2015上海数学自招大同中学真题

2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________【答案】24【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=71166225533447-+-+-+-+-+-+-=654321324++++++=2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得1313z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 【答案】2【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()21338x x -=+∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦∴()()141338212x x x x=+++---∴()()12239x x x--=+原式=4133812239x xx+++-=+5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)m<，增加34份礼物，则m=____________【答案】8【解析】根据题意有()()()1341m m m n m n-+=++-，()2134n m n∴+-=，∴12134nm n=⎧⎨+-=⎩或22117nm n=⎧⎨+-=⎩或17212nm n=⎧⎨+-=⎩或34211nm n=⎧⎨+-=⎩解得：117nn=⎧⎨=⎩（舍）或28nn=⎧⎨=⎩或177nn=⎧⎨=-⎩（舍）或3416nn=⎧⎨=-⎩（舍）8m∴=6、正ABCV的内切圆半径为1，P为圆上一点，则12BP CP+的最小值为_________ 【答案】212【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得1122DO r==，联结PD,由计算可得2CO=，在PODV与COPV中，12POD COPOD OPOP OC∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩∴PODV:COPV,∴12PD PC=∴12122BP CP BP PD BD+=+≥=二. 解答题 7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，则()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()922S H S H S ++-==8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）联结BE ，AF ，有22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且BDF CDF ACE CDES S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACES S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2AB CD = 附：无答案试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP +的最小值为_________二. 解答题7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。

上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________．解答：做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

A 'B AM NPQ6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON内的两个定点，点P 、Q 分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。

应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。

要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。

从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。

//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。

2015年上海市中考数学试卷及参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、下列实数中，是有理数的为（ ）A 、2B 、34C 、πD 、02、当0>a 时，下列关于幂的运算正确的是（ ）A 、10=aB 、a a-=-1C 、22)(a a -=--D 、2211a a =3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为（ ）A 、2x y =B 、x y 2=C 、2x y =D 、21+=x y 4、如果一个正多边形的中心角为︒72，那么这个正多边形的边数是（ ） A 、4B 、5C 、6D 、7 5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ） A 、平均数 B 、众数 C 、方差 D 、频率6、如图，已知⊙O 中，AB 是弦，半径AB OC ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A 、BD AD =B 、CD OD =C 、CBD CAD ∠=∠D 、OCB OCA ∠=∠第6题二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、计算：=+-2|2| 8、方差223=-x 的解是 9、如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是 10、如果关于x 的一元二次方程042=-+m x x 没有实数根，那么m 的取值范围是11、同一温度的华氏度数y （F ︒）与摄氏温度x （C ︒）之间的函数关系式是3259+=x y ，如果某一温度的摄氏数是C ︒25，那么它的华氏度数是F ︒12、如果将抛物线122-+=x x y 向上平移，使它经过点)3,0(A ，那么所得新抛物线的表达式是13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50名同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加此活动的概率是那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是岁15、如图，已知在ABC △中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，=，=，那么向量用向量、表示为第15题16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AD AE =，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么=∠FAD17、在矩形ABCD 中，5=AB ，12=BC ，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于（只需写出一个符合要求的数）18、已知在ABC △中，8==AC AB ，︒=∠30BAC ，将ABC △绕点A 旋转，使点B 落在原ABC △的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原ABC △的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分10分）先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x20、（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来21、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数x y 34=的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数xmy =的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作x BC ∥轴，交y 轴于点C ，且BC AC =，求： （1）这个反比例函数的解析式 （2）直线AB 的表达式22、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且︒=∠30BDN ，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响 （1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ，如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁边安装隔音板，当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：7.13≈）23、（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OB OE =，联结DE （1）求证：BE DE ⊥（2）如果CD OE ⊥，求证：DE CD CE BD ⋅=⋅24、（本题满分12分，每小题满分各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线42-=ax y 与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，52=AB ，点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴相交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ，设点P 的横坐标为m（1）求这条抛物线的解析式（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长度 （3）当23tan =∠ODC 时，求PAD ∠的正弦值25、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦AB CD ∥，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且OP DQ =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20=AB ，54cos =∠AOC ，设x OP =，CPF △的面积为y （1）求证：OQ AP =（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域 （3）当OPE △是直角三角形时，求线段OP 的长备用图2015年上海市中考参考答案三、解答题 19、原式21+=x ，原式12-=20、原不等式组的解集是23≤<-x21、（1）x y 12=（2）632+-=x y22、（1）36=PH （2）89 23、（1）略 （2）略24、（1）42-=x y （2）42-=m CO （3）22sin =∠PAD25、（1）略 （2）xx x y 3006032+-=（101350<<x ） （3）8=OP。

2015大同中学自主招生数学试题
一、填空题
1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 符合f (x)·f (-x)= f (x 2)，则这样的二次函数有________个．
2．一辆火车经过一个信号灯花了41分钟，经过600m 隧道用了4
3分钟，则火车速度为_____km/h ．
3．使完全平方数n 2+11成立的正整数n 为___________．
4．838，212称这两个数字为回文数，并且838-212=626也是回文数，便称(838，212)为回文数对，那么有________个(a>b)的(a ，b)的回文数对？
5．有九个格子，三种颜色，每一列每一行三种颜色不重复，那么有________种情况？
6．当有一列数相加，每两个数字之间差不大于1，且第一个与最后一个数为1时，则称这个相加之后的数为“好数”，例如：1+2+3+3+4+5+4+3+3+2+2+1=33，则称这些数是33的“好
数” ，已知2008是好数，那么它的好数至少有_________项？
7．已知两个函数)0(2<=k x
k y 与k x y 3+-=的图像相交于点P ，且OP=7，则k=________． 二、解答题
1．a+b+c=4，a 2+b 2+c 2=10，a 3+b 3+c 3=22，求a 4+b 4+c 4．
2．已知AB=BC=40，CE=25，求BD 的长．
3． 已知二次函数f (x)的二次项系数为a ，且不等式f (x)>-2x 的解集为(1，3)，
(1)若方程f (x)+6a=0有两个相等的根，求f (x)的解析式；
(2)若f (x)的最大值为正数，求a 的取值范围．。

上海市2015年初中毕业统一学业考试数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，是有理数的为（）A．B．C．πD．0答案：D 【解析】本题考查有理数的概念，难度较小．整数与分数统称有理数，0是整数，所以有理数为D，故选D．2．当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0＝1 B．a－1＝－a C．(－a)2＝－a2D．答案：A 【解析】本题考查幂的相关运算，解题关键在于理解相关运算法则，难度较小．a0＝1(a≠0)，；；(－a)2＝a2；，所以正确的只有A，故选A．3．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y＝x2B．C．D．答案：C 【解析】本题考查正比例函数的概念，难度较小．A选项中，y是关于x的二次函数；B选项中，y是关于x的反比例函数；C选项中，y是关于x的正比例函数；D选项中，y是关于x的一次函数，故选C．4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B 【解析】本题考查正多边形中角的相关计算，难度较小．360°÷72°＝5，所以此多边形为正五边形，故选B．5．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率答案：C 【解析】本题考查统计量的特征，难度较小．平均数、众数是表示数据集中趋势的统计量，方差是衡量一组数据的波动程度的量，频率是表示数据出现次数的统计量，故选C．6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BDB．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB答案：B 【解析】本题考查菱形的判定条件、圆中的相关概念及性质，难度较小．若使四边形为菱形，只需要证明两条对角线互相垂直平分即可．此题的条件中已有OC⊥AB，根据圆的性质可以证明AD＝BD，只要添加的条件能够证明CD＝OD即可，故选B．【易错分析】由于对菱形的判定方法掌握不准确而错选A，C，D．第Ⅱ卷（非选择题共126分）二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．请把答案填在题中的横线上）7．计算：|－2|＋2＝________．答案：4 【解析】本题考查有理数的计算，解题的关键在于绝对值的化简，难度较小．原式＝2＋2＝4．8．方程的解是________．答案：2 【解析】本题考查含二次根式的方程的解法，难度较小．两边平方化为整式方程3x－2＝4，解得x＝2，经检验x＝2是方程的解．9．如果分式有意义，那么x的取值范围是________．答案：x≠－3 【解析】本题考查分式有意义的条件，难度较小．分式有意义的条件是分母不为0，所以x＋3≠0，解得x≠－3．10．如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是__________．答案：m＜－4 【解析】本题考查一元二次方程根的讨论，难度较小．一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2－4ac＝42＋4m＜0，解得m＜－4．11．同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉．答案：77 【解析】本题考查华氏温度与摄氏温度的换算，根据两者间的函数关系式代入计算即可，难度较小．把x＝25代入函数解析式计算即可，．12．如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是________．答案：y＝x2＋2x＋3 【解析】本题考查二次函数的图象的平移，难度较小．解题的关键在于确定二次函数与y轴交点的纵坐标，两个函数交点纵坐标的差即为平移的距离．原抛物线与y轴的交点为(0，－1)，新交点坐标为(0，3)，相差4个点，所以需要将原抛物线向上平移4个单位，所得到的关系式为y＝x2＋2x－1＋4＝x2＋2x＋3．13．某校学生会倡议双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是________．答案：【解析】本题考查概率的计算，难度较小．从50位同学中随机抽取7位同学，小杰被抽到的概率是．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是________岁．答案：14 【解析】本题考查中位数的确定，难度较小．中位数为一组数据从小到大排列位于最中间的一个数或两个数的平均数，”科技创新社团”共有53人，位于最中间的是第27人，年龄位于第27位的是14岁，所以成员年龄的中位数是14岁．15．如图，已知在△ABC中，D，E分别是边AB，边AC的中点，，那么向量用向量m，n表示为________．答案：【解析】本题考查用向量表示线段，难度中等．向量与向量的方向不同，所以D点的方向应为负，点D处于的中点，所以向量的起点是，点E处于的中点，所以向量的终点是，所以向量用向量m，n表示为．16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．答案：22.5°【解析】本题考查正方形的性质及三角形全等的判定，难度中等．因为EF ⊥AC于点E，所以∠AEF＝∠ADF＝90°，因为AE＝AD，AF＝AF，所以△AEF≌△ADF，所以∠DAF＝∠EAF．因为∠DAC＝45°，所以∠DAF＝22.5°．17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B 在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于________（只需写出一个符合要求的数）．答案：14（答案不唯一，任意大于13且小于18的数均可）【解析】本题考查圆与圆，点与圆的位置关系，难度较大．由于⊙B过点A，所以⊙B的半径为5，由勾股定理得BD＝13，DE＝18．由于⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，所以⊙D的半径r满足13＜r＜18．18．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于________．答案：【解析】本题考查三角形中长度的相关计算，难度中等．作DF⊥CE于点F，由题意知∠BAC＝∠DAC＝30°，因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝∠ACD＝75°，所以∠ECD＝30°，所以∠E＝45°，△ACE∽△CDE，设EF＝DF＝x，则，，CD＝2x．所以，所以，解得，所以．三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分10分）先化简，再求值：，其中．答案：（本小题满分10分）本题考查分式的化简求值，难度较小．解：．当时，．20．（本小题满分10分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．答案：（本小题满分10分）本题考查一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集，难度较小．解：由4x＞2x－6得x＞－3．由得x≤2，∴原不等式组的解集是－3＜x≤2．21．（本小题满分10分）已知：如图：在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．答案：（本小题满分10分）本题考查一次函数与反比例函数的应用，涉及数形结合思想及线段垂直平分线的性质，难度中等．解：（1）∵正比例函数的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标是(3，4)．∵反比例函数的图象经过点A，∴m＝12，∴反比例函数的解析式为．（2）∵AC＝AB，∴点A在线段BC的中垂线上，∵BC∥x轴，点C在y轴上，点A的坐标是(3，4)，∴点B的横坐标为6．∵点B在反比例函数的图象上，∴点B的坐标是(6，2)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∴∴直线AB的表达式为．22．（本小题满分10分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：）答案：（本小题满分10分）本题考查通过解直角三角形解决实际问题，解题的关键在于根据题意确定需要求解的直有三角形，难度中等．解：（1）连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39．在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36．答：此时汽车与点H的距离为36米．（2）由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC＝39．在Rt△DCQ中，DQ＝2QC＝78．在Rt△ADH中，．∴PQ＝PH－DH＋DQ≈114－15×1.7＝88.5≈89．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长．23．（本小题满分12分）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE．答案：（本小题满分12分）本题考查平行四边形的性质及三角形相似的判定及性质，难度中等．证明：（1）∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB．∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，∴OB＝OD．∴OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED，在△BDE中，∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BED＝90°，即DE⊥BE．（2）∵OE⊥CD，∴∠CDE＋∠DEO＝90°．又∵∠CEO＋∠DEO＝90°，∴∠CDE＝∠CEO．∵∠OBE＝∠OEB，∴∠OBE＝∠CDE．∵∠BED＝∠DEC，∴△DBE∽△CDE，∴，∴BD·CE＝CD·DE．24．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2－4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴相交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的表达式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当时，求∠PAD的正弦值．答案：（本小题满分12分）本题考查二次函数，相似三角形，三角函数的综合应用，解题关键在于根据题意确定相似三角形，难度较大．解：（1）由抛物线y＝ax2－4与y轴相交于点B，得点B的坐标为(0，－4)．∵点A在x轴的负半轴上，，∴点A的坐标为(－2，0)．∵抛物线y＝ax2－4与x轴相交于点A，∴a＝1，∴这条抛物线的表达式为y＝x2－4．（2）∵点P在抛物线上，它的横坐标为m，∴点P的坐标为(m，m2－4)．由题意，得点P在第一象限内，因此m＞0，m2－4＞0．过点P作PH⊥x轴，垂足为点H．∵CO∥PH，∴，∴，解得CO＝2m－4．（3）过点P作PG⊥y轴，垂足为点G．∵OD∥PG，∴，∴，即，在Rt△ODC中，∵，∴，解得m＝3或m＝1（舍去），∴CO＝2．在Rt△AOC中，，∴，即∠PAD的正弦值为．25．（本小题满分14分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB＝20，．设OP＝x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP＝OQ；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．答案：（本小题满分14分）本题考查圆与全等三角形，相似三角形，三角函数，直角三角形的判定及性质，涉及分类讨论，数形结合等多种思想方法，难度较大．解：（1）证明：连接OD．∵CD∥AB，∴∠C＝∠AOP．∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∴∠AOP＝∠D．又∵AO＝OD，OP＝DQ，∴△AOP≌△ODQ，∴AP＝OQ．（2）∵CD∥AB，∴∠CFP＝∠A．∵△AOP≌△ODQ，∴∠A＝∠DOQ，∴∠CFP＝∠DOQ．又∵∠C＝∠D，∴△CFP∽△DOQ，∴．过点O作OH⊥CD，垂足为点H．∵，，∴CH＝8，OH＝6，CD＝16．∴，∵CP＝10－x，∴，∴所求函数的解析式为，即，定义域为．（3）∵CD∥AB，∴∠EOA＝∠DQO．又∵∠A＝∠DOQ，∴∠AEO＝∠D≠90°．∴当△OPE是直角三角形时，只可能是∠POE＝90°或∠OPE＝90°．①∠POE＝90°时，在Rt△OCQ中，，∴．∵CD＝16，∴．∵，∴不合题意，舍去．②当∠OPE＝90°时，得∠DQO＝∠OPA＝90°，∴点O为CD的中点，∴．综上所述，当△OPE是直角三角形时，线段OP的长是8．综评：本套试卷难度适中，知识覆盖面广，覆盖数与代数，空间与图形，统计与概率，综合与实践四大领域，能正确反映课程标准对考生“四基”“四能”的考查要求，试题多数为常规题，从而让不同的考生都能获得比较满意的成绩，个别试题具有一定的难度，用于区分不同层次考生对数学知识的掌握程度，具有较好的区分度．本卷中的特色题：反映函数与方程思想的题有第11，25题；反映数形结合思想的题有第15，16，17，21，22，24，25题；反映分类讨论思想的题有第25题；与实际生活联系紧密的试题有第11，13，14，22题；较难的题有第18，24，25题．。

专题之7、解析几何一、选择题。

1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。

2015年高三数学高校自主招生考试真题分类解析10 不等式一、选择题。

1．(2009年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值X围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定2．(2010年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k=时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-3．(2010年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( ) A. B. C. D.5．(2011年复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值X围是( ) A.a<12 B.a<7 C.a<5 D.a<26．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2二、填空题。

7．(2010年中南财经政法大学)已知实数a,b满足a>b,ab=1,则的最小值是 . 8．(2009年华中科技大学) 对任意的a>0,b>0,的取值X围是.三、解答题。

9．(2009年中国科技大学)求证:∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3(x+y-1)恒成立.10．(2009年某某大学)P为△ABC内一点,它到三边BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3,S为△ABC的面积,求证:++≥.11．(2010年某某大学)(a+b)2+3a+2b=(c+d)2+3c+2d. (*)证明:(1)a=c,b=d的充分必要条件是a+b=c+d;(2)若a,b,c,d∈N*,则(*)式成立的充要条件是a=c,b=d.12．(2010年某某大学)有小于1的n(n≥2 )个正数:x1,x2,x3,…,x n,且x1+x2+x3+…+x n=1.求证:+++…+>4.13．(2009年清华大学)设a=(n∈N*),S n=(x1-a)(x2-a)+(x2-a)(x3-a)+…+(x n-1-a)(x n-a),求证:S3≤0.14．(2009年清华大学)(1)x,y为正实数,且x+y=1,求证:对于任意正整数n,x n+y n≥;(2)a,b,c为正实数,求证:++≥3,其中x,y,z为a,b,c的一种排列.15．(2009年大学)∀x∈R都有acos x+bcos 2x≥-1恒成立,求a+b的最大值.16．(2011年大学等十三校联考)求f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2 011x-1|的最小值.17．(2012年大学等十一校联考)求+=1的实数根的个数.1.B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].3.C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0). 4.C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5.D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值X围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x +)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.9.x2+xy+y2-3(x+y-1)=(x+y)2+x2+y2-3x-3y+3=(x+y)2+(x-3)2+(y-3)2-6≥(x+y)2+(x+y-6)2-6=(x+y)2-3(x+y)+3=[(x+y)-]2≥0,故∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3(x+y-1)恒成立.10.2S=2(S△PBC+S△PCA+S△PAB),2S=ad1+bd2+cd3.要证++≥成立,即证(ad1+bd2+cd3)(++)≥(a+b+c)2成立.由柯西不等式可得上面不等式成立,当且仅当d1=d2=d3时等号成立.11.(1)由a=c,b=d得到a+b=c+d是显然的;反之,把a+b=c+d代入(*)式可得a=c,于是b=d.因此,a=c,b=d的充要条件是a+b=c+d.(2)充分性是显然的,下面证明必要性.当a+b=c+d时,由(1)可知:a=c,b=d,即必要性成立.当a+b>c+d时,有a-c>d-b,设a-c=d-b+p(p≥1),由(*)式得(a+b+1)2+a=(c+d+1)2+c,∴(a+b-c-d)(a+b+c+d+2)+a-c=0,∴[(a-c)-(d-b)](a+b+c+d+2)+a-c=0.∴a-c+p(a+b+c+d+2)=0,∴(1+p)a+pb+(p-1)c+pd+2p=0,这与p≥1相矛盾,于是a+b>c+d不能成立.同理可证a+b<c+d也不能成立.综上可知:必要性成立.12.∵0<x i<1,∴>(i=1,2,3,…,n).∴+++…+>+++…+≥,又∵1=x1+x2+x3+…+x n≥n,∴≥n,又∵n≥2,∴+++…+>n2≥4.13.S3=(x1-)(x2-)+(x2-)(x3-)=(x2-)(x1-+x3-)=·=-(x1+x3-2x2)2≤0.14.(1)设x=+a,则y=-a,其中-<a<,于是x n+y n=(+a)n+(-a)n=()n+()n-1·a+()n-2·a2+…+a n+()n-()n-1·a+()n-2·a2-…+(-a)n=2[()n+()n-2·a2+()n-4·a4+…]≥2×()n=.(2)不妨设a≥b≥c>0,即0<≤≤,且{,,}={,,},由排序不等式得++≥++=3.15.2【解析】方法一令cos x=t,则-1≤t≤1,f(t)=2bt2+at+1-b≥0恒成立.(1)当b<0时,,利用线性规划知识，如下图，可以解得:-1≤a+b<1.(2)当b=0时,at+1≥0,由-1≤t≤1,得-1≤a+b≤1.(3)当b>0时,(i),利用线性规划知识，如下图，可以解得:0<a+b<;(ii),即,⇒9b2-(2k+8)b+k2≤0,Δ≥0⇒-1≤k≤2,∴(a+b)max=2;(iii),即,利用线性规划知识，如图，可以解得:-1≤a+b<0.综上,(a+b)max=2.方法二2bcos2x+acos x-b+1≥0,令cos x=-,得+≤1,即a+b≤2,又当a=,b=时,cos2x+cos x+=(2cos x+1)2≥0成立,∴(a+b)max=2.16.【解析】解法一由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值,如|x-a|+|x-b|的最小值应该是在数轴上a,b两点之间取得,为|a-b|,所以将函数f(x)的右边整理为|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|+|x-|+…+|x-|,共有1+2+3+…+2 011=1 006×2 011项,则f(x)可以理解为x到这1 006×2 011个零点的距离之和.从两端开始向中间靠拢,每两个绝对值的和的最小值都是在相应的零点之间取得,而且X围是包含关系,比如|x-1|+|x-|的最小值是在x∈[,1]上取得,|x-|+|x-|的最小值是在x∈[,]上取得,…,所以f(x)的最小值应该在正中间的零点或正中间的相邻两个零点之间取得.由=503×2 011可知,f(x)取得最小值的X围在第503×2 011个零点和第503×2 011+1个零点之间(这两个零点也可能相等).由<503×2 011算得n ≤1 421,所以第503×2 011个零点和第503×2 011+1个零点均为,则[f(x)]min=f()=.解法二由零点分区间法讨论去绝对值:当x∈(-∞,]时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2 011x),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k1=-1-2-…-2 011.当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2 010x)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2=-1-2-…-2 010+2 011.当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-2 009x)+(2 010x-1)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k3=-1-2-…-2 009+2 010+2 011.……当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-mx)+[(m+1)x-1]+…+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2 012-m=-1-2-…-m+(m+1)+…+2 011.当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+[1-(m-1)x]+(mx-1)+…+(2 011x-1),此函数图象是一条直线,斜率k2 013-m=-1-2-…-(m-1)+m+…+2 011.令,即,即,由于m∈N*,解得m=1 422.word所以当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-1 422x)+(1 423x-1)+…+(2 011x-1)=833-711×1 423x+1 717×589x, [f(x)]min=f()=.11 / 11。

2016年重点中学自主招生数学模抵试題参考答案与并分标程一、选择题（共5小题，每題6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A, B, C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号壊入题后的括号内.不壊、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程x2-ax + a2-3 = Q至少有一个正根.则实数a的取值范围是（C ）A、-2<a<2B、>/3<a<2C、-75<a<2D、-V5<a<22、如图，己知：点£、F分别是正方形ABCD的边刀8、8C的中点，BD、QF分别交CE于点G、H .若正方形的面枳是240,则四边形8FHG的面积等于（B ）A、26B、28C、24 D. 303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：归3一4 +仏％・4 = 缶二-伝二.则代数式x + y + z ^^xyz的值是............... （A ）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图.四边形8DCE内接于以BC为直径的QA.巳知：8C = 10,cosZBCD = |, ZBCE = 30°.则线段DE 的长是............. （D ）A、789B、7 73C、4+3 V3D、3+4 右5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个〃排的等腰梯形阵，且这〃排学生数按每排都比前一拝多一人的规律排列，则当〃取到最大值时.排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是............... （B ）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。

不设中间分）6、己知：实常数a、b、c、d同时満足下列两个等式：⑴asin0 + 8cosQ-c = O：（2）acosQ-Z）sin0 + d = O （其中。

为任意锐角），则。

、如c、d之间的关系式是:_a2 +b2 =c2 +d2_o7、函数J，= |x-1| + 2|x-2| + 3|x-3| + 4|x-4|的最小值是8 ________ .8、己知一个三角形的周长和面积分别是84、210. 一个单位圆在它的内部沿着三边勾速无摩擦地滾动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-^9、己知：x=疽则可用含x的V5 + V2有理系数三次多项式来表示为：41 =1 3 11---- X ------ X。

一、填空题2015 年大同中学自主招生测试题数学试题1、已知二次函数y =ax2 +bx +c 符合f ( x) ⋅ f (-x) = f ( x2 ) ，则这样的二次函数有个。

2、一辆火车经过一个信号灯花了14分钟，经过600 m 隧道用了34分钟，则火车速度为km / h 。

3、使完全平方数n2 + 11成立的正整数n 为。

4、838,212 称这两个数字为回文数，并且838 - 212 = 626 也是回文数，便称(838,212) 为回文数对，那么有个( a >b )的(a,b) 的回文数对?5、有九个格子，三种颜色，每一列每一行三种颜色不重复，那么有种情况?6、当有一列数相加，每两个数字之间差不大于 1，且第一个与最后一个数为1 时，则称这个相加之后的数为“好数”，例如：1 +2 +3 + 3 +4 +5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 +1 = 33 ，则称这些数是33 的“好数”，已知2008 是好数，那么它的好数至少有项？7、已知两个函数y =2k(k < 0) 与y =-x +x3k 的图像相交于点P ，且OP =7 ，则k = 。

8+=a ，求a 。

x -a a -x9、已知：当n 为偶数时，Snap(n) = 2n, 当n 为奇数时，Snap(n) = 3n, P为大于2 的质数，求Snap[snap( p - 1) -p]。

10、在一个直角三角形中，三边为等比数列，且最短边为2 ，求斜边长。

二、解答题1、a +b +c = 4 ，a2 +b2 +c2 = 10 ，a3 +b3 +c3 = 22 ，求a4 +b4 +c4 。

2、已知AB =BC = 40，CE = 25 ，求BD 的长3、已知二次函数二次项系数为a ，当f ( x) = 0 时两根为 1 和 3，(1)当f ( x) + 6a = 0 ，。

求f ( x) 的解析式；(2)当f ( x) 有最大值且最大值为正数时，求a 的范围。

2015年上海市中考数学试卷及答案（Word版）
2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷
；B、；C、π；D、0．－－－－．；C、y＝；D、y＝．．．A、AD＝BD；B、OD＝CD；
C、∠CAD＝∠CBD；
D、∠OCA＝∠OCB．_______．的解是_______________．有意义，那么x的取值范围是____________．－．x＋32．．－A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________．．那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁．，，那么向量用向量、表示为______________．．．．．．．，其中．，并把解集在数轴上表示出来．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图像经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y＝的图像也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB．．．．．(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．≈1.7)
23、(本题满分12分，每小题满分各6分)
已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，联结DE．
(1)求证：DE⊥BE；(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE．
已知在平面直角坐标系xOy中(如图)，抛物线y＝ax2－．．．时，求∠PAD的正弦值．．．．。

上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+， 代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________． 【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________． 【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <， 此时函数1y 的对称轴404mx -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <； 若04m ≤<，此时20y ≤， 则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立； 综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=； 球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。

上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。

2015年上海市中考数学试卷一、选择题：(每题4分，共24分)1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………………（ ） A 、2； B 、34； C 、π； D 、0．2、当a ＞0时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………………（ ） A 、a 0＝1； B 、a －1＝－a ； C 、(－a )2＝－a 2； D 、2211a a=． 3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为…………………………………………（ ） A 、y ＝x 2； B 、y ＝x 2； C 、y ＝2x ； D 、y ＝21+x ． 4、如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是……………………（ ） A 、4； B 、5； C 、6； D 、7．5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是……………………………………（ ） A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率．6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是………………………………………………（ ） A 、AD ＝BD ； B 、OD ＝CD ； C 、∠CAD ＝∠CBD ； D 、∠OCA ＝∠OCB ．二、填空题：(每题4分，共48分) 7、计算：=+-22_______．8、方程223=-x 的解是_______________． 9、如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是____________． 10、如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是________． 11、同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是y ＝59x ＋32．如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉．12、如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达D CBAO式是_______________．13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．14、已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁． 15、如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，m AB =，n AC =，那么向量DE 用向量m 、n 表示为______________．16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ＝AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠F AD ＝________度．17、在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数)18、已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝30°．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________．三、解答题19、(本题满分10分)先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ．EDCBA20、(本题满分10分)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．21、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝34x 的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数y ＝xm的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC ＝AB． 求：(1)这个反比例函数的解析式； (2)直线AB 的表达式．yxAO22、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)23、(本题满分12分，每小题满分各6分)已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，联结DE ．(1)求证：DE ⊥BE ； (2)如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．24、(本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系xOy 中(如图)，抛物线y ＝ax 2－4与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，AB ＝25．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ． (1)求这条抛物线的解析式；(2)用含m 的代数式表示线段CO 的长； (3)当tan ∠ODC ＝23时，求∠P AD 的正弦值．OEDB A25、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ ＝OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合)，AB ＝20，cos ∠AOC ＝54．设OP ＝x ，△CPF 的面积为y ． (1)求证：AP ＝OQ ；(2)求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．OPQ F EDC备用图DC。

大同中学自招考题摘要：一、大同中学自招考试简介1.大同中学自招考试的目的2.自招考试的报名条件与程序3.自招考试的重要性和影响力二、大同中学自招考试的试题类型与难度1.试题类型概述a.语文b.数学c.英语d.物理e.化学f.生物2.试题难度分析a.基础知识题b.能力拓展题c.创新思维题三、大同中学自招考试的备考策略1.制定合理的学习计划2.巩固基础知识3.提高解题能力4.培养创新思维5.参加模拟考试与竞赛四、大同中学自招考试对学生的意义1.提升学术能力与综合素质2.增加进入优秀高中的机会3.为未来发展奠定基础正文：大同中学自招考试是一场对初中生进行的选拔性考试，旨在选拔优秀的学生进入大同中学学习。

每年，大量的学生报名参加这场考试，竞争激烈。

本文将对大同中学自招考试的简介、试题类型与难度、备考策略及其对学生意义进行详细解析。

首先，大同中学自招考试的目的是选拔学术能力出众、综合素质高的学生。

报名条件相对宽松，只要是全国范围内的初中生均可报名参加。

报名程序主要包括报名、审核、缴费等环节。

自招考试对学生的未来发展具有重要意义，不仅可以增加进入优秀高中的机会，还能提升学术能力与综合素质。

其次，大同中学自招考试的试题类型丰富多样，涵盖了语文、数学、英语、物理、化学、生物等各个学科。

试题难度分为基础知识题、能力拓展题和创新思维题。

其中，基础知识题旨在测试学生的基本知识掌握程度；能力拓展题着重考查学生的解题能力；创新思维题则考察学生的创新意识和思维能力。

针对这样的考试特点，学生需要制定合理的学习计划，巩固基础知识，同时提高解题能力和培养创新思维。

参加模拟考试和学科竞赛也是提高应试能力的重要途径。

总之，大同中学自招考试不仅是一场选拔优秀学生的考试，更是学生提升自身学术能力和综合素质的机会。