最值问题教师版个性化

第5讲 三角形中的范围（最值）问题 江苏省扬州中学 张慧玲知识储备：1、 三角形的任意两边之和大于第三边2、 三角形的内角和等于π3、正弦定理CcB b A a sin sin sin ==4、余弦定理A bc c b a cos 2222-+= 5、大边对大角，小边对小角6、求基本不等式、函数(三角函数)最值的方法课本溯源[苏教版教材必修5 第24页思考与运用第7题]问题探究：如图，已知A ∠为定角，Q P ,分别在A ∠的两边上，PQ 为定长.当Q P ,处于什么位置时，APQ ∆面积最大？问题1：在△ABC 中，若2=c ，3π=C ，则ABC S ∆最大值？思考1ab C ab S ABC43sin 21==∆思考2：h h c S ABC=⋅=∆21思路1.通过引入边元，转化为不等式或函数问题思路2.通过引入角元，利用正余弦定理转化为三角函数问题 思路3.利用数形结合的思想求最值 你还能想到研究那些量的最值或范围？ 变1.△ABC 的周长最大值？分析：法1：角元法2)sin (sin 22++=++=++B A R b a c b a3,2π==C AB 解：由正弦定理得：R B b A a C c 234232sin sin sin =====))32sin((sin 34)sin (sin 2A A B A R b a -+=+=+∴π=)6sin(4)sin 23cos 234π+=+A A A （ )32,0(π∈A )65,0(6ππ∈+A ]1,0()6sin(∈+∴πA ]4,0()6sin(4∈+=+∴πA b a]6,2(∈++∴c b a法2.“边元”，由余弦定理：ab b a C ab b a c -+=-+==22222cos 24 目标b a +五遇五想：遇多元想统一 ab b a ab b a 3)(222-+=-+22)2(3)(b a b a +-+≥ 2)(414b a +≥∴ 4≤+∴b a ]6,2(∈++∴c b a 变2.在△ABC 中，若AB ＝2，6π=C ，则BC AC 3+最大值？分析：)sin 3(sin 23A B R a b +=+“角元”RC c 24212sin ===解：由正弦定理得：=-+=+=+∴))65sin(sin 3(4)sin 3(sin 23A A A B R a b π)sin(74)sin 233cos 214ϕ+=+=A A A （74≤其中14213cos ,147sin ==ϕϕ 真题感悟问题2.（2018北京，2019南师附中） 在△ABC 中，已知)43222b c a S ABC -+=∆（，且C 为钝角，则ac 的取值范围? 析：ac acb c a b c a S ABC⋅-+=-+=∆223)43222222（ B ac B ac cos 23sin 21⋅⋅=∴ 33tan π=⇒=∴B BC 为钝角)6,0(2ππ∈∴<+∴A B A )31,0(tanA ∈∴ 2212321tan 23sin cos 23sin 21sin )3sin(sin )sin(sin sin =+>+=+=+=+==∴A AAA A A AB A AC a c π ),2(+∞∈∴ac问题3.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC ＝120°，BD 是△ABC 的平分线，交AC 于点D ，且BD ＝1，求4a ＋c 的最小值？ 解法1（角元）设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°， 在△BDC 中，BC sin θ＝BD sin C，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9.解法2边元：由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c ＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9. 当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法3（坐标法）以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限， 设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0， 令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k ，由于直线BA 的方程为y ＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0， 所以c ＝－2x A ＝3－k（k ＋3）>0，BACD则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k ＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9.当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号， 所以4a ＋c 的最小值为9.解法4（平几法）如图作DE ∥AB 交BC 点E ，为所以∠EDB ＝∠DBA ＝∠DBE ＝60°，因为BD ＝1，所以△BDE 是边长1的正三角形，CE CB ＝DEAB ，即a －1a ＝1c，变形得a ＋c ＝ac ，变形得44a ＋1c＝1.于是1＝44a ＋1c ≥（2＋1）24a ＋c，解得4a ＋c ≥9，当且仅当4a ＝2c ，当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.方法形成1. 边角转化2. 元的个数3. 最值视角考题导航例1 .在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c.若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积最大值为________．解析：方法一：由题设得c 2＝4－12(a 2＋b 2)，从而cos C ＝a 2＋b 2－4＋12（a 2＋b 2）2ab ＝32（a 2＋b 2）－42ab ≥3ab －42ab ＝32－2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以S ＝12ab sin C ＝12ab·1－cos 2C ≤12ab·1－⎝⎛⎭⎫32－2ab 2，平方得S 2≤－5a 2b 216＋32ab －1＝－516⎝⎛⎭⎫ab －1252＋45， 当ab ＝125时，S 2max ＝45，故S max ＝255. 方法二：由三角形面积公式可得S ＝12ab sin C ，即S 2＝14a 2b 2(1－cos 2C)，即S 2＝14a 2b 2[1－⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2]．因为a 2＋b 2＋2c 2＝8，所以a 2＋b 2＝8－2c 2， 所以S 2＝14a 2b 2[1－⎝⎛⎭⎫8－3c 22ab 2]＝14a 2b 2－（8－3c 2）216≤（a 2＋b 2）216－（8－3c 2）216＝－516c 4＋c 2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．当c 2＝85时，－516c 4＋c 2取得最大值45，所以S max ＝255.方法三：取线段AB 的中点为原点、线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy.设A(－m ，0)，B(m ，0)，C(x ，y)，则8m 2＋(x －m)2＋y 2＋(x ＋m)2＋y 2＝8，化简得x 2＋y 2＋5m 2＝4，不妨设y>0，又S ＝12·2m ||y ＝my ，从而x 2＋y 2＋5·S 2y2＝4，于是由基本不等式得25S ≤y 2＋5·S 2y 2＝4－x 2≤4，故S max ＝255.【点评】学生容易想到的方法，主要是方法一和方法二，其实质是化为边的函数．变式 ：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c.若△ABC 的面积是12c 2，则a 2＋b 2＋c 2ab 的最大值为________．解析：因为在△ABC 中，S ＝12ab sin C ＝12c 2，所以c 2＝ab sin C ．由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ， 所以a 2＋b 2＋c 2ab ＝2c 2＋2ab cos C ab ＝2sin C ＋2cos C ＝22sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4， 所以当C ＝π4时，a 2＋b 2＋c 2ab取得最大值2 2.【点评】本题考查了余弦定理，正弦函数的图象与性质，属于中档题．例2 . 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 解析：方法一：由sin A ＝2sin B sin C ，A ＝π－B －C ，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 因为三角形ABC 是锐角三角形，cos B ≠0，cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．tan A tan B tan C ＝tan (π－B －C)tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C×tan B tan C ，由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，得tan A tan B tan C ＝－2（tan B tan C ）21－tan B tan C，令tan B tan C ＝t ，因三角形ABC 是锐角三角形，tan A>0，tan B>0，tan C>0， 所以t>1，所以tan A tan B tan C ＝2t 2t －1＝21t －⎝⎛⎭⎫1t 2＝2－⎝⎛⎭⎫1t －122＋14≥8， 当且仅当t ＝2时取等号，此时tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4或tan B ＝2－2，tan C ＝2＋2，tan A ＝4.方法二：由方法一得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，从而目标函数tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， 令t ＝tan A tan B tan C ，则t ≥22t ，解得 t ≥22，即tan A tan B tan C ≥8. 方法三(切化弦)：由sin A ＝2sin B sin C ，知sin B·sin C ＝12sin A ，因为cos A ＝－cos (B ＋C)＝－cos B cos C ＋sin B sin C ， 所以cos B cos C ＝sin B sin C －cos A ＝12sin A －cos A ，从而tan A tan B tan C ＝sin A sin B sin C cos A cos B cos C ＝sin 2A 2cos A cos B cos C ＝sin 2Acos A （sin A －2cos A ）＝tan 2A tan A －2＝tan A －2＋4tan A －2＋4≥8，当且仅当tan A ＝4时取等号．变式： 若不等式k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．解析：因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，由正弦定理知kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2，又19bc －ac b 2＝c b ⎝⎛⎭⎫19－a b ， 因为c<a ＋b ，所以c b <1＋a b ，即c b (19－ab )<⎝⎛⎭⎫1＋a b ⎝⎛⎭⎫19－a b ≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋a b ＋⎝⎛⎭⎫19－a b 24＝100， 当且仅当ab＝9时取得等号． 课堂小结第5讲 三角形中的范围（最值）问题（巩固练习5）1.在△ABC 中，已知2222c b a =+，求C cos 的最小值_______.2.在△ABC 中，已知C B A sin 2sin 2sin=+，求C cos 的最小值为_______.3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，sin A sin B cos C ＝sin C sin A cos B ＋sin B sin C cos A ，则abc 2的最大值为________．4.在△ABC 中，BC 边上的高AD ＝BC ，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，则b c ＋cb 的取值范围是__________．5. 在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________．6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，若3a 2＝2b 2＋c 2，则Sb 2＋2c 2的最大值为________．7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a sin A －4b sin C ＝0，A 为锐角，则sin B ＋sin C2sin A 的取值范围为__________．8.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋2bc sin A ，0<A<π2，则tan A －4tanB 的最小值为________．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A. (1) 求证：a ＋b ＝2c ； (2) 求cos C 的最小值．10.已知锐角三角形A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角三角形A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，其中A 2>π2，若B 2C 2＝1，求22A 2B 2＋3A 2C 2的最大值？1.21解析:212222cos 2222222=≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+=ab ab ab b a b a ab c b a C ，当且仅当b a =取等号.2.42-6 析：S1:统一“边”c b a C B A 22sin 2sin 2sin=+⇒=+（正弦定理）abc b a C 2cos 222-+=（余弦定理） S2:统一“元”abab b ab b a b a ab c b a C 82223a 2222cos 22222222-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= S3；基本不等式求解822-6282223a cos 22≥-+=ab ab b C 3.32解析：由正余弦定理及已知条件得ab·a 2＋b 2－c 22ab ＝ac·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc·c 2＋b 2－a 22bc ，化简得a 2＋b 2＝3c 2，则abc 2＝3aba 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32.4.[]2，5解析：因为b>0，c>0，所以b c ＋c b ≥2，当且仅当b ＝c 时取等号，即b c ＋c b 的最小值为2.又S ＝12bc sin A ＝12a·AD＝12a 2，所以a 2bc ＝sin A ．由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以b c ＋c b ＝b 2＋c 2bc ＝b 2＋c 2－a 2bc ＋a 2bc ＝2cos A ＋sin A ＝5sin (A ＋φ)≤5，综上可得b c ＋cb 的取值范围是[]2，5.5.223解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，切化弦可得sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝4cos C sin C ，即sin （B ＋A ）sin A sin B ＝4cos C sin C ，即sin 2C ＝4sin A sin B cos C ．根据正弦定理及余弦定理可得c 2＝4ab·a 2＋b 2－c 22ab，整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－23a 2－23b 22ab ＝13（a 2＋b 2）2ab ≥13，当且仅当a ＝b 时，等号成立，则sin C ＝1－cos 2C≤1－19＝223，即sin C 的最大值为223. 6.1424解析：由题得3a 2＝3b 2－b 2＋3c 2－2c 2，所以b 2＋2c 2＝3()b 2＋c 2－a 2＝6bc cos A ，所以S b 2＋2c 2＝12bc sin A 6bc cos A ＝112tan A ．由题得a 2＝2b 2＋c 23，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－2b 2＋c 232bc ＝b 2＋2c 26bc ≥22bc 6bc ＝23，所以tan A＝1cos 2A －1≤92－1＝142，当且仅当b ＝2c 时取等号，所以S b 2＋2c2的最大值为1424. 7. ⎝⎛⎭⎫64，22 解析：由a sin A －4b sin C ＝0，结合正弦定理可得a 2＝4bc ，且sin B ＋sin C 2sin A ＝b ＋c 2a ，因为A 为锐角，所以0<cos A<1，即0<b 2＋c 2－a 22bc <1，所以0<b 2＋c 2－4bc2bc <1，所以0<b 2＋c 2－4bc<2bc ，6bc<b 2＋c 2＋2bc<8bc ，所以6<（b ＋c ）2bc <8，即616<（b ＋c ）216bc <816，616<（b ＋c ）24a 2<816，据此可得64<b ＋c 2a <22，则sin B ＋sin C 2sin A 的取值范围为⎝⎛⎭⎫64，22.8. －12解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2＝b 2＋2bc sin A 得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin (A ＋B)－2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin B sin A ，所以tan A －tan B ＝2tan A tan B ，所以tan B ＝tan A2tan A ＋1，所以tan A－4tan B ＝tan A －4tan A 2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋22tan A ＋1－52≥212（2tan A ＋1）×22tan A ＋1－52＝－12，当且仅当12(2tan A ＋1)＝22tan A ＋1，即tan A ＝12时，取等号，所以tan A －4tan B 的最小值为－12.9. 解析：(1) 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin (A ＋B)＝sin A ＋sin B. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin (A ＋B)＝sin (π－C)＝sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. (2) 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38(a b ＋b a )－14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.10. 10解析：因为锐角△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，所以不妨设cos A 1＝sin A 2，cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2，又A 2为钝角，所以B 2，C 2为锐角，结合诱导公式可知A 2＝A 1＋90°，B 2＝90°－B 1，C 2＝90°－C 1，由三角形内角和定理得A 2＋B 2＋C 2＝(A 1＋90°)＋(90°－B 1)＋(90°－C 1)＝A 1＋B 1＋C 1＝180°，所以A 1＝45°，A 2＝135°，因为B 2C 2＝1，所以由正弦定理得c 2sin （45°－B 2）＝b 2sin B 2＝122＝2，所以b 2＝2sin B 2，c 2＝2sin (45°－B 2)，所以22A 2B 2＋3A 2C 2＝22c 2＋3b 2＝4sin (45°寒假名师课程 高三数学 －B 2)＋32sin B 2＝4⎝⎛⎭⎫22cos B 2－22sin B 2＋32sin B 2＝22cos B 2＋2sin B 2＝10sin (B 2＋φ)≤10(其中tan φ＝2)．。

研究含参函数的极值与最值问题（1）一、课堂目标1．掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型．2．熟练“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值的求解．【备注】【教师指导】1.本讲重点是掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型；难点是求解“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值，最难的地方主要是对单调性的求解，会涉及讨论、数形结合的思想，对参数的讨论实际是对单调性及单调区间的讨论，从而求得相应的极值最值.注：本堂课提到的类型，例如“含参一次型导函数”，“含参二次型导函数”是指函数求导后的有效部分，举个例子：，求导后，则可把""看成含参一次型导函数.2.本讲的前置知识是导数与函数的单调性、极值及最值问题，后置知识是利用导数求解导函数为“含参指对型导函数”“含参三角型导函数”原函数的极值最与值的方法．二、知识讲解1. 具体函数求单调性、极值与最值的步骤【备注】【教师指导】教师请注意，这部分作为知识回顾，是由于有些版本没有放置《导数与函数的单调性、极值与最值》这一讲内容，如果前面已经放置了这讲内容，回顾这部分知识可以不讲.知识精讲（1）利用导数求解函数单调性的步骤①确定的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识精讲（2）利用导数求极值的步骤：①求导数；②求方程的所有实数根；③检验在方程的根的左右两侧的值的符号：如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识精讲（3）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.经典例题A. B. C. D.1.函数在区间的最大值为（）．【答案】A【解析】，∴在上单调递增，上单调递减，∴，故选．【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）【备注】【教师指导】本题是对上述知识回顾内容的综合考察.巩固练习2.已知函数．求的最值．【答案】（1）．【解析】（1），令，，，，，，∴．【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式恒成立问题2. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值知识精讲（1）讨论单调性含参一次型导函数，有两种类型，如下：①参数在一次项系数上②参数不在一次项系数上针对上述类型，我们需要确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分别是三种情况.【备注】【教师指导】下面是上述类型的相关例题，教师可在讲解时为学生举例说明.①含参一次型导函数，参数只在一次项系数上如：，，（1）当时，，增区间为；（2）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．（3）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．②含参一次型导函数，参数只常数项上如：，，（1）当时，恒成立，增区间为；（2）当时，由，得，增区间为；由，得，减区间为．③含参一次型导函数，参数既在一次项系数上又在常数项上如：，，（1）当时，，无单调区间；（2）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．（3）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．（2）求解极值与最值的步骤①对函数求导、合并、整理；②针对含参一次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；③将函数的极值点与端点处的横坐标，进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．经典例题3.已知，函数．求在区间上的最小值．【答案】（1）当时，在区间上无最小值；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【解析】（1）因为，所以，．令，得．①若，则，在区间上单调递增，此时无最小值．②若，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值．③若，则当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得最小值．综上可知，当时，在区间上无最小值；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）【备注】【教师指导】本题考查的是“含参一次型导函数，参数只常数项上”类型，需要对单调性进行讨论后，求出最值.要注意与的位置关系.巩固练习4.设函数．试求在上的最大值．【答案】（1）当时，．当时，．【解析】（1）令，得．所以当时，时恒成立，单调递增；当时，时恒成立，单调递减；当时，时，单调递减；时，单调递增．综上，无论为何值，当时，最大值都为或．，，．所以当时，，．当时，，．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；二阶导问题；求函数最值（含参一次型导函数）【备注】【教师指导】本题需要先求导，,然后把”看作一次函数.经典例题（1）（2）5.已知函数．求函数的单调区间．当时，求函数在上的最小值．【备注】【教师指导】本题考查的是“含参一次型导函数，参数只在一次项系数上”类型，对于单调性的讨论问题，从而求解极值点问题.要讨论极值点与所给区间端点的位置关系.【答案】（1）（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是．【解析】（1）（2），①当时，，即函数的单调增区间为，②当时，令，可得，当时，；当时，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．当，即时，函数在区间上是减函数，所以的最小值是．当，即，函数在区间上是增函数，所以的最小值是．当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．又 ，所以当时，最小值是；当时，最小值为．综上可知，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是．【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）巩固练习6.已知函数，．讨论函数的单调区间．【答案】（1）①当时,的递减区间是,无递增区间；②当时,的递增区间是,递减区间是．【解析】（1）在区间上,．①若,则,是区间上的减函数；②若,令得．在区间上,,函数是减函数；在区间上,,函数是增函数；综上所述,①当时,的单调递减区间是，无单调递增区间；②当时,的单调递增区间是，单调递减区间是．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数单调区间（含参一次型导函数）【思想】分类讨论思想3. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值知识精讲（1）讨论单调性——含参二次型导函数，无一次项型这种类型通常分为两种情况，需要确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分别是三种情况：①如果参数不在二次项系数上，无一次项，则参数影响导函数图象与轴交点个数，从而影响单调区间.例如：，对导函数图象的影响如下：【备注】【教师指导】下面是“参数不在二次项系数上，无一次项”的相关题目，教师可为学生举例讲解：如：，，①当时，恒成立，增区间为；②当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为．②如果参数在二次项系数上，无一次项，则参数影响导函数的开口方向，从而影响单调区间.例如：，对导函数图象的影响如下：【备注】【教师指导】下面是“参数在二次项系数上，无一次项”，教师可为学生举例讲解.如：，，①当时，恒成立，增区间为；②当时，，增区间为；③当时，由，得，增区间为(,)；由，得或，减区间为()，(,+ .求解极值与最值的步骤①对函数求导、合并、整理；②针对含参二次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；③将函数的极值点与端点处的横坐标，进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．【备注】【教师指导】下面每一个类型的求极值最值的步骤都相同，都是需要先对单调性进行讨论，然后在每种情况下进行求解.由于后面每种类型的求解方法都一致，因此后面将不再赘述.经典例题7.已知函数．求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）当时，最小值，最大值；当时，最小值，最大值；当时，最小值．【解析】（1），①当时，，在单调递增，所以时，取得最小值．时，取得最大值．②当时，，在单调递减，所以，时，取得最小值．时，取得最大值．③当时，令，解得，，，在区间的变化情况如下：单调递减↗极小值单调递增↘由上表可知，当时，取得最小值；由于，，当时，在处取得最大值，当时，在处取得最大值．【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）【备注】【教师指导】首先，本题考查的是含参二次型导函数，参数不在二次项系数上，并且无一次项；其次，根据上述方法对导函数进行讨论，求出单调区间；最后，根据单调区间的不同，求出最值.巩固练习8.已知函数求在区间上的最小值．【答案】（1）见解析【解析】（1）由由及定义域为，令①若在上，，在上单调递增，；若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在上，；若在上，，在上单调递减，综上，当时，当时，当时，【标注】【知识点】已知切线方程求参数；导数的几何意义；利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的最值经典例题（1）（2）9.已知函数，．求函数的单调区间；若函数在区间的最小值为，求的值．【答案】（1）（2）当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．．【备注】【教师指导】本题考查的是参数在二次项系数上，无一次项的情况，第一问需要先对进行讨论，从而对单调性进行讨论；第二问是在第一问的基础上，找到最小值，从而得到的值.【解析】（1）（2）函数的定义域是，．（1）当时，，故函数在上单调递减．（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．（3）当时，令，又因为，解得．①当时，，所以函数在单调递减．②当时，，所以函数在单调递增．综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．（2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．综上所述，．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；已知最值情况求参数值或解析式巩固练习（1）（2）10.已知函数，其中．求的单调区间；若在上的最大值是，求的值．【答案】（1）（2）时，在上单调递增．当时，单调增区间是；单调减区间是．．【解析】（1）（2）．当时，，从而函数在上单调递增．当时，令，解得，舍去．此时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是．①当时，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为．令，得，这与矛盾，舍去．②当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为．令，得，这与矛盾，舍去．③当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为．令，解得，适合．综上，当在上的最大值是时，．【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式；求函数单调区间（含参二次型导函数）知识精讲（2）讨论单调性——含参二次型导函数，能因式分解这种类型通常分为两种情况：①参数不在二次项系数上，通常确定定义域并求导后，可以把导函数化简为，然后比较与的大小，分为,,，画出导函数简图，从而求得函数的单调区间.例如：，此时导函数有两个根，,，两根的大小对导函数图象的影响如下：【备注】【教师指导】下面是“参数不在二次项系数上，能因式分解”的相关题目，教师可为学生进行举例讲解：如：，，①当时，恒成立且不恒为0，增区间为；②当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为．③当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为．②参数在二次项系数上，通常可以确定定义域并求导后，把导函数化简为，可按如下步骤讨论：首先，先对进行讨论（分别是三种情况），然后再对与的大小（分为,,）进行讨论分析，画出导函数的简图，得到函数的单调区间.【备注】【教师指导】（此类题型画简图的方式同参数不在二次项系数上能因式分解类似）下面是“参数在二次项系数上，能因式分解型”相关例题，教师可为学生进行举例讲解如：，，①当时，恒成立，为常函数；②当时，由，得或，的增区间是，；由，得，的减区间为．③，且不恒为0，减区间为；④时，由，得，的增区间是；由，得或，的减区间是，．⑤时，由，得，的增区间是；由，得或，的减区间是，．经典例题11.设，函数．求函数在上的最小值．【答案】（1）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】（1）令，解得或．①，则当时，，函数在上单调递减，所以，当时，函数取得最小值，最小值为．②，则当时，当变化时，，的变化情况如下表：所以，当时，函数取得最小值，最小值为．③，则当时，，函数在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值，最小值为．综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；利用导数求函数的单调性、单调区间【备注】【教师指导】本题考查的是参数不在二次项系数上，能因式分解的情况，让学生体会求导后，可进行因式分解，然后讨论两根大小.本题求导后可整理为巩固练习（1）（2）12.已知函数，．讨论函数的单调区间．当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围．【答案】（1）（2）当时，在和内单调递增，在内单调递减，当时，在单调递增，当时，在和内单调递增，在内单调递减．．【解析】（1）（2），令得，，（ｉ）当，即时，，在单调递减；（ⅱ）当，即时，当或时，，在和内单调递增，当时，，在内单调递减；（ⅲ）当，即时，当或时，在和内单调递增，当时，，在内单调递减，综上，当时，在和内单调递增，在内单调递减，当时，在单调递增，当时，在和内单调递增，在内单调递减．当时，，，，令，得，，将，，变化情况列表如下：极大极小由此表可得，，又，故区间内必须含有，即的取值范围是．【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围经典例题（1）（2）13.已知，其中．求的单调区间．若在上的最大值是，求的取值范围．【答案】（1）（2）当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是．．【解析】（1）令，解得，或．①当时，，与的变化情况如表：减极小值增极大值减∴的单调递减区间是，；单调递增区间为：．②当时，，，故的单调递减区间是．【备注】【教师指导】本题较难，考查的是参数在二次项系数上，能因式分解的情况，需要先求导然后进行因式分解，在进行讨论，让学生感受讨论的过程.（2）③当时，，与的变化情况如下表：减极小值增极大值减∴的单调递减区间是，，单调递增区间为：．综上，当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是．由（）可知：①当时，在的最大值是，但，∴不合题意；②当时，在上单调递减，，可得在上的最大值为，符合题意．∴在上的最大值为时，的取值范围是．【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式；求函数单调区间（含参二次型导函数）巩固练习14.已知函数，其中，求函数的单调区间．【答案】①当时，在区间，内为减函数，在区间内为增函数．②当时，在区间，内为增函数，在区间内为减函数．【解析】．，若，，在区间单调递增，单调递减；若，以下分两种情况讨论．①当时，令，得，．当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．②当时，令，得到，，当变化时，的变化情况如下表：极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间，，，知识精讲（3）讨论单调性——含参二次型导函数，不能因式分解型这种类型通常分为两种情况：①导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：首先，确定定义域并求导后，算出二次函数的；讨论两种情况，即导函数与轴没有或只有一个交点、二次函数与轴有两个不同交点；从而根据导函数图象得到函数的单调区间.例如：，，,，根据讨论情况的图象如下：，＞【备注】【教师指导】下面是“参数不在二次项系数上，不能因式分解型”，教师可为学生举例讲解如：，，（1）当，即时，恒成立且不恒为0，增区间是．（2）当，即或时，由，得或增区间是，；由，得减区间是．②导函数参数在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：首先确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分为,,，即开口向上、开口向下、退化成一次函数三类；在,两种情况基础上，再分别算出二次函数的；利用两种情况进行第二步分类讨论，即二次函数与轴没有或只有一个交点、二次函数与轴有两个不同交点；从而根据导函数图象得到函数的单调区间.，＞【备注】【教师可见】此类型画图方式，同“导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型”类似.下面是“参数在二次项系数上，不能因式分解型”相关例题，教师可为学生进行举例讲解如：，，（1）当时，由，得，的增区间是；由，得，的减区间是（2）当时，（i）当时，即恒成立且不恒为0，的增区间是；（ii）当时，即由，得或的增区间是，;由，得的减区间是．（3）当时，由，得的增区间是．由，得或的减区间是，．经典例题15.已知函数（其中是实数）．求的单调区间．【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．【解析】（1）∵（其中是实数），∴的定义域为，，令，，对称轴，，当，即时，，∴函数的单调递增区间为，无单调递减区间．当，即或时，①若，则恒成立，【备注】【教师指导】本题考查的是参数不在二次项系数上，不能因式分解型的情况，需要对进行讨论.∴的单调递增区间为，无减区间．②若，令，得，，当时，，当时，．∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；利用韦达定理解决双变量问题16.设，当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．【答案】【解析】方法一：方法二：令，即∵解得：，则，，的情况如下：减极小增极大减∴在，上单调递减，在上单调递增∵∴∴在上单调递增，在上单调递减所以的最大值为∵，∴解得，，∴的最大值为．已知，∴，已知，在上的最小值为，【备注】【教师指导】本题较难，需要由判定，再判断导函数两根的大小与题目所给区间的关系，在求解最值，需要让学生感受“判断导函数两根的大小与题目所给区间的位置关系”，题集中也有相关练习.而的图象开口向下，且对称轴，，，则必有一点，使得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，又，，∴，此时，由或（舍去），所以函数在上的最大值为．【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）巩固练习17.已知函数．判断的单调性．【答案】（1）当时，函数在上单调递减．当或时，函数在上单调递增，在和上单调递减．【解析】（1）因为，所以，令，，即时，恒成立，此时，所以函数在上为减函数．，即或时，有不相等的两根，设为，，则，，当或时，，此时，所以函数在和上为减函数．当时，，此时，所以函数在上为增函数．综上所述，当时，函数在上单调递减．当或时，函数在上单调递增，在和上单调递减．【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的单调性、单调区间经典例题18.设函数．求函数单调区间．【答案】（1）见解析【解析】（1）因为，①当时，由得；由得．所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减．②当时，设，方程的判别式i)当时，此时．由得,或；由得．所以函数单调递增区间是和,单调递减区间．ii)当时，此时．所以，所以函数单调递增区间是．iii)当时，此时．由得；由得,或．【备注】【教师指导】本题是参数在二次项系数上，不能因式分解型的情况，需要先讨论，在讨论.所以当时，函数单调递减区间是和,单调递增区间．vi)当时，此时，，所以函数单调递减区间是．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；求在某点处的切线方程巩固练习19.已知函数．求函数的单调区间．【答案】（1）答案见解析．【解析】（1），令．函数的定义域为，设，（）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减，（）当时，，（i）若，由，即，得或，由，即，得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ii）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；利用导数求函数的单调性、单调区间三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！【备注】四、出门测20.已知函数．求函数的单调区间．【答案】（1）当，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．【解析】（1）函数的定义域为，，若，，所以函数的单调递增区间为．若，令，解得，，当时，，的变化情况如下表：极大值∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，，的变化情况如下表：极大值∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式；利用导数求函数的单调性、单调区间21.已知函数．讨论函数的单调性．【答案】（1）①若，在单调递减；②若，在区间递增，在区间和递减；③若，在区间递增，在区间递减．【解析】（1），①若，，在单调递减；②若，由得；由得；由得．即在区间递增，在区间和递减．③若，在区间递增，在区间递减．韦达定理解决双变量问题。

强化专题1三角函数中的最值问题【方法技巧】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.【题型目录】一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题二、可化为y ＝f (sin x )型的二次式的值域问题三、含sin x ±cos x ，sin x cos x 的最值问题四、形如()sin sin x af x x b +=+的最值问题五、函数图象平移问题的最值六、ω的最值问题【例题详解】一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题1．已知()ππ2sin cos 26f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最大值为（）A ．12B ．2C ．1D2．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为________________．3．函数2cos cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪的最大值是_______．4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 在区间,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为______.5．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.二、可化为y ＝f (sin x )型的二次式的值域问题1．当x ∈π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的值域为________．又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝x ＋78，所以当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.即函数的值域为78，2.2．已知函数()22cos 2cos f x x x =-+，[]0,x a ∈的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为__________.3．函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-的最大值为__，取得最大值时对应的x =_______．4．已知函数2()4tan 4tan 3(0)2f x x x x π=-+<<，当x θ=时，()f x 取得最小值，则tan(4πθ+=__________．【答案】3【分析】根据x 的取值范围求得tanx 的范围，将tanx 视为一个整体，利用二次函数的最值，求得tan θ的值，再利用两角和的正切公式，求解即可.5．函数2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥y x x x ππ的值域为________．6．若方程2cos sin 0x x a -+=在,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是______．三、含sin x±cos x，sin x cos x的最值问题1．函数2sin cos2y x x x x=+的最大值为（）A．52B．3C．72D．42．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【答案】－1＋222，1【详解】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222.∴函数的值域为－1＋222，1.3．若π03x <≤，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是___________.4．函数()13sin cos cos 222f x x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭的最小值为___________________．【答案】-1【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简函数为()sin cos sin cos f x x x x x =++，令sin cos x x t +=，5．函数1()sin 2()24g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪R 的值域为___________.6．已知函数1sin cos (),sin cos x xf x x R x x+=∈，则()y f x =的值域为_______．所以(][)1,22,y t t=+∈-∞-⋃+∞，所以(][)11,11,y t ⎛⎫=+∈-∞-⋃+∞ ⎪，7．函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．8．若()sin cos 2sin cos a x x x x +≤+对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为（）A ．2B ．3C ．522D ．524四、形如()sin sin x af x x b +=+的最值问题1．函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+C ．[]0,4D ．[]0,22．函数2cos2cos xy x+=的最大值为__________；3．求下列函数的值域：（1）sin 2sin 1x y x -=-；（2）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-x y x x π.五、函数图象平移问题的最值1．将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．设函数5()sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π3．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2【答案】A22故ϕ的取值范围是[),2ππ故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.4．将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿水平方向平移ϕ个单位后得到的图象关于直线4x π=对称（0ϕ>向左移动，0ϕ<向右移动），当ϕ最小时，则ϕ=（）A ．3πB ．12π-C ．6πD ．3π-5．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，且23f ⎛⎫=⎪⎝⎭.将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的18，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图像；若()()129g x g x =，1x ，250,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则21x x -的最大值为（）A ．πB ．34πC ．32πD ．2π6．已知1x ，2x ，是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点，且12x x -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．34πB ．4πC ．78πD ．8π7．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是sin y A x ω=，已知函数()()()2sin 2ππf x x =+-≤≤f f 的图像向右平移5π12个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图像重合，且()f x 在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π8．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．18π9．将函数()2cos f x x =的图象先向右平移()0ϕϕπ<<个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若对()g x 满足()()124g x g x -=，有12min4x x π-=恒成立，且()g x 在区间()63ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围是（）A ．[]123ππ，B ．[]32ππ，C ．2(]33ππ，D ．2[]33ππ，六、ω的最值1．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A ．12B ．3C ．6D ．9则6,k k Z ω=∈，又0ω>，所以当1k =时，ω的最小值为6故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移知识，以及余弦函数的周期，关键在于重合的条件，相当于加上的是周期，属基础题.2．已知函数()sin()(0,0)f x A x ωϕωϕπ=+><<为偶函数，在0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为（）A ．3,22⎡⎤⎢⎥B ．31,2⎡⎤⎢⎥C ．35,22⎡⎤⎢⎥D ．30,2⎛⎤ ⎥3．已知函数()()sin 0f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()1f x =在区间[0,2]π上有且仅有一解，则ω的取值范围是（）A ．30,4⎛⎤ ⎥B ．33,42⎛⎫ ⎪C ．15,44⎡⎫⎪⎢D ．13,44⎡⎤⎢⎥4．函数sin(0)3y x πωω=->的图象向左平移4π个单位后，得到函数()f x 的图象，若函数()f x 为奇函数，则ω的最小值为（）A ．12B ．43C ．13D ．565．已知函数()tan f x x ω=在(,22ππ-内是减函数，则ω的取值范围是（）A ．01ω<≤B ．10ω-≤<C ．20ω-≤<D．102ω<≤6．已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象在区间423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ϕ的取值范围为（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥7．已知函数()()cos (0)2f x x πωϕωϕ=+>≤，，8x π=-是()y f x =的零点，直线38x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且函数()f x 在区间51224ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值是（）A ．9B ．7C ．5D ．38．已知函数()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ω>0），对任意x ∈R ，都有()f x ≤3f ⎛⎫⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．99．函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥，上单调递增，则ω取值范围为_____。

第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。

利用旋转法解几何最值问题应用举例解析一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为．MN解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．解析：将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∴PA＝PA'，∠PAP'＝90°∴PP'＝PA＝2∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'+PB＝2+4，即P'B的最大值为2+4．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．A B M NP例6、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A ＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E 逆时针旋转60°得到EG ，连接BG 、CG ，则BG +CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．2+2解析：如图，取AB 的中点N ．连接EN ，EC ，GN ，作EH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝BD ，∵AE ＝ED ，AN ＝NB ，∴AE ＝AN ，∵∠A ＝60°，∴△AEN 是等边三角形，∴∠AEN ＝∠FEG ＝60°，∴∠AEF ＝∠NEG ，∵EA ＝EN ，EF ＝EG ，∴△AEF ≌△NEG （SAS ），∴∠ENG ＝∠A ＝60°，∵∠ANE ＝60°，∴∠GNB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G 的运动轨迹是射线NG ，易知B ，E 关于射线NG 对称， ∴GB ＝GE ，∴GB +GC ＝GE +GC ≥EC ，在Rt △DEH 中，∵∠H ＝90°，DE ＝2，∠EDH ＝60°，∴DH ＝DE ＝1，EH ＝，在Rt △ECH 中，EC ＝＝2，∴GB +GC ≥2，∴GB +GC 的最小值为2．故选：B ． 例7、如图，AB ＝6，点M 为线段AB 外一个动点，且AM ＝2，MB ＝MN ，∠BMN ＝90°，则线段AN 的最大值为 ．解析：如图，连接BN ，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝2，BP ＝AN ，∴PA ＝2，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值最大值＝AB +AP ＝6+2． 三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝4，BC ＝5，P 是△ABC内部的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值为 ．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝，例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．BCDAEF解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF＝BC＝×4＝2，∴AC＝DE≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习1、已知x轴上一点A（1，0），B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．解析：将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACD，并作直线CD，延长AD交y轴于点A'．∵等边△ABC、等边△AOD，∴AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD＝60°∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，∴∠BAO＝∠CAD在△BAO 和△CAD 中，∴△BAO ≌△CAD （SAS ），∴∠AOB ＝∠ADC ∵∠AOB ＝90° ∴∠ADC ＝90°，∴CD ⊥AD ，∴点C 随着点B 的运动形成的图形是直线CD∵∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°∴∠AA 'O ＝30°∴OA ＝AA ' ∴AD ＝OA ＝AA '∴点D 是AA '的中点，∵CD ⊥AD ，∴CD 是AA '的中垂线 ∴AC ＝A 'C ，∴AC +OC ＝A 'C +OC又∵点C 在直线CD 上运动，所以点O 、C 、A '三点共线时，A 'C +OC 的值最小，最小值为OA '的长． 在R △AOA '中，∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°，OA ＝1，O A '＝OA ＝，∴AC +OC 的最小值为．2、已知：AD ＝2，BD ＝4，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠ADB 变化时，则CD的最大值 ．解析：把△ADC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，则AE ＝AD ，BE ＝DC ，∠EAD ＝60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝DA ＝2，∠ADE ＝60°，当E 点在直线BD 上时，BE 最大，最大值为2+4＝6，∴CD 的最大值为6．3、如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足DB ＝6，DA ＝10，则CD 的最小值为E解析：将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ．则CD ＝BE ，△ADE 是等腰直角三角形，ED ＝10．∵AE 、AD 、BD 都是定值，∴当E 、B 、D 三点共线时，BE 最小，即CD 最小．此时BE 最小值为DE ﹣BD ＝10﹣5．故选：A ． 4、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝6，AB ＝5，点E 在AD 上，且AE ＝2，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．解析：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ）∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线，∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝2，HM ⊥AD ，∴EM ＝1，MH ＝，∴线段GD 长度的最小值为，5、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．C G HFM N解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动,将△EFB 绕点E 旋转45°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等腰直角三角形，点G 在垂直于HE 的直线HG 上，作CM ⊥HG ，则CM 即为CG 的最小值，作EN ⊥CM ，可知四边形HENM 为矩形，则CM ＝MN +CN ＝HE 2EC ＝3212 6、如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是A B GFA B G F H解析：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG，∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB+GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD 长度的最小值为．EADB CFGEADB CF GH NM解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝2，HM⊥AD，∴EM＝1，MH＝，∴线段GD长度的最小值为，8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝4，BP＝AN，∴PA＝4，∵AB＝8，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝8+4．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是 ．解析：如图，将△PBF 绕点B 逆时针旋转60°得到△BFE ，作EH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝60°，∠PBF ＝60°，∵∠ABP ＝∠EBF ，∴∠EBF +∠BC ＝60°，∴∠EBC ＝120°，∵PB ＝BF ，∠PBF ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝PF ，∵PA ＝EF ，∴PA +PB +PC ＝CP +PF +EF ，根据两点之间线段最短可知，当E ，F ，P ，C 共线时，PA +PB +PC 的值最小，最小值＝EC 的长， 在Rt △EBH 中，∵∠EBH ＝60°，EB ＝6，∴BH ＝BE •cos60°＝3，EH ＝EB •sin60°＝3，∴CH ＝BH +CB ＝3+8＝11， ∴EC ＝＝＝2．10、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60°，在菱形ABCD 内部有一点P ，当PA+PB+PC 值最小时PB 的长为 ．B C A D P解析：将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，连接PE 、DE ，则当B 、P 、E 、D 四点共线时，PA +PB +PC 值最小，最小值为BD ．∵将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，∴△APC ≌△DEC ，∴CP ＝CE ，∠PCE ＝60°， ∴△PCE 是等边三角形，∴PE ＝CE ＝CP ，∠EPC ＝∠CEP ＝60°．∵菱形ABCD 中，∠ABP ＝∠CBP ＝∠ABC ＝30°，∴∠PCB ＝∠EPC ﹣∠CBP ＝30°，∴∠PCB ＝∠CBP ＝30°，∴BP ＝CP ，同理，DE ＝CE ，∴BP ＝PE ＝ED ．连接AC ，交BD 于点O ，则AC ⊥BD ．在Rt △BOC 中，∵∠BOC ＝90°，∠OBC ＝30°，BC ＝4， ∴BO ＝BC •cos ∠OBC ＝4×＝2，∴BD ＝2BO ＝4，∴BP ＝BD ＝． 即当PA +PB +PC 值最小时PB 的长为． 11、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，则对角线BD 长的最大值为（ ）A ．5B ．2C ．2D ．1解析：如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．则AK＝AB＝BK＝3，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS），∴DK＝BC＝2，∵DK+KB≥BD，DK＝2，KB＝AB＝3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝5．故选：A．12、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．解：如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值为2+2．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．解析：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．∵AB＝4cm，∴AE＝BE＝2，∵∠ABE＝∠DBC＝45°，∴∠ABD＝∠EBC ，∵＝＝，∴△ABD∽△EBC ，∴＝，∵AD＝3cm，∴EC ＝cm，∵AC≤AE+EC，∴AC ≤．∴AC 的最大值为cm.14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．解：如图，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC＝∠AOC＝30°，∴点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E．在Rt△AOE中，OA＝AC＝2，∠EAO ＝30°，∴OE＝OA＝1，AE＝，在Rt△ODE中，DE ＝AE +AD ＝2+，∴DO＝＝＝+，当B 、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD＝2++．第11页（共11页）。

解三角形之最值型【题集】转化为正弦型（1）（2）1.在中，，，分别为角，，的对边，且．求．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）　，则，则，可得，因为，所以．由，得，其中，．由得，所以得最大值为，所以得最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦；正弦定理；正余弦定理综合求解边角2.在平面四边形中，已知，，，．（1）（2）求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由条件即求的长，在中，设，，则，∵，∴，∴，整理得：，解得或，当时，可得，与矛盾，故舍去，∴．在中，设，则，∴，，∴，∴周长最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．若，求．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得：．因为的内角和，，所以，因为，所以，因为，所以，当即时，面积取得最大值．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）4.的内角，，的对边分别为，，，已知，且满足．求角的大小．求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，由正弦定理可得，，又由余弦定理，∴，即，又，则．由正弦定理可得，∴，又，即，，，∴原式，其中，由，，∴一定存在使得，此时，此时最大为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求边长相关最值或范围问题均值不等式（1）（2）5.的内角，，的对边分别为，，，若，且外接圆的半径为．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理，有，∴，，，代入，得，则，即，由余弦定理得，∵，∴．由正弦定理得，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角；正弦定理（1）（2）6.在中，内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，∵，∴，由正弦定理，得，整理，得，∴，∴，又，∴．∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）7.如图，在中，、、分别为的内角、、所对的边，外接圆的半径为，．求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及，得，由，得，∴，∵，∴，∴．∵，∴．又外接圆的半径，∴，∴．∵，∴，由，得，∴，当且仅当时，等号成立．又∵，∴周长的最大值为．【标注】【知识点】余弦定理；正余弦定理综合求解边角（1）（2）8.在平面四边形中，，，．求的面积．设为的中点，且，求四边形周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）连接，在中，由余弦定理得，设，则，即，解得或（舍去），所以，因此的面积．由为的中点，得为的边的中线，又，得，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，即四边形的周长的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题9.如图，在平面四边形中，，，．（1）（2）求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，均为锐角，∴，，∴，为直角三角形，∴，∴．由（）知，，在中，由余弦定理得，∴，，，∴四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）10.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得，所以，所以．，因为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立．所以的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正弦定理11.在中，内角，，所对的边分别为，，，是边的中点，若，且，求面积的最大值．【答案】．【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，又，，又因为是的中点，所以，故，则，则，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值是．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）12.在中，内角、、所对的边长分别为，，，．求角．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．面积的最大值为．【解析】（1）（2）由，可得：，，因为，所以，．由，得，，，所以，当时，面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）13.的内角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由题意得，即，所以，因为，∴．由余弦定理得：，，故，则，当时，的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）14.在中，角，，的对边分别为，，，已知，．求的余弦值．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）由已知条件得：，由正弦定理得，则，即，由，整理得：，即，即，由，故．（2）由（）知，则，由余弦定理得：，而，则，由得，即，所以，当时取等号．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）15.设，，分别为锐角内角，，的对边，且满足，．求角的大小．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，则即，所以有，又因为锐角，则．由（Ⅰ）可知，且有，由余弦定理可得：，则，．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）16.已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．求角的值．若的外接圆半径为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．当时取最大值．．【解析】（1）方法一：方法二：（2）∵，，，∵，则．由题：，，，，，，当时取最大值．由题：，∵，，则（当，取“”），．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角（1）（2）17.在中，，，分别是角，，的对边，．求角的大小；若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）因为．可得，即，，．，（2），．由余弦定理得：，．即，当且仅当时取等号．，那么：的面积．的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）18.已知，，是的内角，，，分别是角，，的对边，若．求角的大小．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及得由余弦定理，又，则．由（）得，又，得，又可得，∴，当时取得等号，所以的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求的值．若，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由以及正弦定理可知，，即，因为，所以，所以．∵，∴．由余弦定理，可得：，又，可得，当且仅当时等号成立，即存在的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）20.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，当角最大时，求的面积．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由知，，∴由余弦定理得，，即，且．根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．∴当角取最大值时，，．∴的面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）21.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由（I ）知，，∴由余弦定理得，，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．由，得，且，∴的面积．∵，∴．∴．∴的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；正余弦定理综合求解边角（1）22.已知的内角，，满足．求角．（2）若的外接圆半径为，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）设内角，，所对的边分别为，，．根据及正弦定理，可得，得，所以，又因为，所以．设的外接圆半径为，则．因为，所以，所以，所以（当且仅当时取等号）．故的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角（1）（2）23.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角；若点在边上，且，，求的最大值．【答案】（1）（2）．的最大值．【解析】（1）（2）∵，由正弦定理可得，，即，∵，∴，∵，∴．令，，，∵，，∴，中，由余弦定理可得，∴，整理可得，，解不等式可得，，即的最大值．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题；边角互化（利用余弦定理）；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）24.如图，在平面四边形中，，，，．若，求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，（2）所以，又，所以为等腰三角形，作于，则，在中，，所以，所以．由题意知，在中，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以．所以．故四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；多个三角形拼接的解三角形问题；三角形面积公式（1）（2）25.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角的大小．若的面积为，是钝角，求的最小值．【答案】（1）（2）或．的最小值为．【解析】方法一：（1）由已知得：，由正弦定理得：，∴，又在中，，∴，方法二：（2）∴或．∵，∴，∴，∴，∴，∴或．由，，可得：，又， ，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）26.已知，，分别是三个内角，，所对的边，且．求角的大小．已知，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，分别是三个内角，，所对的边，且，∴，即，解得（舍）或，解得．由（）知，又，根据余弦定理得，把，，代入得，∴，解得，∴面积，∴的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；SAS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）27.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角；若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理可知：，，，，由，则，∴，由，，，，则；由，则，由，∴，当且仅当时取等号，∴，故的最小值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）28.已知的内角，，的对边分别为，，，．求角；若，求的周长的最大值．【答案】（1）（2）.周长的最大值为.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：，即，∴，∵，∴，∴，从而．∵，∴．（2）由()和余弦定理得，即，∴，即(当且仅当时等号成立)．所以，周长的最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）29.在中，角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）根据正弦定理得，即，则，即，由于，所以．根据余弦定理，，由于，即，所以面积，当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求面积最值或范围问题（1）（2）30.已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且．求角．若，，当有且只有一解时，求实数的范围及的最大值．【答案】（1）（2）．，．【解析】（1）由己知．所以：，（2）由余弦定理得，所以，即，，，所以：，即：．由己知，当有且只有一解时，或，所以；当，．由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立．∴三角形面积为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）31.已知内角、、的对边分别为，，，若且．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，故，．由，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，，当且仅当时，“”成立，从而，故面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）32.的内角，，的对边分别为，，，且满足，．角的大小．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）依题意：，，，由正弦定理，得，，∵，∴，．依题意，，，，∴，∵，∴，，，∴，当且仅当时取等号．【标注】【知识点】余弦定理的其他应用（1）（2）33.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）已知．正弦定理化简可得：．即．∵，．∴．即．∴．∵，．余弦定理：．可得：．∴，当且仅当时取等号．解得：．那么三角形面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）34.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．若，求和．求的最小值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）因为，代入，得，所以，，得，所以，．把余弦定理代入，得，解得，，当且仅当，即时，取最小值．【标注】【知识点】三角形面积公式；AAS 类三角形（利用正弦定理）；SSS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）35.如图，在三角形中，，，，平面内的动点与点位于直线的异侧，且满足．求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．四边形面积的最大值为．【解析】（1）（2）在中，因，，，由余弦定理得：，所以，再由正弦定理得：，所以．由()知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，．方法：设，，则，于是，即，当且仅当时等号成立．故的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．方法：设，则，，所以，当时，的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）36.在中，角、、所对的边分别为、、，已知．求的值．当角取最大值时，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，∴，∴，化为，∴，∴．由于，则，，又，当且仅当，即时，取等号，可得的最大值为，可得，由正弦定理可得．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用。

北师大版选修2《最大值、最小值问题》教案及教学反思简介《最大值、最小值问题》是高中数学必修课中重要的一节内容，也是高考数学必考点之一。

本文将分享一份北师大版选修2《最大值、最小值问题》的教案，并对教学进行反思和总结。

教学目标1.理解最大值、最小值的概念；2.掌握求解一元函数最值的一般方法；3.拓展应用：分析实际问题中最大值、最小值的应用场景。

教学准备1.PPT课件，并预留练习环节；2.打印“最值练习题”一套；3.准备白板和黑板笔。

教学过程第一步：引入新知识PPT中展示几个实际问题，如：一张矩形纸的一角剪去后，如何让剩下的部分的面积最大？又如：投资几个项目，如何使收益最大？引导学生思考这些问题下的“最大值”、“最小值”等概念。

第二步：讨论和概念阐释教师和学生共同讨论，发现实际问题中常涉及到“最大值”和“最小值”概念。

在讨论的过程中，引导学生记住以下几个关键点：1.最大值即为函数取得的“最大值”；2.最小值即为函数取得的“最小值”；3.定义域和取值域决定了函数值域，函数的最值只在定义域范围内取得。

第三步：解题方法深入1.确定函数的定义域和取值域；2.化简并求导，得到导函数；3.把导函数的零点(或极值点，或边界点)代入原函数得最小值和最大值。

在第三步中，教师应给予学生许多实例的练习机会。

同时，也可以要求学生自己带着问题上来，进行现场求解练习。

不断练习，才能不断提高。

第四步：拓展应用引导学生思考实际问题在最值问题中的应用，如优化设计、生产成本等，进一步帮助学生理解应用最值问题的实际意义和重要性。

教学反思本节课的教学反思主要从以下几个方面进行总结：1.教学设计方面：本课程通过实例引导学生思考，结合偏向应用的教学方法，让学生从理论、实际问题之间的联系角度理解课程内容，提高学习效率，提高课程的授课质量。

2.教学效果：由于课前布置作业，课上带着问题进行一一解答，并有大量且易于理解的例子进行演示和铺垫，使学生能够充分掌握最值问题的相关知识，简单而言，就是“听一次会一次”。

第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．典型问题兴趣篇1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。

个位数字可能是：1、3、5、7、9。

通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，7×9×1=63个位最小是3.2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?答案：9分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。

满足条件的是412和421.差是421-412=9.3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?答案：36平方厘米；30平方厘米。

分析：（1）矩形的周长是24厘米。

长和宽的和：24÷2=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。

和是12的两数差为0是积最大。

这两个数相等都是6.即长和宽相等面积是6×6=36（平方厘米）。

（2）周长是22厘米。

长和宽的和是22÷2=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不是整数。

差是1时两数分别为6和5.积是30.4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小积越大。

19÷3=6……1，6+6+6=18再加1得19，三个数分别是6、6、7时积最大。

最大是6×6×7=252.5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填?答案：（1）41×32 （2）542×631分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位，1、2在个位。

专题13 一次函数-最值问题本专题是一次函数背景下的最值问题，题型上有三个方面，（1）函值性质中的最值问题；（2）几何图形中的最值问题；（3）利用一次函数性质解决生活中的最值问题；通过本专题的学习，让学生对最值问题的认知更全面，从而全面提升学生的分析和解决问题的能力。

本专题适合教师对学生进行专题教学，也适合教师对学生进行个体辅导。

题型一：一次函数性质（增减性）最值问题一、单选题1．（2019·合肥寿春中学 ）设20k -<<，关于x 的一次函数()31y kx x =++，当01x ≤≤时的最小值是（ ）A ．kB ．3k +C ．6k +D ．3【答案】D【解析】把一次函数()31y kx x =++整理，得()()3133,y kx x k x =++=++判断出30k +>，根据一次函数的性质即可得到当01x ≤≤时的最小值. 【详解】()()3133,y kx x k x =++=++20,k -<< 30k ∴+>故0x =取最小值为3，故选:D.【考点】一次函数()0y kx b k =+≠的性质，当0k >时，y 随x 的增大而增大.当k 0<时，y 随x 的增大而减小.2．（2018·余姚市梁辉初级中学中考模拟）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k -2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（ ）A ．2k -2B ．k -1C ．kD ．k+1【答案】A【解析】先根据0＜k ＜2判断出k -2的符号，再判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．【详解】∵0＜k ＜2，∴k -2＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤2，∴当x=2时，y 最小=2（k -2）+2=2k -2．故选A ．【考点】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，y 随x 的增大而减小。

3．（2018·广东初二学业考试）一次函数()y k 1x k =--的大致图象如图所示，关于该次函数，下列说法错误的是( )A ．k 1>B ．y 随x 的增大而增大C ．该函数有最小值D ．函数图象经过第一、三、四象限【答案】C 【解析】根据一次函数的增减性确定有关k 的不等式组，求解即可． 【详解】观察图象知：y 随x 的增大而增大，且交与y 轴负半轴，函数图象经过第一、三、四象限，所以，k - 1> 0 , - k<0 , 解得：k 1>，该函数没有最小值，故选C ．【点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数对函数图象的影响，难度不大．二、填空题4．（2020·辽宁初二期末）已知一次函数2y x =-+，当31x -≤≤-时，y 的最小值是________．【答案】3【解析】根据一次函数的性质得出当31x -≤≤-时，y 的取值范围即可．【详解】∵k=-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当31x -≤≤-时，∴x = - 1 时，函数值最小，最小值为3. 故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．5．（2019·安徽省桐城市黄岗初中初二月考）在一次函数23y x =+中，当 05x ≤≤时，y 的最小值为____________.【答案】3【详解】k =2>0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x =0时，y 有值小值，把x =0代入y =2x +3得y =0+3=3．故答案为3．【点拨】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降；当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴．6．（2019·江西初二期末）已知一次函数y ＝﹣2x +5，若﹣1≤x ≤2，则y 的最小值是_____．【答案】1【详解】解：∵一次函数y ＝﹣2x +5，k ＝﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵﹣1≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 的最小值是1，故答案为：1【点拨】此题主要考查了一次函数，根据一次函数的性质得出其增减性是解答此题的关键． 7．（2018·梅州市梅县区松口中学初二月考）在一次函数23y x =+中，y 随x 的增大而____________（填“增大”或“减小”），当 05x ≤≤时，y 的最小值为____________.【答案】增大 3【解析】由题意得：∵一次函数y=2x+3中，k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，∵此函数为增函数，∴当0≤x≤5时，y 的最小值为x=0时，y 最小=3．8．（2019·北京市第十一中学初二月考）在一次函数y ＝﹣2x +3中，y 随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”），当﹣1≤x ≤3时，y 的最小值为_____．【答案】减小 ﹣3【解析】根据一次函数的性质得一次函数23y x =+﹣，y 随x 的增大而减小；然后计算3x =时得函数值即可得到y 的最小值．【详解】∵k ＝﹣2＜0，∴一次函数y ＝﹣2x +3，y 随x 的增大而减小；当x ＝3时，y ＝﹣2x +3＝﹣3．∴当﹣1≤x ≤3时，y 的最小值为﹣3．故答案为减小，﹣3．【点拨】本题考查了一次函数的性质：0k >，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；0k <，y 随x 的增大而减少，函数从左到右下降.题型 二：几何图形中最值问题；一、选择题9．（2019·广东红岭中学初二期中）一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点(2,0)A ,(0,4)B ,点C ,D 分别是OA ,AB 的中点,P 是OB 上一动点.则DPC ∆周长的最小值为（ ）A ．4B C ． D ．2【答案】D 【解析】作C 点关于y 轴的对称点C '，连接'DC ，与y 轴的交点即为所求点P ，用勾股定理可求。

第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．典型问题兴趣篇1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少? 答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。

个位数字可能是：1、3、5、7、9。

通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，7×9×1=63个位最小是3.2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?答案：9分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。

满足条件的是412和421.差是421-412=9.3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?答案：36平方厘米；30平方厘米。

分析：（1）矩形的周长是24厘米。

长和宽的和：24÷2=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。

和是12的两数差为0是积最大。

这两个数相等都是6.即长和宽相等面积是6×6=36（平方厘米）。

（2）周长是22厘米。

长和宽的和是22÷2=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不是整数。

差是1时两数分别为6和5.积是30.4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小积越大。

19÷3=6……1，6+6+6=18再加1得19，三个数分别是6、6、7时积最大。

最大是6×6×7=252. 5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填?答案：（1）41×32 （2）542×631分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位，1、2在个位。

解决几何图形最值问题的方法（二）附答案---代数方法一、知识要点：几何图形最值问题是近年来各类考试的常考题型，解决这类问题的方法大致有两类，（1）几何方法：利用几何图形的性质求最值.（2）代数方法：借助题目中几何图形的性质建立两个相关变量间的函数关系式，并能通过函数的最值来探求图形中某些元素的最值。

二、题型：（一）利用配方法求几何图形最值1．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=2(4)2x-，根据勾股定理然后用配方法即可求解．解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．2．如图，正方形ABCD边长为4，M，N分别是边BC，CD上的两个动点且AM MN⊥，则AN的最小值是（）A ．4B ．5C ．25D ．42解：∵AM MN ⊥，∴90AMB CMN ∠+∠=而90AMB MAB ∠+∠= ，∴MAB NMC∠=∠又∵90B C ∠=∠= ，∴ABM ∆∽MCN∆∴AB BM MC CN=若设BM x =，则4CM x=-于是有44x x CN =-，∴1(4)4CN x x =-∴221144(2)344DN CN x x x =-=-+=-+即：当2BM =时，DN 取最小值为3，而22AN AD DN =+又4AD =为定值，所以当DN 取最小值时，AN 取最小值此时22435AN =+=即当DN 取最小值3时，AN 取最小值5．故选：B ．3．在平面直角坐标系中，已知(2,4)A ，(1,0)P ，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC ∆，使点C 在x 轴上，90BAC ∠= ，M 为BC 的中点，则PM 的最小值为（）A ．172B 17C ．55D 5解：如图，过点A 作AH y ⊥轴于H ，过点C 作CE AH ⊥于E ，则四边形CEHO 是矩形，∴4OH CE ==，∵90BAC AHB AEC ∠=∠=∠= ，∴90ABH HAB ∠+∠= ，90HAB EAC ∠+∠= ，∴ABH EAC ∠=∠，∴AHB ∆∽CEA ∆，∴AH BH EC AE =，即24BH AE=，∴2AE BH =，设BH x =，则2AE x =，∴22OC HE x ==+，4OB x =-，∴(0,4)B x -，(22,0)C x +，∵BM CM =，∴4(1,)2x M x -+，∵(1,0)P ，∴22245416()()2455x PM x x -=+=-+，∴PM 164555=，故选：C ．4．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，P 是BC 边上不同于,B C 的一动点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为Q ，连接AP ．若3AC =，4BC =，则AQP ∆的面积的最大值是（）A ．254B ．258C ．7532D ．7516解：设(04)BP x x =<<，由勾股定理得5AB =，∵90PQB C ∠=∠= ，B B ∠=∠，∴PBQ ∆∽ABC ∆，∴PQ QB PB AC BC AB ==，即345PQ QB x ==∴35x PQ =，45x QB =，2211346362575(5()225525225832APQ x x S PQ AQ x x ∆=⨯=⨯⨯-=-+=--+∴当258x =时，AQP ∆的面积最大，最大值是7532．故选：C ．5．如图，已知边长为10的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连接AE ，G 是BC 延长线上的点，过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的角平分线于点F ，若FG BG ⊥．（1）求证：ABE ∆∽EGF ∆；（2）若2EC =，求CEF ∆的面积；（3）请直接写出EC 为何值时，CEF ∆的面积最大．【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出BAE FEG ∠=∠，进而得出ABE ∆∽EGF ∆，即可得出结论；（2）先求出8BE =，进而表示出2EG FG =+，由ABE ∆∽EGF ∆，得出AB BE EG FG=，求出FG ，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出2125(5)22CEF S x ∆=--+，即可得出结论．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，EF AE ⊥，∴90B G AEF ∠=∠=∠= ，∴90BAE AEB ∠+∠= ，90FEG AEB ∠+∠= ，∴BAE FEG ∠=∠，∵90B G ∠=∠= ，∴ABE ∆∽EGF ∆；（2）∵10AB BC ==，2EC =，∴8BE =，∵FG CG =，∴2EG CE CG FG =+=+，由（1）知，ABE ∆∽EGF ∆，∴AB BE EG FG =，∴1082FG FG =+，∴8FG =，∴1128822CEF S CE FG ∆=⋅=⨯⨯=；（3）设CE x =，则10BE x =-，∴EG CE CG x FG =+=+，由（1）知，ABE ∆∽EGF ∆，∴AB BE EG FG =，∴1010x x FG FG -=+，∴10FG x =-，∴22111125(10)(10)5)22222CEF S CE FG x x x x x ∆=⋅=⋅-=--=--+，当5x =时，CEF S ∆的最大值为252．6.如图1，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．(1)求证:DEC EDA ≌；(2)求DF 的值；(3)如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作AEC 的内接矩形，使其定点Q 落在线段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．解析:(1)证明:由矩形的性质可知ADC CEA ≌，∴AD CE =，DC EA =，ACD CAE ∠=∠，在ADE 与CED 中AD CE DE ED DC EA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴DEC EDA SSS ≌（）；(2)解:如图1，∵ACD CAE ∠=∠，∴AF CF =，设DF x =，则4AF CF x ==﹣，在Rt ADF 中，222AD DF AF +=，即2223(4)x x +=-，解得；78x =，即78DF =．(3)解:如图2，由矩形PQMN 的性质得PQ CA∥∴PE PQ CE CA=又∵3CE =，225AC AB BC =+=设03()PE x x =＜＜，则35x PQ =，即53PQ x =过E 作EG AC ⊥于G ，则PN EG，]∴CP PN CE EG=又∵在Rt AEC 中，EG AC AE CE ⋅=⋅，解得125EG =∴31235x PN -=，即4(3)5PN x =-设矩形PQMN 的面积为S 则224434()3(03)332S PQ PN x x x x =⋅=-+=--+＜＜所以当32x =，即32PE =时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3．（二）利用判别式求几何图形最值1.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，60A ∠= ，3AC =P 为AB 边上的一个动点，连接PC ，过点P 作PQ PC ⊥交BC 边于点Q ，则BQ 的最大值为________．解：过Q 作QE AB ⊥于E ，过C 作CF AB ⊥于F ，∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，60A ∠= ，3AC =，∴30B ∠= ，∴23AB AC ==36BC ==，∵90AFC ∠= ，60A ∠= ，∴30ACF ∠= ，∴3AF =，3CF =，设PF x =，BQ y =，∴1122QE BQ y ==，32BE y =，∴3332PE y x =-，∵PQ PC ⊥，∴90PEQ CFP CPQ ∠=∠=∠= ，∴90EQP EPQ EPQ CPF ∠+∠=∠+∠= ，∴PQE CPF ∠=∠，∴PEQ ∆∽CFP ∆，∴EQ PE PF CF =，∴333223y y x x --=∴2333)022x y x y +-+=，∵方程有实数解，∴0∆≥，∴233)602y y --≥，整理得，220360y y -+≥，解得2y ≤或18y ≥（舍去），∴2BQ ≤，∴BQ 的最大值为2．故答案为2．【分析】过Q 作QE AB ⊥于E ，过C 作CF AB ⊥于F ，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．2.如图．直线33=y x 与坐标轴相交于A 、B 两点，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段OA 上、连结OP ，且满足BOP OQP ∠=∠，则当POQ ∠=______度时，线段OQ 的最小值为______．解：如图，过点O 作OE AB ⊥于点E ，过点Q 作QF AB ⊥于点F ，设OQ m =，PE n=∵直线333=+y x A 、B 两点，()(3,0,3A B ∴，3,3OA OB ∴==∴3tan 3OAB ∠=30OAB ∴∠= ，90BOP POQ ∠∠+= ，BOP PQO ∠∠=，90POQ PQO ∠∠∴+= ，90OPQ ∴∠= ，90OEP PFQ ∠∠== ，90OPE FPQ ∠∴+= ，90FPQ PQF ∠∠+= ，OPE PFQ ∠∠∴=，OEP PFQ ∴ ∽，OE PE PF QF∴=，在Rt OAE △中,1322OE OA ==,3332AE OE ==在Rt AQF ∆中，()11322QF AQ m ==-，)3332AF QF m ==-，()()32133333222n m n m ----,整理得,2423930n mn m -+-=,Δ0 ，()2(23)16930m m ∴--,24120m m ∴+-,解得,6(m -舍去)或2m ,m ∴的最小值为2,OQ ∴的最小值为2,此时32n =32PE ∴=22OP OE PE ∴=+3=∴3cos 2OP POQ OQ ∠==∴POQ ∠=30°故答案为：30,2点评：本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题是解题的关键．11。

《最值问题》教案教学内容：教学目标：1、学会枚举、分析推理等方法解决最值问题。

了解均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小。

2、培养学生熟练掌握并灵活运用多数学思想方法来思考以及举一反三的运用能力。

教学重点：各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的。

教学难点：学会确定解决问题的思维方向和解题关键的方法。

教学方法：自主探究、合作交流。

教学准备：多媒体课件教学过程：一、快速抢答：（课件出示）1、世界上最大的鸟是什么鸟？鸵鸟2、世界上最小的鸟是什么鸟？蜂鸟3、世界上最高的山峰是哪座山峰？珠穆朗玛峰(中国、尼泊尔边界)海拔8848米4、世界上最长的河流是哪条河？尼罗河(非洲)6671千米5、最大的三位数比最小的四位数小几？小16、24和36的最大公因数是几？最小公倍数是几？12、72二、导入新课：1、导入新课，板书课题。

在现实生活中，我们经常碰到带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等．我们可把这一大类统称为代数类最值问题，今天，我们一起研究最值问题。

教师板书课题：最值问题。

2、什么是最值问题？在日常生活、生产劳动、商业贸易、科学研究、决策运筹中，经常会遇到这样一类问题：怎样安排时间最省、怎样行走路线最短、怎样管理费用最低、怎样设计面积最大？怎样合作效率最高、怎样加工的使用率最大等等，它们都可以归结为在一定范围、一定条件下求最大值或最小值。

解答这类问题时，要认真审题，根据题目的具体特点，仔细分析，深入思考，灵活、辨证地选择解法。

三、自主探究（一）：1、出示例1：【例1】某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。

在花店这样的装饰品成束出售，由20多花组成的花束每束价值4元，由35多花组成的花束每束价值6元，由50多花组成的花束每束价值9元。

请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？2、引导学生读题，分析题意：3、学生自主探究。

512护士节演讲稿：关于护士的比赛演讲稿512护士节演讲稿：关于护士的比赛演讲稿精选2篇（一）尊敬的评委们，亲爱的各位观众们：大家好！我非常荣幸站在这里，借这个机会向大家分享一些关于护士的故事和我对护士职业的理解。

今天，我要向大家介绍的是护士，这个无私奉献的职业群体。

我相信，这是一个每个人都受益的话题，因为我们每个人在不同阶段都或多或少接触过护士的关怀与照顾。

护士是一个通往健康的守护神，他们用温暖的双手，为患者提供着最贴心的照顾与安慰。

无论是急诊科还是重症监护室，他们都始终站在第一线，毫不犹豫地以仁爱之心缓解患者的痛苦和忧虑。

他们面对生死的考验时，仍然从容镇定，尽心尽力地救治每一位患者。

护士是一个无私的天使，他们时刻都肩负着照顾患者的责任与使命。

无论是节假日还是深夜，他们总是第一时间出现在患者身边，为他们提供关心和支持。

他们舍弃个人利益，只为了患者的健康与幸福。

他们的付出或许得不到外界的关注和赞扬，但他们默默守护着每一位患者的生命。

护士是一个温暖的拥抱，他们时刻给予我们一种安全感和信任。

无论是孩童还是老人，他们总是以亲切和耐心的态度对待每一位患者。

他们用真心和微笑温暖着每一个病房，让患者感受到家的温暖与陪伴。

他们是医疗团队中最亲近患者的一群人，他们的微笑是治愈患者心灵的良药。

护士是一个不断学习的行业，他们始终保持着对新知识和新技术的追求。

医学科技的不断进步，让护士们需要与时俱进，不断学习和更新自己的专业知识，并把最新的医学成果应用到实践中。

他们不仅需要具备专业的医疗技能，还需要具备跨专业的沟通与协作能力。

最后，我想表达我对护士们的敬意和感谢。

感谢你们为我们的健康付出了那么多，感谢你们在每个夜晚守护着我们的安全。

你们付出的一切都值得我们的敬佩和尊重。

谢谢大家！512护士节演讲稿：关于护士的比赛演讲稿精选2篇（二）尊敬的各位领导、亲爱的同事们：大家好！今天我非常荣幸能够在这个特殊的日子里发表演讲，为我们伟大的护士节献上祝福和敬意。

解多边形中的不等与最值问题教师版介绍本文档旨在提供有关解多边形中的不等与最值问题的教师版材料。

本文档将探讨多边形中的不等式和最值问题，并为教师提供一些教学策略和教学资源。

不等与最值问题不等与最值问题是在多边形中探索不等式和最大最小值的数学问题。

通过解决这些问题，学生可以加深对不等式和最值的理解，提高数学推理和问题解决能力。

本节将介绍一些常见的不等与最值问题，包括计算多边形的周长和面积，确定多边形的最长边和最短边，以及确定多边形内最大和最小的角。

教学策略以下是一些教学策略，有助于教师有效地教授解多边形中的不等与最值问题：1. 引入实际问题：通过引入与多边形相关的实际问题，激发学生的兴趣，并将抽象的概念与实际情境联系起来。

2. 组织小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，共同解决不等与最值问题。

这样可以培养学生的合作能力和团队合作精神。

3. 提供示例和练：给学生提供一些示例和练题，以帮助他们巩固所学知识，并提高解决问题的能力。

4. 使用图示和图表：使用图示和图表来可视化多边形的不等与最值问题，帮助学生更好地理解问题，并培养他们的图像思维能力。

5. 提供反馈和评价：及时给予学生反馈和评价，鼓励他们不断改进，并提高解决问题的能力。

教学资源以下是一些有用的教学资源，可以辅助教师教授解多边形中的不等与最值问题：- 多边形计算器：可以用于计算多边形的周长和面积，快速验证学生的计算结果。

- 练题集：提供一些练题，帮助学生巩固所学知识。

- 视频教程：制作一些视频教程，通过图示和解释，向学生展示如何解决不等与最值问题。

- 教学演示文稿：制作一些教学演示文稿，用于课堂演示和讲解。

结论解多边形中的不等与最值问题是培养学生数学思维和问题解决能力的重要内容。

通过采用有效的教学策略和使用合适的教学资源，教师可以帮助学生更好地理解和应用多边形中的不等与最值问题。

祝您的教学工作顺利！。