应力状态的基本概念1

sa
ds a 令 da
sx s y
2
a a 0

s x s y
2
cos 2a t xy sin 2a
s x s y sin 2a 0 2t xy cos2a 0 0
Leabharlann Baidu sa
s x s y
2

s x s y
2
cos 2a t xy sin 2a
sx sy sx sy 2 sm ax 2 ±（ ） txy 2 2 sm in
2
s y Ssin 2a t yx S sina cos a 0 s x s y s x s y sa cos 2a t xy sin 2a 2 2 s x s y ta sin 2a t xy cos 2a 同理： 2
（或莫尔圆，德国工程师） 2、应力圆 对上述方程消去参数（2a），得：
第八章 强度理论 组合变形
8.1平面应力状态分析 一、应力状态的基本概念 1、概述 引言：在讨论拉压、扭转、剪切、弯曲时，建立的强度条 件都是分别建立正应力或剪应力的强度条件。 组合变形怎么办？
4
1 3

2
再有杆件内任意一点处不同方位的截面上应力是不同的。
2、应力状态的概念 定义：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力 情况的集合，称为这点的应力状态。 如何研究？取单元体。 单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限 小的几何体，常用的是正六面体。显然， 各个面上，应力均布；平行面上，应力相等。
tyx
n 规定： sy sa sa ——截面外法 线同向为正； a t t a ——绕研究对 sx sx ta tyx 象顺时针转为正； txy sy a ——逆时针为 正。 设斜截面面积为S，由分离体平衡得：
F 0
n
s a S s x S cos a t xy S cos a sina
a 0 a1
4
0 , 即极值剪应力面与主 平面 成 45
30
例:已知应力状态（MPa）,求主应 力并画出主单元体。 解： s 80MPa x
80
s max 90 2 2 MPa 40 40 30 40 50 s min 10
方位a 0
4、 极值剪应力
ta
dt a 令 da
s x s y
2
0
sin 2a t xy cos 2a
s x s y tg2a1 2t xy
tg2a 0 2t xy
a a1
s x s y
s s t max x y 2 t 2 ± （ ） xy 2 t min tg2a 0 tg2a1 1

普遍状态下的应力表示 注意：剪应力符号与正 应力保持一致
s
y
y
空间应力状态
sz
z
txy
sx
x
二、 平面应力状态分析 如果单元体有一对平面上的应力为零，则称为平面应力 状态。 y
sy
sx
x
sy
t yx
sx
txy
z
txy
两种特殊情况
C
t xy
sx
A
sx
纯剪切应力状态 单（轴）向应力状态
1、任意斜截面上的应力
C O B(sy ,tyx)
txy
x A(sx ,txy)
2a
sa

两面夹角a 且转向一致。
x 两半径夹角2a ；
思考题：在何种情况下，平面应力状态下的应力圆符 合以下特征： s s t 0 x y （1）一个点圆； xy （2）圆心在原点； s x s y （3）与y轴相切。

s x s y s x s y 2 t xy 2 2 2 s xs y t xy
2
2
例题: 已知应力圆。画出 初始单元体及其应力主单 元体(单位：MPa)。 解：初始单元体
20
20
ta
Dy
C
40
sx
Dx
8.28
主单元体
48.28
22.5

有三个主应力：两个求出的主应力加上平面应力状态固 有的等于零的主应力（相互垂直）。按代数值由大到小 s 3 表示，且 s 1 s 2 s 3 顺序排列，分别用 s1、s 2 、

根据主应力的大小和方向可以确定材料何时发生失效 或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应 力是反映应力状态本质的特征量。
s x s y s x s y 2 2 s t t a xy a 2 2
圆心坐标 ：
2
2
s x s y 2 ,0
半径 ：
ta
s x s y 2
2
2 t xy
60 3 tg 2a 0 80 4
s max
18.45
s y 0 t xy 30MPa
a 01 18.45
o
a 02 71.55
o
x
s min
sy
补充：单元体与应力圆的对应关系 a面上的应力(s a，t a) 应力圆上一点(s a，t a)
n
sa ta
y O
a
sx
ta n D( sa , ta
C O
sa
s x s y 2
2 t xy
2
s x s y
2
德国工程师Christian Otto Mohr 摩尔 Moore, Raymond Cecil 1892.2.20~ 1974.4.16, 美国美国古生物学家 戈登·摩尔Gordon Moore,1929版本1：集成电路芯片上所集成的电路的 数目，每隔18个月就翻一番。 版本2：微处理器的性能每隔18个月提高 一倍，而价格下降一半。 版本3：用一个美元所能买到的电脑性能， 每隔18个月翻两番。
¢ Í ° Е ª ¶ Ä û (O.Mohr),1835« ¡ 1918
3、主应力与主平面 表明：主应 主平面：剪应力为零的截面。 力具有极值 主应力：主平面上的正应力。 的性质。 主方向：主平面法线方向即主应力方向。 主应力是所 s x s y 有垂直于xy ta sin 2a t xy cos 2a 坐标平面的 2 方向面上正 2t xy 主应力 tg2a 0 应力的极大 s x s y 值或极小值。