B. 150︒C. 60︒D. 306.已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b +的最小值为（ ） A. -2 B. 2C. 4D. -4 7.函数()f x = ） A . (),0-∞B. [)0,+∞C. [)2,+∞D. (),2-∞ 8.经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为( ) A. 220x y ++=B. 220x y --=C. 220x y -+=D. 220x y +-= 9.设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a << 10.函数f (x )=12-cos 2π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调增区间是( ) A. ππ2π-,2π22k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z B. π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z C. π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z D. πππ-,π44k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知角的终边过点(1,2)P -，则sin α的值为 ．12.若x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则xy 的最大值为_____．13.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．14.若实数x ，y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y=+的最大值为______.15.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A 处时，经观察，在河对岸有一参照物C 与学生前进方向成30角，学生前进200m 后，测得该参照物与前进方向成75︒角，则河的宽度为______m .三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.判断函数()4f x x x =+在[]1,4上的单调性，并求函数()f x 的最大值和最小值. 17.已知23cos(),(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.18. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；19.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直直线为2l .（1）求直线2l 方程；（2）求直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积．20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ； （2）求证：数列{}n a 是等差数列.。

2020年新课标II 高考仿真模拟卷数学（理科） 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数32(1)iz i =-，则z 在复平面内对应点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}2|30,{|14}A x x xB x x =-<=<<，则A B =IA ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3) 3．椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m = A ．23 B ．25 C ．23-D ．25-4．第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有A ，B ，C ，D ，E 5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且A 和B 是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是 A ．12B ．13C ．14D ．155．在四棱锥P ABCD -中，2PB PD ==，1AB AD ==，3PC ==，则AC =A ．2B．CD．6．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12B ．12-C．2D．7．在平行四边形ABCD 中，60,BAD ︒∠=3AB AD =，E 为线段CD 的中点，若6AE AB ⋅=u u u r u u u r ，则AC BD ⋅=u u u r u u u rA ．-4B ．-6C ．-8D ．-98．我国古代名著《九章算术》中用“更相减损术“求两个正整数的最大公约数，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝2916，b ＝1998时输出的a ＝A ．18B ．24C ．27D ．549．将奇函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ+-+<<的图象向右平移ϕ个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调减区间为A ．5(,)1212ππ-B ．5(,)1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,)1212ππ 10．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．3y x =±B ．3y x =C ．2y x =±D ．2y x =±12．已知定义在R 上的奇函数()f x 恒有(1)(1)f x f x -=+，当[0,1)x ∈时，21()21x xf x -=+，则当函数1()()3g x f x kx =--在[0,7]上有三个零点时，k 的取值范围是（ ）A ．12,415⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦ C ．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦D ．221,9153⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考新课标数学（理科）模拟试题（全国卷1）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”；③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-… 8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、① B 、①② C 、②③ D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()3,23D ．()3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

模拟试卷一(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 A [由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2)．故选A.]2．已知复数z ＝2＋i 1＋i ，则|z |＝( )A.52B.10C.102D.5C [z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )1－i 2＝3－i 2，所以|z |＝102，故选C.] 3．已知向量a ＝(1,2－λ)，b ＝(－2,3)，a∥b ，则实数λ＝( ) A ．3 B.72 C ．4D.92B [由a∥b 得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝72，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＜e )，ln x (x ≥e )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( ) A.1e B ．e C ．1D ．－1C [由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (e)＝ln e ＝1，故选C.] 5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值．我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A ．0.16B ．0.17C ．0.18D ．0.19B [设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.] 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．－2B ．2 C.12D ．－1D [执行程序框图，n ＝1，a ＝f (2)＝1－12＝12，n ＝2，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝－1，n ＝3，a ＝f (－1)＝1－1－1＝2，n ＝4，a ＝f (2)＝12，…，易知a 的取值以3为周期，所以当n ＝8时，a ＝－1，当n ＝9时，退出循环．输出的a ＝－1，故选D.]7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，2x ＋y ≥0，x ＋y －1≤0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，4B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4D [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B (－1,2)，作出直线y ＝2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时，目标函数取得最小值，z min ＝－2×12＋12＝－12，当直线经过点B (－1,2)时，目标函数取得最大值，z max ＝－2×(－1)＋2＝4，所以目标函数的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4，故选D.]8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32A [如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]9．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2)的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝4k π＋2π5，k ∈ZB ．x ＝4k π＋7π10，k ∈ZC ．x ＝2k π＋2π5，k ∈ZD ．x ＝2k π＋7π5，k ∈ZD [法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T 4＝9π20－π5＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象．令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D. 法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .]10．设函数f (x )＝ln x ＋1－ax x，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，若函数f (x )的极小值不大于a ，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B [易知函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，则1a ＞a ＞0，得0＜a ＜1.由f ′(x )＝1x －1x2＝0，得x ＝1，当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的极小值为f (1)＝1－a ，由题可知1－a ≤a ，所以a ≥12，又0＜a ＜1，所以12≤a ＜1，故选B.] 11．已知经过原点O 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点(M 在第二象限)，A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为( )A.x 29＋y 25＝1 B.x 236＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1 D.x 225＋y 224＝1 C [法一：由|AF |＝4得a －c ＝4，设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，又A (a,0)，所以线段AN 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫a －m 2，－n 2，F (a －4,0)．因为点M ，F ，P 在一条直线上，所以k MF ＝k FP ，即n －0m －(a －4)＝－n2－0a －m 2－(a －4)，化简得a ＝6，所以c ＝2，b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.法二：如图，取AN 的中点P ，连接MA ，OP ，因为O 是MN 的中点，P 是AN 的中点，所以OP ∥MA ，且|OP |＝12|MA |，因此△OFP ∽△AFM ，所以|OF ||AF |＝|OP ||AM |＝12，即c 4＝12，因此c ＝2，从而a ＝c ＋|AF |＝2＋4＝6，故b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.]12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ac cos C ，a cos C ＋3c cos A ＝0，则角A 为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ac cos C ，可得b ＝c 或cos C ＝0.易知cos C ≠0，从而B ＝C .由正弦定理得，sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，从而sin(π－B )＋2sin B cos A ＝0，所以cos A ＝－12，所以在△ABC 中，A ＝120°，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13．设函数f (x )＝sin x ＋x cos xax2(a ∈R ，a ≠0)，若f (－2 018)＝2，则f (2 018)＝________. －2 [易知函数f (x )＝sin x ＋x cos x ax2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝sin (－x )＋(－x )cos (－x )a (－x )2＝－sin x ＋x cos xax 2＝－f (x )，所以函数f (x )是定义域上的奇函数，所以f (2 018)＝－f (－2 018)＝－2.]14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．73[在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABC ­A 1B 1C 1，易知AC ＝BC ＝1，A 1C 1＝B 1C 1＝CC 1＝2.因为CC 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，A 1C 1⊥B 1C 1，所以V 棱台ABC ­A 1B 1C 1＝13CC 1·(S △ABC ＋S △A 1B 1C 1＋S △ABC ·S △A 1B 1C 1)＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋12×2＝73.] 15．桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半．如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为________．3 [若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜．若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜．若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜．若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜．综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握．]16．已知直线l ：x ＋2y －5＝0与定点A (1,2)，动点P 到点A 距离与到直线l 的距离相等，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，Q 是动点P 轨迹上的一点，|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长，则双曲线C 的离心率为________．5 [由题可知点A 在直线l 上，因而动点P 的轨迹为过点A 与直线l 垂直的直线，则点P 的轨迹方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，|FQ |的最小值即点F 到直线y ＝2x 的距离，由题知|FQ |的最小值恰为b ，那么直线y ＝2x 为双曲线的一条渐近线，从而ba＝2，则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝38，21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，n ∈N *.(1)求a 2，并证明n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝2n； (2)求S 2 019.[解] (1)令n ＝1，则2(a 1－a 2)＝－a 22，即a 22－2a 2＋34＝0，解得a 2＝12或a 2＝32，均符合题意．由21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，得21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n －1(a n －1－a n )＝－a 2n ，n ≥2.两式相减得2n(a n －a n ＋1)＝a 2n －a 2n ＋1， ∵a n －a n ＋1≠0，∴a n ＋a n ＋1＝2n，n ≥2.(2)由(1)得S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝38＋22＋24＋…＋22 018＝38＋4×1－41 0091－4＝41 0103－2324.18．(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．(1)①根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？ ②计算高一年级观看人数的样本方差．(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．[解] (1)①设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ，y ， 那么x ＝8＋6＋12＋14＋16＋23＋25＋33＋33＋3210＝20.2，y ＝9＋11＋15＋14＋16＋22＋26＋28＋33＋3510＝20.9，所以高二年级平均观看人数较多．②由①知x ＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差s 2＝110×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a ，b ，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C ，D ，E .从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a ，b )，(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种，设所求事件为事件A ，则事件A 包含(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，共6种不同的结果， 由古典概型概率计算公式得，P (A )＝610＝35.19．(本小题满分12分)如图所示的几何体B ­ACDE 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，DC ⊥平面ABC ，DC ＝1，EA ⊥平面ABC ，EA ＝ 2.(1)若在EB 上存在点F ，使得BE ⊥平面AFC ，试探究点F 的位置； (2)在(1)的条件下，求三棱锥F ­BCD 的体积．[解] (1)由AB ⊥AC ，EA ⊥平面ABC ，得AC ⊥平面EAB ，所以AC ⊥BE ， 若BE ⊥平面AFC ，只需BE ⊥AF ， 在直角△ABE 中，EB ＝AB 2＋AE 2＝6，由射影定理AB 2＝BF ·BE ，可知BF ＝46＝263＝23BE ，所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处．(2)由题可知S 四边形AEDC ＝12×(1＋2)×2＝1＋2，则V B ­AEDC ＝13×S 四边形AEDC ×AB ＝2＋223，由(1)知，F 在BE 上靠近E 的三等分点处，因而V F ­AEDC ＝13V B ­AEDC ＝2＋229，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以V F ­ABC ＝13×S △ABC ×23EA ＝13×2×223＝429，所以V F ­BCD ＝V B ­AEDC －V F ­AEDC －V F ­ABC ＝49.20．(本小题满分12分)已知定点N (6,8)与圆O ：x 2＋y 2＝4，动点M 在圆O 上，MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，线段OC 的垂直平分线上，是否存在点Q ，过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ，B )，使得|QA |＝|QB |，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，设P (x ，y )，则M (2x －6,2y －8)，因为点M 在圆O ：x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －6)2＋(2y －8)2＝4，从而可得圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1. (2)假设存在，设Q (x ，y )，若|QA |＝|QB |，则QC 2－1＝QO 2－4，即QO 2－QC 2＝3， 从而x 2＋y 2－(x －3)2－(y －4)2＝3，整理得，3x ＋4y －14＝0，故点Q 在直线3x ＋4y －14＝0上，而OC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，k OC ＝43，因而OC 的垂直平分线的方程为y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，整理得，6x ＋8y －25＝0，易知直线3x ＋4y －14＝0与直线6x ＋8y －25＝0平行， 因此不存在满足题意的点Q .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2＋b (a ＞0)，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值； (2)若函数f (x )有两个零点，求a 的值．[解] (1)由题可知f (0)＝1＋b ，f ′(x )＝e x－ax ，f ′(0)＝1，则函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y －1－b ＝x ，即y ＝x ＋1＋b ，由已知条件可得b ＝0，当a ＝1时，在[0,2]上，f ′(x )＝e x－x ＞0，函数f (x )在[0,2]上单调递增， 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)＝1，最大值为f (2)＝e 2－2.(2)法一：由(1)知f (x )＝e x－12ax 2，设g (x )＝f ′(x )＝e x－ax ，则g ′(x )＝e x－a ，令g ′(x )＝0，可得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．因而g (x )的最小值为g (ln a )＝a －a ln a ，若a －a ln a ≥0，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )不会有两个零点，不合题意，因而a －a ln a ＜0，即a ＞e.因为g (0)＝1＞0，g (1)＝e －a ＜0，所以f ′(x )＝0在(0,1)内有解，即存在x 1∈(0,1)使f ′(x 1)＝0，同时存在x 2∈(1，＋∞)，使得f ′(x 2)＝0，即0＜x 1＜1＜x 2，e x 1＝ax 1，e x 2＝ax 2，当x ∈(－∞，x 1)时f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时f (x )单调递增，f (x )的大致图象如图所示．由于f (x 1)＝e x 1－12ax 21＝ax 1－12ax 21＝12ax 1(2－x 1)＞0，所以，若函数f (x )有两个零点，则函数f (x )的极小值f (x 2)＝0，f (x 2)＝e x 2－12ax 22＝ax 2－12ax 22＝12ax 2(2－x 2)＝0，得x 2＝2.由e x 2－12ax 22＝0，即e 2－12a ×22＝0，得a ＝e 22.法二：由(1)知，b ＝0，则函数f (x )＝e x－12ax 2，显然x ＝0不是零点，令f (x )＝0，分离参数，则a ＝2exx2，设h (x )＝2e x x 2(x ≠0)，则h ′(x )＝2e x(x －2)x3，令h ′(x )＝0，则x ＝2. 易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)及x ∈(2，＋∞)时h (x )单调递增， 则h (x )的极小值为h (2)＝e 22，而当x ∈(－∞，0)时，h (x )＝2e xx 2＞0，数形结合可知，当a ＝e22时函数f (x )有两个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 3.(1)写出曲线C 的普通方程以及直线l 的直线坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积． [解] (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1，2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3可化为3ρcos θ－ρsin θ＝3， 由极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得，直线l 的直角坐标方程为3x －y－3＝0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d ＝32， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 24＋y 23＝1整理得，5x 2－8x ＝0，解得x ＝0或85，不妨令x 1＝0，x 2＝85，从而得A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，由两点间距离公式得|AB |＝165，所以S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×165×32＝435.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )≤|x |＋1；(2)若存在实数m ，使得f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＜m 有解，求m 的取值范围．[解] (1)由已知得，f (x )≤|x |＋1，即|2x －1|≤|x |＋1， 所以当x ＜0时，1－2x ≤－x ＋1，得x ≥0，此时无解； 当0≤x ＜12时，1－2x ≤x ＋1，得x ≥0，此时0≤x ＜12；当x ≥12时，2x －1≤x ＋1，得x ≤2，此时12≤x ≤2.从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)设g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则g (x )＝|2x －1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤12，3x －2，12＜x ＜1，x ，x ≥1，作出函数g (x )的大致图象(图略)，数形结合可知，g (x )的最小值为－12，从而m ＞－12.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.模拟试卷二(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |x 3＝x }，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{0,1，－1}A [法一：因为集合A ＝{x |x 3＝x }＝{0,1，－1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |(x －1)(x －2)≤0}＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{1}，故选A.法二：当x ＝－1时，(－1)2－3×(－1)＋2＞0，不满足集合B ，排除选项C ，D ；当x ＝0时，02－3×0＋2＞0，不满足集合B ，排除选项B ，故选A.]2．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝(1＋i)(2－i)，则z 的虚部为( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1C [由题意得，z ＝(1＋i )(2－i )1＋2i ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－i ，所以z 的虚部为－1，故选C.]3．已知函数f (x )＝x e x(e 为自然对数的底数)的图象的一条切线的方程为y ＝x －2a ，则实数a 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2A [由f (x )＝x e x 得，f ′(x )＝(x ＋1)e x，∵直线y ＝x －2a 为函数f (x )图象的一条切线，且f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴2a ＝0，∴a ＝0.]4．随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入比例为：健身设施∶健身培训∶安全保障∶其他服务＝10∶5∶3∶2.改善后的经费条形统计图如图所示．则下列结论正确的是( )A ．改善后的健身设施经费投入变少了B ．改善后健身培训的经费投入是改善前的2.8倍C ．改善后安全保障的经费投入所占比例变大了D ．改善后其他服务的经费投入所占比例变小了B [A 项，改善前健身设施的经费投入为1020×200＝100(万元)，改善后为160万元，故A项错误．B 项，改善前健身培训的经费投入为520×200＝50(万元)，140÷50＝2.8，故B 项正确．C 项，改善后安全保障的经费投入所占比例为60400＝15%，改善前所占比例为320＝15%，改善前后安全保障的经费投入所占比例一样，故C 项错误．D 项，改善后其他服务的经费投入所占比例为40400＝10%，改善前所占比例为220＝10%，改善前后其所占比例没有变化，故D 项错误．故选B.]5．已知圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的圆心是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，则双曲线C 2的虚轴长为( )A ．3B ．6C ．7D ．27B [因为圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的标准方程为(x －4)2＋y 2＝9，所以圆C 1的圆心C 1(4,0)，半径为3.因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，所以|4b |a 2＋b2＝3，即7b 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，c ＝4，所以b ＝3，所以双曲线C 2的虚轴长为2b ＝6.故选B.]6．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师C [由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师．故选C.]7．设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3(a 3＋a 5)，则S 11S 7＝( ) A.117 B.227 C.337 D.667D [法一：设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，由a 6＝3(a 3＋a 5)得，a 1＋5d ＝3(a 1＋2d ＋a 1＋4d )＝6a 1＋18d ，所以a 1＝－135d ，所以S 11S 7＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋55d7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋21d＝667.故选D.法二：因为a 6＝3(a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 7)，所以S 11S 7＝11(a 1＋a 11)27(a 1＋a 7)2＝11×2a 67×a 63＝667(易知a 6≠0)，故选D.]8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为()A ．126B ．62C ．30D ．14C [执行程序框图，S ＝0，S ＝0＋21＝2，(1－1)2＋(1－1)2＜16，n ＝1＋1＝2，x ＝1＋1＝2，y ＝1＋1＝2；S ＝2＋22＝6，(2－1)2＋(2－1)2＜16，n ＝2＋1＝3，x ＝2＋1＝3，y ＝2＋1＝3；S ＝6＋23＝14，(3－1)2＋(3－1)2＜16，n ＝3＋1＝4，x ＝3＋1＝4，y ＝3＋1＝4；S ＝14＋24＝30，(4－1)2＋(4－1)2＞16，退出循环．故输出S 的值为30.故选C.]9．将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32D ．－3D [将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.]10．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤y ＋1，x ＋1≥0，y ≤m 构成平面区域Ω，若∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，则实数m 的值不可能为( )A. 3B. 5 C ．3 D ．23A [画出平面区域Ω如图中的阴影部分所示，因为∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，所以应考虑目标函数z ＝3x －y ＋5的最大值，即图中交点P (－1，m )在直线3x －y ＋5＝0的上方，所以－3－m ＋5＜0，解得m ＞2.故选A.]11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝( )A.π4 B.π3 C.π6 D.3π4A [由1＋tan A tanB ＝2c b ，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sinC sin B，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cosA ，即sin(A ＋B )＝2sinC cos A ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0，所以2cos A ＝1，cos A ＝12，所以A ＝π3.因为a ＝23，c ＝22，所以a ＞c ，所以A ＞C .由正弦定理a sin A ＝csin C 得23sinπ3＝22sin C ，所以sin C ＝22.又A ＞C ，所以C ＝π4.] 12．已知抛物线C ：y 2＝8x ，F 为其焦点，其准线l 与x 轴的交点为H ，过点H 作直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点E 到准线l 的距离为16，P 为直线m 上的动点，则点P 到点F 与点D (3,0)距离和的最小值为( )A ．3 B.14 C ．4 D.17D [由题意知，H (－2,0)，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 2－8k 2，所以x E ＝－2＋4k 2，从而－2＋4k 2＋2＝16，解得k 2＝14，满足Δ＞0.由抛物线的对称性知k 的正负不影响结果，故可取k ＝12，则直线m 的方程为y ＝12(x ＋2)．设点D (3,0)关于直线m 的对称点为D ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－3＝－2，y 02＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝4，则D ′(1,4)，连接FD ′，PD ′，则|PF |＋|PD |＝|PF |＋|PD ′|≥|FD ′|＝(1－2)2＋(4－0)2＝17.故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上) 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(k ，－6)，若a⊥(b －a )，则k ＝________.17 [由题意知，b －a ＝(k －1，－8)，a·(b －a )＝0，即k －1＋2×(－8)＝0，解得k ＝17.]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤3，x ＋1，x ＞3，则使不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 212－1＝2，由f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12得，当0＜x ≤3时，|log 2x －1|＜2，得12＜x ≤3；当x ＞3时，x ＋1＜2，此时无解．综上所述，不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3.]15．设轴截面为正三角形的圆锥的体积为V 1，它的外接球的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 932[如图，设球O 的半径为R ，则由△ABC 是正三角形可得圆锥的底面圆半径r ＝BO 1＝32R ，高h ＝AO 1＝32R ，所以V 1＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2×32R ＝38πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝932.] 16．数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n .设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1－a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则2n －1T n ＋12n －1＝________. 2 [∵a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n ，a n ≠0，∴S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝2n －1，则S 2a 2－S 1a 1＝1，S 3a 3－S 2a 2＝2，…，S n a n －S n －1a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)．以上各式相加，得S n a n －S 1a 1＝1＋2＋…＋2n －2.∵S 1a 1＝1，∴S n a n－1＝2n －1－1，∴S n ＝2n －1a n (n ≥2，n ∈N *)．∵n ＝1时上式也成立，∴S n ＝2n －1a n (n ∈N *)，∴S n ＋1＝2n a n＋1.两式相减，得a n ＋1＝2na n ＋1－2n －1a n ，即(2n －1)a n ＋1＝2n －1a n ，∴2a n ＋1－a n a n ＋1＝12n －1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1， ∴2n －1T n ＋12n －1＝T n ＋12n －1＝2.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝23.(1)若△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，求sin A 的值； (2)若b cos A ＋a cos B ＝2，a ＋b ＝6，求△ABC 的面积．[解] (1)法一：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B ， 则cos(A ＋B )＝cos 2A ＝－cos C ＝－23.又cos 2A ＝1－2sin 2A ，所以1－2sin 2A ＝－23，得sin A ＝306.法二：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B .因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝23，所以cos C 2＝306， 易知A ＋C 2＝90°，所以sin A ＝cos C 2＝306.(2)因为b cos A ＋a cos B ＝2，所以由余弦定理可得b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2，即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－43ab ＝(a ＋b )2－103ab ＝4.又a ＋b ＝6，所以ab ＝485.因为cos C ＝23，所以sin C ＝53，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×485×53＝855.18．(本小题满分12分)某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表．12(1)求出n 1，n 2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率．[解] (1)由题意可得，n 1＋n 2＝40，结合已知条件n 1∶n 2＝1∶3，可得n 1＝10，n 2＝30.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为3070×560＝240.(2)由(1)可知，n 1∶20∶n 2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×11＋2＋3＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×21＋2＋3＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×31＋2＋3＝3(名)．这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A ，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B ，C ，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D ，E ，F .从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中恰为仅愿意领养一种流浪宠物的情况有AB ，AC ，BC ，共3种， 故所求的概率为315＝15.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝2AD ＝4，△PAB 是等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，点M 在棱PC 上．(1)求证：AE ⊥BM ；(2)若三棱锥C ­MDB 的体积为1639，且PM ＝λPC ，求实数λ的值．[解] (1)因为四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC 且AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB . 又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AE .因为△PAB 是等边三角形，E 是PB 的中点，所以AE ⊥PB . 又AE ⊥BC ，BC ∩PB ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ， 又BM ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BM .(2)过点P 作PF ⊥AB 于点F ，连接CF (图略)， 易知PF ⊥平面ABCD ，则PF ⊥CF .因为△PAB 是等边三角形，AB ＝4，所以PF ＝2 3. 过点M 作MN ⊥CF 于点N (图略)，易知MN ∥PF ，CM CP ＝MNPF. 因为V 三棱锥P ­BCD ＝13×12×4×4×23＝1633，V 三棱锥C ­MDB ＝1639＝V 三棱锥M ­BCD ，所以V 三棱锥M ­BCD V 三棱锥P ­BCD ＝16391633＝13.又V 三棱锥M ­BCD V 三棱锥P ­BCD ＝MN PF ＝13，所以CM CP ＝MN PF ＝13，PM CP ＝23，所以λ＝PM PC ＝23.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点E (2，1)，其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e ＝22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M (x 0，y 0)为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN ⊥AB 于点N ，直线l ：x 0x ＋2y 0y －4＝0.①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2)2a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①由题意知y 0≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，x 0x ＋2y 0y －4＝0得(x 20＋2y 20)x 2－8x 0x ＋16－8y 20＝0.因为点M (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20＋2y 20＝4，则x 2－2x 0x ＋x 20＝0，即(x －x 0)2＝0， 得x ＝x 0，y ＝y 0.所以直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M . ②由(1)知，A (－2,0)，B (2,0)，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－2， 结合方程x 0x ＋2y 0y －4＝0，得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，x 0＋2y 0. 直线PB 的斜率k ＝x 0＋2y 0－0－2－2＝－x 0＋24y 0， 则直线PB 的方程为y ＝－x 0＋24y 0(x －2)． 因为MN ⊥AB 于点N ，所以N (x 0,0)，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02. 令x ＝x 0，得y ＝－x 0＋24y 0(x 0－2)＝4－x 24y 0.因为x 20＋2y 20＝4，所以y ＝4－x 204y 0＝2y 204y 0＝y 02，所以直线PB 经过线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1. (1)当a ＝1时，求证：f (x )≤12x －12；(2)若不等式f (x )≤0在[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x －12x ＋32，则g ′(x )＝1x －12x －12＝－x ＋x －22x ＝－(x －1)(x ＋2)2x .所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )≤g (1)＝0， 所以f (x )≤12x －12.(2)因为f (x )＝a ln x －x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x ＝－x －2a2x.①当a ≤0时，因为x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0， 所以f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以a ≤0满足题意． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝4a 2，所以当x ∈(0,4a 2)时，f ′(x )＞0，当x ∈(4a 2，＋∞)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减． 当4a 2≥e ，即a ≥e2时，f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )≤f (e)＝a －e ＋1≤0，所以a ≤e －1，此时无解． 当1＜4a 2＜e ，即12＜a ＜e 2时，f (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减，所以f (x )≤f (4a 2)＝a ln 4a 2－2a ＋1＝2a ln 2a －2a ＋1≤0. 设h (x )＝2x ln 2x －2x ＋1，则h ′(x )＝2ln 2x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h ′(x )＞0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2上单调递增，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h (x )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，不满足题意．当0＜4a 2≤1，即0＜a ≤12时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以0＜a ≤12满足题意．综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M ，N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|MN |的最大值；(2)设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与曲线C 1交于P ，Q 两点，且|PQ |＝1，求直线l 的普通方程．[解] (1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆心C 2(0,0)，半径r 2＝2， ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝3＋2＋2＝7.(2)将直线l 的参数方程代入(x －3)2＋y 2＝4中，得(t cos α－4)2＋(t sin α)2＝4，整理得t 2－8t cos α＋12＝0，Δ＞0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8cos α，t 1t 2＝12，又|PQ |＝1，∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(8cos α)2－4×12＝1，解得cos α＝±78，满足Δ＞0，∴直线l 的斜率为tan α＝±157， ∴直线l 的普通方程为y ＝±157(x ＋1)． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －5|－|x ＋1|. (1)解不等式：f (x )＜3x ；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞52，x －6＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤52，4－3x ＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，6－x ＜3x ，解得x ＞23，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23.法二：如图，作出函数f (x )的图象，利用f (x )的图象解不等式，由4－3x ＝3x ，解得x ＝23，由图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23. (2)法一：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为ax 2＋2x －1≥0，令g (x )＝ax 2＋2x －1，易知函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象恒过点(0，－1)，由函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象可知，要使x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，需a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，g (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，g (1)≥0，g (2)≥0，解得a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 法二：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为a ≥1x 2－2x，因为x ∈[1,2]，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以1x 2－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1≤－34，所以a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞.。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）下列各式中，值为22的是 （ ）（A ）︒︒75cos 75sin （B ）18cos 22-π（C ）︒-︒151152tg tg（D ）2)240cos(1︒-- （2）已知x x f 2log )(=，则)1(1x f --的大致图形是 （ ）（3）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1的长为l ，,60,45111︒=∠︒=∠AC A DAC 则三棱锥C —B 1C 1D 1的体 积为 （ ） （A ）3242l （B ）3483l （C ）3482l （D ）3243l （4）已知等差数列{a n }，公差为2，且S 100=10000，则a 1+a 3+a 5+…A 1(A)(B)(C)(D)（A ）2500（B ）5050（C ）5000（D ）4950（5）（理）如果θ是第二象限的角，那么直线02sin cos =++θθy x 的倾斜角的大小是（ ）（A ）)(θctg arctg - （B ）)(θπctg arctg - （C ）)(θtg arctg -（D ）)(θπtg arctg -（文）直线bx+ay=1（a ＜0，b ＜0＝的倾斜角的余弦值是 （ ） （A ）22ba a + （B ）22ba b + （C ）22||ba b + （D ）22||ba a +（6）（理）已知三棱锥P —ABC 的三个侧面与底面全等，且底面边长BC=2，AB=AC=3，则以BC 为棱，以面BCP 与面BCA 为面的二面角的大小是（ ）（A ）31arccos （B ）2π（C ）53arccos（D ）3π （文）已知三棱锥P —ABC 的三个侧面与底面全等，且底面边长BC=2，AB=AC=3，则以BC 为棱，以面BCP 与面BCA 为面的二面角的正弦值为（A ）322（B ）1（C ）522 （D ）23（7）如果不等式1||<-m x 成立的充分非必要条件是2131<<x ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）3421<<-m （B ）3421≤≤-m （C ）21-<m 或34>m（D ）21-≤m 或34≥m（8）（理）已知函数)12arcsin()(+=x x f )01(≤≤-x ，则)12(1π-f 的值为（ ）（A ）8426-- （B ）41-（C ）8426-+ （D ）41 （文）若点P )sin ,(cos αα在直线x y 2=上，则)42cos(πα+的值为（ ） （A ）102 （B ）1027-（C ）1027 （D ）102-（9）53)(x y +展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为（ ）（10）（理）已知圆锥曲线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 32cos 2y x （α为参数），F 1、F 2为此曲线的两焦点，若以此曲线所在直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则过F 1、F 2的直线的极坐标方程为（ ） （A ）21cos =θρ（B ）21cos -=θρ（C ）21sin =θρ （D ）21sin -=θρ（文）已知曲线C 与C ′关于直线02=+-y x 对称，若C 的方程为074422=++-+y x y x ，则C ′的方程为（ ）（A ）0318822=+-++y x y x （B ）0318822=+--+y x y x （C ）0318822=++++y x y x（D ）0318822=-+-+y x y x(A)(B)(C)(D)（11）设F 1、F 2是双曲线122=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹方程是（ ）（A ）422=+y x （B ）222=+y x （C ）122=+y x（D ）222=-y x（12）有一位同学写了这样一个不等式：)(1122R x cc cx c x ∈+≥+++，他发现，当c=1，2，3时，不等式对一切实数x 都成立，由此他作出如下猜测： ①当c 为所有自然数时，不等式对一切实数x 都成立； ②只存在有限个自然数c ，对R x ∈不等式都成立； ③当1≥c 时，不等式对一切R x ∈都成立； ④当0>c 时，不等式对一切R x ∈都成立． 则正确的是（ ）（A ）①③（B ）②（C ）①③④（D ）④二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）在等差数列{a n }中，a 3=0，S 7=－14，已知等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 6=．（14）若双曲线14)1(22=--my x 的一条准线是y 轴，则m= ． （15）若A=},154|{N a a a ∈≤≤，从A 中每次取出三个元素，使它们的和为3的倍数，则满足上述条件的不同取法的种数有种．（用数字作答）（16）降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为40cm ，底面直径为28cm ，深为 36cm 的圆台形水桶（轴截面如图）来测量降水 量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛的雨水正好是桶深的61，则本次下雨的降水量是 （精确到6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）（理）解关于x 的不等式：)919(log 2)1(log 33x x a a -+≤-，（a ＞0且a ≠1）．（文）解关于x 的不等式：0]1)1(lg[32>+++-a x a a x ，（a ＞0且a ≠1）．（18）（本小题满分12分）已知z 1=3+4i ，z 2=65)sin cos ββi + 1arg ),2(z =<<απβπ且.135)sin(=+βα （Ⅰ）求2βtg；（Ⅱ）设z 1、z 2在复平面内所对应点分别为P 、Q 、O 为坐标原点，以OP 、OQ 为边作平行四边形OPRQ，求对角线OR的长及平行四边形OPRQ 的面积．（19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD的侧面PAD与底面ABCD垂直，△PAD 是边长为a的正三角形，ABCD为直角梯形，AB//CD，DC=2a，∠ADC=90°，∠DCB=45°，E为BP中1PC．点，F在PC上且PF=4 Array（Ⅰ）求证EF//平面PAD；C（Ⅱ）求三棱锥E —PCD 的体积．（20）（本小题满分12分，文科做（Ⅰ）、（Ⅱ），理科全做）已知奇函数).(,1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=（Ⅰ）试确定实数a 的值，并证明f （x ）为R 上的增函数； （Ⅱ）记,,1)]12([log 212n n n n a a a S f a +++=--=Λ求n n S ∞→lim ；（Ⅲ）若方程α=)(x f 在（－∞，0）上有解，试证0)(31<<-αf ．（21）（本小题满分12分）某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入T n与时间n（以月为单位）的关系为T n=an+b，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．（22）（本小题满分14分，文科只做（Ⅰ）、（Ⅱ），理科全做）已知抛物线C：)0(),(,02>xmy的焦点为原点，C的准线与直nm+≠=n线ykl的交点M在x轴上，l与C交于不同的两点A、B，-kkx)0+2(0:≠=线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）求实数p的取值范围；（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．数学参考答案及评标准一、 选择题（每小题5分，满分60分）本题考查基本知识和基本运算。

2020年全国某校考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题1.（2020·全国·高考真卷）已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A∩B=()A. {−4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}2.（2020·全国·高考真卷）若z=1+2i+i3，则|z|=()A.0B.1C.√2D.23.（2020·全国·高考真卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.（2020·全国·高考真卷）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.15B.25C.12D.455.（2020·全国·高考真卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：∘C）的关系，在20个不同温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be xD.y=a+blnx6.（2020·全国·高考真卷）已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1B.2C.3D.47.（2020·全国·高考真卷）设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.（2020-2021·江苏·月考试卷）设alog34=2，则4−a=()A.116B.19C. 18D.169.（2020·全国·高考真卷）执行下面的程序框图，则输出的n=()A.17B.19C.21D.2310.（2020-2021·江苏·月考试卷）设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+ a4=2，则a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.3211.（2020-2021·湖北·月考试卷）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为( )A.72B.3 C.52D.212.（2020·全国·高考真卷） 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， ⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为( ) A.64π B.48π C.36π D.32π二、填空题13.（2020-2021·江西·月考试卷） 若x ，y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0, 则z =x +7y的最大值为________.14.（2020-2021·山东·月考试卷） 设向量a →=(1,−1),b →=(m +1,2m −4)，若a →⊥b →，则实数m =________.15.（2020-2021·广东·月考试卷） 曲线y =lnx +x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.16.（2020-2021·广东·月考试卷） 定义数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1，前16项和为540，则a 1=________. 三、解答题17.（2020·全国·高考真卷） 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？18.（2020-2021·福建·月考试卷） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B =150∘.(1)若a =√3c ，b =2√7，求△ABC 的面积；(2)若sinA +√3sinC =√22，求C ．19.（2020·全国·高考真卷） 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90∘.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)设DO =√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P −ABC 的体积．20.（2020·全国·高考真卷） 已知函数f(x)=e x −a(x +2). (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围.21.（2020·全国·高考真卷） 已知A ，B 分别为椭圆E ： x 2a 2+y 2=1 (a >1) 的左、右顶点，G 为E 的上顶点， AG →⋅GB →=8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．22.（2020·全国·高考真卷） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ，y =sin k t（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0. (1)当k =1时，C 1是什么曲线？(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．23.（2020·全国·高考真卷） 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.参考答案与试题解析2020年全国某校考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出一元二次不等式的解，从而得到集合A，最后根据交集的运算法则求解.【解答】解：由x2−3x−4<0，解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}.又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}.故选D．2.【答案】C【考点】复数的模【解析】利用复数的运算法则，将复数z化为z=a+bi的形式，然后再根据模的计算公式求解即可．【解答】解：因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2.故选C.3.【答案】C【考点】棱锥的结构特征【解析】先做出正四棱锥的高，连接垂足和底面边长的中点，形成直角三角形，从而建立底面边长、四棱锥的高和侧面三角形的高的关系而得解.【解答】设正四棱锥边长为a ， 有{ℎ2=12am ，(12a)2+ℎ2=m 2，∴ 12am +14a 2=m 2， 整理得4m 2−2am −a 2=0， 令m a =t ，∴ 4t 2−2t −1=0， ∴ t 1=1+√54，t 2=1−√54(舍去).故选C . 4. 【答案】 A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】先求出基本事件总数，再求出三点共线的基本事件个数，然后利用概率公式求得三点共线的概率． 【解答】 解：如图，，从O ，A ，B ，C ，D5个点中任取3个有{O,A,B }，{O,A,C }，{O,A,D }，{O ,B ,C }，{O,B ,D }， {O,C ,D }，{A,B,C}，{A,B, D}，{A,C,D }，{B,C,D }，共10种不同取法，3点共线只有{A,O,C }与{B,O,D }共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为210=15. 故选A . 5.D【考点】散点图【解析】将散点图近似判断为所学函数图象，根据近似函数图象选择合适的回归方程即可. 【解答】解：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+blnx.故选D．6.【答案】B【考点】与圆有关的最值问题【解析】根据题意，将圆的一般方程转化为圆的标准方程，找到圆心坐标和圆的半径，然后判断出定点在圆内，结合已知条件可知当过点P的直线与直线CP垂直时弦长最短，最后利用弦长公式得出结果.【解答】解：圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2√9−|CP|2=2√9−8=2.故选B.7.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法余弦函数的图象【解析】首先将图中余弦函数图象所经过的点代入函数f(x)中解出ω的值，进而根据周期公式求出函数f(x)的最小正周期.【解答】解：由题图可得：函数图象过点(−4π9,0)，将其代入函数f(x)可得：cos(−4π9⋅ω+π6)=0；又(−4π9,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点，所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32，所以函数f(x)的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3.故选C.8.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算法则以及指数式与对数式互化求解即可．【解答】解：由alog34=2可得log34a=2，所以4a=9，故有4−a=19.故选B．9.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得知输出的结果．【解答】解：依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足1+3+5+⋯+n>100的最小正奇数.因为1+3+5+⋯+n=(1+n)(n−12+1)2=14(n+1)2>100，解得n>19，所以输出的n=21.故选C.10.【答案】D【考点】等比数列的通项公式【解析】先利用等比数列的通项公式和已知条件求出公比q，进而利用转化的方法进行最后求解. 【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=1，a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q(1+q+q2)=2，故q=2，因此a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5(1+q+q2)=q5=32.故选D.11.【答案】B【考点】双曲线的应用双曲线的定义【解析】根据已知条件结合双曲线的焦点先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可得解．【解答】解：由题知，a=1，b=√3，c=2，F1(−2,0)，F2(2,0).∵|OP|=2，故点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义知||PF1|−|PF2||=2a=2，∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=4，∴|PF1||PF2|=6，|PF1||PF2|=3.∴ △PF1F2的面积为12故选B.12.【答案】A【考点】正弦定理球的表面积和体积【解析】结合题意画出图形，利用已知条件求出O1A，OO1，从而求得球的半径，进而求球的表面积.【解答】解：设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2=4π，∴r=2.由正弦定理可得AB=2rsin60∘=2√3,∴OO1=AB=2√3，根据圆截面性质OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，R=OA=√OO12+O1A2=√OO12+r2=4,∴球O的表面积为S=4πR2=64π.故选A.二、填空题13.【答案】1【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】由已知条件作出不等式组对应的可行域，根据目标函数的几何意义，数形结合得到使目标函数取得最优解的点，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可求得答案.【解答】解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数z=x+7y即y=−17x+17z，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：{2x +y −2=0，x −y −1=0，可得点A 的坐标为A (1,0).所以目标函数的最大值为：z max =1+7×0=1.故答案为：1.14.【答案】5【考点】平面向量数量积数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据垂直的两个向量的数量积为零，结合向量数量积的坐标公式，列出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：由a →⊥b →，可得a →⋅b →=1×(m +1)+(−1)×(2m −4)=0，解得m =5.故答案为：5.15.【答案】y =2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先求得函数的导数，根据切线的斜率，求出切点坐标，进而得到所求切线的方程．【解答】解：设切线的切点坐标为(x 0,y 0)，y =lnx +x +1，y ′=1x +1，y ′|x=x 0=1x 0+1=2， 故x 0=1,y 0=2，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x .故答案为： y =2x . 16.【答案】7【考点】数列递推式数列的求和【解析】由已知数列递推式，可求得n分别为奇数和偶数时的递推式，利用累加法得到n为奇数时a n与a1的关系，同时根据n为偶数时的递推式求出偶数项的和，得到S16与a1的关系，从而求得a1．【解答】解：a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n为奇数时，a n+2=a n+3n−1；当n为偶数时，a n+2+a n=3n−1.设数列{a n}的前n项和为S n，S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16=a1+a3+a5+⋯+a15+(a2+a4)+⋯+(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，∴a1=7.故答案为：7.三、解答题17.【答案】=0.4，解：(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为40100=0.28.乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为28100(2)甲分厂加工100件产品的总利润为：40×(90−25)+20×(50−25)+20×(20−25)−20×(50+25)=1500（元），所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为：28×(90−20)+17×(50−20)+34×(20−20)−21×(50+20)=1000（元），所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家应选择甲分厂承接加工任务．【考点】众数、中位数、平均数古典概型及其概率计算公式【解析】(1)根据频数分布表中数据得到甲乙A级品的频数，然后利用概率公式求得概率；(2)根据所给数据先分别求出甲乙的平均利润，然后比较所求的利润的大小即可．【解答】=0.4，解：(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为40100=0.28.乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为28100(2)甲分厂加工100件产品的总利润为：40×(90−25)+20×(50−25)+20×(20−25)−20×(50+25)=1500（元），所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为：28×(90−20)+17×(50−20)+34×(20−20)−21×(50+20)=1000（元），所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家应选择甲分厂承接加工任务．18.【答案】解：(1)由余弦定理可得：b2=28=a2+c2−2ac⋅cos150∘=7c2，∴c=2，a=2√3，∴△ABC的面积S=12acsinB=√3.(2)∵A+C=30∘，∴sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(C+30∘)=√22．∵0∘<C<30∘，∴30∘<C+30∘<60∘，∴C+30∘=45∘，∴C=15∘.【考点】两角和与差的正弦公式解三角形余弦定理【解析】(1)根据已知条件和余弦定理，可求得c和a，进而通过三角形面积公式求得结果；(2)根据已知条件和三角形内角和，用C表示A，代入已知式子，结合C的取值范围即可求得C.【解答】解：(1)由余弦定理可得：b2=28=a2+c2−2ac⋅cos150∘=7c2，∴c=2，a=2√3，∴△ABC的面积S=12acsinB=√3(2)∵A+C=30∘，∴sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(C+30∘)=√2．2∵0∘<C<30∘，∴30∘<C+30∘<60∘，∴C+30∘=45∘，∴C=15∘.19.【答案】(1)证明：连结CO，延长CO交AB于点E，如图，∵ O是正三角形ABC外接圆的圆心，∴ CO⊥AB.∵ 在圆锥中易知PO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴ PO⊥AB.又CO，PO⊂平面POC，CO∩PO=O，∴ AB⊥平面POC.又PC⊂平面POC，∴ AB⊥PC.∵ ∠APC=90∘，∴ PC⊥AP.又∵ PA，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴ PC⊥平面PAB.又∵ PC⊂平面PAC，∴ 平面PAC⊥平面PAB.(2)解：由DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，设底面圆半径为r，母线长为l，⋅2πrl=√3π，r2+(√2)2=l2，12∴ r=1，l=√3，∴ AB=BC=AC=√3.∵ PA⊥PC，PA=PC，∴ PA=PC=√6.2在直角三角形APO中，AO=1，PA=√6，2∴ PO=√22，∴V P−ABC=13S△ABC⋅PO=√68.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(1)先根据线面垂直的判定定理证明PC⊥平面PAB，然后根据面面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PAB；(2)先根据已知和圆锥的侧面积求出圆锥的半径和母线长，进而求出三棱锥的底面边长和高，最后利用三棱锥的体积公式求出体积.【解答】(1)证明：连结CO，延长CO交AB于点E，如图，∵ O是正三角形ABC外接圆的圆心，∴ CO⊥AB.∵ 在圆锥中易知PO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴ PO⊥AB.又CO，PO⊂平面POC，CO∩PO=O，∴ AB⊥平面POC.又PC⊂平面POC，∴ AB⊥PC.∵ ∠APC=90∘，∴ PC⊥AP.又∵ PA，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴ PC⊥平面PAB.又∵ PC⊂平面PAC，∴ 平面PAC⊥平面PAB.(2)解：由DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，设底面圆半径为r，母线长为l，r2+(√2)2=l2，12⋅2πrl=√3π，∴ r=1，l=√3，∴ AB=BC=AC=√3.∵ PA⊥PC，PA=PC，∴ PA=PC=√62.在直角三角形APO中，AO=1，PA=√62，∴ PO=√22，∴V P−ABC=13S△ABC⋅PO=√68.20.【答案】解：(1)由题知f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x−a.当a=1时，f′(x)=e x−1，令f′(x)=0，解得x=0.当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0.∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不符合题意；②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna.当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在x∈(−∞,lna)上单调递减，在x∈(lna,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(lna)=a−a(lna+2)=−a(1+lna)，∴要使f(x)有两个零点，则f(lna)<0即可，则1+lna>0⇒a>e−1.综上，若f(x)有两个零点，则a∈(e−1,+∞).【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】(1)先求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)利用导数可得函数单调性，得到函数最值，结合题意由最小值小于0即可求得a的取值范围．【解答】解：(1)由题知f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x−a.当a=1时，f′(x)=e x−1，令f′(x)=0，解得x=0.当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0.∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不符合题意；②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna.当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0；当x ∈(lna,+∞)时，f ′(x )>0，∴ f (x )在x ∈(−∞,lna )上单调递减，在x ∈(lna,+∞)上单调递增，∴ f (x )min =f (lna )=a −a (lna +2)=−a (1+lna )，∴ 要使f (x )有两个零点，则f (lna )<0即可，则1+lna >0⇒a >e −1.综上，若f (x )有两个零点，则a ∈(e −1,+∞).21.【答案】(1)解：依题意作出如下图象，由椭圆方程E:x 2a 2+y 2=1(a >1)，可得： A (−a,0),B (a,0),G (0,1)，∴ AG →=(a,1),GB →=(a,−1)，∴ AG →⋅GB →=a 2−1=8，∴ a 2=9，∴ 椭圆方程为： x 29+y 2=1.(2)证明：设P (6,y 0)，则直线AP 的方程为： y =y 0−06−(−3)(x +3)， 即： y =y 09(x +3).联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：{x 29+y 2=1,y =y 09(x +3),整理得：(y 02+9)x 2+6y 02x +9y 02−81=0，解得： x =−3或x =−3y 02+27y 02+9. 将x =−3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09(x +3), 可得： y =6y 0y 02+9， 所以点C 的坐标为(−3y 02+27y 02+9,6y0y 02+9). 同理可得：点D 的坐标为(3y 02−3y 02+1,−2y 0y 02+1). ∴ 直线CD 的方程为y −(−2y 0y 02+1)=6y 0y 02+9−(−2y 0y 02+1)−3y 02+27y 02+9−3y 02−3y 02+1(x −3y 02−3y 02+1),整理可得： y +2y 0y 02+1=8y 0(y 02+3)6(9−y 04)(x −3y 02−3y 02+1)=8y 06(3−y 02)(x −3y 02−3y 02+1)，整理得： y =4y 03(3−y 02)x +2y 0y 02−3=4y 03(3−y 02)(x −32)， 故直线CD 过定点(32,0).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程平面向量数量积【解析】(1)根据椭圆的几何性质，可写出A ，B 和G 的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a 的方程，解之即可；(2)设P 点坐标，写出直线AP 的方程，联立直线AP 的方程与椭圆方程，消去y ，解出x 的值代入直线AP 的方程中，从而得直线CD 过定点.【解答】(1)解：依题意作出如下图象，由椭圆方程E:x 2a 2+y 2=1(a >1)，可得： A (−a,0),B (a,0),G (0,1)，∴ AG →=(a,1),GB →=(a,−1)，∴ AG →⋅GB →=a 2−1=8，∴ a 2=9，∴ 椭圆方程为： x 29+y 2=1(2)证明：设P (6,y 0)，则直线AP 的方程为： y =y 0−06−(−3)(x +3)，即： y =y 09(x +3).联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：{x 29+y 2=1,y =y 09(x +3),整理得：(y 02+9)x 2+6y 02x +9y 02−81=0，解得： x =−3或x =−3y 02+27y 02+9. 将x =−3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09(x +3), 可得： y =6y 0y 02+9，所以点C 的坐标为(−3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9).同理可得：点D 的坐标为(3y 02−3y 02+1,−2y 0y 02+1). ∴ 直线CD 的方程为y −(−2y 0y 02+1)=6y 0y 02+9−(−2y 0y 02+1)−3y 02+27y 02+9−3y 02−3y 02+1(x −3y 02−3y 02+1),整理可得： y +2y 0y 02+1=8y 0(y 02+3)6(9−y 04)(x −3y 02−3y 02+1) =8y 06(3−y 02)(x −3y 02−3y 02+1)，整理得： y =4y 03(3−y 02)x +2y0y 02−3=4y 03(3−y 02)(x −32)， 故直线CD 过定点(32,0). 22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost ，y =sint （t 为参数），两式平方相加得x 2+y 2=1， 所以曲线C 1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆.(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t ，y =sin 4t（t 为参数）， 所以x ≥0，y ≥0，曲线C 1的参数方程化为{√x =cos 2t ，√y =sin 2t（t 为参数）， 两式相加得曲线C 1方程为√x +√y =1， 得√y =1−√x ， 平方得y =x −2√x +1，0≤x ≤1，0≤y ≤1. 曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0， 曲线C 2直角坐标方程为4x −16y +3=0，联立C 1,C 2方程{y =x −2√x +1，4x −16y +3=0，整理得12x −32√x +13=0， 解得√x =12或√x =136 （舍去），∴ x =14，y =14， ∴ C 1,C 2公共点的直角坐标为(14,14). 【考点】圆的参数方程参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】(1)利用平方关系消去参数，可得圆的直角坐标方程；(2)利用开方消去参数得到曲线C 1的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式得到C 2的直角坐标方程，联立C 1与C 2易求公共点的直角坐标.【解答】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost ，y =sint （t 为参数），两式平方相加得x 2+y 2=1，所以曲线C 1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆.(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t ，y =sin 4t（t 为参数）， 所以x ≥0，y ≥0，曲线C 1的参数方程化为{√x =cos 2t ，√y =sin 2t（t 为参数）， 两式相加得曲线C 1方程为√x +√y =1，得√y =1−√x ，平方得y =x −2√x +1，0≤x ≤1，0≤y ≤1.曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，曲线C 2直角坐标方程为4x −16y +3=0，联立C 1,C 2方程{y =x −2√x +1，4x −16y +3=0，整理得12x −32√x +13=0，解得√x =12或√x =136 （舍去）， ∴ x =14，y =14，∴ C 1,C 2公共点的直角坐标为(14,14). 23.【答案】解：(1)因为f(x)={x+3,x≥1,5x−1,−13<x<1,−x−3,x≤−13,作出f(x)的图象，如图所示：(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位，可得函数f(x+1)的图象，由−x−3=5(x+1)−1，解得x=−76，所以不等式的解集为(−∞,−76).【考点】绝对值不等式的解法与证明函数的图象【解析】(1)先将函数的定义域进行分段，然后将含绝对值的函数转化为分段函数，即可作出图象；(2)先将函数f(x)的图象向左平移1个单位得到f(x+1)的图象，然后结合图象易得不等式的解集.【解答】解：(1)因为f(x)={x+3,x≥1,5x−1,−13<x<1,−x−3,x≤−13,作出f(x)的图象，如图所示：(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位，可得函数f(x+1)的图象，由−x−3=5(x+1)−1，解得x=−76，所以不等式的解集为(−∞,−76).。

最新高中数学新课程标准考试模拟试卷及答案(三套)高中教师数学新课程标准考试模拟试卷（一）附答案一、填空题（每小题4分，共40分）1.数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基本概念、基本技能、基本方法，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有逻辑思维能力、创新能力，使学生会用数学的思考方式分析问题、解决问题。

2.高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学性、规范性，提高提出问题、分析和解决问题的能力,形成数学思维惯，发展数学素养具有基础性的作用。

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5.高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。

人们在研究数学和运用数学解决问题时，不断地经历问题意识、分析、抽象、归纳、演绎、验证、推广、创新、评价等思维过程。

6.为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加信息技术的内容，把最基本的计算机操作、数据处理等作为新的数学基础知识和基本技能；同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“应试化”的倾向。

7.普高中数学课程的总目标是：培养学生的数学思维能力、数学素养和数学方法，使其具有独立思考、自主研究、创新探究的能力，为学生未来的研究和工作打下坚实的数学基础。

8.高中数学课程的目标是要求学生具备广阔的数学视野，逐步了解数学的基本知识、基本技能和基本思想，培养批判性思维惯，崇尚数学的科学价值和文化价值，体会数学的美学意义，从而建立起符合辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观。

9.算法是一个全新的课题，已经成为计算机科学和数据处理的重要基础，在现代社会中起着越来越重要的作用。

10.高中数学研究的评价应该重视学生参与数学活动的兴趣和态度，以及数学研究的自信心和独立思考惯等方面，不仅要注重结果，还要注重过程。