第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）
一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌
握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：
1 新课引入
由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组
dY
AY dx
= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.
由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵
1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换
Y TZ = (3.21)
其中()(,1,2,,),ij T t i j n ==L det 0T ≠,将方程组(3.20)化为
1dZ
T ATZ dx
-= (3.22) 我们知道，约当标准型1
T AT -的形式与矩阵A 的特征方程
11121212221
2
det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ
---=
=-L L M M M L
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵
A 的特征根.
下面分两种情况讨论.
(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλL 这时
12
1
00
n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
方程组(3.20)变为
11122
200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M M (3.23)
易见方程组(3.23)有n 个解
1110(),00x Z x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 220010(),,()0001n x x
n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
L M M
把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解
12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M (1,2,,)i n =L
这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组
()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x L 构成(3.20)的一个基本解组，因为
它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到
定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλL 彼此互异，且
12,,,n T T T L 分别是它们所对应的特征向量，则
121122(),(),,()n x
x x n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===L 是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组
353dx
x y z dt dy
x y z dt dz
x y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩
的通解.
解 它的系数矩阵是
311151313A -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
特征方程是
311det()1
5103
1
3A E λ
λλλ
---=---=--
即 32
1136360λλλ-+-=
所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量
1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,,a b c 满足方程
1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即
0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪
-+-=⎨⎪-+=⎩
可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是
110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
故方程组的通解是
236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组
dY
AY dx
= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是
