电磁场与电磁波总结
第1章 场论初步
一、矢量代数
A •
B =AB cos
A B ⨯=AB e AB sin
A •(
B
C ) = B •(C
A ) = C •(A
B )
A
(B
C ) = B (A •C ) – C •(A •B )
二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系
矢量线元 x y z =++l e e e d x y z
矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz
单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系
矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = d d d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e z
z z ρϕϕρρϕ
3. 球坐标系
矢量线元 d l = e r d r + e r d e r sin d
矢量面元 d S = e r r 2sin d d 体积元 dv = r 2sin d r d d
单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕ
θϕϕθ
cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
ϕϕϕϕϕ
sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
θϕθϕθϕ
θθϕθϕθϕ
ϕ
sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦θϕϕθθθθ
三、矢量场的散度和旋度
1. 通量与散度=⋅⎰A S S
d Φ
0lim
∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A S
v d div v
2. 环流量与旋度=⋅⎰A l Ñl
d Γ max
n 0
rot =lim
∆→⋅∆⎰A l
A e Ñl
S d S
3. 计算公式
∂∂∂∇=
++∂∂∂⋅A y x z
A A A x y z
11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A z
A A A z
ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=
++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕ
θ
θθθθϕ
x y z ∂
∂∂
∇⨯=
∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂
∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕ
ρ
ϕρρϕρ sin sin ∂∂∂
∇⨯=∂∂∂e e e A r r z
r r r A r A r A ρ
ϕ
θθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理
⋅=∇⋅⎰⎰A S A ÑS
V
d dV ⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S Ñl
S
d d
四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度
00()()lim
∆→-∂=∂∆l P u M u M u l
l
cos cos cos ∂∂∂∂=
++∂∂∂∂P u
u u u
l
x y z
αβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂=
=+∂∂∂∂e e e +e n x y z u u u u u n x y z
2. 计算公式
∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x
y z u u u
u x y z
1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z
ρ
ϕρρϕ
11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r
u u u
u r r r z
θϕ
θθ 五、无散场与无旋场
1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A
2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u 六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系
2222
2222222
2222
2
2
2
2
2
222
22222222
2∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=
++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z z
y
y
y
x x x z z z x y z u u u
u A A A x y z
A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z
，，
2. 圆柱坐标系
222
222
2222
2222
111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝
⎭A e e e z z u u u
u z A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕ
ρρϕρρϕ
3. 球坐标系
22
222222
111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=+
+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u u
u r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2
22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2
2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理
如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为
()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ
其中 1
()()4''∇⋅'=
'-⎰F r r r r V dV φπ
1
()
()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π
第2章 电磁学基本规律
一、麦克斯韦方程组
