第三章 直梁弯曲

1
第三章 直梁的弯曲
2

§3-1 平面弯曲的概念 梁的类型
拉压杆：承受轴向拉、压力 墙
桥板
楼板
梁：承受横向力
3
起重机大梁
P
4
卧式容器 受风载荷的塔设备
5
火车轮轴
6
P
P
弯曲特点：
受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或 力偶的作用 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
最大正应力为(MPa)：
Wz--抗弯截面模量 mm
3
Mymax max JZ 即： M max WZ
JZ WZ ymax
M和y均以绝对值代入，至于 弯曲正应力是拉应力还是压 应力，则由欲求应力的点处 于受拉侧还是受压侧来判断。 受拉侧的弯曲正应力为正， 受压侧的为负。 抗弯截面模量
y
M x
Z
41
纵向纤维的线应变： 弯曲变形与应力的关系
bb OO OO ( y )d d d y
正应力： 根据轴向拉压时的虎克定律有：
应力与中性轴距离关系 y max max 42
y
应力计算
横截面上距中性轴为y处，取微面积dA，其上作 用的内力为σ· dA，对中性轴的力矩为y· σ· dA，横截 面上所有内力矩的总和就是横截面上的弯矩M， 即
40
梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
由平面假设可知，纯弯曲 时梁横截面上只有正应力 而无切应力。由于梁横截 面保持平面，所以沿横截 面高度方向纵向纤维从缩 M 短到伸长是线性变化的， 因此横截面上的正应力沿 横截面高度方向也是线性 分布的。以中性轴为界， 凹边是压应力，使梁缩短， 凸边是拉应力，使梁伸长， 横截面上同一高度各点的 正应力相等，距中性轴最 远点有最大拉应力和最大 压应力，中性轴上各点正 应力为零。
M max 15kN m
34
要点提示
• 熟悉梁横向截面上的内力计算,弯矩方程, 弯矩图的求解。
35
作 业
72 第18题 (e) (h) 画剪力图和弯矩图
36
回顾与比较 内力 N 应力
N A
M
?
FAy
Q
37
§3-4 纯弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－
7
常见梁截面
8
在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁 的轴线的力或力偶作用，使构件的轴线 在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称 为平面弯曲
9
梁载荷的分类（4）类
分布载荷 均匀分布载荷 q
线性（非均匀） 分布载荷
q(x) T
集中力
P
T
载荷集度 q(N/m) 注意还有支座反力
10
集中力偶 T
支座种类

RB l P a 0
a 即RB P l
F
y
0
RA RB P 0
l a RA P - R B P l
15
截面法
剪力：Q1 RA
弯矩（内力偶矩）： M1 RA x1
以右侧计 算？
F
y
0
R A P Q2 0 Q2 R A P
20
x
m n
P
l
例1、图示一受集中力作用的 悬臂梁，画该梁弯矩图。-例 题3-1；
P
M
Q
弯矩方程：
M P (l x )
（-）
左侧截面：
Pl
弯矩图
M Px Pl
取自由端分析/固定端分析？注意最大值 21
x
m
q
n l
例2、图示一受均布载荷的悬 臂梁，画该梁弯矩图。课本 例题3-2,注意x坐标原点的选 取
纯弯曲
38
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－ 横力弯曲
纯弯曲时的变形特征： 实验现象:
1、横线仍是直线，但发生相对转动， 仍与纵线正交； 2、纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，
上侧缩短；
3、横截面的高度不变，宽度在上部略 为增大，下部 略为缩小。
假设：
1、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏 转了一个角度。
b F
B
x1
C
b M FA x1 Fx1 l 0 x1 a
x2
x1 0 时，M 0 ab 时， x1 a M F
l
M
ab M F l
a x2 l
直线
ab x2 a 时，M F l x2 l 时， M 0
25
y
q
例 4 、简支梁受均布载荷作用试写 出弯矩方程，并画出弯矩图。 B
F
A 1
B 2
a
b
M A 0
b M FA x1 Fx1 l
0 x1 a
23
L
a
A
b
F
B C
x1
BC段：
x2
M FA x2 F ( x2 a) 0
M = F A X2 - F(X2 - a)
a =- l FX2
+ aF a x2 l
24
3.画弯矩图
a
A
弯矩 : M1 RA x1

M 2 RA x2 Px2 a
弯矩等于该横截面一侧所有外力对该截面 形心取力矩的代数和。梁上向上的外力均 产生正弯矩；而向下的外力均产生负弯矩。 截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆 时针转向的力偶取正值，反之取负值
18
• 对于细长的梁，实验和理论证明，它的 弯曲变形和破坏，主要由弯矩引起，剪 力的作用不大，以下讨论弯矩
M 2 R A x 2 P（x 2 a） 0 M 2 RA x2 Px2 a
16
剪力：Q Fy
剪力：Q1 RA
Q2 RA P
左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的 外力引起的剪力为正，反之为负，剪力 等于该侧外力的代数和。
17
弯矩 : M mO F
45
常用截面的惯性矩和抗弯截面模量
• 1 矩形截面 • 惯性矩
J
Z
y dA
h 2 h 2
2
y dy
h/2
y bdy
3
2
bh 12 • 抗弯截面模量 2 bh J Z WZ y 6
外伸梁：一端或两端伸 出支座之外的简支梁。 卧式容器
XA
A
P1
B
P2 C
YA
YB
外伸梁
13
悬臂梁：一端为固定端， 另一端为自由端的梁。
XA MA
A YA
P1
P2
B
悬臂梁
14

§3-2 梁弯曲时的内力— 剪力和弯矩
一、截面法求内力—剪力Q和弯矩M
1 受力分析，求 支座反力
mA F 0
Mc 0 qa2 20 1 MA 10kN m 2 2 M D左 M 0 RB a 20 15 1 5kN m M D右 RB a 15 1 15kN m MB 0
33
(iii) 作图 在CA段内 再适当算出几个弯矩值， 标于坐标上，并与MC,MA 的坐标相连，画出抛物线； 再以直线MA,MD左和MD右， MB的坐标，可得全梁的 弯矩图图c所示。由图可 见，在D稍右处横截面上 有绝对值最大的弯矩，其 值为
x
A
FAY
x
C
l
FBY
解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
M 3ql / 32
2
ql 2 / 8

3ql / 32
x
2
FAy＝ FBy＝ ql/2
3.依方程画出弯矩图
2．写出弯矩方程
M x ＝qlx / 2 qx 2 / 2
0 x l
26
例5：如图所示的简支梁AB，在点C处受集中力偶M0作用， 尺寸a、b和L均为已知，试作此梁的弯矩图。 1.求约束反力 ：力的方向 解：
28
M M 0 FA x2 0
3.画弯矩图
x2 x1
A a L M0 B b
M0 M FA x1 x1 l
0 x1 a
C
x1 0 x1 a
M 0
a M M0 l
M0 M M 0 FA x2 M 0 x2 l
a x2 l
x2 a
M0 FA FB l
x2 x1
M0 C a L b B
2.分两段建立弯矩方程
A
AC段：
M FA x1 0
M0 M FA x1 x1 l
0 x1 a
27
x2 x1
A a L M0 B b
C
BC段：
M0 M M 0 FA x2 M 0 x2 l
a x2 l
32
(2)画弯矩图 (i) 分段，初步确定弯矩图形状 仍将全梁分为CA、AD、DB三段。 CA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；AD、DB两段则为傾 斜直线；在A处因有集中力，弯矩图有一折角；在D处弯矩有突变，突 变之值即为该处集中力偶之力偶矩。
(ii)求特殊截面上的弯矩 为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面 上弯矩：
19

§3-3 弯矩方程与弯矩图
梁横截面上的弯矩，一般随横截面的位臵而变 化，以坐标 x 表示横截面位臵，则弯矩可表示为x 的函数：M=M（x） 称为梁的弯矩方程 为了形象地表示梁各个横截面上弯矩的大小与 正负，将弯矩方程用图表示，称为弯矩图。
一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列 出弯矩方程(分段函数，范围，坐标原点的选 取)，然后选择适当的比例，以x为横坐标，弯 矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩画在x的 上方，负弯矩画在下方。
A XA
支座反力
固定铰支座 (pin support)
A
YA
滚动铰支座 (roller support)
MA A XA
YA
固定支座（fixed support)
Fra Baidu bibliotek
YA
11
梁的类型 受力
简支梁 外伸梁
XA
A YA
分析
悬臂梁
P1 P2
简支梁：一端为活动铰 链支座，另一端为固定 铰链支座。吊车梁。
B
YB
12
积分 为横截面对中性轴z的惯性矩，用Jz 表示，单位为m4，是与截面尺寸和形状有关的一 个几何量。
M
max
ymax
Jz
43
梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一 点的正应力为 ：
My JZ
M--截面上的弯矩(N.mm)
M Pa
y--计算点到中性轴距离(mm)
4 mm Jz--横截面对中性轴惯性矩
2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间 没有挤压。
39
推论：
1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截 面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；
2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。 因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面 的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉 伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转 就是绕其中性轴旋转的。
M
Q
lx 1 2 M q ( l x ) q( l x ) 2 2
弯矩图
（-）
1 2 ql 2
22
例3：如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F
作用，尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的弯矩图。
L 解： 1.求约束反力
a B A F F B C l x F F M B 0 x b FA F l 2.分两段建立弯矩方程 AC段： M F x 0 A 1
P41 表3-1
31
例6、一外伸梁受均布载荷 和集中力偶作用，如图。 试作此梁的弯矩图
解：
（1）求支坐反力
取全梁为研究对象，由平衡方程
qa2 M A 0, 2 M 0 RB 2a 0 qa M 0 20 1 20 RB 15kN 4 2a 4 2 1 Y 0,-qa RA RB 0 RA qa RB 20 1 15 35kN
44
• 三、弯曲正应力公式的适用范围
• 1、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截 面将发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产 生局部挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
• 2、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意 中性轴不是横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截 面模量不同。 • 3、弹性变形阶段。
x2 l
b M M0 l M 0
29
• 课本例题3-5
30
弯矩图的规律
1. 梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图 为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转 折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突 变量为集中力偶的大小。
2. 梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物 线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向 一致。 3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点 处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶的大小。