高中数学大一轮复习讲义(文科)第7讲函数图像

第7讲 函数图像

一、选择题 1．函数＝ln

1

|2x －3|

的大致图像为(如图所示)

( )．

解析

y ＝－ln|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧

－ln (2x －3)，x >3

2，

－ln (3－2x )，x <3

2，

故当x >32时，函数为减函数，当x <3

2时，函数为增函数． 答案 A

2．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是( )． A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增

解析 ①当x ≥0且y ≥0时，x 2＋y 2＝1，②当x >0且y <0时，x 2－y 2＝1， ③当x <0且y >0时，y 2－x 2＝1， ④当x <0且y <0时，无意义．

由以上讨论作图如上图，易知是减函数． 答案 B

3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π

2

则f (t )的值

( )．

A ．大于1

B ．大于0

C ．小于0

D ．不大于0

解析 分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2上的图象，得到

0

1e x 的图象位于函数y ＝tan x 的图象上

方，即00，则f (t )>0，故选B. 答案 B

4．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2

2，0，顶点C 、D 位于第一象限，

直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是

( )．

解析 当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C. 答案 C

5．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )．

解析 当a ＞1或0＜a ＜1时，排除C ；当0＜a ＜1时，再排除B ；当a ＞1

时，排除A. 答案 D

6．如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1， 点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0

( )．

解析 (1)当0

2时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ，

由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI 的面积S ＝FG ×GH ＋1

2FI ×

EF 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12FI 2＝22x －32x 2，

∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×1

2×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x 3－2x 2＋2

6，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D.

(2)当1

2≤x <1时， 过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC

底面FGC 上的高h ＝EC sin 45°＝2

2(1－x )， ∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3， ∴V ′(x )＝－2(1－x )2，

又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，V ′(x )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，

∴函数V (x )＝23(1－x )3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故

排除B ，应选A. 答案 A 二、填空题

7．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |的图像关于直线x ＝2对称，则a 的值为________． 解析 因为函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称，则有f (2＋x )＝f (2－x )对于任意实数x 恒成立，即|x ＋4|＋|x ＋2－a |＝|x －4|＋|x －2＋a |对于任意实数x 恒成立，从而有⎩⎪⎨⎪⎧

2－a ＝－4，

a －2＝4，解得a ＝6.

答案 6

8．使log 2(－x )

解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2 x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知－1

－x >0，

－x <2

x ＋1后作图．

答案(－1,0)

9．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0＜x1＜x

2

＜1的任意x1、x2，给出下列结论：

①f(x2)－f(x1)＞x2－x1；

②x2f(x1)＞x1f(x2)；

③f x

1

＋f x2

2

＜f

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

x1＋x2

2

.

其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．

解析由f(x2)－f(x1)＞x2－x1，可得f x

2

－f x1

x

2

－x1

＞1，即两点(x1，f(x1))

与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确，由x2f(x1)＞x1f(x2)得f x

1

x

1

＞f x

2

x

2

，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，

可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案②③

10．已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－a x，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<1

2

，则实数

a的取值范围是________．

解析由题知，当x∈(－1,1)时，f(x)＝x2－a x<1

2

，即x2 －