人教版高中数学选修2-3《排列组合综合应用》

优先法
解： ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。
解：③捆绑法：a,e排在一起，可以将a,e看成 一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列，有 A44种； a,e两个元素的全排列数为A22种，由乘法原 理共有A44. A22(种)排列。 解：④排除法：即用5个元素的全排列数A55，扣除 a,e排在一起排列数A44. A22，则a,e不相邻的排列总数 为A55- A44. A22（种） 插空法：即把a,e以外的三个元素全排列有A33种， 再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42 种，由乘法原理共有A33. A42 (种)
解: ⑤ a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺 序，但a,e间的排列数为A22，所以，可把5个元素全排 列得排列数A55，然后再除以a,e的排列数A22。所以共 有排列总数为A55 / A22（种） 注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数 A33。
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会
问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根 据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时， 根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接 法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法, 采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采 用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。
典型例题练习
1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少 得1名，则不同的保送方案总数为（ A ）。 2 3 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C4 A3 2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能 出现的错误的种数是（ B ） 3 2 （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 1 3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ B ）个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 （A) A4 (B) (C) (D) A4 A8 C4C4 A8 C4C4 C8 C4C8 A4
用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4 个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集 合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42 中选4个偶数中 的4，6，又C73中选剩下的3个元素不2，1，3组成集合{4，6， 2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原 因是分类不独立。
根据分类计数原理，一共有 C 种方法
1 7
A
2 7
2 1 1 2(A + C 8 ＝602 2 C7 C +
练习：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。 解：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选2 名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的 安排方法有多少种？
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 Hale Waihona Puke Baidu 4 4 8
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子 集的个数。 下面解法错在哪里? 至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数， 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至 少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)
排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗 漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方 法是“ 想透，排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计 合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接 法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到 广泛运用。
（三）排列组合混合问题：
例3.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有 C7 A 7 种方法，
解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
（一）.有条件限制的排列问题 例1：5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？ ②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？ ③ a,e排在一起多少种排法？ ④ a,e不相邻有多少种排法？ ⑤ a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？ 解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两 端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。 由乘法共有A22. A33=12(种)排法。