北京理工大学高等流体力学-计算流体力学共161页文档

高等计算流体力学讲义（3）§2 Riemann 问题1．预备知识：Euler 方程解的结构我们讨论Euler 方程解的结构。

在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有const R =±，沿au dt dx±= （1） 其中 a u R 12-±=±γ。

且全场 S const =。

（2）在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。

1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均不为常数。

这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。

2）均匀流：Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均为常数。

此时，令R R ±±=， 有：0000()/21()4u R R a R R γ+-+-=+-=-，可见，此时流动是均匀的。

3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++--==）。

以0R R ++=的情况为例。

此时021R u a R γ++=+=-。

（3） 且沿dxu a dt=-，有 21u a const γ-=-。

这个常数具体的数值与特征线的起点有关。

由此我们知道，沿dxu a dt=-，有00()/21()4u R const a R const γ++=+-=-。

这说明，沿dxu a dt=-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。

由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线dx u a dt =-也为常数。

参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt=（或流体质点）从左侧穿过特征线dxu a dt=-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。

简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。

设流线与dxu a dt=-交点处，流线的切线方向为ξ 。

把（3）式沿ξ求方向导数，得：201u a ξγξ∂∂+=∂-∂ 当0uξ∂>∂，有()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。

高等计算流体力学讲义（2）第二章 可压缩流动的数值方法§1. Euler 方程的基本理论 0 概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。

其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。

所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。

在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。

Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。

下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。

1非线性守恒系统和Euler 方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式=∂∂+∂∂xF tU ，0,>∈t R x（1）其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。

T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：0)(lim=→U F U即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。

守恒律的物理意义设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。

如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =⎰⎰RR。

即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。

多维守恒律可以写为)(=++∙∇+∂∂k H j G i F tU（2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。

守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式)(=∂∂+∂∂xU U A tU （3）A 是m m ⨯矩阵，称为系数矩阵或Jacobi 矩阵，其具体形式为111122221212.........m m m m mm f f f u u u f f f u u u A f f f u u u ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦（4），容易验证：F U Axx∂∂=∂∂，通常也记F A U∂=∂。

高等计算流体力学讲义（4）§5. Riemann 问题的近似求解器(Ⅰ)：HLL 方法一．Godunov 格式和Riemann 问题考虑下列Euler 方程：()0t x U F U += （1）要求在适当的初边值条件下求（1）式的数值解。

前面已经讲过，求解(1)式的显式格式可以写为：11221n ni i ii t U U F F x ++-∆⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∆ （2） 在采用Godunov 格式时：()1122(0)i i F F U ++= （3）其中12(0)i U +是Riemann 问题的精确解12(/)i U x t +在/0x t =时的值。

而12(/)i U x t +是下列初值问题（Riemann 问题）的解：()00(,0)0t x LR U F U U ifx U x U ifx +=⎫⎪<⎧⎬=⎨⎪>⎩⎭（4）在采用零阶重构时：1,i L i R U U U U +== （5） 为了使以后的讨论适用于多维问题，我们考虑多维问题的x-分裂形式，即在（1）中，认为：2u u u p U F v uv E uH ρρρρρρρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）（这里只考虑二维问题，但容易推广到三维问题）。

由于Riemann 问题须迭代求解计算量很大；而且一般的非线性双曲型守恒律的Riemann 问题可能不存在解析解，所以有必要发展Riemann 问题的近似解法。

近似解法可以分为两大类（1）在Riemann 问题的提法是准确的条件下求近似解；（2）求近似的Riemann 问题的精确解。

二．Riemann 问题的HLL 近似(Harten-Lax-van Leer)Harten 等提出，（4）式的解可以近似写为下列形式：(,)xtLL hll x t L Rx tRRU if D U x t U if D D U ifD ⎧≤⎪=≤≤⎨⎪≤⎩ （7）其中L D 、R D 是Riemann 问题的解中左波和右波运动速度的近似值。

高等计算流体力学讲义（5）§7. TVD 格式一、背景1.求解线性波动方程0t x u au a const +==的经典差分格式 （1）一阶迎风格式（First order ）11100n nj j n nj j nnj j u u a u u a u u a λ++-⎧-<⎪=-⋅⎨->⎪⎩， 其中txλ∆=∆。

上式也可以写为： 11/21/21/2111/211()()()22()()22n n n n j j j j n nn n nj j j j j n n n n n j j j j j u u f f a a f u u u u a a f u u u u λ++-+++---=--=+--=+--（2）Lax －Friedrichs 格式 （First order ）()111111202n nn n n jj j j j u u u u u a t x +-++--+-+=∆∆或11/21/21/2111/211()1()()22()()22n n n nj j j j n n n nn j j j j j n n n n n j j j j j u u f f a f u u u u a f u u u u λλλ++-+++---=--=+--=+-- （3）Lax －Wendroff 格式 （second order ）()()1211112222n n n n j j j jn n n j j j uu u u a t au u u txx++-+---∆+=-+∆∆∆。

或11/21/221/21121/211()()()22()()22n n n n j j j j n n nn n j j j j j n n nn n j j j j j u u f f a a fu u u u a a f u u u u λλλ++-+++---=--=+--=+--（4）Warming －Beam 格式 （Second order ）()()()()12122121212212342022342022n n nn n jj j j jn n n j j j n n n n n j j j j jn n nj j j uu u u u a t au u u a txxu u u u u a t au u u a txx+----+++++-+-∆+=-+>∆∆∆-+--∆+=-+<∆∆∆2．二阶以上的差分或有限体积格式在间断附近的解可能会出现振荡。

第1章流体力学与计算流体力学基础流体力学是力学的一个重要分支，它主要研究流体本身的静止状态和运动状态，以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律，在生活、环保、科学技术及工程中具有重要的应用价值。

计算流体力学或计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics，CFD），是用电子计算机和离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的一个分支。

本章先介绍流体力学中支配流体流动的基本物理定律，然后在此基础上介绍用数值方法求解流体力学问题的基本思想，进而阐述计算流体力学的相关基础知识，最后简要介绍常用的计算流体力学商业软件。

学习目标：•学习流体力学的基础知识，包括基本概念和重要理论；•学习计算流体力学的相关理论和方法；•了解CFD软件的构成；•了解常用的商业CFD软件。

1.1 流体力学基础流体力学是连续介质力学的一个分支，是研究流体（包含气体及液体）现象以及相关力学行为的科学。

1.1.1 流体力学概述1738年，伯努利在他的专著中首次采用了水动力学这个名词并作为书名；1880年前后出现了空气动力学这个名词；1935年以后，人们概括了这两方面的知识，建立了统一的体系，统称为流体力学。

在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，因此流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。

大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是水面。

大气运动、海水运动（包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等）乃至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。

20世纪初，世界上第一架飞机出现以后，飞机和其他各种飞行器得到迅速发展。

20世纪50年代开始的航天飞行，使人类的活动范围扩展到其他星球和银河系。

航空航天事业的蓬勃发展是同流体力学的分支学科——空气动力学和气体动力学的发展紧密相连的。

这些学科是流体力学中最活跃、最富有成果的领域。

石油和天然气的开采、地下水的开发利用，要求人们了解流体在多孔或缝隙介质中的运动，这是流体力学分支之一——渗流力学研究的主要对象。