工程问题
知识框架
一、基本概念
（1）工作总量
完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.
（2）工作时间
（3）工作效率
单位时间内所完成的工作量
二、基本关系
工作量= 工作效率×工作时间
【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.
三、常用工具和方法
（1）基本关系
（2）整体化归思想
（3）对比分析的方法
重难点
（1）重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题
（2）难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用
例题精讲
一、根据基本关系解题
【例 1】一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？
【巩固】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？
【例 2】一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.
【巩固】一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？
二、运用整体化归思想解题
【例 3】有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库
的货物同时搬完。则丙帮甲小时，帮乙小时。
【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？
【例 4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的
1
1
2
倍．上午去
甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有
7
12
的人去甲工地．其他工人到乙工
地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？
【巩固】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加1
4
，如果让甲、
乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？
【例 5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共
用了多少小时？
【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管
需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有1
6
的水，
若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
三、运用对比分析方法解题
【例 6】一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【例 7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
【例 8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？
【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙
每天工作效率和的1
5
．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
【例 9】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时
打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多
少分钟可以完成？
【例 10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干
需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？
【例 11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流
做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需
要多少小时？
【巩固】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、
甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时
打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．
【例 12】一项工程，甲、乙合作
3
12
5
小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，
恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多1
3
小
时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？
【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，
若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用1
2
天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮
流工作一天，则比原计划多用1
3
天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起
做这件工作，完成工作要用多少天？
四、综合运用多种思想解题
【例 13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的2
3
。已知甲与乙
的工作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
【巩固】一项工程，甲15天做了1
4
后，乙加入进来，甲、乙一起又做了
1
4
，这时丙也加入进甲、乙、丙
一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?
【例 14】甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工，将他承
担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？
【巩固】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、
乙两人合作6天完成了工程的1
3
，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的
1
4
，以后三人
合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
【例 15】一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64
分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开个出水管，经过分钟才能将水箱灌满．
【巩固】有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔A和B，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开A孔，关闭B孔，那么经过20分
钟可将水箱注满，如果关闭A孔，打开B孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过分钟才能将水箱注满．
课堂检测
【随练1】甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的1
4
，乙40分钟打了B材料的
2
7
. A、B两份材料中，（填A或B）内容多.
【随练2】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A仓库搬了多长时间？
【随练3】一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【随练4】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也
比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这
项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？
【随练5】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、
乙两人合作6天完成了工程的1
3
，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的
1
4
，以后三
人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
家庭作业
【作业1】一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？
【作业2】一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
【作业3】甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现
在甲、乙两人共同生产了
2
2
5
小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成
任务．问乙一共加工零件多少个？
【作业4】修筑一条高速公路。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？
【作业5】A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若B、
C、D、E四人一起干需要8天完工；若A、E两人一起干需要12天完工．那么，若E一人
单独干需要几天完工？
【作业6】一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2
倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【作业7】一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？
【作业8】一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用
半天完工．问：甲单独做需要几天？
【作业9】蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小
时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）
【作业10】如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，
若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？