3第二章 光的叠加与分析

对于相干光波 ：
E ( P)
Ei ( P )
N i 1
即N列相干光波的振幅满足线性迭加关系。 波在传播中不服从迭加原理的媒质称为“非线性媒质”。
2.1 两个频率、振动方向、传播方向 相同的光波的迭加 2.1.1代数加法
设两个频率相同、振动方向相同的单色光波分别发自光源S1、 S2，P点是两光波相遇区域内的任意一点，P到S1和S2的距离 分别为r1和r2且其初位相为零，则两光波各自在P点产生的光 振动可以写为： S
E 2a cos kz cos t 2 2
此式表明：合成波上任意一点都作圆频率为 的简谐振动。 但合成波振幅不是常数，与各点坐标有关。
1 ) （m=0、1、 2）时，振幅为零。 2 2 振幅为零的点称为波节，两波节间距为 /2。
A a1 a2 2a1a2 cos( 2 1 )
2 2 2
a1 sin 1 a 2 sin 2 tg a1 cos 1 a 2 cos 2 a2
A α2
α1
a1 α X
O 相幅矢量法对于多个简谐振动的合成特别有用。
2.2驻波
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色波产生驻波。
线偏振光
54.370 54.370
圆偏振光
2.2.1驻波的形成
设两束反向传播的光波的波函数：
E1 a cos(kz t )
合成波函数：
E1 ' a cos(kz t )
E E1 E1 ' a cos(kz t ) a cos(kz t )
合差化积：
E 2a cos kz cos t 2 2
干涉:在叠加区域出现的光强度稳定的强弱分布现象称为光的 干涉，把产生干涉的光波称为相干光波，把光源称为相干光 源。
强度分布是否稳定是区别相干和不相干的主要标志。
2.1.1复数方法
仍考虑两束同向传播的平面波的叠加问题，原光波的波函 数可以分别写成 ：
E1 a1 exp[i (1 t )] E2 a2 exp[i (2 t )]
2.3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
设 从S1、S2发出的两束振动方向垂直线偏振光在P点的 光振动分别为：
Ex a1 cos(kz1 t )
E y a2 cos(kz2 t )
S1
S2
z1
z2
y x P
z
P点的合振动为：
E x0 Ex y0 E y x0a1 cos(kz1 t ) y0a2 cos(kz2 t )
与独立传播定律类似，叠加原理适用性也是有条件的。这条 件,一是媒质,二是波的强度。
光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。 光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。 波在传播中服从叠加原理的媒质称为“线性媒 质”。 此时，对于非相干光波：
I ( P)
I
i 1
N
i
( P)
即N列非相干光波的强度满足线性迭加关系。
显然，E仍垂直于传播方向，但一般不再与x、y轴同向。 令kz1=α1,kz2=α2，消去时间t，可得合矢量末端的运动轨迹：
Ex E y E 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) a a2 a1a2
2 x 2 1
2 Ey
令α2-α1=δ，则：
Ex E y E 2 2 cos sin 2 a a2 a1a2
在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构成的螺旋线 的旋向与光传播方向成右手螺旋系统；而右旋椭圆偏振光的 情形、螺旋线的旋向与关传播方向成左手螺旋系统。
2.3.4 椭圆偏振光的强度
在矢量形式下光波的强度一般地可写成（1.54）：
2 I S v E
在同一介质内时，可简单地写成：
2 x 2 1
2 Ey
此式是一个椭圆方程式，表示合矢量末端的轨迹是一个椭圆。 该椭圆内接于一个长方形，长方形各边与坐标轴平行，边长 为2a1和2 a2 。如图示。椭圆的长轴与轴的夹角：
Ey
2a1a2 tg 2 2 cos 2 a1 a2
由于两叠加光波的角频率为ω，故P 点合矢量沿椭圆旋转的角速度为ω 。 我们把光矢量周期性地旋转，其末 端轨迹描成一个椭圆的这种光称为 椭圆偏振光。
可见：P点的振动也是一个简谐振动，振动频率和振动方向都与 两单色光波相同，而振幅A和初位相分别由上两式决定。 若两个单色光波在P点振幅相等，即a1=a2=a 则P点的合振幅：
2 1 2 2 A a1 a2 2a1a2 cos( 2 1 ) 4a cos ( ) 4a cos 2 2
2a2
β 0 Ex
2a1
2.3.2 几种特殊情况
Ex E y E 2 2 cos sin 2 a a2 a1a2
2 x 2 1 2 Ey
由上式可知，椭圆形状由两叠加光波的位相差δ和振幅比 a2/a1 决定。 在两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光。 1. δ=0 或 ±2π的整数倍时， 椭圆方程为： E y
a1 sin 1 a2 sin 2 A sin
即：
2 A2 a12 a2 2a1a2 cos( 2 1 )
a1 sin 1 a2 sin 2 tg a1 cos 1 a2 cos 2
P点的合振动为 ：
E A cos cos t A sin sin t A cos( t )
1
E1 a1 cos(kr 1 t ) E2 a2 cos(kr2 t )
r 1
P
S2
r2
式中a1和a2分别为两光波在P点的振幅，由叠加原理，在P点 处的合振动为：
E E1 E2 a1 coskr 1 t a2 coskr 2 t
令： 1 kr 1
2 kr2
则： E a1 cos(1 t ) a2 cos(2 t )
展开上式：
E (a1 cos 1 a2 cos 1 ) cos t (a1 sin 1 a2 sin 2 )sin t
令： a1 cos 1 a2 cos 2 A cos
Aexp i exp it
A exp i t
该式取实部之后正是（2.7）式。
A A exp i A exp i *
2
其振幅和位相的计算结果均与代数方法相同。
2.1.3相幅矢量法
这是一种图解法。 相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相。 利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求和运算，也可以得到 与前相同的结论。
第二章 光的叠加与分析
本章概述： 频率、振幅和位相都不相同的光波的叠加，情形很复杂。
本章只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光 波的叠加，这种情况下可以写出结果的数学表达式。
由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余弦函数和 正弦函数表示的单色光波，因此讨论单色光波就十分 重要了。 两个（或多个）光波在空间某一区域相遇时，所发生 的光波的叠加问题是研究干涉、衍射、偏振等现象的 共同基础。
a2 Ex a1
此式表示：合矢量的末端的运动沿着一条经过坐标原点而斜 率为 a2/a1的直线进行。
2. 2 1 (m ) 2
a 椭圆方程为：E 2 E y x a1
即，合矢量的末端运动沿着一条经过坐标原点而斜率为-a2/a1的 直线进行。 3.
2 2 2 2 2
I 4 I 0 cos 2 (
2
1
2 1 I0 a2 δ= α2 -α1是两光波在P点的位相差.此式表明在P点叠加后的光强 度决定于位相差。 当δ=±2mπ (m=0、1、2… )时， P点光强最大 ；I=4I0 当δ=±2（m+1/2)π (m=0、1、2… )时， P点光强最小;I=0 δ介于上两者之间时, P点光强在0 ~ 4I0之间。
当
kz

(m
当
kz
ห้องสมุดไป่ตู้

2
m
（m=0、1、 2）时，振幅最大，为2a。
振幅最大的点称为波腹，两波腹间距为 /2。
E 2a cos kz cos t 2 2
合成波上任意点的振动位相都相同，即波的位相与z无关。 亦即不存在位相的传播问题，故把这种波叫做驻波。反之 称为行波。
P点合振动：
E E1 E2
a1 exp[i(1 t )] a2 exp[i(2 t )]
a1 exp i1 a2 exp i 2 exp it
E a1 exp i1 a2 exp i 2 exp it
本章的理论基础： 波的独立传播原理：两列光波在空间交迭时，它的传 播互不干扰,亦即每列波如何传播，就像另一列波完 全不存在一样各自独立进行.此即波的独立传播定律。 必须注意的是：此定律并不是普遍成立的。
例，光通过变色玻璃时是不服从独立传播定律的。
波的叠加原理：当两列(或多列)波在同一空间传播时， 空间各点都参与每列波在该点引起的振动。若波的独立 传播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在时，在它 们的交叠区域内每点的振动是各列波单独在该点产生振 动的合成。
2 I E
由于椭圆偏振光是由振动方向互相垂直的两线偏振光 叠加构成，则
I ( x0 E x y0 E y )( x0 E x y0 E y )
E 2 x E 2 y
即， I
Ix Iy
此式表明椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相 垂直的单色光波的强度之和，它与两个叠加波的位相无关。
1 2
m 0,1,2

2
及其奇数倍时
椭圆方程为：
E E 2 1 a a2
2 x 2 1
2 y
此为一正椭圆,长短轴与x，y轴重合。
若两光波的振幅a1、a2相等，为a。 椭圆方程为： E x
2
E2 y a2
这实际上是一个圆的方程，表示一个圆偏振光。
2.3.3 左旋和右旋
根据合成矢量的旋转方向不同，可将椭圆偏振光分为左旋 和右旋两种。 通常规定: 对着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向旋转 时，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。 sinδ>0 sinδ<0 左旋情况 右旋情况
0
n
这样：

2
0
n(r2 r1 )
式中n(r2–r1)称为光程差,以后用符号D表示。 光程:光波在某一介质中所通过的几何路程和这介质的折射 率的乘积。 光程差与相位差相对应。 D= n(r2–r1)=±mλ0 (m=0、1、2… ) 时 即光程差为波长的整数倍，P点光强最大。 D= n(r2–r1)=±（m+1/2 ) λ0 (m=0、1、2… )时 即光程差等于半波长的奇数倍，P点光强最小。 实际在计算相位差的时候，还要考虑光源处的初相差。
这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用于圆偏振光和自然光。
由此结论，说明两振动方向互相垂直的光波在叠加区域内 各点的光强度都应等于两个光波的强度之和，即此时不发 生干涉现象。
2.3.5 利用全反射产生椭圆偏振光和圆偏振光
利用菲涅耳菱体：入射线偏振光振动方向与入射面成450。经 过菱体的下两次全反射后，出射光就是圆偏振光。
2
) 4 I 0 cos 2
2
从前面可知,我们很容易把位相差表示为P点到光源的距离r1 之r2差：
1 kr1
2 kr2
所以： k ( r r ) 2 1 2 1 即：
2

(r2 r1 )
式中为光源在介质中的波长， 0为真空中的波长，n为介质折射率 。