数列通项公式的求法总结

＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
因为 n＝1 时，a1＝1 对上式也成立， 所以 an＝4n－3(n∈N*)．
三、知“递推关系式”求数列通项公式
类型一：an＋1＝an＋f(n)型
5.已知数列{an}满足
___n_2____n____1_5___．
a1＝15，an＋1n－an＝2(n∈N*)，则
∴ 4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得
a1＝－3， d＝2，
∴an＝a1＋(n－
1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝n2－4n.
故选 A.
2．(2019·新课标全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列
2n1
{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，则 an＝___________.
四、其它类型求数列通项公式
9.设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n,求{an}的通 项公式.
解：因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以 an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得 a1＝2， 从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
数列通项公式的求法
一、知“类型”求数列通项公式
1．(2019·新课标全国卷Ⅰ)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项
和．已知 S4＝0，a5＝5，则( A )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝12n2－2n
解：设等差数列{an}的公差为
d，∵
S4＝0， a5＝5，
解：设等比数列{an}的公比为 q， 由 a5＝3a3＋4a1 得 q4＝3q2＋4，得 q2＝4， 因为数列{an}的各项均为正数，所以 q＝2， 又 a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15， 所以 a1＝1，
所以 an＝ 2n1 .
小结：等差设“d”;等比设“q”;最后解方程.
(2)由(1)知，an＋bn＝2n1－1，an－bn＝2n－1. 所以 an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝21n＋n－12， bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝21n－n＋12.
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．
又因为 a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为
1，公比为1的等比数列． 2
由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为 a1－Fra Baidu bibliotek1＝1，
所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
又∵a1＝3，∴a1＋2＝5， ∴{an＋2}是首项为 5，公比为 2 的等比数列， ∴an＋2＝5×2n－1， ∴an＝5×2n－1－2.
q
方法：递推式两边同时加上 p 1 , 构造出新的以p为公比的等比数列.
8．(2019·福建省高三质量检测)数列{an}的前 n 项和 Sn 满 足 Sn＝2an－n.求证数列{an＋1}是等比数列,并求 an.
an 6．数列{an}满足 a1＝1，且数列 an－1 是首项为 1，公差为
1 的等差数列,则 an＝_1_×___1_×__2_×__…__×___(n__－__1_)_(n_≥__2_)_____.
an 解：因为数列 an－1 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 an ＝n－1(n≥2)， an－1
二、知“Sn”求数列通项公式
3．(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn n2 ,求数列{an}的通项公式 an.
解：(1)由 Sn＝n2 得， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又 a1＝1 也满足上式， 所以 an＝2n－1.
所以 an＝a1×aa21×aa32×…×aan－n1
方法：叠乘法
＝1×1×2×…×(n－1)(n≥2)．
类型三：an＋1＝pan＋q 型
7.数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋2(n∈N*),求数列{an}的 通项公式.
解：(1)由 an＋1＝2an＋2(n∈N*)， 得 an＋1＋2＝2(an＋2)，
an＝
解：由an＋1－an＝2，得 n
an＋1－an＝2n，
∵a1＝15，
∴当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝15＋2＋4＋…＋2(n－1)＝15＋2×nn－1＝n2－n＋15， 2
∵a1＝15 满足上式， ∴an＝n2－n＋15.
方法：叠加法
类型二：an＋1＝an·f(n)型
10.(2019·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，
b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
解：(1)当 n＝1 时，S1＝2a1－1，所以 a1＝1. 因为 Sn＝2an－n ①， 所以当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－(n－1) ②， ①－②得:an＝2an－2an－1－1，即 an＝2an－1＋1， 所以aan－n＋1＋11＝2ana－n1－＋1＋1＋ 1 1＝2aann－－11＋＋12＝2. 所以{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 an＋1＝2·2n－1， 所以 an＝2n－1.
小结：利用“当n≥2时，an＝Sn－Sn－1”； 再检验a1.
Sn 4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列 n 是首项为 1， 公差为 2 的等差数列,求数列{an}的通项公式.
解：(1)由题意可得：Sn＝1＋2(n－1)， n
可得 Sn＝2n2－n. 所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1