2009年全国中考数学压轴题精选精析（四）
41.（09年湖北恩施州）24.如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC ,ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为
y.
（1）．用x 表示∆ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
（09年湖北恩施州24题解析）解:(1)∵ D E ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE ∽△ABC ∴
2
)(BC DE S S ABC ADE =∆∆
即2
4
1x S ADE =
∆ 3分 (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 2
4
1x S y ADE =
=∆ 6分 （3）x ≤5﹤10时，点A '落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S △A 'DE =S △ADE =24
1x
∴DE 边上的高AH=AH '=x 2
1 由已知求得AF=5 ∴A 'F=AA '-AF=x-5 由△A 'MN ∽△A 'DE 知
2
DE A'MN A')H
A'F A'(=∆∆S S
C
B
A
2MN A')5(-=∆x S
∴25104
3
)5(41222-+-=--=x x x x y 9分 （4）在函数2
4
1x y =中
∵0﹤x ≤5
∴当x=5时y 最大为：4
25
10分 在函数
251043
2-+-=x x y 中
当3202=
-=a b x 时y 最大为：325
11分 ∵425﹤3
25
∴当320=x 时，y 最大为：3
25
12分
39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO 分)
（09年黑龙江绥化28题解析）
40.（09年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F
处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO
(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；
四边形四边形CNMN CFGH
S S m
，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝
31，Q 为AE 上一点且QF ＝3
2
，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存
在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。
（09年湖北鄂州27题解析）（1）EO ＞EC ，理由如下：
由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC …2分 （2）m 为定值
∵S 四边形CFGH =CF 2=EF 2－EC 2=EO 2－EC 2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC)
S 四边形CMNO =CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC)·CO ∴1==
CMNO CFGH
S S m 四边形四边形……………………………………………………4分
（3）∵CO=1，323
1
==QF CE ，∴EF=EO=QF ==-3
2
311 ∴cos ∠FEC=
2
1
∴∠FEC=60°， ∴︒=∠∠=︒=︒
-︒=∠30602
60180EAO OEA FEA ，
∴△EFQ 为等边三角形，3
2
=EQ …………………………………………5分
作QI ⊥EO 于I ，EI=
3
1
21=EQ ，IQ=3323=EQ ∴IO=
3
1
3132=-∴Q 点坐标为)31,33(……………………………………6分
∵抛物线y=mx 2+bx+c 过点C(0，1)， Q )3
1
,33(，m=1 ∴可求得3-=b ，c=1
∴抛物线解析式为132
+-=x x y ……………………………………7分
（4）由（3），3323=
=EO AO
当332=
x 时，3
1
13323)332(2=+⨯-=y ＜AB ∴P 点坐标为)3
1
,332(…………………8分 ∴BP=3
2
311=-
AO 方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况如下：
①3
3
232
32=BK 时，932=BK ∴K 点坐标为)1,93
4(
或)1,938( ②32
323
32=BK 时，332=
BK ∴K 点坐标为)1,33
4(
或)1,0(…………10分
