《一元二次方程》典型例题一
例 指出下列方程中哪些是一元二次方程?
(1))12(3652+=+x x x
(2)x x =28
(3)532=x
(4)y x 342=
(5)02=-x
(6)24)3()15(x x x x x ++=-
解:(1)整理得:x x x 366522+=+
移项,合并得:0632=-+x x
∴ 是一元二次方程
(2)移项得:082=-x x
∴ 是一元二次方程
(3)532=x
∵方程的分母中含有未知数
∴它不是一元二次方程
(4)0342
=-y x
∵ 方程中含有两个未知数
∴ 它不是一元二次方程
(5)02=-x
∵01≠-=a
∴它是一元二次方程
(6)整理得:222435x x x x x ++=-
移次,合并得:04=x
∵二次项系数合并后为0
∴它不是一元二次方程
说明:对方程要先进行整理,然后再根据条件:
①整式方程
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数为2
只有当这三个条件缺一不可时,才能判断为一元二次方程.
《一元二次方程》典型例题二
例 若032
2=-+-p p x px 是关于x 的一元二次方程,则( ).
(A) p 为任意实数 (B ) 0=p
(C) 0≠p ( D) 0=p 或1
分析与解:显然方程0322=-+-p p x px 是关于x 的整式方程,且方程中含有一个未知数x ,若想让它满足一元二次方程的定义,需使未知数的最高次数为2的系数0≠p ,故应选(C ).
《一元二次方程》典型例题三
例 关于x 的方程(322-+m m )1351=++x x m 是不是一元二次方程?
分析:此方程是不是一元二次方程,可直接根据定义判断,看它是否同时满足一元二次方程定义的条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是 2.观察方程易知它已满足(1)、(2)两条,能否满足条件:
解:.032212?
??≠-+=+m m m 由于1=m 时,0322=-+m m
所以不存在m 的值同时满足且21=+m 0
322≠-+m m 故关于x 的方程(322-+m m )1351=++x x m 不是一元二次方程.
《一元二次方程》典型例题四
例 把下列方程化为一元二次方程的一般形式,再指出其二次项系数,一次项系数及常数项.
(1)x x 352
=
(2)03)12(2=-+-x x
(3)03)17(2=--x
(4)0)12)(12(=+-x x
(5)2)12)(56(m m m =+-
解:(1)整理,得 0352=-x x
二次项系数5,一次项3-,常数项0
(2)整理,得:03)12(2=--+x x
二次项系数:1,一次项系数:12-,常数项:3-
(3)整理,得:0214492=--x x
二次项系数:49,一次项系数:14-,常数项:-2.
(4)整理得:014
12=-x 二次项系数:4
1,一次项系数:0,常数项:1- (5)整理得:054112=--m m
二次项系数:11,一次项系数:4-,常数项:5-
说明:在移项,合并同类项时,易出现符号错误,需格外小心.特别要小心当某项的系数为负数时,指出各项系数时千万不要丢负号.
《一元二次方程》典型例题五
例 把下列关于x 的方程化成一元二次方程的一般式,并指出它的二次项系数,一次项系数及常数项.
(1)d cx abx +=2(0≠ab )
(2)q p x q p +=-2)((q p ≠)
(3)12322--=+-p x p x px
(4)12)3(22-=-+x kx x m
解:(1)02
=--d cx abx (0≠ab )
二次项系数:ab ,一次项系数:c -,常数项:d -
(2)0)()(2=+--q p x q p (q p ≠)
二次项系数:q p -,
一次项系数:0
常数项:q p --
(3)0422
2=++--p px x p x 04)(222=+++-p x p p x
二次项系数:2,
一次项系数:p p --2
常数项:4+p
(4)012)3(22=+--+kx x x m
01)23(2=+--+kx x m
01)1(2=+-+kx x m
二次项系数:1+m ,一次项系数:k -,常数项:1
说明:对于字母系数的方程的整理,应先明确其未知数,再确定各项的系数,特别要注意,一定要讨论所除的二次项系数不能为0,因为一元二次方程只有在这个条件下才是有意义的.
《一元二次方程》典型例题六
例 一元二次方程01422
=-+x x 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 .
分析与解:该一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、4、1-,所以它们的和为5,故填5.
说明:根据一元二次方程的标准式先确定各项的系数及常数项, 然后相加即得所求,要注意常数项包括符号,即为1-.
《一元二次方程》典型例题七
例 方程05)3()2(852=+-+-+-x m x m m m
(1)m 取何值时,是一元二次方程,并求此方程的解;
(2)m 取何值时,方程是一元一次方程.
分析:此题应注意对x 项的指数与系数的讨论.
解:(1)当2852
=+-m m 且02≠-m 时,方程为一元二次方程.
由,2852=+-m m
解得,3,221==m m
又∵ ,02≠-m 得.2≠m
∴ 3=m 时方程为一元二次方程.
将3=m 代入原方程,
得,052=+x 方程无实数解.
(2)由,02=-m 得2=m ,且,03≠-m 这时方程为一元一次方程.
(02≠-m 时,1852=+-m m 和0852=+-m m 均无解.)
说明:解一元二次方程02=++c bx ax 时,0≠a 是关键,在二次项系数是含字母的代数式时,应特别注意这一条件.