实变函数(复习资料,带答案).doc

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《实变函数》试卷一

一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )

(A )1lim n k n n k n A A ∞

→∞

===⋃⋂; (B )1lim n k n k n n A A ∞

==→∞

=⋂⋃;

(C )1lim n k n n k n

A A ∞

→∞

===⋂⋃; (D )1lim n k n k n

n A A ∞

==→∞

=⋂⋂;

2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =ο

3、下列说法不正确的是( )

(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B)

{}sup ()n n

f x 是可测函数(C ){}inf ()n n

f x 是可测函数;(D )若

()()n f x f x ⇒,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数

(C ))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体,则

'

E =______,o

E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都

_________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ⊂,若E 是稠密集,则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ,则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数,则()f x 必是可测函数 4.设()f x 在可测集E 上可积分,若,()0x E f x ∀∈>,则

()0E

f x >⎰

四、解答题(8分×2=16分). 1、(8分)设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数

为有理数 ,则()f x 在[]0,1上是否R -

可积,是否L -可积,若可积,求出积分值。

2、(8分)求0ln()

lim cos x n x n e xdx n

∞-+⎰

五、证明题(6分×4+10=34分).

1、(6分)证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

2、(6分)设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、(6分)在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、(6分)设,()mE f x <∞在E 上可积,(||)n e E f n =≥,则

lim 0n n

n me ⋅=.

5、(10分)设()f x 是E 上..a e 有限的函数,若对任意0δ>,存在闭子集F E δ⊂,使()f x 在F δ上连续,且()m E F δδ-<,证明:()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

试卷一 (参考答案及评分标准)

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1.∅ 2、[]0,1; ∅ ; []0,1 3、

***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。

三、1.错误2分例如:设E 是[]0,1上有理点全体,则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分

2.错误2分例如:设E 是Cantor 集,则0mE =,但E =c , 故其为不可数集 5分 3.错误例如:设E 是[],a b 上的不可测集,

[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数,但()f x 不是[],a b 上的可测函数…

4.错误0mE =时,对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =⎰

四、1.()f x 在[]0,1上不是R -可积的,因为()f x 仅在1x =处连续,即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测

函数,()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等,进一步,[]

120,101

()3

f x dx x dx ==⎰⎰ (8)

2.解:设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=

,则易知当n →∞时,()0n f x → 2分

又因'

2ln 1ln 0t t

t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭

,(3t ≥),所以当3,0n x ≥≥时,

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数,在[)0,+∞上是L 可积的,故有

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞

==⎰⎰…………………8分

五、1.设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂

B M B ∴∃⊂Q 是无限集,可数子集 ..................2分 .A A M M ∴⋃Q :是可数集, . (3)

(\),(\),()(\),(\),

B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=Q 且………..5分

,.E B B c ∴∴=:…………………………6分

2.,{},lim n n n x E E x x x →∞

'∀∈=则存在中的互异点列使 (2)

,()n n x E f x a ∈∴≥Q ………………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥Q 在点连续,

x E ∴∈………………5分

E ∴是闭集.………………………….6分

3. 对1ε=,0δ∃〉,使对任意互不相交的有限个

(,)(,)i i a b a b ⊂

当1

()n i i i b a δ=-<∑时,有1

()()1n

i i i f b f a =-<∑………………2分

将[,]a b m 等分,使11

n

i i i x x δ-=-<∑,对

:T ∀101i x z z -=

()()1k

i i i f z f z -=-<∑,所以

()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分

所以1

()1,i

i x x f V -≤从而()b

a

f m V ≤,因此,()f x 是[,]a b 上的有界