能量守恒

(1)货物与传送带间的动摩擦因数 μ 多大？ (2)为了将货物送上储货平台，工人进行了适当调整，使货物 滑上平台后刚好停止。分析说明工人采取了什么措施及装置应满 足的条件？ (3)在满足(2)的条件下，货物获得的机械能与系统增加的内能 之比UE多大？
[解析] (1)货物放在传送带后，最初做匀加速运动，设位 移为 s1，相同时间内传送带的位移为 s2，传送带的速度为 v， 由动能定理得 μmgs1＝12mv2－0
B．吊绳越短，小朋友在最低点越容易断裂
C．吊绳越长，小朋友落地点越远
D．吊绳长度是吊绳悬挂点高度的一半时，小朋友落地点最远
解析：选 D
据机械能守恒定律，小朋友下摆过程有mgl＝
1 2
mv2，在最低点小朋友对吊绳的拉力有T－mg＝m
v2 l
，所以T＝
3mg，可见吊绳断裂情况与吊绳长短无关，选项A、B错误。吊
由于s≤L，所以应满足L≥2s0的条件。
(3)在满足(2)的条件下，货物获得的机械能等于增加的重力
势能，即 mgh，由功能关系知系统产生的热量等于增加的内能，
也等于克服摩擦力做的功，即 Q＝U＝μmgΔs
货物相对传送带的位移 Δs＝s＝2s0
解得UE＝2μmmgghs0＝wk.baidu.comμhs0＝1。
[答案]
h (1)2s0
机械能守恒定律
机械能守恒定律的三种表达式及用法 (1)守恒观点：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2，运用此法求 解只有一个物体(实际是单个物体与地球组成的系统)的问题较 方便，注意选好参考平面； (2)转化观点：ΔEp＝－ΔEk，此法的优点是不用选取参考 平面； (3)转移观点：ΔE增＝－ΔE减，此法适用于求解两个或两个 以上物体(实际是两个或两个以上物体与地球组成的系统)的问 题。
(2)能量守恒定律同样适用于所有过程，分析时只要分析出 哪些能量减少，哪些能量增加，根据减少的能量等于增加的能 量列方程即可；
(3)机械能守恒定律只是能量守恒定律的一种特殊形式，但 在力学中也非常重要。很多题目都可以用两种甚至三种方法求 解，可根据题目情况灵活选取。
1. 为了节能，某货场设计了如图所示的送货装置，长为 L 的水平传送带右端 B 与一光滑弧面相连，弧面顶端为储货平台。 将货物无初速度地轻放在传送带左端 A，通过传送带到达 B 端时 具有一定动能，货物可以利用此动能滑上储货平台，平台离传送 带高 h。在安装调试时传送带以某一速度匀速运动，工人发现货 物只能上滑到h2处。为了进一步研究货物不能滑上平台的原因，工 人在传送带上用粉笔沿传送带画了一条直线，当货物放上去后发 现有一段长为 s0(s0<L)的粉笔线被货物擦过，那么：
(2)见解析
(3)1
2. 固定在竖直平面内的半圆形轨道与 竖直轨道平滑连接，竖直轨道的上端有一个大 小可忽略的小定滑轮，半圆形轨道的半径为R， C为轨道的最低点，竖直轨道高也为R，两个质 量分别为2m和m的小球A和B用轻质细线连在一 图5－13 起，所有接触面均光滑，如图5－13所示。开始时用手固定B、 使A紧靠近滑轮，突然撤去手后，A由静止开始下滑，求A经过 C点时的速度。
解析：(1)从图线可知初动能为2 J，则 Ek0＝12mv2＝2 J，v＝2 m/s。 (2)在位移为4 m处物体的动能为Ek＝10 J，在位移为8 m处物体 的动能为零，这段过程中物体克服摩擦力做功。 设摩擦力为Ff，则 －Ffx2＝0－Ek＝0－10 J＝－10 J Ff＝－－140 N＝2.5 N
v1＝
2[FLsin
θ－mgl1－cos m
θ]＝2.73
m/s
(3)设小球的速度为v2，如图所示 设框架槽对小球做的功为W，框架槽 的质量为m1， 对框架槽，由动能定理有： FLsin θ－W＝12m1(v2cos θ)2 对小球，由动能定理有： W－mgL(1－cos θ)＝12mv2 2 联立得：v2＝2.40 m/s。 【答案】 (1)2 J (2)2.73 m/s (3)2.40 m/s
（1）明确小球的初末位置 （2）注意小球运动过程中重力对其做负功
(1)求水平力F做的功； (2)若不计框架槽的质量，求小球在此位置的速度的大小； (3)若框架槽的质量为0.2 kg，求小球在此位置的速度的大小。
【精讲精析】 (1)水平力做的功：
W＝FLsin θ＝2 J
(2)设小球在此位置的速度为 v1，由动能定理有： FLsin θ－mgL·(1－cos θ)＝12mv1 2
专题 能量守恒
索引 1. 动能定理 2. 机械能守恒定律 3. 能量守恒
动能定理
1.应用动能定理解题的基本步骤
2．应用动能定理解题时需注意的问题 (1)动能定理适用于物体做直线运动，也适用于曲 线运动， 适用于恒力做功，也适用于变力做功。 (2)动能定理是计算物体的位移或速率的简捷方法， 当题目中涉及到力和位移时可优先考虑动能定理。 (3)若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用 动能定理时，可以分段考虑，也可以把全过程作为一 个整体来处理。
【典例·精析】
例1. 如图所示，用轻质细绳悬挂一质量 为m＝0.5 kg的小圆球，圆球套在可沿水平 方向移动的框架槽内，框架槽竖直放置在 水平面上。自细绳静止在竖直位置开始，框 架槽在水平力F＝20 N的恒力作用下移至图中位置，此时细绳 与竖直方向的夹角为θ＝30°，绳长L＝0.2 m，不计一切摩擦， g取10 m/s2。 【思路点拨】解答本题应注意以下两点
[解析] 对A、B，从A静止释放到运动至C点，设A运动至 C点时A、B的速度分别为v1、v2(关系如图5－14所示)。
图5－14 由几何关系知小滑轮到 C 的距离为 s＝ 5R
cos
θ＝
1 5
因为细线长度不变，则B上升的高度H＝s
在A下滑到C点的过程中，A、B系统机械能守恒，有
(2m)g(2R)－mgH＝12(2m)v1 2＋12mv2 2
s1＝v2t，s2＝vt，s0＝s2－s1 货物滑上弧面后机械能守恒，有12mv2＝mgh2 解得 μ＝2hs0。
(2)由于s0<L，货物与传送带间的动摩擦因数一定，因此可 用增大加速距离的方法来提高货物离开传送带时的速度，提高 传送带的速度即可增大加速距离，从而提高货物离开传送带时 的速度，使12mv0 2＝mgh即可满足要求，此时传送带的长度应等 于或大于货物加速的距离，即μmgs＝12mv0 2，得s＝2s0
【对点·提能】
质量m＝1 kg的物体，在水平拉力F(拉力方 向与物体初速度方向相同)的作用下，沿粗 糙水平面运动，经过位移4 m时，拉力F停 止作用，运动到位移是8 m时物体停止，运 动过程中Ek－x的图线如图所示。(g取10 m/s2)求： (1)物体的初速度多大？ (2)物体和水平面间的动摩擦因数为多大？ (3)拉力F的大小。
【精讲精析】选 C 设 A、B 的质量分别为 2m、m，当 A 落到 地面，B 恰运动到与圆柱轴心等高处，以 A、B 整体为研究对象， 机械能守恒，故有 2mgR－mgR＝12(2m＋m)v2，当 A 落地后，B 球以速度 v 竖直上抛，到达最高点时又上升的高度为 h′＝2vg2， 故 B 上升的总高度为 R＋h′＝34R，选项 C 正确。
2．荡秋千一直是小朋友们喜爱的运动项目，
秋千上端吊环之间不断磨损，承受拉力逐
渐减小。如图5－9所示，一质量为m的小
朋友在吊绳长为l的秋千上，如果小朋友从
与吊环水平位置开始下落，运动到最低点
时，吊绳突然断裂，小朋友最后落在地板 上。如果吊绳的长度l可以改变，则 ( )
图5－9
A．吊绳越长，小朋友在最低点越容易断裂
(1)若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后， 使小球恰好在竖直平面内做圆周运动，求此高度h；
【典例·精析】
1．(2012·上海高考)如图5－2所示，可视为质点
的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨
过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质
量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A
由静止释放，B上升的最大高度是 ( )
A．2R B．5R/3
C．4R/3
D．2R/3
【思路点拨】本题主要考察机械能守恒定律及上抛运动等知 识，解答本题应注意以下三点： （1）外力没有对A、B组成的系统做功，系统机械能守恒 （2）在A球落地前A、B两球的速度大小相等 （3）A球落地后B将做竖直上抛运动
【思路点拨】本题主要考查平抛运动，动能定理和机械 能守恒定律等相关知识，解答本题时注意以下三点：
（1）“物体飞离桌面”说明物体做平抛运动 （2）“桌面粗糙”说明物体受到的摩擦力做负功
【精讲精析】 (1)由平抛运动规律，有
竖直方向h＝gt2 水平方向s＝vt 得水平距离s＝v＝0.90 m
(2)由机械能守恒定律，动能 Ek＝21mv2＋mgh＝0.90 J (3)由动能定理，有－μmg·l＝12 mv2－21mv20
得初速度大小 v0＝ 2μgl＋v2＝4.0 m/s
答案：(1)0.90 m (2)0.90 J (3)4.0 m/s
【对点·提能】
1.如图所示，一倾角为 θ＝30°的光滑斜面底端有 一与斜面垂直的固定挡板 M，物块 A、B 之间用 一与斜面平行的轻质弹簧连接，现用力缓慢沿斜面向下推动物 块 B，当弹簧具有 5 J 弹性势能时撤去推力释放物块 B；已知 A、 B 质量分别为 mA＝4 kg，mB＝2 kg，弹簧的弹性势能表达式为 Ep＝21kx2，其中弹簧的劲度系数 k＝1 000 N/m。x 为弹簧形变量。 g＝10 m/s2，求：
绳断裂后，小朋友做平抛运动，设吊绳的悬挂点为O点，且O
点距地面距离为H，则有H－l＝
1 2
gt2，平抛运动的水平位移x＝
vt，整理得x＝2 H－ll ，所以当吊绳长度是吊绳悬挂点高度
的一半时，小朋友落地点最远，选项D正确。
能量守恒
能量问题的解题工具一般有动能定理，能量守恒定律，机 械能守恒定律。
(1)动能定理使用方法简单，只要选定物体和过程，直接列 出方程即可，动能定理适用于所有过程；
因Ff＝μmg 故μ＝mFgf ＝21.05＝0.25。 (3)物体从开始到移动4 m这段过程中，受拉力F和摩擦力Ff的作 用，合力为F－Ff， 根据动能定理有(F－Ff)·x1＝Ek－Ek0 故得F＝Ek－x1Ek0＋Ff＝(10－ 4 2＋2.5) N＝4.5 N。 答案：(1)2 m/s (2)0.25 (3)4.5 N
2．(2012·北京高考)如图所示，质量 为m的小物块在粗糙水平桌面上做直 线运动，经距离l后以速度v飞离桌面， 最终落在水平地面上。已知l＝1.4 m， v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝ 0.25，桌面高h＝0.45 m。不计空气阻气，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)小物块落地点距飞出点的水平距离s； (2)小物块落地时的动能Ek； (3)小物块的初速度大小v0。
B的速度大小等于A的速度沿细线方向的分速度大小，有v2 ＝v1cos θ
以上各式联立解得v1＝
10gR4－ 11
5。
[答案]
10gR4－ 5 11
3.一轻质细绳一端系一质量 为m＝0.05 kg的小球A，另一端挂在光 滑水平轴O上，O到小球的距离为L＝ 0.1 m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离 处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图所示，水平距离s ＝2 m。现有一滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，与小球发 生碰撞，每次碰后，滑块与小球速度均交换，已知滑块与挡板 碰撞时不损失机械能，水平面与滑块间的动摩擦因数为μ＝0.25， 若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g取10 m/s2，试 问：
(1)当弹簧恢复原长时，物块B的速度大小； (2)物块A刚离开挡板时，物块B的动能。
[解析] (1)当Ep＝5 J时，弹簧压缩x1， 由Ep＝12kx1 2，得x1＝0.1 m， 当弹簧恢复原长时，由机械能守恒定律知， Ep＝12mBv2＋mBgx1·sin θ， 可得v＝2 m/s。
(2)当物块A刚离开挡板时，弹簧伸长x2，则 kx2＝mAg·sin θ， 可得x2＝0.02 m， 由系统机械能守恒得 Ep＝EkB＋12kx2 2＋mBg(x1＋x2)·sin θ， 解得EkB＝3.6 J。 [答案] (1)2 m/s (2)3.6 J