立体几何空间角习题

2019-2020年高考数学 7.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离练习——求空间角和距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.【解析】选B.建立空间直角坐标系如图.则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos<,>==.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.2.(xx·宁波模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.【解析】选A.以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0),设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则y=-2,x=2,所以n=(2,-2,1),所以sinθ====.【一题多解】本题还可以采用如下方法解答.方法一:选A.设AB=1,则AA1=2.设AC∩BD=O,连接C1O,过C作CH⊥C1O于H,连接DH,显然△C1DB是等腰三角形,所以C1O⊥BD,又C1C⊥BD,因为C1O∩C1C=C1,所以BD⊥平面C1CO,CH⊂平面C1CO,所以BD⊥CH,而CH⊥C1O,BD∩C1O=O,所以CH⊥平面C1BD,所以∠CDH是CD与平面C1BD所成的角,在Rt△C1OC中,OC=,C1C=2,所以C1O==,由C1C·OC=C1O·CH知CH==,在Rt△CDH中,sin∠CDH==.方法二:选A.设点C到平面C1BD的距离为h,CD与平面C1BD所成的角为θ,由=知·h=S△CBD·C1C,所以h=,所以sinθ==.3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.【解题提示】以A为原点建立空间直角坐标系,分别求出直线BC1的方向向量与平面DBB1D1的法向量,用空间向量的直线与平面所成角的夹角公式计算得解.【解析】选C.如图建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),C(4,4,0),C1(4,4,2),显然AC⊥平面BB1D1D,所以=(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量.又=(0,4,2).所以cos<,>===.即直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为.4.(xx·厦门模拟)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.150°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.由条件知·=0,·=0,因为=++.所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+82+2×6×8cos<,>=(2)2.所以cos<,>=-,则<,>=120°,即<,>=60°.所以二面角的大小为60°.5.(xx·北京模拟)在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为()A. B.a C. D.a【解题提示】以P为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解.【解析】选B.根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).所以=(-a,a,0),=(-a,0,a),=(a,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).由得得令x=1,所以n=(1,1,1),所以P到平面ABC的距离d===a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱AA1=,M为A1B1的中点,则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为.【解析】以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则平面AA1C1C的法向量为n=(0,1,0),AM=-(1,0,)=,则直线AM与平面AA1C1C所成角θ的正弦值为sinθ=|cos<,n>|==,所以tanθ=.答案:7.已知点E,F分别在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC 所成的二面角的正切值为.【解析】如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),E,F,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二面角为θ,由图知θ为锐角,由得令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),cosθ=|cos<n,m>|=,tanθ=.答案:8.(xx·石家庄模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1上的点,则点E到平面ABC1D1的距离是.【解析】以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0≤a≤1),连接D1E,则=(1,a,0).连接A1D,易知A1D⊥平面ABC1D1,则=(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量.所以点E到平面ABC1D1的距离是d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(xx·湖南高考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.【解题提示】(1)利用矩形的邻边垂直,及线线平行证明OO1⊥AC,OO1⊥BD.(2)由二面角的定义或者向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)方法一:如图,过O1作O1H⊥B1O,垂足为H,连接C1H,由(1)可得OO1⊥A1C1,由于A1B1C1D1是菱形,所以B1D1⊥A1C1,所以A1C1⊥平面B1D1DB,所以由三垂线定理得HC1⊥B1O,所以∠O1HC1就是二面角C1-OB1-D的平面角.设棱柱的棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,OB1=,在直角三角形O1OB1中,O1H==,因为O1C1=1,所以C1H===,所以cos∠C1HO1==,即二面角C1-OB1-D的余弦值为.方法二:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,所以O,B1,C1,平面BDD1B1的一个法向量为n=,设平面OC1B1的法向量为m=,则由m⊥,m⊥,所以x+2z=0,y+2z=0,取z=-,则x=2,y=2,所以m=,所以cos<m,n>===.由图形可知二面角C1-OB1-D为锐二面角,所以二面角C1-OB1-D的余弦值为.10.(xx·杭州模拟)如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=a,(1)若a=2,求证:AB∥平面CDE.(2)求实数a的值,使得二面角A-EC-D的大小为60°.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,2),=(2,0,0),=(0,-2,2),=(1,-1,),设平面CDE的一个法向量为n1=(x,y,z),则有-2y+2z=0,x-y+z=0,取z=时,n1=(0,2,),所以·n1=0,又AB不在平面CDE内,所以AB∥平面CDE.(2)如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,a),=(0,-2,a),=(1,-1,),设平面CDE的一个法向量为n2=(x,y,z),则有-2y+az=0,x-y+z=0,取z=2时,n2=(a-2,a,2),又平面AEC的一个法向量为n3=(-1,1,0),因为二面角A-EC-D的大小为60°,所以=,即a2-2a-2=0, 解得a=±2.(20分钟40分)1.(5分)如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小为()A. B.C. D.【解析】选 B.二面角A-BC-D的大小等于AB与CD所成角的大小.=++.而=+++2||||·cos<,>,即12=1+9+4+2×1×2cos<,>,所以cos<,>=-,所以AB与CD所成角为,即二面角A-BC-D的大小为.2.(5分)(xx·北京模拟)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离是.【解析】如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d==.答案:3.(5分)(xx·郑州模拟)正四棱锥S -ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.【解析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<,n>===.所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.答案:30°4.(12分)(能力挑战题)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=2,∠ABC=120°,M,N分别为线段AB,CD的中点,连接AN,DM交于点O,将△ADM沿直线DM翻折成△A′DM.使平面A′DM⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:ON⊥平面A′DM.(2)求证:BF∥平面A′DM.(3)求直线FO与平面A′DM所成的角.【解析】(1)连接MN,由平面几何知四边形AMND是菱形.所以AN⊥DM.因为平面A′DM⊥平面ABCD,DM是交线,AN⊂平面ABCD,所以AN⊥平面A′DM,即ON⊥平面A′DM.(2)取A′D的中点E,连接EF,EM,因为F是A′C中点,所以EFCD.又M是AB中点,所以在平行四边形ABCD中,BMCD,所以EF BM,所以四边形EFBM是平行四边形.所以BF∥EM,因为EM⊂平面A′DM,BF⊄平面A′DM,所以BF∥平面A′DM.(3)因为AB=2BC=2,M是AB中点,所以A′D=A′M=1.因为菱形ADNM中O是DM中点,所以A′O⊥DM,因为平面A′DM⊥平面ABCD,所以A′O⊥平面ABCD.以ON为x轴,OM为y轴,OA′为z轴建立空间直角坐标系,∠ADN=∠ABC=120°,在△ADN中,AD=DN=1,所以AN==.同理求得DM=AD=AM=1,所以N,D,A′,因为N是CD的中点,所以C.因为F是A′C的中点,所以F.因为NO⊥平面A′DM,所以平面A′DM的一个法向量=.因为=,所以||==1.设OF与平面A′DM所成的角为θ,0<θ<,则sinθ=|cos<,>|===,所以θ=.所以直线FO与平面A′DM所成的角为.5.(13分)(xx·江西高考)如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:AB⊥PD.(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面PBC与平面DPC 夹角的余弦值.【解题提示】(1)利用面面垂直的性质定理证明AB⊥平面PAD即可.(2)借助两平面垂直的性质,作PO⊥AD,即四棱锥的高找到,过点O作OM⊥BC于点M,连接PM.则四棱锥的体积能用AB的长度表示,即可建立体积与AB的函数,借助二次函数知识求最值;此时可建立空间直角坐标系,利用坐标法求解.【解析】(1)因为ABCD为矩形,所以AB⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.(2)过点P作PO⊥AD于点O,则PO⊥平面ABCD,过点O作OM⊥BC于点M,连接PM.则PM⊥BC,因为∠BPC=90°,PB=,PC=2,所以BC=,PM=,设AB=t,则在Rt△POM中,PO=,所以VP-ABCD=·t··=,所以当t2=,即t=时,VP-ABCD最大为.此时PO=AB=,且PO,OA,OM两两垂直,以OA,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz, 则P,D,C,B.所以=,=,=.设平面PCD的一个法向量m=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则m=(1,0,-2),|m|=;同理设平面PBC的一个法向量n=(x2,y2,z2),即令y2=1,则n=(0,1,1),|n|=,设平面PBC与平面DPC夹角为θ,显然θ为锐角,且cosθ===..。

第26练“空间角”攻略[题型分析·高考展望]空间角包括异面直线所成的角, 线面角以及二面角, 在高考中频繁出现, 也是高考立体几何题目中的难点所在. 掌握好本节内容, 首先要理解这些角的概念, 其次要弄清这些角的范围, 最后再求解这些角. 在未来的高考中, 空间角将是高考考查的重点, 借助向量求空间角, 将是解决这类题目的主要方法.体验高考1. (2015·浙江)如图, 已知△ABC, D是AB的中点, 沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD, 所成二面角A′—CD—B的平面角为α, 则()A. ∠A′DB≤αB. ∠A′DB≥αC. ∠A′CB≤αD. ∠A′CB≥α2．(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A, α∥平面CB1D1, α∩平面ABCD＝m, α∩平面ABB1A1＝n, 则m, n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.133. (2016·课标全国丙)如图, 四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD, AD∥BC, AB＝AD＝AC＝3, PA＝BC＝4, M为线段AD上一点, AM＝2MD, N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.高考必会题型题型一异面直线所成的角例1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中, 求异面直线BA1与AC所成的角.变式训练1(2015·浙江)如图, 三棱锥A—BCD中, AB＝AC＝BD＝CD＝3, AD＝BC＝2, 点M, N分别是AD, BC的中点, 则异面直线AN, CM所成的角的余弦值是________.题型二直线与平面所成的角例2如图, 已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形, AB∥CD, AC⊥BD, 垂足为H, PH是四棱锥的高, E为AD的中点. (1)证明: PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°, 求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．变式训练2如图, 平面ABDE⊥平面ABC, △ABC是等腰直角三角形, AB＝BC＝4, 四边形ABDE是直角梯形, BD∥AE, BD⊥BA, BD＝AE＝2, 点O、M分别为CE、AB的中点. (1)求证: OD∥平面ABC；(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；(3)能否在EM上找到一点N, 使得ON⊥平面ABDE？若能, 请指出点N的位置并加以证明；若不能, 请说明理由．题型三二面角例3(2016·浙江.如图, 在三棱台ABC—DEF中, 平面BCFE⊥平面ABC, ∠ACB＝90°, BE ＝EF＝FC＝1, BC＝2, AC＝3..(1)求证: BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.变式训练3如图, 长方体ABCD－A1B1C1D1中, AA1＝AD＝1, AB＝2, 点E是C1D1的中点.(1)求证: DE⊥平面BCE；(2)求二面角A－EB－C的大小.高考题型精练1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中, A1B与B1C所在直线所成角的大小是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中, A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是()A. 90°B. 30°C. 45°D. 60°3. 如图所示, 将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角, 此时∠B′AC＝60°, 那么这个二面角大小是()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4．已知正三棱锥S－ABC中, E是侧棱SC的中点, 且SA⊥BE, 则SB与底面ABC所成角的余弦值为()A.63 B.33 C.23 D.365. 如图所示, 在正方体ABCD－A1B1C1D1中, E、F、G、H分别为AA1.AB.BB1.B1C1的中点, 则异面直线EF与GH所成的角等于()A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°(5题）（6题）（8题）6如图, △ABC是等腰直角三角形, AB＝AC, ∠BCD＝90°, 且BC＝CD＝3, 将△ABC沿BC的边翻折, 设点A在平面BCD上的射影为点M, 若点M在△BCD内部(含边界), 则点M 的轨迹的最大长度等于______；在翻折过程中, 当点M位于线段BD上时, 直线AB和CD 所成角的余弦值等于______.7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中, 若∠BAC＝90°, 2AB＝2AC＝AA1, 则异面直线BA1与B1C 所成角的余弦值等于________.8.如图所示, 在四棱锥P－ABCD中, 已知PA⊥底面ABCD, PA＝1, 底面ABCD是正方形, PC 与底面ABCD所成角的大小为, 则该四棱锥的体积是________.9. 以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕, 使△AB′D和△ACD折成互相垂直的两个平面, 则∠B′AC＝________.10. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中, AB＝1, AC＝2, BC＝, D.E分别是AC1和BB1的中点, 则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.(10题）（11题）11. (2016·四川)如图, 在四棱锥PABCD中, AD∥BC, ∠ADC＝∠PAB＝90°, BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点, 异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M, 使得直线CM∥平面PBE, 并说明理由；(2)若二面角P—CD—A的大小为45°, 求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．如图, 在四棱锥P－ABCD中, 底面ABCD为菱形, ∠BAD＝60°, Q为AD的中点.(1)若PA＝PD, 求证: 平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上, PM＝PC, 若平面PAD⊥平面ABCD, 且PA＝PD＝AD＝2, 求平面MBQ与平面CBQ夹角的大小．。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

高二数学空间的角试题答案及解析1.在正方体中，直线与平面所成角的大小为____________．【答案】.【解析】连接，，连接.由正方体的性质可得，且，所以平面，所以可得为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为，则，.在中，，从而得到答案为.【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．2.如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为。

【答案】【解析】试题分析:把正方体的表面展开图还原成正方体，设的中点为，连接，又，则为异面直线AB和CD所成的角，由余弦定理可得。

【考点】（1）异面直线所成角的定义；（2）平行公里；（3）余弦定理的应用。

3.空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=则AD和BC所成的角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取线段AC的中点P.由于M,N都是中点.所以QN=3，QM=3.又因为.所以三角形MNP是直角三角形.即MP⊥PN,又因为MP∥BC, PN∥AD.所以AD⊥BC.本题主要是应用三角形的中位线的知识.含中点的题一般都的转化为中位线的知识.【考点】1.异面直线所成的角.2.中位线定理.3.空间问题向平面问题转化.4.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正方体中，容易得到平面，又因为平面,故得到.【考点】异面直线所成角.5.在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.(1)证明:;(2)求锐二面角的余弦值;【答案】（1）见试题解析；（2）．【解析】（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，而本题中有，是等边三角形，故可以取中点为，则有，，这是等腰三角形的常用辅助线的作法；（2）关键是作出所求二面角的平面角，由已知及（1）中辅助线，可知平面，由于是中点，故只要取中点，则有，也即平面，有了平面的垂线，二面角的平面角就容易找到了。

解答题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=o .（Ⅰ）求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.2. 如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB +AD =4，CD =2，︒=∠45CDA ．（I ）求证：平面P AB ⊥平面P AD ；（II ）设AB =AP ．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由。

3. 如图5．在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，2PA PD ==,PB =2, E ,F 分别是BC ,PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF ;（2） 求二面角P -AD -B 的余弦值．4. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．A B DC FPE5. 如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径2AB=,C是»AB的中点，D为AC 的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC;（Ⅱ）求二面角B PA C--的余弦值。

6. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12 PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．8. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD =AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值．9. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB =90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ－ＢＦ－Ｃ的大小．10. 如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=o o 是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BCD ∠=o 。

空间角例题讲解：一、异面直线夹角问题例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A BC D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为_ _ _(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA= 90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。

二、线面夹角问题例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O 的角，且b 与a 在α内的射影成45O的角时，a 与α所成的角为( ) (A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O（2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且 2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．三、二面角问题例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为 。

（2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为︒45，AB 与平面β所成的角为︒30，则二面角的大小为 ；1A(3) 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角的平面角的正弦值大小.巩固练习：一、选择题1．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.232．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不．正确的是( ) A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角3．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) A.32 B.12 C.33 D.364．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，A B C E D P则( )A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．β＞α＞γD．γ＞β＞α二、填空题5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．6．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是__________．7．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．三、解答题8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．(1)证明：EF∥平面SAD；(2)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的余弦值．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值；(3)若E为C1D1的中点，在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.10．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.(1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积；(2)若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．。

PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。

CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。

求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。

【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。

AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。

不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。

高一数学立体几何空间角习题【基础】空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

一、选择填空题1．（1）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1所成的角为（ ）（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200（2）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B．3CD ．23（3）Rt ABC ∆的斜边在平面α内，顶点A 在α外，BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠，则BA C '∠的范围是________________。

（4）从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线，A 为垂足，B 为斜足，射线BC α⊂，这时PBC ∠为钝角，设,PBC x ABC y ∠=∠=，则（ ）A.x y >B.x y =C.x y <D.,x y 的大小关系不确定（5）相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 。

（7）PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB所成角的余弦值是（ ）ABA 11A ．21B ．22C ．36D ．33（8）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，,M N 分别是1,A A AB 上的点，若0190NMC ∠=，那么1NMB ∠的大小是（ ）A.大于090 B.小于090 C. 090 D.不能确定（9）已知SO ABC ⊥∆所在平面于O 点，且S 到,,A B C 三点等距离，若ABC ∆中，有cos cos sin sin A B A B >，则O 点（ ）A.必在ABC ∆的某一边上B.必在ABC ∆外部（不含边界）C.必在ABC ∆内部（不含边界）D.以上都不对（10）如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则（ ） A ．1sin sin 2212≥+θθ B ．1sin sin 2212≤+θθC ．1sin sin 2212>+θθD ．1sin sin 2212<+θθ（11）如图，l A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，A B ，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．βm n θϕ<>，（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。

§8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．60°或30°2．(2016·广州模拟)二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.224．(2016·长春模拟)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为( ) A.15 B.255 C.55 D.255．如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A ＝90°，且DB ⊥BC ，∠BCD ＝30°，现将△ABC 折起，使得二面角A －BC －D 为直角，则下列叙述正确的是( )①BD →·AC →＝0；②平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直；③异面直线BC 与AD 所成的角为60°；④直线DC 与平面ABC 所成的角为30°.A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④6.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→的最小值为( )A.52 B ．－14 C.14 D ．－527．(2016·合肥模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则直线D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．8．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________．9．(2017·石家庄月考)已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．10．(2016·南昌模拟)如图(1)，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如图(2)的五棱锥P －ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)求二面角B －AP －O 的正切值．11.(2016·四川)如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB＝90°，BC ＝CD ＝12AD .E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角PCDA 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．12.(2016·潍坊模拟)如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直．已知AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC ＝BC ＝12AB ＝1，点M 在线段EC 上．(1)证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；π(2)判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成的锐二面角为3.答案精析1．C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.13 8.23 9.2310．(1)证明 ∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF .∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC ，∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO .∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA .(2)解 设AO ∩BD ＝H ，连接BO .∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3，在Rt △BHO 中，BO ＝HB 2＋HO 2＝7.在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO .∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED .以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示，则A (0，－33，0)，B (2，－3，0)，P (0,0，3)，H (0，－3，0)，∴AP →＝(0,33，3)，AB →＝(2,23，0)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AP →，n ⊥AB →，得⎩⎨⎧ 33y ＋3z ＝0，2x ＋23y ＝0.令y ＝1，得z ＝－3，x ＝－ 3.∴平面P AB 的一个法向量为n ＝(－3，1，－3)．由(1)知平面P AO 的一个法向量为BH →＝(－2,0,0)，设二面角B －AP －O 的平面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，BH →〉|＝n ·BH →|n ||BH →|＝2313×2＝3913， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝13013， tan θ＝sin θcos θ＝303， ∴二面角B －AP －O 的正切值为303. 11．解 (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC ∥ED 且BC ＝ED .所以四边形BCDE 是平行四边形，从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ，所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)方法一 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角PCDA 的平面角，所以∠PDA ＝45°，设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH ，易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE ，且P A ∩AH ＝A ，于是CE ⊥平面P AH .又CE ⊂平面PCE ，所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE ，所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角．在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1，所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322. 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.方法二 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD .于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角PCDA 的平面角．所以∠PDA ＝45°.由∠P AB ＝90°，且P A 与CD 所成的角为90°，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1，0,0)．所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2， 解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，AP →〉|＝|n ·AP →||n ||AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13. 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13. 12．(1)证明 ∵DC ＝BC ＝1，DC ⊥BC ，∴BD ＝2，又AD ＝2，AB ＝2，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BD .又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，∴BD ⊥平面ADEF ，又BD ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ADEF .(2)解 在平面DAB 内过点D 作DN ⊥AB ，垂足为N ，∵AB ∥CD ，∴DN ⊥CD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊥AD ，∴ED ⊥平面ABCD ，∴DN ⊥ED ，以D 为坐标原点，DN 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DE 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．∴B (1,1,0)，C (0,1,0)，E (0,0，2)，N (1,0,0)，设M (x 0，y 0，z 0)，EM →＝λEC →(0≤λ<1)，∴(x 0，y 0，z 0－2)＝λ(0,1，－2)， ∴x 0＝0，y 0＝λ，z 0＝2(1－λ)，∴M (0，λ，2(1－λ))．设平面BDM 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DM →＝0，n 1·DB →＝0， 又DM →＝(0，λ，2(1－λ))，DB →＝(1,1,0)， ∴⎩⎨⎧ λy ＋2(1－λ)z ＝0，x ＋y ＝0， 令x ＝1，得y ＝－1，z ＝λ2(1－λ)， 故n 1＝(1，－1，λ2(1－λ))是平面BDM 的一个法向量． ∵平面ABF 的一个法向量为DN →＝(1,0,0)，∴|cos 〈n 1，DN →〉|＝ 11＋1＋λ22(1－λ)2＝12，得λ＝23， ∴M (0，23，23)， ∴点M 在线段CE 的三等分点且靠近点C 处．。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。

求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。

转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。

（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。

则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。

第七节 空间角距离（一）线面角一．选择题1．把正方形沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）A ．90B ．60C ．45D ．302．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC 及平面PAB 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B 。

3 C 。

3 D 。

6 4．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，及截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6二，填空题5．正四棱锥P -ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 中点，则直线AC 及截面BDE 所成的角为 ． 6．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 及平面B 1DC 所成角的正弦值为 .7．棱长都为2的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，则对角线A 1C 及侧面DCC 1D 1所成角的余弦值为________. 三．简答题8．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PBC --为90，求PD 及平面PBC 所成角的大小。

9. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=23，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA 及BC 所成角的正切值； （II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 及平面ABCD 所成角的正弦值。

立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤⎝⎛20π，） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm nm⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m //则α⊥a） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法θcos S S =' ☎S 为原斜面面积 S '为射影面积 θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角✆当θ为锐角时，nm nm⋅⋅=arccos θ当θ为锐角时，nm nm ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解在正三棱柱111ABC A B C -中，若1,AB 求1AB 与B C 1所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，设O 为C B 1、B C 1的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。

设1,BB a AB ==则，于是在DOB ∆中，122211,,21,,2OB BC BD OD AB BD OB OD =======+ 即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB法二：取11A B 的中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyz O -AB 21的长度单位，则由1AB =有((())((111111110,,,0,1,0,0,2,,,220,A B B C AB C B AB C B AB C B-∴==⋅=-=∴⊥如图二所示，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是一直角梯形，90,//,,2B A D A D B C A BB C a A D a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。

立体几何—空间角1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．90°2.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1C 1的中点，则直线AP 与B 1C 所成角的余弦值为（ ）A ．33 B ． 21C. 23 D ．6 3.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，AD =1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 A D 4.正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为 A. 13 B. 235.已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长相等，D 为1A A 的中点，则直线BD与1B C 所成的角为（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 6.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒7.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 1的中点，则异面直线DE 与A 1B 1所成角的正切值为图7 图88.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为 A ．2π B ．4π C ．6π D ．3π9.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，41===AA AD AB ，090=∠BAD ，01160=∠=∠DAA BAA ，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．33 B ．32 C. 63 D ．3110.已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为（ ） D. 12.如下图，已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值是（ ） A B C13.如上图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A —BC —D 的平面角最大时，其正切值为A ．12 C ．3 D ．1414.在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ⊥平面ABC ，且P A =AB ，则二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角的正切值为（ ） A ．6 B ．3C ．66 D ．2615.一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：图15 图16①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ． 其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.416.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有以下结论：①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥BD ； ③AC 1⊥平面CB 1D 1； ④直线B 1D 1与BC 所成的角为45°．其中正确的结论个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 417.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，错误的为1719A ．AC ⊥BDB ．AC =BDC. AC ∥截面PQMND. 异面直线PM 与BD 所成的角为45°18.如图，多面体OABCD ,AB CD ==AD BC ==2AC BD ==,且OA ,OB ,OC 两两垂直．给出下列四个命题：①三棱锥O -ABC 的体积为定值；②经过A ,B ,C ,D ; ③直线OB ∥平面ACD ；④直线AD ,OB 所成的角为60°； 其中真命题的个数是（ ▲ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．419.如图，在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥面ABC ，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，且AC BC a ==，()090PDC θθ∠=<<，则当θ变化时，直线BC 与面P AB 所成角的取值范围为( ) A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0,6π⎛⎫⎪⎝⎭20.如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别是DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．421.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()82,1L L =i p i 是上底面上其余的八个点，则()82,1L L =∙→→i AP AB i 的不同值的个数为A ．1 B ．2 C ．4D 。

高中数学立体几何空间的角专项练习题1．两异面直线所成的角：直线a 、b 是异面直线，经过空间一点O 分别引直线a' a ，b' b ，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a 、b 所成的角，其范围是 ．2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角．规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角． 其范围是 ．公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是 ，θ2是 ，θ是 ． 3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ．例1. 如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求EF 与平面PAD 所成角的大小； （2）求EF 与CD 所成角的大小；（3）若∠PDA ＝45°，求：二面角F —AB —D 的大小． 解：(1)易知EF ∥平面PAD ，故EF 与平面PAD 成角为0°； (2)易知EF ⊥CD ，故EF 与CD 成角为90°；(3)取AC 中点为0，则∠FEO 为所求二面角的平面角，易求得∠FEO ＝45°． 变式训练1：如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，若二面角C 1 —BD —C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成 的角的大小． 答案：arccos 55PBE FDCA A 1B 1 D 1C 1DA BC例2. 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝20，CD ＝12，它的高为215，以底边的中垂线MN 为折痕，将梯形MBCN 折至MB 1C 1N 位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求： ⑴ AC 1的长；⑵ AC 1与MN 所成的角； ⑶ AC 1与平面ADMN 所成的角． 答案：(1) 16 (2) arcsin 87(3) arcsin 1633变式训练2：已知四边形ABCD 内接于半径为R 的⊙O ，AC 为⊙O 的直径，点S 为平面ABCD 外一点，且SA ⊥平面ABCD ，若∠DAC ＝∠ACB ＝∠SCA ＝30°，求： ⑴ 二面角S －CB －A 的大小； ⑵ 直线SC 与AB 所成角的大小． 答案：(1) arctan 332(2) arccos43例3. △ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120°．求： ⑴ AD 与平面DBC 所成的角； ⑵ 二面角A －BD －C 的正切值． 解：(1) 作AE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，由面ABC ⊥面BCD 知AE ⊥向BCD ，∠ADE 即为所求，求得∠ADE ＝45° (2) 作EF ⊥BO 于F ，∠AFE 即为所求，求得tan ∠AFE ＝2 变式训练3：正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 中点． ⑴ 求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1； ⑵ 求证：AB 1∥平面BEC 1；⑶ 若221 ABA A ，求二面角E －BC 1－C 的大小．答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45°例4: 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝a ，AA 1＝2AB ，M 为CC 1上的点.(1) 当M 在C 1C 上的什么位置时，B 1M 与平面AA 1C 1C 所成的角为30°； (2) 在(1)的条件下，求AM 与A 1B 所成的角. 解(1) 取A 1C 1的中点N 1，连结B 1N 1，N 1M ， 由已知易知B 1N 1⊥平面A 1C 1CA.∴∠B 1MN 1为B 1M 与平面A 1C 1CA 所成的角， 设C 1M ＝x ，B 1N 1＝22a.A BDAC MA 1B 1C 1BB BAECCAsin < B 1MN 1＝21/2222111=+=a x M B N B , 解得x ＝a ，则C 1M ＝21C 1C, ∴M 为C 1C 的中点(2) arccos1515变式训练4：已知正方形ABCD ，E 、F 分别是边AB 、 CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图所示，记二 面角A —DE —C 的大小为)0(πθθ<<，若△ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值． 解：点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上， 过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ， 连结GC 、GD ． ∵△ACD 为正三角形， ∴AC ＝AD ，∴GC ＝GD ，∴G 在CD 的垂直平分线上，又∵EF 是CD 的垂直平分线，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过G 作GH ⊥ED ，垂足为H ，连结AH ，则AH ⊥DE ．∴∠AHG 是二面角A —DE —C 的平面角，即∠AHG ＝θ， 设原正方形ABCD 的边长为2a ，由直角三角形的射影定理 可得AH ＝52a ，GH ＝52a ，∴41cos ==AH GH θ．1．两异面直线所成角的作法：① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线；② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是 容易作出两条异面直线所成的角．2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影． 3．平面角的作法：① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法．A EFBCD4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式S'＝Scosθ来求．5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成．。