中学数学中换元法的应用与常见错误分析
目录
第一章引言 (4)
第二章在因式分解中的应用 (4)
第三章在化简二次根式中的应用 (5)
设元代数，化已知为未知 (5)
设元代式，无理变有理 (5)
第四章在解方程中的应用 (6)
分式方程 (6)
一元二次方程 (7)
三角有理方程……………………………………………………
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第五章在证明不等式中的应用 (8)
三角换元法………………………………………………………
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改变换元后中间变量的范围………………………………………
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第六章换元法常见错误分析 (9)
将复合函数与原函数混为一谈……………………………………………
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改变换元后中间变量的范围………………………………………………
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换元的选择不恰当…………………………………………………………
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结论……………………………………………………………………………
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参考文献……………………………………………………………
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第一章引言
换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造原来的式子，使其简化，问题便于解决。
之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用的。在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。
之所以说换元法应用广泛，是因为在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。
同时，由于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此需要对常见错误进行分析，防止犯错。
本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。
第二章换元法在因式分解中的应用
因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。
除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。 例1.分解因式：()()442
++-+y x y x （济南市 2007） 分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个角度考虑，可以将y x +看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。
解：设u y x =+
原式442+-=u u
()2
2-=u ()2
2-+=y x 例2.分解因式：()()()22224432134-+--+--x x x x x x
分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用换元法进行因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：=-+442x x ()()321322-++--x x x x ，将其中两部分设为辅助元，则可以表示出第三部分。
解：设A x x =--132，B x x =-+322,则B A x x +=-+442。
原式()()2
24B A B A AB --=+-= ()()2
22222323213+--=+-----=x x x x x x
使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。
第三章换元法在化简二次根式中的应用
在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面
介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。
设元代数，化已知为未知
例3.若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=20021200221x ，求x x ++12的值 分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。 解：设2002=y ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
y y x 121，2
21411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y y x ，且01〉+y y 原式⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y y y y y y y 1211211211412 2002==y
设元代式，无理变有理
例4. 化简ab a b
b a a +-（陕西省 2008）
分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。 解：设x a =，y b =， 原式()()()y x x y x y x x xy
x xy x +-+=+-=223 b a y x -=-=
解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。
第四章换元法在解方程中的应用
除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。如果方程()0=x F 的左端()x F 是一个复合函数：()()u f x F =，()x u φ=，而方程()0=u f 和()x u φ=是比较简单的方程，则可进行换元。令()x u φ=，这样
方程就转化为()0=u f ，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。
分式方程
形如()()
0=++c x f b x af 令()x f u =，原方程化为0=++
c u b au ，即02=++c bu au 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程
()a ab c c x f 2421-+-=，()a
ab c c x f 2422---=，注意检验根。 例5.解方程2511
22=+++x x x x 分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。 解：设u x x =+1
2，则u x x 112=+，原方程化为251=+u u 解得2
11=
u ，22=u 当211=u 时，有2
112=+x x ，即0122=+-x x ，解得121==x x 当22=u 时，有212=+x x ，即0222=+-x x ，无实数解 经检验，1=x 是原方程的解。
一元二次方程
形如()()()02
=++c x bf x f a 令()x f u =，原方程化为一元二次方程02=++c bx ax 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()a
ab c c x f 2421-+-=，()a
ab c c x f 2422---=
