数字信号处理作业答案

数字信号处理作业

DFT 习题

1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~

n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~

n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~1k X 确定)(~2k X 。（76-4）

2. 研究两个周期序列)(~n x 和)(~n y 。)(~n x 具有周期N ,而)(~

n y 具有周期M 。序列)(~n w 定义为)()()(~

~~n y n x n w +=。

a. 证明)(~n w 是周期性的，周期为MN 。

b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地，

由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~k W 。（76-5）

3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）:

a. )()(n n x δ=

b ．N n n n n x <<-=000)

()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7）

4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）

5. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换

(a ） 证明如果)(n x 满足关系式：)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。

(b ） 证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2/(=N X 。（80-14）

6. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点序列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。（82-15）

7. 若)(n x 为一个N 点序列，而)(k X 为其N 点离散傅里叶变换，证明：

∑∑-=-==10k 2102

)k (X N 1)(N N n n x ，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）

8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换)(k X ，如图所示。长度为16的

一个新的序列)(n y 定义为：

⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n y 0)2()(，试画出相当于

)(n y 的16点离散傅里叶变换的略图。（86页-18）

9. 令()x n 表示z 变换为()X z 的无限时宽序列，而1()x n 表示长度为N 的有限时

宽序列，其N 点离散傅立叶变换用1()X k 表示。如果()X z 和1()X k 有如下关系：1()()|, 0,1,2,,1k N z W X k X z k N -===- 式中2j N N W e

π-=。试求()x n 和1()x n 之间的关系。（93-22） 10. 令)(ωj e X 表示序列)()2/1()(n u n x n =的傅里叶变换，并令)(n y 表示长度为10的一个

有限时宽序列，即0n 时，0)(=n y ，)(n y 的10点离散傅里叶变换用)(k Y 表示，它相当于)(ωj e

X 的10个等间隔取样，即)()(10/2k j e X k Y π=，试

求)(n y （94-23）

11. 讨论一个长度为N 的有限时宽序列)(n x ，0N n 时，0)(=n x ，我们要求

计算其z 变换)(z X 在单位圆的M 个等间隔点上的取样。取样数M 小于序列的时宽N ；即N M ≤，试求一种得到)(z X 的M 个取样的方法，它只要计算一次M 点序列（这个序列是由)(n x 得来的）的M 点离散傅里叶变换。（96-25）

12. 研究两个0

时当时

当20n 0)(8n 0)(≥=≥=n y n x ，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变换，令)(n r 表示它的离散傅里叶反变换，指出)(n r 的哪些点相当于)(n x 与)(n y 线性卷积中的点。（96-26）

FFT 习题

1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序： 1,...,1,0)()(1

)/2(-==∑-=-N k e n x k X N n kn N j π，试指出如何用此程序来计算如下反变换：

1,...,1,0)(1

)(1

0)/2(-==∑-=-N n e k X N n x N k kn

N j π（193-8）

2. 在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本

题中讨论了两种减少计算量的途径：

a. 研究两个分别具有离散傅里叶变换1()X k 和2()X k 的实序列1()x n 和2()x n ，令

()g n 为一个复序列，12()()()g n x n jx n =+，()G k 为其离散傅里叶变换。令()OR G k 、()ER G k 、()OI G k 、()EI G k 分别表示()G k 的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用()OR G k 、()ER G k 、()OI G k 和()EI G k 表示1()X k 和2()X k 。

b. 假设()x n 是一个N 点的实序列，且N 可以被2整除，令1()x n 和2()x n 为两个/2

N 点序列，其定义为：

1()(2),0,1,2,...,/21x n x n n N ==-，

试利用1()X k 和2()X k 求()X k 。（198-10）

3. 研究一个有限长度序列)(n x ，并且0n n <和01n N n +->时，0)(=n x 。假设我们想

要计算在z 平面内下列各点上)(n x 的z 变换之取样：

))/2((k M j k re z πθ+=，1,...,2,1,0-=M k ，式中N M <。试详细说出一种计算这些点上的)(z X 的有效方法。（199页-11）