【数学】数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知 Rt△ ABD 中，边 AB=OB=1，∠ ABO=90° 问题探究： （1）以 AB 为边，在 Rt△ ABO 的右边作正方形 ABC，如图（1），则点 O 与点 D 的距离 为． （2）以 AB 为边，在 Rt△ ABO 的右边作等边三角形 ABC，如图（2），求点 O 与点 C 的距 离． 问题解决： （3）若线段 DE=1，线段 DE 的两个端点 D，E 分别在射线 OA、OB 上滑动，以 DE 为边向 外作等边三角形 DEF，如图（3），则点 O 与点 F 的距离有没有最大值，如果有，求出最大 值，如果没有，说明理由．
4．阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这 个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材 料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形
．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是
∴ BC∥ AD，即 BC∥ DG， 由折叠可知，BC＝DG， ∴ 四边形 BCGD 是平行四边形， ∵ AD⊥BD， ∴ ∠ CBD＝90°， ∴ 四边形 BCGD 是矩形； （2）由折叠可知：EF 垂直平分 BD， ∴ BD⊥EF，DP＝BP， ∵ AD⊥BD， ∴ EF∥ AD∥ BC，
∴ AE PD 1 BE BP
【答案】(1)见解析；（2） 4 3 ；（3）见解析
【解析】 试题分析：（1）先求证 AB=AC，进而求证△ ABC、△ ACD 为等边三角形，得∠ 4=60°， AC=AB 进而求证△ ABE≌ △ ACF，即可求得 BE=CF； （2）根据△ ABE≌ △ ACF 可得 S△ ABE=S△ ACF，故根据 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC 即可解题； （3）当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．△ AEF 的面积会随着 AE 的变化 而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据 S△ CEF=S 四边形 AECF-S△ AEF，则 △ CEF 的面积就会最大. 试题解析：（1）证明：连接 AC， ∵ ∠ 1+∠ 2=60°，∠ 3+∠ 2=60°， ∴ ∠ 1=∠ 3， ∵ ∠ BAD=120°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=60° ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD， ∴ △ ABC、△ ACD 为等边三角形 ∴ ∠ 4=60°，AC=AB， ∴ 在△ ABE 和△ ACF 中，
=
=
=； （3）解：由“垂线段最短”可知， 当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短． 故△ AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面积会最小， 又 S△ CEF=S 四边形 AECF﹣S△ AEF，则△ CEF 的面积就会最大． 由（2）得，S△ CEF=S 四边形 AECF﹣S△ AEF
=﹣
=．
点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全 等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ ABE≌ △ ACF 是解题 的关键．
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD⊥DB，垂足为点 D，将平行四边形 ABCD 折叠，使点 B 落在点 D 的位置，点 C 落在点 G 的位置，折痕为 EF，EF 交对角线 BD 于点 P． （1）连结 CG，请判断四边形 DBCG 的形状，并说明理由； （2）若 AE＝BD，求∠ EDF 的度数．
OC= OE2 CE2 计算即可．(3)、如图 3 中，当 OF⊥DE 时，OF 的值最大，设 OF 交 DE 于
H，在 OH 上取一点 M，使得 OM=DM，连接 DM．分别求出 MH、OM、FH 即可解决问 题． 【详解】 试题解析：(1)、如图 1 中，连接 OD，
∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB=BC=CD=AD=1，∠ C=90°在 Rt△ ODC 中，∵ ∠ C=90°， OC=2，CD=1，
∴ AE＝BE， ∴ DE 是 Rt△ ADB 斜边上的中线， ∴ DE＝AE＝BE， ∵ AE＝BD， ∴ DE＝BD＝BE， ∴ △ DBE 是等边三角形， ∴ ∠ EDB＝∠ DBE＝60°， ∵ AB∥ DC， ∴ ∠ DBC＝∠ DBE＝60°， ∴ ∠ EDF＝120°． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用 定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度
∴ ∠ MOD=∠ MDO=22.5°， ∴ ∠ DMH=∠ MDH=45°， ∴ DH=HM= 1 ， ∴ DM=OM= 2 ，
2
2
∵ FH= DF 2 DH 2 3 ， ∴ OF=OM+MH+FH= 2 1 3 = 3 2 1 ．
2
222
2
∴ OF 的最大值为 3 2 1 ． 2
考点：四边形综合题．
2．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF 为正三角形，E、F 在菱形的边 BC，CD 上． （1）证明：BE=CF． （2）当点 E，F 分别在边 BC，CD 上移动时（△ AEF 保持为正三角形），请探究四边形 AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． （3）在（2）的情况下，请探究△ CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如 果变化，求出其最大值．
【解析】 【分析】 （1）如图①中，结论：CA=CE+CF．只要证明△ ADF≌ △ ACE（SAS）即可解决问题；
（2）结论：CF-CE= 4 AC．如图②中，如图作 OG∥ AD 交 CF 于 G，则△ OGC 是等边三角 3
形．只要证明△ FOG≌ △ EOC（ASA）即可解决问题； （3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题. 【详解】 （1）如图①中，结论：CA=CE+CF．
【答案】(1)、 5 ；(2)、 6 2 ；(3)、 3 2 1 .
2
2
【解析】
【分析】
试题分析：(1)、如图 1 中，连接 OD，在 Rt△ ODC 中，根据 OD= OC2 CD2 计算即
可．(2)、如图 2 中，作 CE⊥OB 于 E，CF⊥AB 于 F，连接 OC．在 Rt△ OCE 中，根据
∴ CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+ 1 AC= 4 AC， 33
（3）作 BH⊥AC 于 H．∵ AB=6，AH=CH=3，
∴ BH=3 3 ，
如图③-1 中，当点 O 在线段 AH 上，点 F 在线段 CD 上，点 E 在线段 BC 上时．
∵ OB=2 7 ， ∴ OH= OB2 BH 2 =1，
（2）如图②，点 O 在 CA 的延长线上，且 OA＝ 1 AC，E，F 分别在线段 BC 的延长线和线 3
段 CD 的延长线上，请写出 CE，CF，CA 三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点 O 在线段 AC 上，若 AB＝6，BO＝2 7 ，当 CF＝1 时，请直接写出 BE 的长．
【答案】（1）CA=CE+CF．（2）CF-CE= 4 AC．（3）BE 的值为 3 或 5 或 1． 3
（2）结论：CF-CE= 4 AC． 3
理由：如图②中，如图作 OG∥ AD 交 CF 于 G，则△ OGC 是等边三角形．
∵ ∠ GOC=∠ FOE=60°， ∴ ∠ FOG=∠ EOC， ∵ OG=OC，∠ OGF=∠ ACE=120°， ∴ △ FOG≌ △ EOC（ASA）， ∴ CE=FG， ∵ OC=OG，CA=CD， ∴ OA=DG，
理由：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ BAD=120° ∴ AB=AD=DC=BC，∠ BAC=∠ DAC=60° ∴ △ ABC，△ ACD 都是等边三角形， ∵ ∠ DAC=∠ EAF=60°， ∴ ∠ DAF=∠ CAE， ∵ CA=AD，∠ D=∠ ACE=60°， ∴ △ ADF≌ △ ACE（SAS）， ∴ DF=CE， ∴ CE+CF=CF+DF=CD=AC， ∴ CA=CE+CF．
∴ 分三种情况讨论：
若 AD=CD，如图 1，则凸四边形 ABCD 是正方形，∠ ABC=90°；
若 AD=AC，如图 2，则 AB=AC=BC，△ ABC 是等边三角形，∠ ABC=60°；
若 ACห้องสมุดไป่ตู้DC，如图 3，则可求∠ ABC=150°.
考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性 质；5.分类思想的应用.
，
∴ △ ABE≌ △ ACF．（ASA） ∴ BE=CF． （2）解：由（1）得△ ABE≌ △ ACF， 则 S△ ABE=S△ ACF． 故 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC， 是定值． 作 AH⊥BC 于 H 点， 则 BH=2， S 四边形 AECF=S△ ABC
5．菱形 ABCD 中、∠ BAD＝120°，点 O 为射线 CA 上的动点，作射线 OM 与直线 BC 相交于 点 E，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转 60°，得到射线 ON，射线 ON 与直线 CD 相交于点 F． （1）如图①，点 O 与点 A 重合时，点 E，F 分别在线段 BC，CD 上，请直接写出 CE，CF， CA 三条段段之间的数量关系；
（2）根据和谐四边形定义，分 AD=CD，AD=AC，AC=DC 讨论即可.
（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个
等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选 C.
（2）∵ 等腰 Rt△ ABD 中，∠ BAD=90°，∴ AB=AD.
∵ AC 为凸四边形 ABCD 的和谐线，且 AB=BC，
命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰 Rt△ ABD 中，∠ BAD＝90°．若点 C 为平面上一点，AC 为凸四边形 ABCD
的和谐线，且 AB＝BC，请求出∠ ABC 的度数．
【答案】（1） C ；（2）∠ ABC 的度数为 60°或 90°或 150°.
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.
∴ OD= OC2 CD2 22 12 5
(2)、如图 2 中，作 CE⊥OB 于 E，CF⊥AB 于 F，连接 OC．
∵ ∠ FBE=∠ E=∠ CFB=90°， ∴ 四边形 BECF 是矩形， ∴ BF=CF= 1 ，CF=BE= 3 ，
2
2
在 Rt△ OCE 中，OC=
OE2 CE2
∴ OC=3+1=4， 由（1）可知：CO=CE+CF， ∵ OC=4，CF=1， ∴ CE=3， ∴ BE=6-3=3．
如图③-2 中，当点 O 在线段 AH 上，点 F 在线段 DC 的延长线上，点 E 在线段 BC 上时．
由（2）可知：CE-CF=OC， ∴ CE=4+1=5， ∴ BE=1． 如图③-3 中，当点 O 在线段 CH 上，点 F 在线段 CD 上，点 E 在线段 BC 上时．
【答案】（1）四边形 BCGD 是矩形，理由详见解析；（2）∠ EDF＝120°． 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可； （2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可． 【详解】 解：（1）四边形 BCGD 是矩形，理由如下，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
1
3 2
2
1 2
2
=
6 2
2．
(3)、如图 3 中，当 OF⊥DE 时，OF 的值最大，设 OF 交 DE 于 H，在 OH 上取一点 M，使得
OM=DM，连接 DM．
∵ FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴ DH=HE，OD=OE，∠ DOH= 1 ∠ DOE=22.5°， ∵ OM=DM， 2