分数地裂项与巧算

六 年级 数学 科 导学案

发现规律、利用公式的过程。 2学会观察、改造、运用公式等过程。

3需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算。

教学重点：列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，

教学难点：学会找规律 ，发现数字规律。

知识点：

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-⨯- 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【典型例题讲练】 重点例题：

一 用裂项法求

1(1)n n +型分数求和 1

111......101111125960+++⨯⨯⨯

2

8

71761651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3 90

18721756164215301420131212611+++++++ 4

9089201912116521+++++

5 72

17561542133011209127311+-+-+-+

6 132

231102190197217561542133011209127651+-+-+-+-+-

二 用裂项法求1()n n k +型分数求和：分析：1()

n n k +型。（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()

n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++

例1

201711714117141141111181851521⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

例2 22

1931916316133131031073743413⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

例3 7

6136511549437325213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

例4

11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=

例5 41＋281＋701＋1301＋208

1

例6 311－127＋209－3011＋4213－56

15

例7

21＋41＋81＋161＋321＋64

1

课堂练习：（满分100分，测试时间25分钟，卷面分3分）

1．

101

992752532312⨯++⨯+⨯+⨯

2．

27252171521513213112⨯++⨯+⨯+⨯

3．

100981861641421⨯++⨯+⨯+⨯

4．

6211437428541654774214+++++

5．

19

1635161329131023107177411415⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

6．72

17561542133011209127311+-+-+-+

课后巩固：

基础练习题

11111111

+++++++=_______

612203042567290

111111

++++++=

1

3610152128

111111111

--------＝

2612203042567290

能力提升题

11111

123420

+++++

261220420

11111

++++= 。20082009201020112012

1854108180270

思维拓展题．

5791113151719

-+-+-+-+

1

612203042567290

11798175

++++++

451220153012

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