第一章
4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。
答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已
知
a
a g a f 是和)()(的连续函数,对任意
0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f
证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质,
必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ,所以0)()(00==a g a f
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第二章
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
第三章
5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设
kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 ,
销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出
ka q kbp pa bp x r --++-=02)(
当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为
b
a
kb ka q p 2220*+--=
6、根据最优定价模型 px x f =)( x 就是销售量 p 就是价格,成本q 随着时间增长,ββ,0t q q +=为增长率,0q 为边际成本(单位成本)。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x 、
利润)()()(x q x f x u -=、假设前一半销售量的销售价格为1p ,后一半销售量的销售价格为2p 。
前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12
/011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T
T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由
0,02
1=∂∂=∂∂p U
p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++=
)]4
3([2102T
q b a b P β++= 前期销售量 dt bp a T )2
01⎰
-、（ 后期销售量
dt p a T
T )(2
/2⎰
-
总销售量 0Q =)(2
21p p bT
aT +-
在销售量约束条件下U 的最大值点为
8~01T bT Q b a p β--= ,8
~02T bT Q b a P β+-= 7、
(1)雨水淋遍全身,22.2)2.0*5.12.0*5.05.0*5.1(*2)(2m ac bc ab s =++=++= 以最大速度跑步,所需时间s v d t m 2005/1000/min === (2)顶部淋雨量v bcdw Q /cos 1θ=
雨速水平分量 θsin u ,水平方向合速度 v u +θsin 迎面淋雨量 uv v u abdw Q /)sin (2+=θ 总淋雨量 21Q Q Q +=
当m v v =时,Q 最小,15.10≈=Q ，θL;L 55.1Q 30≈=，。
θ (3)合速度为
|
sin |v u -α总淋雨量
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>+-=-+≤-+=-+=ααααααααααsin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos u v v av a c u u bdw v u v a cu u
bdw u v v av
a c u u bdw v v u u cu u bdw Q 若0sin cos <-ααa c ,即a c /tan >α,则αsin u v =时Q 最小, 否则m v v =时Q 最小,当。30=α,L Q s m v 24.0,/2,15/2tan ≈=>α最小
（4）雨从背面吹来,满足）。6.7,2.0,5.1(/tan >==>ααm c m a a c ,αsin u v =,Q 最
小,人体背面不淋雨,顶部淋雨。 （5）侧面淋雨,本质没有变化
第四章
1.(1)设证券A B C D E 的金额分别为 54321,,,,x x x x x
,,,0
32104,52341590364466,4.152210
4..04
5.0022.0025.0027.0043.0543,2154321543215
432154321543215
43215432143254321≥≤---+≤++++++++≤+--+≤++++++++≤++++≥++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Max 即即
(2)由(1)可知,若资金增加100万元,收益增加0、0298百万元,大于以2、75%的利润借到100万元资金的利息,所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个
