反比例函数的图象与性质
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反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型,其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x,其中k为常数,且k不等于0。
根据函数的定义域和值域,可得反比例函数的图像具有如下特点:1. 对称轴:对于反比例函数y=k/x来说,其对称轴为y轴和x 轴,即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线:反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴(y=k/x中对称轴为y轴和x轴)形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时,函数值趋近于0;当y趋近于正无穷大或负无穷大时,函数值趋近于0。
3. 图像形状:反比例函数的图像呈现双曲线的形状,即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外,反比例函数还具有以下性质:1. 变化趋势:反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时,因为分母逐渐增大,所以函数值y会逐渐减小;反之,当x减小时,函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系:反比例函数中,自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时,因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域:反比例函数在定义域内除了零点x=0外,它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性:反比例函数在定义域内通常是单调的,当自变量增大时,因变量会单调减小;当自变量减小时,因变量会单调增大。
5. 特殊情况:当反比例函数中的常数k为正数时,其图像位于第一象限和第三象限;当k为负数时,图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述,反比例函数的图像呈现双曲线的形状,具有对称轴、渐近线等特点。
同时,反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中,反比例函数具有广泛的应用,比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质,可以更好地理解和应用数学知识。
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成,性质分别为:①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像:
具体性质:
①单调性:反比函数是具有单调性的,当函数内容k大于零的时候,图像分别位于第一三象限,而在每一个象限的内部,从左往右来数,y是随着x的增大而减少,如果K小于零的时候,图像分别位于第二四象限,在每一个象限的内部,y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候,函数在x小于零上是一个减函数,而在x大于零的时候,也是为减函数。
在k小于零的时候,函数在x小于零上为增函数,在x大于零的时候同为增函数。
②面积:在一个反比例函数上面取两个点,这两个点可以随意的取,然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线,而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形,而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上,找到一个点,向X/Y轴分别做一个垂线,设置一个围好的矩形,而这个矩形则为QOWM,这个垂线分别位于y轴和x轴,则围成形状的这个面积为绝对值得K,则连接这个矩形的对角线为OM,则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达:对于反比例函数的图像来说的话,不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴,K值相等的反比例函数图像是相互重合的,k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的,而绝对值得K越大的话,反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性:反比例函数是一种中心对称的图形,对称中心是原点,而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形,随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的,图像关于原点对称。
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型,其图像非常有特点,具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质,以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x,其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式,我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性:我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说,如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上,那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线:对于反比例函数 y = k/x,当 x 趋近于 0 时,y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说,反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线,分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势:反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴,随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说,当x 趋近于正无穷大时,y 趋于 0;当 x 趋近于负无穷大时,y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外,反比例函数还具有一些性质,对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域:反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数,值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性:当 x1<x2 时,对于反比例函数,由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0,所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说,反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点:反比例函数的零点为x=0,即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时,反比例函数的值不会等于零,因此没有其他零点。
§11.2 反比函数的图像与性质(1)
教学目标:
1.类比画一次函数图象的方法,用描点法画出反比例函数的图象;
2.利用反比例函数的图象得到其基本特征,认识表达式、列表、图象是相互印证、和谐统一的;
3.在画出反比例函数的图象,并探究其性质的过程中,体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想.
一、学习导入
复习提问
(1)大家以前还学过哪些函数?研究这些函数时,我们是从哪几个方面入手的?
(2)我们已经学习了反比例函数的定义,接下来还应研究它哪方面的知识呢?
(3)回顾用描点法画出一次函数图象的步骤:列表、描点、连线
设计意图:结合复习研究函数的一般方法,引出本节课的学习内容。
让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质,为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫.
二、探究新知
【探究一】 利用手中的网格纸,画出反比例函数x
y 6 的图象. 师生活动:(1)学生独立操作,用“描点”法画函数图象,教师巡视,收集并展示学生画出的典型图象.
(2)针对所展示的作图里出现的问题,让学生互相完善和补充。
教师适时提问:选取自变量的值时,要注意什么?连线时要注意什么?图象延伸的趋势是怎样的?为什么?教师引导学生思考和回答。
(3)教师小结作图的注意事项,并通过课件演示作图规范。
设计意图:图象是直观地描述和研究函数的重要工具,通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤,可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识。
列表时,关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义(即x ≠0)。
同时,所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性,又不至于使自变量对应的函数值太大或太小,以便于描点和全面反映图象的特征;连线时按照自变量从
小到大的顺序顺次连接各点,注意图象末端的延伸和延伸的趋势,得到反比例函数的图象。
根据学生作图容易出现图象末端延伸趋势有误的问题,结合作图实例的对比,有针对性的引导学生从解析式的分析入手,让学生先进行“数”( x ≠0,y ≠0,k ≠0)或“式”(解析式中x ,y 的反比例关系)的分析,进而过渡到对“形”(图象)的认识。
使学生初步理解双曲线与x 轴、y 轴“越来越靠近”但不相交的趋势。
同时为探究函数的性质做好准备。
问题1 观察反比例函数x
y 6=和x y 12=的图象,它们有哪些共同特征? 师生活动:学生观察,思考,四人小组讨论,归纳.学生代表发表观点和看法,互相交流和补充,形成统一的认识。
教师引导和评价,给出双曲线的名称.
设计意图:学生感受“形”的特征,类比对一次函数图象和性质的学习,容易观察得到函数图象的形状、位置和变化趋势,对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。
反比例函数具有丰富的性质,且九年级学生思维能力强,适当放开,以小组讨论的形式给学生充分交流,既激发学生探究问题的主动性和热情,又给学生一个更广阔的思维空间,培养了学生的合作交流能力。
注意把握好“度”,对双曲线的渐进性、对称性以及相对于原点的位置等等,若学生有所发现,教师给予肯定,但不作基本要求。
问题2 你能由列表中数值的关系,或者由函数解析式来解释这些性质吗?
师生活动:学生先独立思考,再四人小组合作交流.学生回答,教师引导和评价.
设计意图:函数的表示法有解析式法、列表法和图象法。
函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上较容易整体把握函数的性质,但是难以深入局部和细节;而解析式可以对函数性质进行无限“解读”,但不够直观。
学生观察函数图象,归纳得到函数的性质后,引导学生结合列表中数值的关系,或者观察解析式的特点,去解释说明这些性质,这样结合函数图象和解析式去研究函数的性质,既深化了学生对函数性质的认识,又体现了数形结合的思想。
追问1 对于一般的k >0的反比例函数,是否也具有同样的性质呢?
师生活动:学生猜想,教师演示几何画板,在k >0的前提下赋予不同的k 值,学生观察所得到的反比例函数图象的特征,引导学生发现“变化中的规律性”。
设计意图:通过几何画板演示,验证猜想,使学生经历从特殊到一般的过程,
归纳得到k>0时,反比例函数的图象特征和性质。
问题
3 猜想反比例函数
x
k
y=(k<0)的图象和性质是怎样的呢?你是怎么猜的?
师生活动:学生猜想,回答.
设计意图:引导学生根据已有经验猜想,使学生巩固在探究一中获得的经验和思考方法。
同时,引出对k<0的反比例函数的图象和性质的探究。
【探究二】
请类比刚才的探究过程,探究反比例函数
x
k
y=(k<0)的图象和性质,验证一下你的猜想。
追问1 类比k>0的情况,你能归纳k<0时函数的性质吗?
师生活动:学生画出
6
y
x
=-的反比例函数,借鉴画反比例函数
x
y
6
=或
x
y
12
=的图象的经验,自主画出函数图象,教师巡视指导。
作图完成后,展示作品,学生说出函数的图象特征和性质。
教师演示几何画板,赋予k不同的负值,引导学生发现“变化中的规律性”。
设计意图:通过再次画出反比例函数的图象,使学生巩固作图经验。
同时,在总结说出反比例函数的图象特征的过程中,使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力,以及经历画出函数图象,并利用函数图象研究函数性质的过程。
【小结归纳】
函数图象形状图象位置变化趋势
x
k
y=
师生活动:教师帮助学生梳理、归纳。
设计意图:通过归纳,培养学生的抽象概括能力。
三、应用新知
(1)下列图象中是反比例函数图象的是().
(2)如图所示的图象对应的函数解析式为( ).
A. x y 5=
B. 32+=x y
C. x
y 4= D. x y 3-= 第(2)题图 第(3)题 (3)填空:
① 反比例函数x
y 5=
的图象在第______象限. ② 反比例函数x k y =的图象如图所示,则k ____0;在图象的每一支上,y 随x 的增大而______.
师生活动:师生问答,引导学生关注各题对应考查的知识点。
设计意图:通过练习,实现知识向能力的转化。
四、 课堂小结
师生共同回顾本节课所学主要内容,学生回答以下问题,最后教师总结各环节的学习方法和数学思想。
(1)这节课我们从哪几个方面去研究反比例函数?
(2)在这些环节中你学到了哪些知识?
(3)从中体会到了哪些数学思想方法?
设计意图:教师引导学生回顾本节课的学习过程,梳理知识脉络,归纳知识点和思想方法,使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为完整、全面的认识。
结束语:今天,我们通过反比例函数图像与性质的学习与探究,对比一次函数的学习,我们发现图像由“一条”到“两支”,由“连续”到“间断”,形态由“直”到“曲”,由与坐标轴“相交”到“无限趋近”.这是知识与方法的一次拓展,是理解与认识的一次升华,是思维上的一次飞跃.
以后,我们将继续用“数形结合”的视角
研究反比例函数更多的性质,探究更多新函数.
五、分层作业,共同提升
1.必做题:
在同一坐标系中,用描点法画出y = 4
x和y =-
4
x的图像.
2.选做题:
利用今天研究函数的方法,探究函数y = x+1
x的性质,请写出y = x+
1
x的3条性质.。