《实变函数》试卷一
一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）
（A ）1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞
===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋃;
（C ）1lim n k n n k n
A A ∞
∞
→∞
===⋂⋃; （D ）1lim n k n k n
n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋂;
2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='
(D) P P =ο
3、下列说法不正确的是（ ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B)
{}sup ()n n
f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n
f x 是可测函数;（D ）若
()()n f x f x ⇒,则()f x 可测
5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数
（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)
⎰
-=b a
a f
b f dx x f )()()('
二. 填空题(3分×5=15分)
1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________
2、设E 是[]0,1上有理点全体，则
'
E =______,o
E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都
_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为
[],a b 上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。
2、若0=mE ，则E 一定是可数集.
3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则
()0E
f x >⎰
四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -
可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
2、（8分）求0ln()
lim cos x n x n e xdx n
∞-+⎰
五、证明题（6分×4+10=34分）.
1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .
2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。
3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。
4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则
lim 0n n
n me ⋅=.
5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理
试卷一 （参考答案及评分标准）
一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．∅ 2、[]0,1； ∅ ； []0,1 3、
***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂
4、充要
5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。
三、1．错误2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分
2．错误2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E 是[],a b 上的不可测集，
[],;
(),,;
x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩
则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数…
4．错误0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E
f x dx =⎰
四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测
函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]
120,101
()3
f x dx x dx ==⎰⎰ (8)
分
2．解：设ln()()cos x
n x n f x e x n
-+=
，则易知当n →∞时，()0n f x → 2分
又因'
2ln 1ln 0t t
t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，
ln()ln()ln 3ln 3(1)33
x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3
|()|(1)3
x n f x x e -≤+………………………6分
但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有
lim ()lim ()0n n n
n
f x dx f x dx ∞
∞
==⎰⎰…………………8分
五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂
B M B ∴∃⊂Q 是无限集，可数子集 ..................2分 .A A M M ∴⋃Q :是可数集， . (3)
分
(\),(\),()(\),(\),
B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=Q 且………..5分
,.E B B c ∴∴=:…………………………6分
2．,{},lim n n n x E E x x x →∞
'∀∈=则存在中的互异点列使 (2)
分
,()n n x E f x a ∈∴≥Q ………………….3分
()()lim ()n n f x x f x f x a →∞
∴=≥Q 在点连续，
x E ∴∈………………5分
E ∴是闭集.………………………….6分
3. 对1ε=，0δ∃〉，使对任意互不相交的有限个
(,)(,)i i a b a b ⊂
当1
()n i i i b a δ=-<∑时，有1
()()1n
i i i f b f a =-<∑………………2分
将[,]a b m 等分，使11
n
i i i x x δ-=-<∑，对
:T ∀101i x z z -=()()1k
i i i f z f z -=-<∑，所以
()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分
所以1
()1,i
i x x f V -≤从而()b
a
f m V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界
