第二课时
整体设计
教学目标
1．掌握实数的分类．
2．掌握实数的各种运算，包括加减、乘除、开方、倒数、相反数、绝对值等运算，并且能在运算过程中选取简单的方法． 教学重难点
教学重点：
(1)正确地区分有理数和无理数．
(2)正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系． (3)实数的大小比较和实数的运算． 教学难点：
(1)正确地区分有理数和无理数．
(2)正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系． (3)实数的大小比较和实数的运算． 教学过程
知识点一：实数的分类 设计说明
实数的分类中因为名称杂乱，学生极易将数据分错，如无理数与正数，自然数与整数，小数与分数等，将名称的概念范围分析清楚，再加以训练是一种有效的方法．
例1 把下列各数分别填入适当的集合里：
－3.415,0.013 813 813 8…，36，π5，－381，3
－1，1－3，0,2400，
25121
，－
32，－3514
，0.323 223 222 3…，－32. 自然数集合{ }；整数集合{ }；分数集合{ }； 正数集合{ }；无理数集合{ }；实数集合{ }． 解：自然数集合{36，0,2400，…}； 整数集合{36，0,2400，3
－1，…}； 分数集合⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－3.415，0.013 813 813 8…，
25121，－35
14，…； 正数集
合
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫0.013 813 813 8…，36，π
5，2400，
25
121，0.323 223 222 3…，…； 无理数集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫π5，－3
81，1－3，－32，0.323 223 222 3…；
实数集合
⎩
⎨⎧
－3.415，0.013 813 813 8…，36，π5，－381，3－1，1－3，0，2400，
⎭
⎪⎬⎪⎫25121，－32，－35
14，0.323 223 222 3… 点评：－3.415是有限小数，是分数；0.013 813 813 8…是无限循环小数，是分数；
0.323 223 222 3…每两个连续3之间依次增加一个2，虽然按一定规律排列，但它是无限不循环小数，是无理数.2400＝40，
25121＝511
，36＝6，3
－1＝－1，它们不是无理
数.－32没有意义，不是实数．
例2有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为64时，输出的y的值是( )．A．8 B．2 2 C．4 D. 2
图1
解析：本题主要考查无理数的定义，当x为64时，x＝64＝8是有理数，再次取算术平方根.8＝22，22是一个无理数，所以输出的y的值是2 2.
答案：B
例3 大家知道5是一个无理数，那么5－1在哪两个整数之间( )．
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
解析：本题考查了用估算法求无理数的值，它是新课标所要求的．
因为4＜5＜9，所以4＜5＜9，即2＜5＜3.
所以2－1＜5－1＜3－1，即1＜5－1＜2.
设计说明
实数与数轴是典型的数形结合关系，因此这部分题目围绕着距离、相反数、绝对值、范围等问题展开，只要引导好学生树立数形结合的观念，“形”帮助理解“数”，“数”更细致地刻画“形”，问题大多可获解决．
例4 判断正误．
(1)带根号的数是无理数．( )
(2)有理数和数轴上的点是一一对应关系．( )
分析：(1)主要在于未能明确无理数的意义．开方开不尽的数才是无理数，带根号的数
不一定是无理数，如9，3
8等都是有理数，看一个数是不是无理数，要看结果而不是看形
式．
(2)未能正确理解一一对应的含义，数轴上有的点是不对应着有理数的，如：数轴上表示2的点就对应的是无理数 2.
解：(1)×(2)×
例5 如图2所示，数轴上表示数3的点是________．
图2
解析：我们知道，数轴上的点对应的可以是有理数，也可以是无理数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系．
由于1＜3＜4，所以1＜3＜4，即1＜3＜2.
这样的点是在1与2之间的数．
答案：C
图3
设计说明
实数的相反数、倒数、绝对值等概念应用比较广泛，在众多题型中，字母表示数的题型难度较大，有较多的不确定因素在里面，除正确理解相关概念外，对“字母表示数”的一般特性要有清醒地认识．
例6 求下列各数的相反数、倒数、绝对值．
(1)－15；(2)327
8；(3)3－π.
解：(1)－15的相反数是15，倒数是－
115
，绝对值是|－15|＝15.
(2)3278⎝ ⎛⎭⎪⎫＝3
2的相反数是－32，倒数是23，绝对值是32
.
(3)3－π的相反数是－(3－π)＝π－3，倒数是1
3－π
，绝对值是|3－π|＝π－3.
点评：根据相反数、倒数、绝对值的意义求解，并注意将结果适当化简．
例7 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足a －1＋b 2
－4b ＋4＝0，求c 的取值范围．
解：将a －1＋b 2－4b ＋4＝0变形，得a －1＋(b －2)2
＝0，
因为a －1≥0，(b －2)2
≥0，所以a －1＝0，b －2＝0，即a ＝1，b ＝2. 由三角形的三边关系，知2－1＜c ＜2＋1，即1＜c ＜3.
点评：本题考查的是非负数性质的应用．由条件可知a －1＋(b －2)2
＝0，这里a －1和(b －2)2都为非负数，显然只有a －1和(b －2)2
都为0，即a ＝1，b ＝2时原等式才成立，则此时三角形的第三边c 的范围可由三角形三边关系来确定．
拓展探究
已知a 是19的整数部分，b 是19的小数部分，求2a ＋b 的值． 解：∵16＜19＜25，
∴16＜19＜25，即4＜19＜5， ∴a ＝4，b ＝19－4，
∴2a ＋b ＝8＋19－4＝4＋19. 课堂练习
1．在4，－1
2
，0，3，3.145，π这6个数中，无理数共有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．和数轴上的点一一对应的是( )．
A ．整数
B ．非正实数
C ．有理数
D ．实数 3．负数a 与它的相反数的差是( )．
