高中数学竞赛训练题 (3)

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题一 试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程错误！未找到引用源。

2．如图，在错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，则m+2n 的值为错误！未找到引用源。

３．错误！未找到引用源。

4．单位正方体错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .５．设数列错误！未找到引用源。

6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。

7．若错误！未找到引用源。

8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误！未找到引用源。

条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列错误！未找到引用源。

的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

， 求证：错误！未找到引用源。

． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。

有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。

成立．二 试一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

求证：错误！未找到引用源。

N DCAMBPEFA二．（40分）设错误！未找到引用源。

．三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。

四．（50分）设错误！未找到引用源。

为正整数错误！未找到引用源。

的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。

为数列错误！未找到引用源。

的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

2023全国高中数学竞赛试题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023全国高中数学竞赛试题2023年全国高中数学竞赛将于下个月举行，为了更好地帮助同学们备战竞赛，我们特为大家准备了一份模拟试题。

以下是一部分试题，希望大家认真思考，尽力做出最好的成绩。

题一：已知a、b、c、d为正整数且a+b+c+d=20，求a、b、c、d的可能取值组合数。

题二：已知正整数m,n，且m/n为一个最简分式，满足m+n=2023，求m和n的取值。

题三：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，且f(1)=9，f(2)=21，求a、b、c的值。

题四：在平面直角坐标系内，已知直线l1与直线l2分别过点A(2,4)、B(3,5)，且l1:l2=1:2，求l1、l2的方程。

题五：已知数列{an}满足an=3n^2+5n+7，求数列{an}的前10项和。

题七：已知圆心为O的圆C1方程为x^2+y^2=25，点A(3,4)在圆C1上，求点A与圆心O之间的距离。

题九：已知集合A={x|0<x<2π}，集合B={y|y=2sinx+cosx}，求B的最大值和最小值。

题十：已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，AB=3，BC=4，求AC的长度。

以上是部分模拟试题，希望同学们认真对待每一道题目，并在竞赛中取得优异的成绩。

祝愿大家取得理想的成绩，加油！第二篇示例：2023全国高中数学竞赛试题第一部分：选择题1. 若直线5x+12y=23 在x 轴上的截距为a，在y 轴上的截距为b，则a+b=A. 23/5B. 23/12C. 5/23D. 12/232. 若集合A=\{x | -3<x<5\}, 集合B=\{y | 2\leq y\leq7\}，则A \cap B =A. \{2,3,4\}B. \{2,3,4,5\}C. \{3,4\}D. \{4\}3. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2x-5 上任意两点x_1,x_2 处的切线斜率之差为9，则f(x) 在x=1 处的导数为A. -3B. -5C. 1D. 34. 若\triangle ABC 中，\angle A=60^{\circ}，\angleB=45^{\circ}，AB=2，则\sin C =A. 1/\sqrt{2}B. \sqrt{3}/2C. 1/2D. 2/\sqrt{3}5. 若函数f(x)=ax^2+bx+c，且f(0)=5，f(1)=1，f(2)=7，则a+b+c=A. 3B. -3C. 4D. -46. 若a，b，c 是等比数列，且a=2，c=32，则b=\underline{\hskip 2cm}.7. 设A，B 为两线性无关的2\times2 矩阵，则cA + dB = I的条件是c= \underline{\hskip 2cm}，d= \underline{\hskip 2cm}.9. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1，求f(x) 的增减性和极值点.10. 设P 是椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 上一点，F_1(-c,0)，F_2(c,0) 是椭圆的两个焦点，PF_1+PF_2 的最小值为多少？第三篇示例：2023全国高中数学竞赛试题在数学领域，竞赛是提高学生数学能力的一种重要方式。

全国高中数学联赛选择填空训练题（3）一、选择题：（每小题6分，共36分）1.与函数y=f(x-a)+b的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数是( )A.y=f-1(x-a)+bB. y=f-1(x+a)-bC. y=f-1(x-b)+aD. y=f-1(x-b)-a2.半径为1的圆的内接十边形的最短边的最大值是( )A.12(5-1) B.123 C.14(5+1) D.13.小于50000且含有奇数个数字"5"的五位数共有( )A.2952个B.11808个C.16160个D.26568个4.三角形的三条边长均为正整数,其中有一条边长为4,但它不是最短的边,这样不同的三角形共有( )A.6个B.7个C.8个D.9个5.已知a∈(0,1)的常数,|x|+|y|≤1,函数f(x,y)=ax+y的最大值为( )A.aB.1C.a+1D.12(a+1)6.对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n(n ≠1)的整数n共有( )A.0个 B.1 个 C.2个 D.3个二、填空题：（每小题9分，共54分）7.对于已知的x,y,把2-x,2x-y,2y-1的最小值记作F(x,y),当0<x,y<1时,F(x,y)的最大值等于___________.8.用E(n)表示可使5k是乘积112233…n n的约数为最大的整数k,则E(150)= ___________9.设函数f(x)=E(x)-2E(x2),其中E(x)表示实数x的整数部分,则f(x)为周期函数,其最小正周期T为___________10.函数f(x)在R上有定义,且满足(1)f(x)是偶函数,且f(0)=2005,(2)g(x)=f(x-1)是奇函数,则f(2005)的值为_______.11.在平面上有一定点P,考虑所有可能的正三角形ABC,其中AP=3,BP=2,则CP的最大长度为__________.12.已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为_________.答案:1.C.2.A.3.B.4.C.5.B.6.B.7.2-1/3.8.2975.9.2.10.0.11.5.12.1949.。

高中数学竞赛模拟试题一一 试（考试时间：80分钟 满分100分）一、填空题（共8小题，5678=⨯分）1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。

2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。

记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则=)2010(2010f。

3、如图，正方体1111D C B A ABCD -中，二面角11A BD A --的度数是 。

4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。

5、若正数cb a ,,满足ba cc a b c b a +-+=+，则ca b +的最大值是 。

6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。

7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=ni ia 01的值是 。

8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x xx xx xx x++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++）9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )求证：对于任何正整数n ，都有：n nn n a a 111+≥+10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。

全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值为 ( )A.－1B.1C.－12D.122. S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且对任意的自然数n 都满足S n T n ＝7n ＋44n ＋27，那么a 11b 11＝ ( )A.43B.74C.32D.7871 3. 直线xcos θ＋y ＋m ＝0(式中θ是△ABC 的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(－arctan 12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan 12，π]4. 设实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为正常数且a ≠b ，那么mx＋ny 的最大值为 ( )A.a ＋b 2B.abC.2ab a ＋bD.a 2＋b 225. 如图，平面α中有△ABC 和△A 1B 1C 1分别在直线m 的两侧，它们与m 无公共点，并且关于m 成轴对称，现将α沿m 折成一个直二面角，则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n 边形必能被这n个圆面所覆盖，则n 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共54分)6. 已知0＜x ＜π2，log sinx cosx 与log cosx tanx 的首数均为零，尾数和为1，则x ＝_________.7. 设＝n 21a a a 222+++ ，其中a 1，a 2，……，a n 是两两不等的非负整数，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝___________.8. 已知不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤6的解集为{x|a ≤x ≤b}，其中0＜a ＜b，则b ＝___________.9.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.10.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.11.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)12.(设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2n x2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.13.(已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14.(设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.第二试一、(50分)如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ，又设△AFE ，△BDF 和△DEF 均为锐角三角形，他们的垂心分别为H 1，H 2，H 3.求证：(1)∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；(2)△H 1H 2H 3≌△DEF.二、(50分)设C 0，C 1，C 2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C 0是单位圆x 2＋y 2＝1；(2)任取n ∈Z 且n ≥0，圆C n ＋1位于上半平面y ≥0内及C n 的上方，与C n 外切并且与双曲线x 2－y 2＝1相切于两点，C n 的半径记为r n (n ∈Z 且n ≥0) (1)证明：r n ∈Z ； (2)求r n .三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.C全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案 第一试一、选择题 1. Ccos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝∑∑==π+π=π61k e 61k )]7k 2sin i 7k 2(cos [R 217k 2cos 21令z ＝cos 2π7＋isin 2π7，于是z 7＝1则上式＝12(z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝……＝－122. Aa 11b 11＝21a 1121b 11＝S 21T 21＝7×21＋44×21＋27＝43 3. Dθ∈[π3，π)，cos θ∈(－1，12]，则斜率k ∈[－12，1)4. B由柯西不等式ab ＝(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)≥(mx ＋ny)2，当mx ＝ny 时取等号，所以mx ＋ny ≤ab5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C 3C -＋3＝11个6. B注意到：当且仅当∠C ≥90°时，△ABC 能被以AB 为直径的圆覆盖.从而易证n ≤4，当n ＝4时，正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin5－12； log sinx cosx ＋log cosx tanx ＝1 ⇒ log sinx cosx ＝12∴ sinx ＝cos 2x ∴ sin 2＋sinx －1＝0 ∴ sinx ＝5－12(负值舍去) 8.44；＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a ＝43，b ＝410.110；f(－1)＝1＋lgb －(2＋lga)＝－2∴ lga ＝lgb ＋1，而(lga)2－4lgb ≤0∴ (lgb －1)2≤0 ∴ lgb ＝1 ∴ b ＝10，a ＝100 11.4105；过B 1作A 1B 的平行线交AB 于E ，转化为求B 点到平面B 1CE 的距离. 12.{－2，－1，0，2}若x 2－x －1＝1，则x ＝2，－1若x 2－x －1＝－1且x ＋2为偶数，得x ＝0若x ＋2＝0且x 2－x －1≠0得x ＝－2 三、13．令ω＝－12＋32i ，则有f ⑴＝c 0＋c 1＋c 2＋c 4＋c 5＋……＋c 2n ＝3n…………………①f(ω)＝c 0＋ωc 1＋ω2c 2＋c 3＋ωc 4＋ω2c 5＋……＋ω2nc 2n ＝0…………………②f(ω2)＝c 0＋ω2c 1＋ωc 2＋c 3＋ω2c 4＋ωc 5＋……＋ω4nc 2n ＝0…………………③①＋②＋③得3(c 0＋c 3＋c 6＋……)＝3n，∴ c 0＋c 3＋c 6＋……＝3n －1.②－①得c 1＋c 4＋c 7＋……＝c 2＋c 5＋c 8＋……于是c 1＋c 4＋c 7＋......＝c 2＋c 5＋c 8＋......＝c 0＋c 3＋c 6＋ (3)，14．∵ x 2＞0，∴ |x|≤1，∴ x ＝－1或0或1x ＝－1时，lg15＞lg(a ＋1)＋1，∴ －1＜a ＜12x ＝0时，lgga ＋1 ∴ 0＜a ＜2x ＝1时，lg15＞lg(a －1)＋l ∴ 0＜a ＜52又因为满足条件的整数x 只有一个，∴ a 的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a ＝1，则f(f(b))＝b ，∴ f(f(x))＝x∴ f(f(f 2(x)))＝f 2(x)∴ f(f(f 2(a)))＝f 2(a)再令a ＝f(b)，则f(f 2(b)＝bf(b)∴ f(f(f 2(b)))＝f(bf(b))＝b 2.∴ f(f(f 2(a)))＝a 2.∴ f 2(a)＝a 2， ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f()＝第二试一、⑴∵ H 1为△AEF 的垂心，∴ ∠EH 1F ＝180°－∠A ＝∠B ＋∠C∠H 2DH 3＝180°－∠H 2DB －∠H 3DC ＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B ＋∠C ∴ ∠EH 1F ＝∠H 2DH 3⑵连结FH 2，EH 3，则FH 2⊥BD ，EH 3⊥BC∴ FH 2∥EH 3 由⑴中所证∠EH 1F ＋∠EOF ＝180° ⇒ E ，D ，F ，H 1四点共圆.同理，E ，D ，H 1，H 2四点共圆，H 1，D ，F ，H 3四点共圆，E ，D ，F ，H 1，H 2，H 3六点共圆. 二圆内接四边形EH 2H 3F 中，EH 2∥FH 3， ∴ EF ＝H 2H 3，同理，DE ＝H 1H 3，DF ＝H 1H 2， ∴ △H 1H 2H 3≌△DEF.二、⑴由对称性可知r n 的圆心在y 轴上，设r n 的方程为x 2＋(y －s n )2＝r n 2，其中s n ＝r 0＋2(r 1＋r 2＋……＋r n －1)＋r n .将x 2＝y 2＋1代入其中得 y 2＋1＋y 2＋s n 2－2ys n －r n 2＝0△＝4s n 28S n 2＋8r n 2－8＝0 ⇒ 2r n 2＝S n 2＋2 从而易得r n ＝6r n －1－r n －2，∵ r 0＝1，r 1＝3，∴ 对任意n ∈N ，有r n ∈N (2)由特征根方程可得r n ＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r 0＝1，r 1＝3代入其中，得r n ＝12[(3＋22)n ＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n ，其中n 不是3的倍数，于是3n 的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d 和3d 的“数对”，其中d 不可被3整除，从而3n 的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n ，n ，12n 和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n ＋1＞3n ，从而3n 不可能是“完全数”，得到矛盾.。

高中数学竞赛试题汇总高中数学竞赛模拟试题一一试一、填空题（共8小题，8×7=56分）1、已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，点(x,y)与原点的距离是。

2、设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如记f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))，f(123)=12+22+32=14.k=1,2,3.则f2010(2010)=。

3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的二面角度数是。

4、在1,2.2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。

5、若正数a,b,c满足abc=-(b+ca+ca+b)，则ba+c的最大值是。

6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(-1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是。

7、已知数列a,a1,a2.an。

满足关系式(3-an+1)(6+an)=18且a=3，则∑(i=1 to n)ai的值是。

8、函数f(x)=sinx+tanxcosx+tanxcosx+cotxsinx+cotx的最小值为。

二、解答题（共3题，14+15+15=44分）9、设数列{an}满足条件：a1=1,a2=2，且an+2=an+1+an (n=1,2,3.)，求证：对于任何正整数n，都有：na(n+1)≥1+(n/2)(an)2,3.10、已知曲线M:x2-y2=m，x>0，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、曲线M、直线y=-x于A、B、C、D4个点，O为坐标原点。

1）若|AB|=|BC|=|CD|，求证：△AOD的面积为定值；2）若△BOC的面积等于△AOD面积的1/3，求证：|AB|=|BC|=|CD|。

11、已知α、β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x-t的定义域为[α,β]。

求证：2α+1<2β+1.Ⅰ）求函数g(t)=max{f(x)}-min{f(x)};Ⅱ）证明：对于u1,u2,u3∈(0,π)，若sinu1+sinu2+sinu3=1/2，则1113+g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)<6.二试考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图，O1和O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。

高中数学竞赛训练题三姓名：________________ （训练时间80分钟） 得分：___________________ 一． 填空题（每小题8分，共64分）1..a ,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a +b 的值等于____________________________；2. 若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+则()f x 的解析式是____________________;3. 如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为_____________________________;4.已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= ______;5.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 __; 6.设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin 5α=则(4cos 2)f α的值 ________________;7.若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为 ;8.设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y s y x y x =>>则S 的最大值为 _____________.二．解答题（共三题,第9题16分，第10题、第11题每题20分，满分共计56分） 9.(16分)设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.10.(20分)已知x 、y 、z 均为正数 (1)求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ (2)若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值11.(20分)已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = (1)求()f x 的表达式; (2)定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈，AC BC t BA ≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】（ ）5. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a L 中有奇数个9的2020位十进制数12320062a a a a L 的个数为 A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答案】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。

8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l ：3830x -++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 .10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3. 11. 方程20062420042005(1)(1)2006xx x x x +++++=L 的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）15. 设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =L ，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .2020年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午10：00—12：00）一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。

深圳市高中数学竞赛训练题一、选择题（仅有一个选择支正确）1．已知全集}{}{N n n x x B N n n x x A N U ∈==∈===,4,,2,，则（ ）（A ） B A U = (B) )(B A C U U = (C) B C A U U = (D) B C A C U U U =2．已知b a ,是正实数，则不等式组⎩⎨⎧>+>+ab xy b a y x 是不等式组⎩⎨⎧>>b y a x 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件3．等差数列{}n a 中，,336),9(30,1849=>==-n n S n a S 则n 的值是（ ）（A ）8 (B) 9 (C) 16 (D) 214．已知复数2121-+=z z w 为纯虚数，则z 的值为（ ） （A ） 1 (B) 21 (C) 31 (D) 不能确定 5．边长为5的菱形，若它的一条对角线的长不大于6，则这个菱形对角线长度之和的最大值是（ ）（A ） 16 (B) 210 (C) 14 (D) 656．平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是（ ）（A ） 17034 (B) 8534 (C) 170343 (D) 301 7．若232,2,2++x y x x 成等比数列，则点),(y x 在平面直角坐标系内的轨迹是（ ）（A ） 一段圆弧 (B) 一段椭圆弧 (C) 双曲线的一部分 (D) 抛物线的一部分8．若ABC ∆的三边c b a ,,满足：,0322,0222=+-+=---c b a c b a a 则它的最大内角的度数是（ ）（A ） 0150 (B) 0120 (C) 090 (D) 0609．已知点)23,1(),21,(+++a a B a a A ，动点P 到点)0,1(M 比到y 轴距离大1，其轨迹为曲线C ，且线段AB 与曲线C 存在公共点，则a 得取值范围是（ ）（A ） ()+∞∞-, (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-223,223(C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--223,221223,221(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--223,221223,23 10．空间有9个点，其中任四点不共面，在这9个点间连接若干条线段，构成三角形m 个。

高中数学竞赛试题附详细答案一选择题(每题5分,满分60分)1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（ ）（A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件（C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。

（A ）1005.03⨯克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。

（A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元4. 已知函数>0，则的值A 、一定大于零B 、一定小于零C 、等于零D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n(B) 13-+n n(C) 13+-n n(D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4π）的值等于 ( )A -4-5B 4+5C -541+ D541+9. 已知︱︱=1，︱︱=3,∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则nm等于A.31 B.3 C.33 D.3 10. 等边△ABC 的边长为，AD 是BC 边上的高，将△ABD 沿AD 折起，使之与△ACD 所在平面成1200的二面角，这时A 点到BC 的距离是A 、B 、C 、3D 、211. 抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是（ ）A ．31 B ．61 C ．361 D ．181 12. 对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3 二填空题:(每题5分,满分30分)13棱锥的底面面积为150cm 2,平行于底面的截面面积为54cm 2底面和截面距离为14cm,则这个棱锥高为_________14函数y=x －2+的最小值是________;最大值是________.15. 若数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=a n +2n(n ≥1)确定，求通项公式a n ==________.16. 有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，且)(n P 与时刻t 无关，统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤⋅=6,051,)0()21()(n n P n P n，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P (0)的值是 ．17. 定义在N ＋上的函数f(x)，满足f (1 )＝1，且f(n+1)=⎪⎩⎪⎨⎧.),(,),(21为奇数　为偶数n n f n n f 则f (22) = ．18. 定义在R 上的函数)(x f y =，它同时满足具有下述性质： ①对任何);()(33x f x f R x =∈均有②对任何).()(,,212121x f x f x x R x x ≠≠∈均有则=-++)1()1()0(f f f ．三解答题(每题15分,满分60分)19. 三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为，若，求角C 的大小。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

2017年高中数学竞赛练习卷编制单位：东北育才学校科学高中部牟欣学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共32小题，共160.0分)1.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（）A.13πB.12πC.11πD.10π2.设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A.3B.2C.1D.03.已知全集U=R，集合A={y|y=，x＞0}，B={y|y=2x，x＜1}则A∩（∁R B）=（）A.（0，2）B.[2，+∞）C.（-∞，0]D.（2，+∞）4.在射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击至少有一次没有击中目标”可表示为（）A.（￢p）∨（￢q）B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.p∨q5.不等式3tanx+＞0的解集是（）A.，B.，C.，D.，6.已知函f（x）是定义在的奇函数，其最小正周期为当x∈-0）时，（）=log（1-x）则（04）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.27.双曲线-=-1的渐近线方）A. B.y=±2x C. D.8.在△AC中，若2，b=2，B=60，则角A的小为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°9.已知方程x2-（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（）A.（，-2]B.（-∞，-2]C.[2，）D.[2，+∞）10.（1-i）2016+（1+i）2016的值是（）A.21008B.21009C.0D.2201611.如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（）A. B. C. D.12.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax-b=0没有实根B.方程x3+ax-b=0至多有一个实根C.方程x3+ax-b=0至多有两个实根D.方程x3+ax-b=0恰好有两个实根13.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（4）14.数列{a n}中，a1=1，a n，a n+1是方程x2-（2n+1）x+的两个根，则数列{b n}的前n项和S n=（）A. B. C. D.15.水平放置的正方体的六个面分别用“前面，后面，上面，下面，左面，右面”表示，如图是正方体的表面展开图，若图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，则“孝”“高”“助”分别表示正方体的（）A.左面，后面，上面B.后面，上面，左面C.上面，左面，后面D.后面，左面，上面16.若关于x的方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是（）A.y≥B.y≥8C.y≥18D.y＞-17.一元二次方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，则（1+x1）（1+x2）的值为（）A.3B.6C.-3D.18.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.19.已知向量=（2，3），=（-4，7），则向量在向量的方向上的投影为（）A. B. C. D.20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），则f（2014）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.221.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A. B. C. D.22.若x为复数，则方程x4=1的解是（）A.l或lB.i或-iC.1+i或1-iD.1或-1或i或-i23.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（）A.7B.8C.9D.1024.求满足2x（2sinx-）≥0，x∈（0，2π）的角α的集合（）A.（0，）B.[，]C.[，]D.[，]25.若将如图的展开图还原成成正方体，则∠ABC的度数为（）A.120°B.90°C.60°D.45°26.设f（x）=x（ax2+bx+c）（a≠0）在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）A.（a，b）B.（a，c）C.（b，c）D.（a+b，c）27.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.πB.C.D.π28.下列各式的因式分解中正确的是（）A.-a2+ab-ac=-a（a+b-c）B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy）C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）D.+xy（x-y）29.若sinθ=，θ∈R，则方程的解集为（）A.{θ|θ=+2k，k∈Z}B.{θ|θ=+2k，k∈Z}C.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}D.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}30.把x3-9x分解因式，结果正确的是（）A.x（x2-9）B.x（x-3）2C.x（x+3）2D.x（x+3）（x-3）31.-1+2i是下列哪个实系数方程的一个根（）A.x2-4x+5=0B.x2+4x+5=0C.x2-2x+5=0D.x2+2x+5=032.展开式中的常数项为（ ）A.15B.20C.-1D.-20二、填空题(本大题共24小题，共120.0分) 33.= ______ ．34.已知函数f （x ）=， ＞，，则f （2）= ______ ． 35.设f （x ）=x 8+3，求f （x ）除以x +1所得的余数为 ______ ． 36.用（x +2）（x -1）除多项式x 6+x 5+2x 3-x 2+3所得余式是 ______ ．37.一个圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面展开图是扇角为 ______ （填扇角的度数）的扇形． 38.方程sin 2x =cosx ，x ∈[0，2π]的解集是 ______ ． 39.已知函数，， ＞则的值为 ______ ． 40.因式分解：x 3-2x 2+x -2= ______ ．41.集合{x |cos （πcosx ）=0，x ∈[0，π]}= ______ （用列举法表示） 42.若0≤x ＜π，则满足方程tan （4x -）=1的角的集合是 ______ ． 43.分解因式：5x 2+6xy -8y 2= ______ ．44.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f （x ）=，其中a ∈R ，若f （- ）=f （），则f （5a ）的值是 ______ ．45.当0≤x ≤2π时，则不等式：sinx -cosx ≥0的解集是 ______ ．46.已知tan α，tan β是方程x 2+6x +7=0的两个根，且α，β∈（，），则α+β= ______ ． 47.已知tan α、tan β是方程x 2+6x +7=0的两根，则tan （α+β）= ______ ．48.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，1）时，f （x ）=x ，则= ______ ． 49.观察分析下表中的数据：______ ．50.已知θ∈（0，2π）且sin θ，cos θ是方程x 2-kx +k +1=0的两根，则k 的值为 ______ ． 51.已知z = ，i 是虚数单位，则1+z 50+z 100= ______ ．52.定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f （1）等于 ______ ． 53.设f （x ）是定义在R 上的函数，且f （x +3）=-f （x ），f （-1）=2，则f （2012）= ______ ．54.若f（x+1）=x2，则f（3）= ______ ．55.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是______ ．56.若sinx=，，，则x= ______ ．（结果用反三角函数表示）三、解答题(本大题共14小题，共168.0分)57.已知函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数f（x）的单调区间，对称中心；（2）若关于x的方程2cos2x+mcosx+2=0在，上有实数解，求实数m的取值范围．58.已知等差数列{a n}中，a3+a7＜2a6且a3，a7是方程x2-18x+65=0的两根，数列{b n}的前项和S n=1-b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n，并证明＜．59.解方程：cos2x=cosx+sinx．60.分解下列因式（1）5x2+6xy-8y2（2）x2+2x-15-ax-5a．61.为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）62.f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=-，3a＞2c＞2b，求证：（I）a＞0且-3＜＜-；（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（III）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则≤|x1-x2|＜．63.已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．64.已知关于x的方程cos2（x+π）-sinx+a=0．（1）若x=是此方程的解，求a的值；（2）若此方程有解，求a的取值范围．65.已知x1=1-i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a，b的值．66.已知复数z=1-sinθ+icosθ（＜θ＜π），求z的共轭复数的辐角主值．67.已知曲线C x 2-y2=1及直线l：y=kx-1．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．68.已知在区间[-1，1]上是增函数（I）求实数a的取值范围；（II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x1，x2．①求|x1-x2|的最大值；②试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．69.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，数列{a n}，{b n}定义为：a1=，2a n+1=f（a n）+15，b n=（n∈N*）．（1）求实数a，b的值；（2）若将数列{b n}的前n项和与数列{b n}的前n项积分别记为S n，T n证明：对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值；（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.已知函数，a为常数（1）若f（x）＞2的解集为（2，3），求a的值（2）若f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范围．2017年高中高三年级数学竞赛试题评分标准1.A2.C3.B4.A5.D6.A7.A8.A9.C 10.B 11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.B 17.D 1 8.A 19.B 20.A 21.A 22.D 23.A 24.B 25.C 26.A 27.C 28.B 29.D 30.D 31.D 32.D33.034.035.436.-x+537.180°38.{，，，}39.-40.（x-2）（x2+1）41.{，}42.{，，，}43.（x+2y）（5x-4y）44.-45.，46.47.148.49.F+V=E+250.-151.i52.053.-254.455.56.57.解：（1）∵函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．∴=，，．令2kπ-π≤2x+≤2kπ，求得kπ-≤x≤kπ-，可得函数的单调递增区间，；同理，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的调递减区间，．令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数的对称中心为，．（2）令t=cosx，t∈（0，1）则2t2+mt+2=0在（0，1）上有解，m=-2（t+），令，任取0＜t1＜t2＜1，有＞，因此在（0，1）上单调递减，因此m＜-2k（1）=-4，所以m范围{m|m＜-4}．58.（1）解：由a3+a7=2a5＜2a6得a5＜a6，所以数列{a n}是递增数列．…（1分）所以a3＜a7．由x2-18x+65=0解得a3=5，a7=13…（2分）公差，所以a n=a3+（n-3）d=2n-1（n∈N*）…（3分）由S n=1-b n得，当n=1时，；…（4分）当n≥2时，b n=S n-S n-1，得…（5分）所以{b n}是首项为，公比为的等比数列，所以…（6分）（2）证明：由（1）得，…（7分）所以由错位相减法得＜…（9分）因为＞所以{T n}是递增数列，所以故＜…（13分）59.解：∵cos2x=cosx+sinx，∴cos2x-sin2x=cosx+sinx，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx）-（cosx+sinx）=0，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx-1）=0．如果cosx+sinx=0，则得1+tanx=0，tanx=-1，解x=kπ-（k为整数）．如果cosx-sinx-1=0则得cosx-sinx=1，∴cos（x+）=，∴x+=2kπ±，∴x=2kπ或2kπ-（k为整数）．综上，x=kπ-或2kπ或2kπ-（k为整数）．60.解：（1）5x2+6xy-8y2=（5x-4y）（x+2y）（2）x2+2x-15-ax-5a=（x+5）（x-3）-a（x+5）=（x+5）（x-3-a）61.解：（1）在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为，可得不患心肺疾病的人共有16人．大于40的有4人．患心肺疾病有24人，小于等于40岁有8人．将2×2列联表补充完整如图；患心肺疾病不患心肺疾病合计大于40岁16 4 20小于等于40岁8 12 20合计24 16 40（2）K2===＞6.635．所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关．62.证明：（1）∵∴3a+2b+2c=0又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）又2c=-3a-2b由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b∵a＞0∴＜＜…（4分）（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且＜∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）②当c≤0时，∵a＞0∴＜且＞∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根∴，…（12分）∴∵＜＜∴＜…（15分）63.（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，则x3=0，x1+x2=-3，x1x2=-9（1分）因为x1，x2是方程=0的两根，则，，得，，（3分）所以=a（x2+2x-3）=a（x-1）（x+3）．令f （x）=0 解得：x=1，x=-3故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）．（5分）（2）因为f （x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）于是＜0，f （0）=c，f （2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）①当c＞0时，因为f （0）=c＞0，＜0，而f （x）在区间（0，1）内连续，则f （x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f （x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（m，1），f （x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）②当c≤0时，因为＜0，f （2）=a-c＞0，则f （x）在区间（1，2）内至少有一零点．同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f （x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得3a+2b+2c=0，则m+n=-，mn==．所以|m-n|===由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤-1，即≥-1，或≤-3又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-a．因为a＞0，所以-3＜＜-．综上分析，的取值范围是[-1，-）．64.解：（1）若x=是此方程的解，则cos2（+π）-sin+a=0，∴-+a=0，∴a=-；（2）∵cos2（x+π）-sinx+a=0，∴a=-cos2x+sinx=sin2x+sinx-1=（sinx+）2-，∵-1≤sinx≤1，∴-≤a≤1．65.解：∵x1=1-i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，∴a=-（x1+x2）=-（1+i+1-i）=-2．b=x1x2=（1+i）（1-i）=2．故答案为：a=-2，b=266.解：z=1+cos（+θ）+isin（+θ）=2cos2+2isin cos=2cos（cos+isin）．当＜θ＜π时，＜＜．∴=-2cos（-cos+isin）=-2cos（+）（cos（-）+isin（-））．∴辐角主值为-．67.解：（1）由消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0．∵l与C左支交于两个不同的交点∴＞且x1+x2=-＜0，x1x2=-＞0∴k的取值范围为（-，-1）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-，x1x2=-．又l过点D（0，-1），∴S△OAB=|x1-x2|=．∴（x1-x2）2=（2）2，即（-）2+=8．∴k=0或k=±．68.解：（I）…1分）∵f（x）在[-1，1]上是增函数∴f'（x）≥0即x2-ax-2≤0，在x∈[-1，1]恒成立（1）（3分）设φ（x）=x2-ax-2，则由（1）得解得-1≤a≤1 所以，a的取值范围为[-1，1]．…（6分）（II）①由（I）可知A={a|-1≤a≤1}由即得x2-ax-2=0∵△=a2+8＞0∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根∴x1+x2=a，x1x2=-2，又由（1）-1≤a≤1∴（9分）∴|x1-x2|的最大值为3．②要使m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立即m2+tm+1＞3即m2+tm-2＞0对∀t∈[-1，1]恒成立（2）（11分）设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则由（2）得＞＞解得m＞2或m＜-2故存在实数m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）满足题设条件（14分）69.（1）解：设方程2x2+4x-30=0的两个实根为α，β，则α+β=-2，αβ=-15，∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，∴x2+ax+b=0的两个实根为α，β，由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x-15，从而2a n+1=a n（a n+2），即，，∵2a n+1=a n（a n+2），∴===，，∴T n=b1•b2•b3…b n==．S n=b1+b2+…+b n=（）+（）+…+（）=，n∈N*．∴对任意正整数n，2n+1T n+S n=+=2为定值．（3）证明：∵a1＞0，，∴a n+1＞a n＞0，n∈N*即{a n}为单调递增的正数数列，∵，，∴{b n}为递减的正数数列，且，∴，，∵，，∴对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.解：（1）由解集为（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，所以f（x）＞2即＞可化为a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，由解集形式知：a-2＜0，所以x＜②，由①②得2＜x＜，所以=3，解得a=1，；（2）f（x）＜x-3即＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，等价于a＜对任意的x∈（2，+∞）恒成立，又=（x-1）+-3≥2-3=2-3，当且仅当x=+1时取等号，所以a＜2-3；【解析】1. 解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==•3x•3x•（9-6x）≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为4=13π．故选A．正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．2. 解：设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，∴f（2011）+f（2013）=f（1）+f（0）=1+0=1．故选：C．利用函数的周期性结合函数在在区间（-2，1]上的图象，能求出f（2011）+f（2013）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3. 解：∵集合A={y|y=，x＞0}=（0，+∞），B={y|y=2x，x＜1}=（0，2），∴∁R B=（-∞，0]∪[2，+∞），∴A∩（∁R B）=[2，+∞），故选：B根据求出集合A，B，结合集合的交集及补集运算定义，可得答案．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．4. 解：∵命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”（￢p）∨（￢q），故选：A由已知，结合容斥定理，可得答案．本题考查的知识点是事件的表示，容斥定理，难度不大，属于基础题．5. 解：由3tanx+＞0，可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象可得-+kπ＜x＜kπ+，k∈z，故选D．由条件可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象求得x的范围．本题主要考查正切函数的图形特征，属于基础题．6. 解：∵20÷3=67…1，0163=672，∵当∈（-，0），f（=log2（1-），f（2014）==-f（-1），f（206）0）=0，∵函数f（x）定在R的奇函数，其最周期为3，故选：函的周期性把f204）f（2016）变形，再利用奇偶及当∈（-，0）时，fx）og2（1-x），定出求式的值即可．此题考了周期数，函数的偶性和周期性及简单的对数运熟练掌握函数的解本题的关键．7. 解：令，得，即双曲渐近线为，故选：根双曲线渐近方程的求法行解即可．题主考查双曲渐近线方的求解，令-1变0是解决的关键．8. 解：a=2，b=2，B60°，∴由正弦理，得=°，又a＜b，∴A0°．故选：接利用正弦理求sn A，结合三角的大边对大角得答案．本题查弦定的应用，考查了三形解法，是中档题．9. 解：令x2-（3m+2）x+2（m+6）=f（x），由题意可得＞，＞解得2≤m＜，故选C．由题意可得＞，解不等式组求得m的取值范围．＞本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10. 解：（1-i）2016+（1+i）2016=（-2i）1008+（2i）1008=[（-i）1008+i1008]•21008=21009，故选：B．利用复数的周期性即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数的周期性，考查了计算能力，属于基础题．11. 解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为．故选：C．圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的弧长就是圆锥的底面圆的周长，设出母线，求出圆锥的底面直径，可求圆锥的顶角．本题考查圆锥的结构特征，旋转体的侧面展开图，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．12. 解：用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，应先假设是命题的否定成立，即假设方程x3+ax-b=0没有实根，故选：A．用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的思路，命题的否定，属于基础题．13. 解：（1）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（2）（3），故选：B分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．14. 解：依题意，a n+a n+1=2n+1，∴a n+1+a n+2=2（n+1）+1，两式相减得：a n+2-a n=2，又a1=1，∴a3=1+2=3，a5=5，…∵a n+a n+1=2n+1，a1=1，∴a2=3-1=2，a4=2+2=4，…∴a n=n；又=a n a n+1=n（n+1），∴b n==-，∴S n=b1+b2+…+b n=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．故选D．利用韦达定理可求得a n+a n+1=2n+1，而a1=1，从而可求得a n=n；再由=a n a n+1，可求得b n，从而可得答案．本题考查数列的求和，突出考查等差关系的确定，考查韦达定理的应用，属于中档题．15. 解：由题意可知正方体的直观图如图：则“孝”“高”“助”分别表示正方体的：后面，上面，左面．故选：B．画出正方体的直观图，使得图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，推出结果．本题考查几何体的表面展开图的应用，考查空间想象能力．16. 解：∵方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，∴△=4m2-4（m+6）≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，则y=（x1-1）2+（x2-1）2=（x1+x2）2-2x1•x2-2（x1+x2）+2=4m2-2（m+6）-4m+2=4m2-6m-10，故当m=3时，y取最小值8，无最大值，即y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是y≥8，故选：B由方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，可得：△≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，进而可将y=（x1-1）2+（x2-1）2化为：y=4m2-6m-10（m≤-2，或m≥3）的形式，结合二次函数的图象和性质可得答案．本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．17. 解：∵方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=3，x1•x2=，∴（1+x1）（1+x2）=x1•x2+x1+x2+1=+3+1=，故选：D根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=3，x1•x2=，然后将其代入所求的代数式（1+x1）（1+x2）求值即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题时，务必弄清楚根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=中的a、b、c所表示的意义．18. 解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．19. 解：根据投影的定义可得：向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞===．故选：B．根据投影的定义，应用公式向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．20. 解：∵2014÷3=671…1，2016÷3=672，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，∴f（2014）=f（1）=-f（-1），f（2016）=f（0）=0，∵当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），∴原式=-f（-1）+0=-f（-1）=-1．故选：A．利用函数的周期性把f（2014）与f（2016）变形，再利用奇偶性及当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），确定出所求式子的值即可．此题考查了周期函数，函数的奇偶性和周期性，及简单的对数运算，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．21. 解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin（π+ϕ）=cos=．∵0≤φ＜π，∴≤π+ϕ≤，∴π+ϕ=，解得φ=．故选：A．由题意可得sin（π+ϕ）=cos=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题22. 解：因为：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）．所以x4-1=0即（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）=0．解得x=1，-1，i，-i．即在复数集中，方程x4=1的解为1，-1，i，-i故选：D．方程x4=1可化为方程x4-1=0．对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解，注意要分解彻底本题考查运用平方差公式分解因式的能力．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题需注意，第一次运用平方差公式分解以后，余下的多项式仍然可以运用平方差公式再次分解．23.解：如图：几何体的图形，P-ABE是正四面体，ABCDEF是正八面体，组合后，平面PAB与平面ABC是同一个平面，平面PBE与平面BDE是同一个平面，所以结合体共有7个平面．故选：A．画出几何体的图形判断多面体的面数即可．本题考查几何体的平面个数的判断，基本知识的考查．24. 解：∵满足2x（2sinx-）≥0，2x＞0．∴，∵x∈（0，2π），∴，故选：B．满足2x（2sinx-）≥0，化为，由于x∈（0，2π），利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．25. 解：还原正方形，连接ABC三个点，可得图形如图所示．可知AB=AC=BC，所以角的大小为60°故选：C．将展开图还原成正方体，进行求解即可．本题看出棱柱的结构特征，是基础题．本题考查学生的空间想象能力．26. 解：∵f（x）=x（ax2+bx+c）=ax3+bx2+cx，∴f （x）=3ax2+2bx+c，∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，∴1，-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根，∴1+（-1）=-，=-1，故b=0，c=-3a≠0；可排除B、C、D．故选A．根据题意先对f（x）=x（ax2+bx+c）求导，导函数为二次函数，再利用韦达定理求得b=0，从而可解决问题．本题考查根与系数的关系及函数在某点取得极值的条件，着重考查根与系数的关系中韦达定理的使用，属于中档题．27. 解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选：C根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想28. 解：A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），因此不正确；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），正确；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），因此不正确；D.=xy（x+y），因此不正确．故选：B．A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），即可判断出；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），即可判断出；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），即可判断出；D.=xy（x+y），即可判断出．本题考查了因式分解的方法，属于基础题．29. 解：当θ∈[0，2π）时，由sinθ=，可得或．∴sinθ=，θ∈R，此方程的解集为{θ|或2k，k∈Z}．故选：D．当θ∈[0，2π）时，方程sinθ=的解为或．再利用三角函数的周期性即可得出．本题考查了三角方程的解法、三角函数的周期性，属于基础题．30. 解：x3-9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）．故选：D．提取公因式，然后利用平方差公式分解即可．本题考查因式分解，平方差公式的应用，考查计算能力．31. 解：若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，由韦达定理可得：（-1+2i）+（-1-2i）=-2=-b，（-1+2i）（-1-2i）=5=c，故所求方程为x2+2x+5=0，故选：D根据实系数二次方程虚根成对定理，可得若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，进而由韦达定理可求出系数b，c．本题考查的知识点是实系数二次方程虚根成对定理，韦达定理，难度不大，属于基础题．32. 解：（x-）6的二项展开式的通项公式为：T r+1=（-1）r•x6-r•x-r=（-1）r•x6-2r．令6-2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为：-=-20，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．33. 解：=+0=0，故答案为0．直接计算相应的反三角函数的值，即可得出结论．本题考查反三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．34. 解：f（2）=22-4=0．故答案为0．把x=2代入函数解析式计算．本题考查了函数值的求解，是基础题．35. 解：由余数定理得：f（-1）=（-1）8+3=4，故答案为：4．根据余数定理计算f（-1）的值即可．本题考查了余数定理的应用，求出f（-1）的值是解题的关键，本题是一道基础题．36. 解：由题意，x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），∴用（x+2）（x-1）除多项式x6+x5+2x3-x2+3所得余式是-x+5．故答案为-x+5．利用多项式的除法，可得x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），即可得出结论．本题考查多项式的除法，考查学生的计算能力，比较基础．37. 设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，扇角为α，扇形弧长为c截面为正三角形，所以R=2r又2πr=c，c=αR联立解得α=π故扇角为180°圆锥的母线长对应扇形的半径，圆锥底面圆周长对应扇形的弧长．列出方程组求解．考查圆锥的侧面展开图，扇形弧长公式，各量之间的对应关系．属于基础题．38. 解：方程sin2x=cosx，即2sinxcosx=cosx，即cosx=0或sinx=．由cosx=0，x∈[0，2π]，可得x=或；由sinx=，x∈[0，2π]，可得x=或x=，综上可得，方程sin2x=cosx，x∈[0，2π]的解集是{，，，}，故答案为：{，，，}．方程即cosx=0或sinx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π]，分别求得x的值，可得结论．本题主要考查三角方程的解法，正弦函数、余弦函数的图象，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．39. 解：∵函数，，＞，则=f（-）=3×（-）=-，故答案为-．由题意可得=f（-）=3×（-），运算求得结果．本题主要考查求函数的值，体现了转化的数学思想，属于基础题．40. 解：原式=x2（x-2）+（x-2）=（x-2）（x2+1）．故答案为：（x-2）（x2+1）．分组提取公因式即可得出．本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．41. 解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=-，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={，}．故答案为：{，}．由已知得，或，由此能求出结果．本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．42. 解：由题意，4x-=kπ+，k∈Z∴x=kπ+，∵0≤x＜π，∴x=，，，，故答案为{，，，}．由题意，4x-=kπ+，求出x，根据0≤x＜π，即可得出结论．本题考查正切函数的图象与性质，考查学生的计算能力，比较基础．43. 解：5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）．故答案为：（x+2y）（5x-4y）．将多项式第三项分为2y与-4y的乘积，第一项分为x与5x，利用十字相乘法，得到分解结果．本题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中的阅读材料是解本题的关键．44. 解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=，∴f（-）=f（-）=-+a，f（）=f（）=|-|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+=-，故答案为：-根据已知中函数的周期性，结合f（-）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．45. 解：如图所示，∵0≤x≤2π时，当sinx=cosx时，x或．∴不等式：sinx≥cosx的解集是，．故答案为：，．如图所示，即可得出不等式的解集．本题考查了三角函数的单调性、数形结合思想方法，属于基础题．46. 解：∵tanα，tanβ是方程x2+6x-7=0的两个根，∴tanα+tanβ=-6，tanαtanβ=7，有tanα、tanβ均小于零，则α，β∈（，0）；则tan（α+β）===1．又由α，β∈（，0），则α+β∈（-π，0）则故答案为：由tanα，tanβ为已知方程的两根，利用韦达定理表示出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后把所求的角的正切利用两角和的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．此题考查了韦达定理，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．47. 解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ=-6，tanα•tanβ=7．由此可得tan（α+β）===1．故答案为：1由一元二次方程根与系数的关系，可得tanα+tanβ=-6且tanα•tanβ=7．由此利用两角和的正切公式加以计算，可得tan（α+β）的值．本题给出一元二次方程的两根恰好是α、β的正切之值，求tan（α+β）．着重考查了两角和的正切公式、一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．48. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，∴=-f（）=，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．比较基础．49. 解：由表格可知：三棱柱：5+6=9+2；五棱锥，6+6=10+2，立方体，6+6=10+2，猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是：F+V=E+2．故答案为：F+V=E+2．直接利用表格的数据，找出面数、顶点数、棱数的关系即可．本题考查欧拉定理的基本知识的应用，是基础题．50. 解：∵sinθ，cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两根，∴①②，①平方得，1+2sinθcosθ=k2，将②代入得，k2-2k-3=0，解得k=3或-1，当k=3时，sinθcosθ=4，这与sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，当k=-1时，经验证符合条件．则k的值为-1，故答案为：-1．根据题意和韦达定理列出方程组，由平方关系化简联立列方程，求出k的值，最后要验证三角函数值的范围．本题考查了韦达定理（根与系数的关系），以及平方关系的灵活应用，主要验证三角函数值的范围．51. 解：∵z=，∴z2=i，z4=-1，∴1+z50+z100=1+i-1=i．故答案为：i．由z=，可得z2=i，z4=-1，即可求出1+z50+z100．本题考查复数及其指数形式，考查学生的计算能力，比较基础．52. 解：由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，所以-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），所以f（1）=0．故答案为：0．根据奇函数和周期函数的性质可以知道，由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，可得-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（1）=0．本题主要考查奇函数和周期函数的定义，考查学生的推理能力．53. 解：∵f（x+3）=-f（x），f（-1）=2，。

高中数学竞赛训练题深圳中学 余祖良第一试一、选择题1、方程cos x = x + sin x 的实根个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、设函数f （x ）=（βαsin cos ）x +（αβsin cos ）x ，α，β为锐角；如果对任何x ＞ 0 ，都有f （x ）＜2，则 （ ） A 、0＜α+β＜4π B 、0＜α+β＜2πC 、4π＜α+β＜2πD 、α+β＞2π3、复数z 满足条件 | z | =1，则 | z 2 + i z 2 +1 | 的范围是 （ ） A 、[1—22，1+22] B 、[2—1，2+1]C 、[22—1，22+1]D 、[2—2，2+1]4、过球的中心的10个平面，其中任何三个平面都不交于同一直线，它们将球面分成m 个部分，则m 的值为 （ ） A 、92 B 、1024 C 、516 D 、1005、一直角三角形的两直角边与坐标轴平行，两直角边上的中线为y = 3 x + 1和y = m x + 2，则满足条件的m 的个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、若a n =[（2173+）n ]，n = 1，2，…；则数列｛a n ｝ （ ）A 、各项均为奇数B 、奇数项为奇数，偶数项为偶数C 、各项均为偶数D 、奇数项为偶数，偶数项为奇数 二、填空题7、三棱台ABC—A 1B 1C 1的任意两个侧面所成的二面角都是直二面角，高为17344 ，且底面ABC 中，AB=AC=5，BC=42，则此棱台的体积为 ； 8、双曲线 xy = 1的内接三角形的垂心的轨迹方程是 ； 9、若0＜a ＜3sin θ ，θ∈[4π，65π]；则f （a ， θ）= sin 3θ +32sin 34a a -θ 的最小值是 ；10、设实数x ，y 满足x 3—3x 2 + 5x = 1 ， y 3—3y 2 + 5y = 5 ，则x + y= ；11、用红、黄、蓝三种颜色的纸各做一套卡片，每套中有A 、B 、C 、D 、E 字母卡片各一张；若从这15张卡片中每次取出5张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法共有 种；12、正整数m 和n 互质，2000n+m 与2000m+n 的最大公约数为d ，则d 的最大值是 ； 三、解答题 13、关于 x 的函数12222)(+-+⋅=x x a a x f （a 为常数）；∈ 若f ( x ) 没有反函数，求出a 的值；∈ 若f ( x ) 存在反函数 ()x f 1-，a ＜0，且对任意 x∈R ，都有f (－ x ) =－f ( x ) 成立 . 解不等式()()0,log 221≠∈>--k R k x fkx且 . 14、抛物线 y 2= 5p ( x + 5 ) ( p ＞0 ) 与椭圆1801622=+y x 在x 轴上方交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰好过椭圆的中心O ，椭圆左顶点为F ； 求 ∈ 实数 p 的值； ∈ | AF | + | BF | 的值 ； 15、设a 是实数且方程x 4+3ax 3+a （1－5a 2）x －3a 4+a 2+1=0 有实根且不同的实根至多有两个，求a ；第二试一、⊙O 为△ABC 的外接圆，⊙O 1在△ABC 的外面，在⊙O 的里面且与⊙O 相切，切点为D ，且D 在»BC 上；过A 、B 、C 分别作⊙O 1的切线，切线长分别为p , q , r ；设三边长分别为a , b , c ，求证：a p = b q + c r ；二、一个正整数为项的等差数列中，如果有一项是完全平方数，又有一项是完全立方数；证明：这数列中必有项是正整数的六次方．三、n 个队进行足球单循环赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分；已知有一队得分最多，比其余任一队都多；但它胜的场次最少，比任何一队都少；试求n 的最小值；答案：第一试一、A D B A C B二、7、20827 8、x y = 1 9、3 10、2 11、150 12、3999999三、13、解：12222)(+-+⋅=x x a a x f()()0,log 221≠∈>--k R k x fkx且 ①,当 a 2－a －2 ≠ 0 时，f ( x ) 单调必有反函数，故 a 2－a －2 = 0 ，a = 2 或 a =－1 . ② 由f (－ x ) =－f ( x ) ，a ＜0，则a =－2 .())22(,log 2221<<-=+--x x fx x22,0222<<->>-+-x kx xx故不等式的解集为： ⑴ k ＜0 , 空集 ⑵ 0＜k ＜4 , (－2 , k －2 ) ⑶ k≥4 , (－2 , 2 )14、解：⑴ 5 x 2 + y 2 = 8 0 , y 2 = 5 p ( x + 5 ) ; x 2 + p x + 5 p －16 = 0 , x 1 + x 2 =－p , x 1 x 2 = 5 p －16 ,ax f x a a +=+--1222)(22122221259)5)(5(25p x x p y y ⨯=++= ,y 1 y 2 = 1 5 p ,12121-=x x y y ,54=p ;⑵ 抛物线y 2 = 4 ( x + 5 ) 的焦点 (－4 , 0 ) 为椭圆左顶点F ， 准线为 x =－6 ;由抛物线的定义，| AF | + | BF | = ( x 1 + 6 ) + ( x 2 + 6 ) = 556 ;15、解：令x = y －a ，代入原方程，有： y 4－ay 3－3a 2y 2＋ay ＋1=0，又y≠0，故 y 2＋21y －a （y －y 1）－3a 2=0，（y －y1）2－a （y －y1）－3a 2＋2=0，对任t ∈R ，y －y1= t ，y 2－ty －1=0，△＞0，如果方程t 2－at －3a 2＋2=0无实根，则原方程无实根，而这方程一实根对应原方程两不同实根，故有： a 2－4（－3a 2＋2）=0，即a = ±13262；第二试一、证：分别连AD 、BD 、CD 与⊙O 1分别交于点A 1、B 1、C 1，过D 作两圆的公切线DE ，则∠EDC=∠D A 1C 1=∠DAC ，A 1C 1∥AC ，同理：B 1C 1∥BC ，A 1B 1∥AB ，则1112AA BB CC ADBDCDk===,p 2 =AA 1·AD = k 2·AD 2 , p = k AD, 同理：q = k AD , r = k CD ;由托勒密定理：a AD = b BD + c CD , 两边除以k, 则a p = b q + c r ； 二、证明：设等差数列首项为a ，公差为d ，且 ( a , d ) = b ． 先证明引理：必存在正整数p ＞1，使a p ≡ a ( mod d ) ． 设d = k b , 则 ( a , k ) = 1 ；在数列 a , a 2 , … , a k ，a k + 1中，必有两项关于k 同余，设a i ≡a j ( mod k ) ( i ＞j ) , 则a j ( a i － j －1) ≡ 0 ( mod k )由于( a , k ) = 1 ，所以a i－j ≡ 1( mod k )∴a i－j + 1≡ a ( mod d ) ．即引理成立．故存在非负整数s , t ，使 3 s + 2 t = p ．又依题意，存在正整数m , n ，使m 2 ≡ a ( mod d ) ，n 3 ≡ a ( mod d ) ．所以( m 2 ) 3 s · ( n 3 ) 2 t ≡ a 3 s + 2 t ≡ a p ≡ a ( mod d ) ．即( m s · n t ) 6 ≡ a ( mod d ) ．故此数列中存在一项为正整数的六次方．三、解：设得分最多的是A队；（1）A队比其它队至少多得1分，至少少胜一场，故A队比其它队至少多平4场；而其它队至少平一场，A队至少平5场，即至少有6队；（2）若只有6队，则6队至少得2C26=30分，但A恰好平5场得5分，不可能比其它队都多，即n＞6；（3）若n=7，A最多得8分，这7队最多得8+7×6=50分，故至少有3×C27—50=13场比赛打平；A至多平6场，其余各队至少有一队平了[]66213-⨯+1= 4场；则A至少平8场，矛盾；（4）可举例说明，n=8成立；。

第二题：证明四点共圆 (5)第三题：证明角的倍数关系 (6)第四题：证明线与圆相切 (7)第五题：证明垂直 (8)第六题：证明线段相等 (9)第七题：证明线段为比例中项 (10)第八题：证明垂直 (11)第九题：证明线段相等 (12)第十题：证明角平分 (13)第十一题：证明垂直 (14)第十二题：证明线段相等 (15)第十三题：证明角相等 (16)第十四题：证明中点 (17)第十五题：证明线段的二次等式 (18)第十六题：证明角平分 (19)第十七题：证明中点 (20)第十八题：证明角相等 (21)第十九题：证明中点 (22)第二十题：证明线段相等 (23)第二十一题：证明垂直 (24)第二十二题：证明角相等 (25)第二十三题：证明四点共圆 (26)第二十四题：证明两圆相切 (27)第二十五题：证明线段相等 (28)第二十六题：证明四条线段相等 (29)第二十七题：证明线段比例等式 (30)第二十八题：证明角的倍数关系 (31)第二十九题：证明三线共点 (32)第三十题：证明平行 (33)第三十一题：证明线段相等 (34)第三十二题：证明四点共圆 (35)第三十三题：证明三角形相似 (36)第三十四题：证明角相等 (37)第三十五题：证明内心 (38)第三十六题：证明角平分 (39)第三十七题：证明垂直 (40)第三十八题：证明面积等式 (41)第三十九题：证明角平分 (42)第四十题：证明角相等 (43)第四十一题：证明中点 (44)第四十二题：证明中点 (45)第四十三题：证明角相等 (46)第四十四题：证明垂直 (47)第四十六题：证明垂直 (49)第四十七题：证明四点共圆 (50)第四十八题：证明四点共圆 (51)第四十九题：证明四点共圆 (52)第五十题：证明角平分 (53)第五十一题：证明线段相等 (54)第五十二题：证明两圆外切 (55)第五十三题：证明垂直 (56)第五十四题：证明垂直 (57)第五十五题：证明垂直 (58)第五十六题：证明垂直 (59)第五十七题：证中点 (60)第五十八题：证明角相等 (60)第五十九题：证明角相等 (61)第六十题：证明四点共圆 (62)第六十一题：证明四点共圆 (63)第六十二题：证明四点共圆 (64)第六十三题：证明角相等 (65)第六十四题：证明角的倍数关系 (66)第六十五题：证明中点 (67)第六十六题：伪旁切圆 (68)第六十七题：证明垂直 (69)第六十八题：证明平行 (70)第六十九题：证明圆心在某线上 (71)第七十题：证明三线共点 (72)第七十一题：证明垂直 (73)第七十二题：证明垂直 (74)第七十三题：证明中点 (75)第七十四题：证明垂直 (76)第七十五题：证明垂直 (77)第七十六题：证明三线共点 (78)第七十七题：证明平行 (79)第七十八题：证明平行 (80)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (81)第八十题：证明三点共线〔牛顿定理〕 (82)第八十一题：证明角平分 (83)第八十二题：证明角相等 (84)第八十三题：证明三点共线 (85)第八十四题：证明四圆共点 (86)第八十五题：证明角平分 (87)第八十六题：证明线段相等 (88)第八十七题：证明角相等 (89)第八十八题：证明线段相等 (90)第九十题：证明线段相等 (92)第九十一题：证明中点 (93)第九十二题：证明四点共圆 (94)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (95)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (96)第九十五题：证明角相等 (97)第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 (98)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (99)第九十八题：证明角相等 (100)第九十九题：证明四点共圆 (101)第一百题：证明两三角形共内心 (102)第一题：证明角平分PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。

高中数学竞赛试题汇编三 《二次函数、方程、不等式》【2013天津】如果不等式21x x a <-+的解集是()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是 (A) (),7-∞ (B) (],7-∞ (C) (),5-∞ (D) (],5-∞答案：D【2013天津】已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是 答案：1【2013福建】已知,x y 满足14xy x y +=+，且1x >则()()12x y ++的最小值是 答案：27【2013河南】已知,x y 为实数，22(,)f x y x xy y x y =++--的最小值是 答案：令u x y =+，t x y =-，13-【2013四川】已知实数,x y 满足22116y x +=，则的最大值是答案：221616x y +=，s =()()22222216211811621616216x y s x y ⎡⎤++⎢⎥=+≤=⎢⎥⎣⎦【2013江苏】设方程22210x mx m -+-=的根大于-2，且小于4，则实数m 的范围是 答案：11m -<<【2013江苏】实数,x y 满足224+3=0x x y -+，则22x y +的最大值与最小值之差是 答案：8【2013浙江】若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x = ，y =答案：224(1)20(221)0y y y ∆=--++≥，()2320y +≤，3x =，23y =-. 【2011浙江】若[]1,1a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） (A) 3x >或2x < (B) 2x >或1x <(C) 3x >或1x < (D) 13x <<C【2011浙江】已知,x y 为实数，则()22225410max x y xx y +=+= 【2013湖南】已知,x y 为实数，2()2f x x x a =++，2()441f bx x x =-+，()0f ax b +>的解集为答案：1,2a b ==-，{}1x R x ∈≠.【2013全国】实数,x y 满足x -x 的取值范围是 .答案：a b ==()22=x y x y a b +-=+，x -()()22215(0,0)a b a b -+-=≥≥，{}[]04,20【2012贵州】函数2()20112012f x x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为答案：0.【2012贵州】已知0,0x y ≥≥，且221x y +=，则()x x y +的最大值是答案：cos ,sin ,0,2x y πθθθ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，1())42x x y πθ+=++. 【2012安徽】实数,x y 满足228624=0x x y y -+-+，则2x y -的最大值是。

数学奥林匹克高中训练题_46学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、填空题三、解答题13．在△ABC 中，实数x 满足2222sec x csc A csc B csc C =++，求证：的定圆P 的圆心上一动点，Q 与P 相外切，Q 交l 于N 两点．对于任意直径使得△MAN 求△MAN 的度数．．设函数f(x)、g(x)定义为()f x ()()11?2000,n f a b ==，2000的最小正．上的O 与其他三边都相切，)0nn i i x b x ==∑的所有根的平方的相反数是f(x)=0的全部根．求证：参考答案：【详解】0,4a π⎛∈ ⎝()tanacota <)(cotatana <34t t ＜＜.【详解】1 022≤3.3arccot arc≤1 arccos2,a b a ≥∴(222a x a +1,?4y 又≥∴22 4.x y ∴+≤满足22x y +≤其面积为1··3π3((0011821122sina sin a b a β<<≤<=-即()26a -【详解】(a b c ++项，但(a )nc +的展开式中不同的项数为)(nd a ⎡+=⎣=AB AC∴⊥SD BC∴⊥面BC于是SA与2.当两条较长棱相邻时，不妨设2sec x csc=2∴=tan x2=+cot A(cotA cotB=+60【详解】以l为r,h）.△Q2222rh r k r +3,tan MAN ∠223r k r r nhr +-=)223nh k r r -=±+-两边平方，得2m 对于任意实数r≥1223,m k =-另一方面，用数学归纳法可证明：()281n n a b +>当n=1时，()31223181128n n a b a b +>=>.假设式(1)在n=k 时成立，即28k k a b +>.当n=k+1时，()()2883112121282000820008k k k k k b ba b b k k a b +++=>=>⨯>⨯=. 所以，式(1)对所有n 成立.由式(1)得1998199820008b b a ≤<.1998m ∴>.综上所述，m=1999.16．2或7【详解】1当p=7m -5(m 为自然数，下同)时，()123721p p m =+=-.当m ＞1时，1p 为合数.当m=1时，p=2.此时123456711,19,29,31,101p p p p p p ======，均为质数，所以p 可为2.2当p=7m -6时，()243743p p m =+=-.当m=1时，p=1与p 为质数相矛盾.当m>1时，2p 为合数.3当p=7m -3时，()383783p p m =+=-为合数.4当p=7m -2时，()41637165p p m =-=-为合数.5当p=7m -4时，()5323373223p p m =-=-为合数.6当p=7m -1时，()6642776413p p m =-=-为合数.7 当p=7m 时，因p 为质数,则p=7.当p=7时，1234561731,59,109,191,421p p p p p p ======，均为质数.AB AD =即OA OB +1sina sin ∴+11sin sin a +sin 2αβ+2cos α⎛∴ ⎝4sin sin 2a ⋅202β+＜22αϕ+∴即2αϕ+亦即BAD ∠则AB//CD。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。