因式分解解方程

公式法因式分解解方程练习题在代数学中，解方程是一个重要的概念。

公式法因式分解解方程是一种常见的解方程的方法，通过将方程因式分解为多个乘积形式，然后得到解的过程。

在本文中，我们将通过提供一些公式法因式分解解方程的练习题来帮助您巩固和理解这一方法的应用。

练习题1：解方程：x^2 + 5x + 6 = 0解法：首先，我们观察到该方程可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。

因此，我们可以得到两个解：x=-2和x=-3。

练习题2：解方程：2x^2 + 7x + 3 = 0解法：为了解这个方程，我们需要将它因式分解为形如(ax+b)(cx+d)=0的形式。

通过观察和试验，我们可以得到(x+1)(2x+3)=0。

因此，我们得到两个解：x=-1和x=-1.5。

练习题3：解方程：3x^2 + 14x + 8 = 0解法：观察和试验告诉我们，这个方程可以因式分解为(3x+2)(x+4)=0。

因此，我们可以得到两个解：x=-2/3和x=-4。

练习题4：解方程：4x^2 - 9 = 0解法：这个方程可以通过两个平方数的差公式因式分解为(2x+3)(2x-3)=0。

因此，我们可以得到两个解：x=-3/2和x=3/2。

练习题5：解方程：2x^2 + 5x - 3 = 0解法：通过试验和观察，我们可以将该方程因式分解为(2x-1)(x+3)=0。

因此，我们得到两个解：x=1/2和x=-3。

通过解决这些练习题，您可以熟悉公式法因式分解解方程的过程。

这种方法可以在解决其他类型的方程时非常有用，因此它值得您花时间掌握。

再次提醒，公式法因式分解解方程的关键是观察和试验，通过找到适当的因式分解形式来解决方程。

总结：在本文中，我们通过提供公式法因式分解解方程的练习题，帮助您加深对这一方法的理解。

通过观察和试验，我们可以得到方程的解。

掌握公式法因式分解解方程的技巧和方法将有助于您在代数学中更好地解决问题。

希望本文对您在学习和掌握公式法因式分解解方程的过程中有所帮助。

因式分解解一元二次方程例题例题 1方程：x^2 5x = 0解析：提取公因式x，得到x(x 5) = 0，则x = 0或x 5 = 0，解得x_1 = 0，x_2 = 5例题 2方程：x^2 + 6x + 8 = 0解析：因式分解为(x + 2)(x + 4) = 0，则x + 2 = 0或x + 4 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 4例题 3方程：x^2 7x + 10 = 0解析：因式分解为(x 2)(x 5) = 0，则x 2 = 0或x 5 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 5例题 4方程：2x^2 5x 3 = 0解析：因式分解为(2x + 1)(x 3) = 0，则2x + 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{2}，x_2 = 3例题 5方程：3x^2 + 2x 1 = 0解析：因式分解为(3x 1)(x + 1) = 0，则3x 1 = 0或x + 1 = 0，解得x_1 = \frac{1}{3}，x_2 = 1例题 6方程：4x^2 12x + 9 = 0解析：因式分解为(2x 3)^2 = 0，则2x 3 = 0，解得x_1 =x_2 = \frac{3}{2}例题 7方程：x^2 8x + 16 = 0解析：因式分解为(x 4)^2 = 0，则x 4 = 0，解得x_1 = x_2 = 4例题 8方程：5x^2 10x + 5 = 0解析：提取公因式5得5(x^2 2x + 1) = 0，再因式分解为5(x 1)^2 = 0，则x 1 = 0，解得x_1 = x_2 = 1例题 9方程：6x^2 + 7x + 1 = 0解析：因式分解为(6x + 1)(x + 1) = 0，则6x + 1 = 0或x + 1 = 0，解得x_1 = \frac{1}{6}，x_2 = 1例题 10方程：x^2 10x + 25 = 0解析：因式分解为(x 5)^2 = 0，则x 5 = 0，解得x_1 = x_2 = 5例题 11方程：2x^2 8 = 0解析：提取公因式2得2(x^2 4) = 0，再因式分解为2(x +2)(x 2) = 0，则x + 2 = 0或x 2 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 2例题 12方程：3x^2 12 = 0解析：提取公因式3得3(x^2 4) = 0，再因式分解为3(x +2)(x 2) = 0，则x + 2 = 0或x 2 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 2例题 13方程：4x^2 + 8x = 0解析：提取公因式4x得4x(x + 2) = 0，则4x = 0或x + 2 = 0，解得x_1 = 0，x_2 = 2例题 14方程：5x^2 25x = 0解析：提取公因式5x得5x(x 5) = 0，则5x = 0或x 5 = 0，解得x_1 = 0，x_2 = 5例题 15方程：x^2 + 4x 21 = 0解析：因式分解为(x + 7)(x 3) = 0，则x + 7 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = 7，x_2 = 3例题 16方程：2x^2 + 5x 3 = 0解析：因式分解为(2x 1)(x + 3) = 0，则2x 1 = 0或x + 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{2}，x_2 = 3例题 17方程：3x^2 11x 4 = 0解析：因式分解为(3x + 1)(x 4) = 0，则3x + 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = \frac{1}{3}，x_2 = 4例题 18方程：4x^2 + 7x 2 = 00，解得x_1 = \frac{1}{4}，x_2 = 2例题 19方程：5x^2 13x + 6 = 0解析：因式分解为(5x 3)(x 2) = 0，则5x 3 = 0或x 2 = 0，解得x_1 = \frac{3}{5}，x_2 = 2例题 20方程：6x^2 11x + 3 = 0解析：因式分解为(2x 3)(3x 1) = 0，则2x 3 = 0或3x 1 = 0，解得x_1 = \frac{3}{2}，x_2 = \frac{1}{3}例题 21方程：x^2 6x 16 = 0解析：因式分解为(x 8)(x + 2) = 0，则x 8 = 0或x + 2 = 0，解得x_1 = 8，x_2 = 2例题 22方程：2x^2 7x 4 = 0解析：因式分解为(2x + 1)(x 4) = 0，则2x + 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = \frac{1}{2}，x_2 = 4例题 23方程：3x^2 8x 3 = 0解析：因式分解为(3x + 1)(x 3) = 0，则3x + 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{3}，x_2 = 3例题 24方程：4x^2 9x + 2 = 00，解得x_1 = \frac{1}{4}，x_2 = 2例题 25方程：5x^2 16x + 3 = 0解析：因式分解为(5x 1)(x 3) = 0，则5x 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{5}，x_2 = 3例题 26方程：6x^2 17x + 5 = 0解析：因式分解为(2x 5)(3x 1) = 0，则2x 5 = 0或3x 1 = 0，解得x_1 = \frac{5}{2}，x_2 = \frac{1}{3}例题 27方程：x^2 18x + 81 = 0解析：因式分解为(x 9)^2 = 0，则x 9 = 0，解得x_1 = x_2 = 9例题 28方程：2x^2 10x + 8 = 0解析：提取公因式2得2(x^2 5x + 4) = 0，再因式分解为2(x 1)(x 4) = 0，则x 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = 1，x_2 = 4例题 29方程：3x^2 15x + 12 = 0解析：提取公因式3得3(x^2 5x + 4) = 0，再因式分解为3(x 1)(x 4) = 0，则x 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = 1，x_2 = 4例题 30方程：4x^2 16x + 12 = 0解析：提取公因式4得4(x^2 4x + 3) = 0，再因式分解为4(x 1)(x 3) = 0，则x 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = 1，x_2 = 3。

因式分解解方程题50道一、题目1. 解方程x^2-5x + 6=0- 解析：对x^2-5x + 6进行因式分解，x^2-5x + 6=(x - 2)(x - 3)。

则原方程可化为(x - 2)(x - 3)=0，所以x - 2 = 0或者x - 3 = 0，解得x=2或者x = 3。

2. 解方程x^2+3x - 10 = 0- 解析：因式分解x^2+3x - 10=(x + 5)(x - 2)。

原方程变为(x + 5)(x - 2)=0，即x+5 = 0或x - 2 = 0，解得x=-5或x = 2。

3. 解方程x^2-x - 12 = 0- 解析：x^2-x - 12=(x - 4)(x+3)。

原方程化为(x - 4)(x + 3)=0，得x - 4 = 0或x+3 = 0，解得x = 4或x=-3。

4. 解方程2x^2-5x - 3 = 0- 解析：对2x^2-5x - 3因式分解，2x^2-5x - 3=(2x + 1)(x - 3)。

原方程变为(2x + 1)(x - 3)=0，即2x+1 = 0或x - 3 = 0，解得x=-(1)/(2)或x = 3。

5. 解方程3x^2+x - 2 = 0- 解析：3x^2+x - 2=(3x - 2)(x + 1)。

原方程化为(3x - 2)(x + 1)=0，得3x - 2 = 0或x + 1 = 0，解得x=(2)/(3)或x=-1。

6. 解方程x^2-9 = 0- 解析：x^2-9=(x + 3)(x - 3)。

原方程变为(x + 3)(x - 3)=0，则x+3 = 0或x - 3 = 0，解得x = 3或x=-3。

7. 解方程4x^2-1 = 0- 解析：4x^2-1=(2x + 1)(2x - 1)。

原方程化为(2x + 1)(2x - 1)=0，即2x+1 = 0或2x - 1 = 0，解得x=-(1)/(2)或x=(1)/(2)。

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

典型例题一例 用因式分解法解以下方程：(1) y2＋y ＋ ＝ ；(2) t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ； (3)(2 x － 1)( x － 1) ＝ ．7 6 0 1解：（1）方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝0y ＋1＝0 或 y ＋6＝0 ∴y 1＝－ 1， y 2 ＝－ 6(2) 方程可变形为 t (2 t －1) － 3(2 t － 1) ＝0 (2 t －1)( t －3) ＝ 0， 2t －1＝0 或 t －3＝01∴t 1＝ ，t 2＝3．(3) 方程可变形为 2x 2 －3x ＝ 0 x(2 x －3) ＝ 0，x ＝0 或 2x － 3＝ 0∴ x 1＝ 0，x 2 ＝ 32说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右侧为零时， 则可令每一个一次因式为零， 获得两个一元一次方程， 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2) 应用因式分解法解形如 ( x － a)( x － b) ＝c 的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如 ( x － e)( x － f ) ＝0 的形式，这时才有x 1＝ e ， x 2 ＝f ，不然会产生错误，如 (3) 可能产生以下的错解：原方程变形为： 2x － 1＝ 1 或 x －1＝1．∴ x 1＝ 1， x 2 ＝2．(3)在方程 (2)中，为何方程两边不可以同除以 (2t － 1)，请同学们思虑典型例题二例 用因式分解法解以下方程6x 2 3 3x 2 2x6解：把方程左侧因式分解为：( 2x3)(3x 2)0 ∴ 2x 3 0 或 3x 2 0∴ x 13 2 , x 232说明 : 对于无理数系数的一元二次方程， 若左侧可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

典型例题三例 用因式分解法解以下方程。

一元二次方程的解法---因式分解法【知识要点】1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。

2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。

例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。

因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。

3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a a b x x ，。

5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。

【典型例题】例1． 用因式分解法解下列方程：（1）0322=+x x （2）01072=+-x x（3）()()623=+-x x （4）()()03342=-+-x x x（5）()02152=--x类题练习：用因式分解法解下列一元二次方程：（1）0432=-y y （2）03072=--x x（3）()()412=-+y y（4）()()1314-=-x x x（5）()025122=-+x例2．用适当方法，解下列关于x 的一元二次方程：（1）22244a b ax x -=-（2）()b a x a b x +-=-2322类题练习：解下列关于x 的一元二次方程：（1）022=-+-a a x x（2）()()n m n x n m mx ≠=---02例3．阅读材料：为解方程()()04151222=+---x x ，我们可以将12-x 视为一个整体，然后设y x =-12，则222)1(y x =-，原方程化为045-y 2=+y ．① 解得.4,12==y y11121=-=，xy 时当 ∴22=x ，∴2±=x ∴ 4142=-=，x y 时当 ∴52=x ，∴5±=x ∴原方程的解为5,53,2,2421-==-==x x x x ．解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想（2）解方程0624=--x x【经典练习】1．方程()()1512-=-x x x 的根是（ ）A ．25=xB ．1=xC ．12521==x x ，D ．15221==x x ， 2．解方程()()5352+=+x x ，较简便的方法是（ ） A ．直接开平方法 B ．配方法 C ．求根公式法 D ．因式分解法3．用因式分解法把方程()()615=+-x x 分解成两个一次方程，正确的是（ ）A ．8125=+=-x x ，B ．4145=+=-x x ，C ．0307=+=-x x ，D ．0307=-=+x x ，4．方程t t =2的根为（ ）A ．0=tB ．1021==t t ，C ．021==t tD ．1=t5．当代数式562++x x 与x －1的值相等，x 的值为（ ）A ．1=xB ．5121-=-=x x ，C ．3221==x x ，D ．3221-=-=x x ，6．在下列各题的空格中填写适当的方法（1）解方程031032=++x x ，用 较宜。

因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。

应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。

例 用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x∴032=+x 或023=-x ∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

例 用因式分解法解下列方程。

1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y∴.3,2521=-=y y说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

因式分解八大公式八大公式是数学中的基本知识，它们可以帮助我们更好地理解数学，提高我们的数学水平。

下面让我们来看看八大公式如何因式分解：一、勾股定理：a²+b²=c²这里的a、b、c是三条直角边的边长，其中c是斜边的边长。

勾股定理说明，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

二、平方和定理：a²+2ab+b²=(a+b)²这里的a、b是两个数，其中(a+b)是它们的和。

平方和定理指出，两个数的平方和等于它们的和的平方。

三、立方和定理：a³+b³+c³+3abc=(a+b+c)³这里的a、b、c是三个数，其中(a+b+c)是它们的和。

立方和定理表明，三个数的立方和等于它们的和的立方。

四、等差数列和公式：Sn=n/2(a1+an)这里的Sn是数列的和，n是数列的项数，a1是数列的第一项，an 是数列的最后一项。

等差数列和公式表明，数列的和等于项数乘以第一项和最后一项的一半。

五、等比数列和公式：Sn=a(1-rn)/1-r这里的Sn是数列的和，a是数列的第一项，r是数列的公比。

等比数列和公式表明，数列的和等于第一项乘以（1减去公比的n次方）除以（1减去公比）。

六、三角函数公式：sinα=a/c、cosα=b/c、tanα=a/b这里的α是角的角度，a、b、c是直角三角形的边长。

三角函数公式表明，求得角的正弦值、余弦值和正切值的关系。

七、二次函数公式：y=ax²+bx+c这里的a、b、c是系数，x是变量，y是函数值。

二次函数公式表明，变量x和函数值y之间的关系。

八、椭圆方程：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0这里的A、B、C、D、E是五个系数，椭圆方程表明，定义了一个椭圆的方程式。

以上就是八大公式因式分解的介绍，仔细理解，这些公式在数学中的作用就不言而喻了。

希望本文能够帮助大家更好地理解数学。

用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。

九年级数学因式分解解方程
因式分解解方程是一种常见的数学问题，它要求我们通过因式分解来找到方程的解。

假设我们要解的方程是ax^2 + bx + c = 0。

因式分解解方程的一般步骤如下：
识别方程中的项，并尝试找到两个数，它们的乘积等于常数项c，和的相反数等于一次项b。

将这两个数作为因式分解中的两个因子，将常数项c分解为它们的乘积。

将原方程写为因式分解的形式。

通过移项和化简，找到方程的解。

现在，我们将使用这个方法来解方程2x^2 - 4x - 1 = 0。

计算结果为：[{x: 1 - sqrt(6)/2}, {x: 1 + sqrt(6)/2}] 所以，方程2x^2 - 4x - 1 = 0 的解为x = 1 - sqrt(6)/2。

利用因式分解解二次方程当我们学习二次方程的时候，一种常见的解法是因式分解。

因式分解是将一个多项式拆分成一系列可约的因子的过程，而在解二次方程中，我们可以利用因式分解来求解。

本文将会介绍利用因式分解解二次方程的方法。

对于一个一般的二次方程 ax²+bx+c=0，其中a、b和c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

我们的目标是要找到一个因式分解形式将该二次方程解出。

首先，我们可以尝试将二次方程进行因式分解。

对于一个二次方程而言，如果可以进行因式分解，那么其解就是因式分解中的每一个因子等于零的解。

因此，我们可以将二次方程表示为两个因子相乘等于零的形式。

例如，对于二次方程 x²+5x+6=0，我们可以将其进行因式分解为(x+2)(x+3)=0。

由于两个因子相乘等于零，我们可以得到 x+2=0 或者x+3=0。

进一步解方程，我们可以得到 x=-2 或者 x=-3。

这两个解就是原二次方程的解。

在常见的二次方程中，我们可以辅助使用一些常用的因式分解模式。

例如：1. 完全平方模式：对于形如 (a+b)²=0 的二次方程，我们可以通过因式分解模式得到 a+b=0，然后进一步求解。

2. 差平方模式：对于形如 (a-b)²=0 的二次方程，我们可以通过因式分解模式得到 a-b=0，然后进一步求解。

3. 两数之积为零的模式：对于形如 ab=0 的二次方程，我们可以将其因式分解为 a=0 或者 b=0，然后进一步求解。

通过运用这些因式分解模式，我们可以更加灵活地解二次方程。

同时，我们还需要注意一些特殊情况，例如二次方程没有实数解或者只有一个实数解的情况。

这时候，我们需要对方程的判别式进行分析。

在二次方程 ax²+bx+c=0 中，判别式可以表示为Δ=b²-4ac。

根据判别式的大小，我们可以得到以下结论：1. 当Δ>0 时，二次方程有两个不同的实数解；2. 当Δ=0 时，二次方程有两个相同的实数解；3. 当Δ<0 时，二次方程没有实数解。

解一元二次方程-因式分解法1．因式分解法把一个多项式分解成xx+1=0﹣﹣，x=±．，x±．，，=，．典例探究答案：【例1】【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，解得x 1=12，x 2=14； （2）4(y ＋2)2=(y －3)2移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0整理，得(3y+1)(y+7)=0解得y 1=－13，y 2=－7. 练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0，因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0，整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0，解得：x 1=2，x 2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．【例2】【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）的值，进一步可求出x 的值．解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0，所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0解得y 1=1，y 2=3．当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x 1=﹣2，x 2=﹣1．点评：本题运用换元法解一元二次方程．练2．【解析】设a+b=x ，则原方程转化为关于x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x （即a+b ）的值．解：设a+b=x ，则由原方程，得4x （4x ﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x ﹣1）=0，解得x 1=﹣，x 2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．练3 【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得x=当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，x=【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．练4．【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．解：（1）因式分解，得（x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1；（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=，x 2=； （3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0，因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0，解得x 1=1，x 2=﹣3；（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键． 课后小测答案：一、选择题1．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．解：x 2﹣2x=3，x 2﹣2x ﹣3=0，（x ﹣3）（x+1）=0，故选A ．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.解：5x(x+3)=3(x+3)，移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，分解因式，得（5x-3）（x+3）=0， 解得123,35x x ==-故选D.点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.解：方法一：x 2-2x=3,移项，得x 2-2x-3=0,因式分解，得（x-3）(x+1)=0,方法二：x 2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,移项，得（x-1）2-4=0.故选A.点评：本题考查了解一元二次方程——因式分解法.二、填空题4．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x ﹣1=0或x+3=0．解：（x ﹣1）（x+3）=0，x ﹣1=0或x+3=0．故答案为x ﹣1=0或x+3=0．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．5．【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x﹣2）=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可解：x（x+1）=2（x+1），移项得：x（x+1）﹣2（x+1）=0，即（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0，x﹣2=0，解方程得：x1=2，x2=﹣1，故答案为：x1=2，x2=﹣1．点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．6．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，即（t﹣1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=﹣4，∵t≥0，∴t=1，∴x2+y2=1，故答案为1．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．三、解答题7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（1）x2﹣2x+1=0，因式分解，得（x﹣1）2=0，解得x﹣1=0，即x1=x2=1；（2）x2﹣2x﹣2=0，移项，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即：（x﹣1）2=3，解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+2）=0，即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）原式利用因式分解法求出解即可；（3）将方程变形后，设y=x﹣，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．解：（1）方程变形得：x2﹣4x=3，配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）方程变形得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，解得：x1=2，x2=5；（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0，变形得：2（x﹣）2﹣（x﹣）﹣1=0，设y=x﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，当y=﹣时，x﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0．点评：此题考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．9．【解析】设x2﹣x=y，原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．解：设x2﹣x=y，则（x2﹣x）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3．当y=2时，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．当y=3时，x2﹣x=3，x3=，x4=．故原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2﹣2z﹣15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．解：设z=x2+y2，原方程变形为（z﹣3）（z+1）=12，整理，得z2﹣2z﹣15=0，因式分解，得（z﹣5）（z+3）=0，解得z1=5，z2=﹣3，∵x2+y2≥0，∴x2+y2的值为5．点评：本题考查了换元法解一元二次方程．。