人教版高中数学 立体几何

2
s2 h1 2 两个锥体的体积相等 s h
2

1
s
2
V三棱锥
1 sh 一个底面为s高为 3 1 h的
定理 等底等高的两
个锥体的体积相等
sh 定理 V锥体 棱锥的体积如何求呢？ 3
V圆锥 1 2 r h 3

s圆锥 r
2
V柱体= sh
V锥体

1 sh 3
1 V台源自文库＝ ( S上 S上 S下＋S下）h 3
直。
a 6 、三垂线定理的逆定理
6、三垂线定理 在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直， 则它也和这条斜线垂 直。
PB 面PAB a PB
四、空间两个平面 1、位置关系
（1）平行：无公共点，记为 // . （2）相交：有一条公共直线，记为 a( AB).
P

A

B

a
四、空间直线与平面 7、三垂线定理证明
已知：PA , PB B, a AB
P

A

B

a
证明： PA
PA a 在平面内的一条直线， 又AB a 如果和这个平面的一 PA AB A 条斜线垂直，则它也 a 面 PAB 和这条斜线的射影垂
V锥体

1 sh 3
1 V多面体＝ （s1 s2 ... sn )h 3 当n ＋时
（s1 s2 ... sn ) s球 hR
1 V球＝ S球 R 而S球 4R 2 3 4 3 V球＝ R . 3
例2：设直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AB、 C1D1 确定的平面与底面成600的二面角，SABC1D1=Q,求此平行六面 体的全面积。 D1 C1 D1D 面ABCD A1 D B1 过D作DH AB, 连结D1H C 由三垂线定理 A H B D1HD为面ABC 1D1与底面的二面角
3 D1D D1H sin 60 D1H 2 1 同理 DH D1H 2 而Q AB D1H

则D1HD 60
S侧4 AB AA 1 4 AB DD 1
2、面面平行的判定
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 则这两个平面平行。
线线平行 3、二面角
线面平行
面面平行
A

从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形叫二面角。
AB—二面角的棱
、 —二面角的面
记为：二面角 AB .
B

四、空间两个平面
4、二面角的平面角
以二面角的棱上任意点为端点，在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角叫二面角的平面角。即AOB
A


o
B
A B/
0/
B A/
例1：面CDEF表示水平面，面ABCD表示一山坡所在平面，山坡 与水平面成600的二面角。山坡上一条直道MN，它与坡脚的水 平线CD的夹角300，沿MN上山，行走100米后，升高多少米？
MH 面CDEF
PH是PM的射影 由作法PH CD 即PM的射影垂直于 CD
b a


3、异面直线的垂直
若两异面直线所成的角是直角，则称两异面直 线垂直，记为 a b. D1
C1 B1
4、异面直线间的距离
两异面直线间公垂线段的长度。
A1
D A B
C
四、空间直线与平面 1、位置关系
（1）直线在平面内， 记为 a . （2）直线与平面相交， 记为 a A.
c b a A
线线垂直
线面垂直

四、空间直线与平面 4、斜线与斜线在平面上的射影 5、直线与平面上所成的角 一条直线和它在平面上的射影
P 斜线

垂足
A

B

斜足
射影
所成的锐角。 l , 或l // 时，为 0。 . l 时，为 90。 . 6、三垂线定理
在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射 影垂直，则它也和这条斜线 垂直。
A1 D1 B1 C1
3、圆柱、圆锥、圆台
4、多面体和旋转体的体积
V长方体=
sh sh
V柱体= V长方体 =
思路： 借助已知体积的几何体求体积
V柱体= sh
V柱体= sh
V柱体= sh
3
2
1
V三棱锥
1 sh 3
S1 h1
s
1
1
h
2
h S2 1 h
s
s h 定理 等底等高的 h s s



A
a
P
C
B
三、空间两直线 1、位置关系 （1）平行: 同一平面内，没有公共点 （2）相交: 同一平面内，有且仅有一个公共点

共 面
（3）异面: 不同在任何一平面内，没有一个公共点
D1 A1 B1 C1
b a
D A B
C

三、空间两直线 2、异面直线所成的角
经过空间中一点o，分别作a、b的平行 b ， a和 b 所成的锐角或直角。 线 a、


A
（3）直线与平面平行，
记为 a // .
a

2、直线与平面平行的判定
平面外一直线与平面内一直线平行，则这条直线与 平面平行。 线线平行 线面平行
四、空间直线与平面 3、直线与平面垂直的判定 ①定义：如果一条直线与一个平面内的 任何一条直线都垂直，称这条直线与平 面垂直。
②判定定理：如果一条直线与一个平面 内的两条相交直线都垂直，则这条直线 与平面垂直。
一、从平面到空间 1、立体几何中的元素
A
A
a
B

点、 直线、 平面
2、立体图的画法
1
45
2
C1 B1
D1 A1
D A B
C
3、一些几何模型
二、平面的性质 公理1：如果一条直线上两点在 平面内，则这条直线在平面内。 公理2：如果两个平面有一个公 共点，则它们有且仅有一条通过 该点的公共直线。 公理3：经过不在同一直线上的 三点有且仅有一个平面。 公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行。
B F C N
30
0
由三垂线定理知 PM CD 又PH CD P MPH为二面角的平面角
在RtMPN中
MP MN sin 30 A 50
M
600
A E D
在RtC MPH 中 M
B
H
P
MH MP sin 60 25 3
四、多面体和旋转体
1、多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体叫多面体。 D C 各个多边形——多面体的面 A B 两个面的公共边——多面体的棱 若干个面的公共顶点——多面体的顶点 2、棱柱、棱锥、棱台