社会统计学第六章

1 n 样本均值X X i 作为总体方差的点估计 值 n i 1
n 1 2 用样本方差S 2 （ X X ） 作为总体方差的点估计 值。 i n 1 i 1
样本方差S 2的平方根，称作样本标 准差S： S S 2，这可作为总体标准差 的点估计值。 当X i
[503.75 6.2022 2.1315 ]即（500.4， 507.1 ） 16 就是说估计袋装糖果重 量的均值在 500.4克与507.1克之间， 这个估计值的可信度为 95%。
• 二、总体频率π的区间估计 • 设π为总体频率，P为样本频率，n为样本容量。 • 总体频率的置信区间为：
• 公式： ˆ • 设总体的未知参数为Q，由样本观察值计算的点估计值为Q • 对于给定的α（0<α<1），满足 ˆ Q Q ˆ ） P（Q 1 ˆ 则称[Q ，Q ]为由 1 的置信区间。
1 称作置信概率、置信度 或置信系数。 表示用置信区间估计的 可靠性。
第六章 参数统计
第一节 统计推论
• 一、定义：统计推论是根据局部资料（样本资料）对总体 的特征进行推断。 • 二、特点 • （一）局部资料的特性某种程度上能反映总体的特性； • （二）一次抽样的结果不能恰好就等于总体的结果 • 三、内容 • （一）通过样本对总体的未知参数进行估计，即参数估计。 • （二）通过样本对总体的某种假设进行检验，即假设检验。
100 100
P(1 P) P(1 P) ，P z 2 ] n n
• 因此，女生人数比例的95%置信区间为[0.247，0.433]
• 三、正态总体方差的区间估计 2 • 公式： (n 1) S 2 ( n 1 ) S 2
P

2
2


2 1 2
第四节 抽样分布
• 抽样分布：从一个已知的总体中，独立随机的抽取含量为n的样 本，研究所得的样本的各种统计量的概率分布。 • 一、样本均值的分布 • 1、总体标准差已知时，样本均值的分布服从μ分布（正态分布） • 从均值为μ，标准差为σ的正态总体中，独立随机地抽取含量为 n的样本， x ， x • 则 n • 由此可知，样本均值是一服从正态分布的随机变量，记为
为显著性水平。表示用 置信区间估计不可靠的 概率。
显然，置信度与显著性 水平之和为 1 。
• • • • •
一、正态总体均值的区间估计 2 μ的区间估计，根据 如果总体分布满足ξ~N（μ， ）。 是否为已知，分为以下两种统计量进行讨论： 2 （一） 为已知 公式为
2
• 例1：
• 例：包糖机某日开工包了12包糖，称得质量（单位：克）分别 为506，500，495，488，504，486，505，513，521，520， 512，485.假设重量服从正态分布，且标准差为σ=10.试求糖包 的平均质量μ的1-α置信区间（分别取值α=0.10和α=0.05）。 • 解：σ=10，n=12， • 计算得x 506 500 495 488 504 486 505 513 521 520 512 485 502 .92 12 • （1）当α=0.10时，1-α/2=0.95， • 查表得Zα/2=Z0.05=1.645 10 x Z 2 502.92 1.645 498.17 n 12 10 x Z 2 502.92 1.645 507.67, 12
m ˆ P n
• 为总体中A成数p的点估计值。 pq ˆ ˆ ˆ D ( P ) • P 的方差D( P) 为： q=1-p
n
•
• （二）大样本总体成数p的区间估计 ˆ 可以看做是n个满足二点分布（0,1）ξ 的均值： • 样本成数 P i
ˆ P

i 1
n
i
• 根据中心极限定理，在大样本情况下（np≥5和n（1-p）≥5）， ˆ 的分布可近似地看做正态分布，因此大样本总体成数p的区间 • P ˆ Z ˆ p P ˆ Z ˆ ) 1 估计公式有： P( P 2 P 2 P • 或置信度为1-α的区间估计为：
1当观测值为所研究的 A类 0 其他 n
X
i 1
i
m表示在样本n次观测中，A类共出现m次。
我们用样本成数 P： 1 n m P X i 作为总体成数估计值。 n i 1 n
• 例1：从某城市的贫困人口中随机抽取的234人，计算出平 均年龄 x 47.2岁，年龄分布的标准差S=12.3岁。求该城市 贫困人口总体的平均年龄和年龄分布的标准差。 • 解：根据点估计值的定义，可以认为该城市贫困人口的平 均年龄μ=47.2岁，年龄分布的标准差为σ=12.3岁。 • 例2：某省人口数为3813万人，从中随机抽取了70405人， 其中残疾人4028人。求该省残疾人的总数。 4028 P 0.0572 • 解：样本中残疾人的频率 70405 • 可以认为总体残疾人的频率Π=0.0572 • 因此，该省残疾人的总数为： • N=0.0572×3813=218.1（万人） • 即该省残疾人总数为218.1万残疾人。
n • 将均值标准化，则 x - ，其中标准化的分母为均值的标准 误。 n
X服从N（ ,
2
）
• 2、总体标准差未知，样本均值的分布服从t分布 • σ未知时，可用样本标准差s代替，标准化变量并不服从正 态分布，而服从具有n-1自由度的t分布 x - ，其分母 t 为样本标准误差。 s n • 自由度：独立观测值的个数。在这里因为计算s时，所使 用的n个观测值，受到平均数x的约束，这就等于有一个观 测值不能独立取值，因此自由度df=n-1。
第二节 名词解释
• • • • • 一、总体即研究对象的全体。 二、样本与简单随机样本 样本：从总体中按一定的方式抽出的那一部分。 样本大小或样本容量：样本中包含的个体数目n。 简单随机样本：被抽样的数据不但是随机变量，而且相互独立， 遵从同一分布（即同总体所遵从的分布）。
• 三、统计量 • 从总体中抽取容量为n的样本，可以看做n个独立同总体的 分布的随机变量，ξ1，ξ2，...，ξn。那么，随机变量ξ1， ξ2，...，ξn的任何函数f（ξ1，ξ2，...，ξn）也是随机变量。 我们把函数f（ξ1，ξ2，...，ξn）叫做统计量。 • 根据随机变量ξ1，ξ2，...，ξn的观测值x1、x2，...，xn计算 得到的一切统计数字特征（如均值、方差）可以看做是相 应的统计量的观测值。 • 如样本均值
1 n 1 n x xi是统计量 i的观测பைடு நூலகம் n i 1 n i 1
第三节 参数的点估计
• 参数估计，根据抽样结果来合理地、科学地猜一猜总体的 参数大概是什么？或者在什么范围？ • 其一，点估计。即用样本计算出来的一个数来估计未知参 数。 • 其二，区间估计。通过样本计算出一个范围来对未知参数 进行估计。
• 即μ的置信度为90%的置信区间为（498.17，507.67）。
• （2）当α=0.05时，1-α/2=0.975 • 查表得 • Zα/2=Z0.025=1.96
x Z 2 x Z 2
10 502.92 1.96 497.26 n 12 10 502.92 1.96 508.58, 12
S 85 X Z 2 810 1.96 810 17.56 n 90 （792.44， 827.56）
• 于是，我们有95%的把握认为，该地区每户居民平均用于服 装消费的支出大约介于792.44元到827.56元之间。
• 二、总体成数（二项总体参数p）的估计 • （一）总体成数p的点估计 • 如果在样本容量为n的简单随机抽样中，对于所要研究的A ˆ 共出现m次，则样本成数 P
n
ˆ 为总体成数p的点估计值 • 其中，P p(1 p) • 1-α为置信度。 p ˆ n ˆ • 当p未知情况下，可用 ˆ 代替：p≈ P P
ˆ Z P
ˆ ， P Z 2 P ˆ ˆ 2 p

• 例：某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重复抽样抽取 样品200只，样本优质率为85%，试计算当把握程度为95%时优 质品率的区间范围。 • 解：由题意可知： ˆ 1 p ˆ 0.15 ˆ 0.85；q • n=200， p • 1-α=0.95,α=0.05,Zα/2=Z0.025=1.96
0.85 0.15 0.85 - 1.96 0.8005 200 0.85 0.15 0.85 1.96 0.8995 200
• 所以，总优质品率p的置信度为95%的置信区间为 • 80.05%≤p≤89.95%
• 三、大样本二总体均值差的区间估计 • 大样本二总体均值差μ1-μ2的区间估计公式为：
• 二、样本方差 s 的分布—— 分布 • 从方差为 2 的正态总体中，随机抽取含量为n的样本，可 2 2 计算出样本方差 s 。在讨论样本方差 s 的分布时，通常 2 并不直接谈 s 的分布，而是将它标准化，得到一个不带 任何单位的纯数。该纯数服从n-1自由度的卡方分布。
2
2
•
n 1

2
[P z 2
• 例：某工科院校从今年的新生中随机抽取了100人，其中女生34 人。求今年女生人数比例的95%置信区间。 • 解：已知n=100，m=34，1-α=0.95。 • p=34/100=0.34 • 查表得zα/2=z0.025=1.96。 P(1 P) P(1 P) [P z ， P z ] 2 2 • 将上述条件代入： n n 0.34 0.66 0.34 0.66 • 可得置信区间： [0.34 1.96 ， 0.34 1.96 ]

• 即μ的的置信度为95%的置信区间为（497.26，508.58）。 • 从上例可以看出：当置信度1-α较大时，置信区间也较大； 当置信度1-α较小时，置信区间也较小。
• （二） 2为未知 • 公式：
• 例：有一大批糖果，现从中随机抽取16袋，称得重量（克） 如下： • 506 508 499 502 504 510 497 512 • 514 505 493 496 506 502 509 496 • 设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体均值μ的置信 度为0.95的置信区间。 • 解：α=0.05，k=n-1=15 • 查t（n-1）分布表可知：t0.025（15）=2.1315， • 计算得 x 503.75, s 6.2022 • 得μ的置信度为95%的置信区间

1
第六节 大样本区间估计
• 大样本一般指样本容量n≥30，而在社会科学中可取n≥50. • 一、大样本总体均值μ的区间估计 • 公式：
• 例：为了了解居民用于服装的支出情况，随机抽取90户居民 组成一个简单随机样本，计算得样本均值为810元，样本标 准差为85元，试建立该地区每户居民平均用于服装消费支出 的95%的置信区间。 • 解：设用随机变量X表示居民的服装支出。根据题意， X 810 • 元，S=85元，n=90，与置信度95%相对应的α=0.05，查标 准正态分布表，得Z0.05/2=1.96.
S
2
） ~（n 1
2
第五节 总体特征值的区间估计
• 原因：用样本观察值计算的点估计值与总体特征值的距离 有多大不知道，同时，点估计值与总体特征值完全相同的 概率极小，用点估计值来估计总体特征值几乎必然犯错误。 因此，我们希望估计出一个范围，并且希望知道这个范围 包含总体特征值的可能性有多大。 • 区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个 值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可 能范围。 • 包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指 标落在这个可能范围内的概率。