《概率论与数理统计》试题（1）
一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）
⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( )
⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( )
⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( )
⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）
⑸ 样本方差2n
S =
n
1
21
)(X X
n
i i
-∑=是母体方差DX 的无偏估计
（ ）
二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来
（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；
（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为
2101
31111115651530
X
P
-- 求2Y X =的分布列.
五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1
()2
x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布
1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，
的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题（1）评分标准 一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
二 解 （1）ABC
（2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；
（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （4）ABC ABC ABC ；
（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分；
三 解 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .------------------------------------5分
A 发生0,0,22
2
a a a
x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，
分
所以 1
()4
A P A =
=的面积S 的面积
-----------------------------------------15分
四 解 Y 的分布列为
0149
17111530530
Y
P
. Y 的取值正确得2分，分布列对一组得2分；
五 解 ||1
02
x EX x e dx +∞
--∞=?=?，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 2
2
||
2012x x DX EX x e dx x e dx +∞
+∞---∞
===?? 2002x x x e xe dx +∞
+∞--=-+?
2[] 2.x x xe
e dx +∞+∞
--=-+=?
----------------------------------
------10分
六 解 X ～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分
(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)( 1.5)=Φ-Φ-
=0.994+0.933--1
0.927=.--------------------------------------------------15分 七 解 1
1
11(,,;)(1)
(1)n
i i i n
x n
x n
n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏----------5分
1
ln ln ()ln(1),n
i i L n p X n p ==+--∑
1ln 0,1n
i i X n
d L n dp p p
=-=--∑--------------------------------10分
解似然方程
11n
i
i n X n
p
p
=-+=
-∑，
得p 的极大似然估计
1p X
=
。
--------------------------------------------------------------------15分
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B
A ,至少有一个不发生的概率为__________.
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.
3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.
4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 5． 设总体X 的概率密度为
?????<<+=其它,
0,
10,)1()(x x x f θ
θ 1->θ.
n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为
_________.
解：1．3.0)(=+B A B A P
即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .
2．λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e X P X P X P 2
)2(,)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 16
1)3(-==e X P .
3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则
2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U
，所以(0X F =
，即()Y X F y F = 故
04,()()0,.
Y Y X y f y F y f <<'===?
其它
另解 在(0,2)上函数2y x =
严格单调，反函数为()h y 所以
04,()0,.
Y X y f y f <<==?其它
4．2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ=
{min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->> 41e -=-.
5．似然函数为 111
(,,;)(1)(1)(,,)n
n n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏
1
ln ln(1)ln n
i i L n x θθ==++∑
1
ln ln 01n
i i d L n
x d θθ==++
∑
解似然方程得θ的极大似然估计为 1
111ln n
i i x n θ==
-∑.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.
（D ）若C B ?，则A 与C 也独立. （ ）
2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为
（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.
（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）
3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是
（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.
（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(,)(1,1)(1,2)
(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
1111
69183
X Y P αβ
若,X Y 独立，则,αβ的值为
（A ）21,99αβ==.
（A ）12
,99αβ==.
（C ） 11,66αβ== （D ）51
,1818
αβ==. （ ）
5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结
论中
正确的是
（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量.
（C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）
解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.
可见A 与C 不独
立.
2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤
1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 3．由不相关的等价条件知应选（B ）. 4．若,X Y 独立则有 1121()()()3939
αβαα=+++=+
∴2
9α=， 19
β=
故应选（A ）.
5．1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被
误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’ 则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=?+?= （2） ()0.90.95
(|)0.9977()0.857
P AB P B A P A ?=
==. 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各
个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：X 的概率分布为 3323()()()0,1,2,3.55
k k k
P X k C k -=== 即
01232754368125125
125
125
X
P
X 的分布函数为
0,0,27,01,12581
(),
12,125117,23,1251,
3.
x x F x x x x
3,55EX =?=
2318
35525
DX =??=.
五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤
上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）
.
（1）(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,.
x y D
f x y ∈?=?
?其它
22,01
()(,)0,X x x f x f x y dy +∞
-∞
-≤≤?==?
?
?其它 （2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞
-∞=-? 其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-?-=?
?其它2,01, 1.
0,x x z ≤≤≤≤?=??其它.
当 0z <或1z >时()0Z f z = 01
z ≤≤时
Z f 故Z 的概率密度为
2,01,()0,Z z z f z ?≤≤?=???其它.
Z 的分布函数为 20
0,00,0,
()()2,01,01,1, 1.
1,
1z
z
Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞
?>???? 或利用分布函数法
1
0,
0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ?
=≤=+≤=≤≤???>???
20,
0,,
01,1, 1.
z z z z
=≤≤??>?
2,
01,()()0,
Z Z z z f z F z ≤≤?'==?
?其它.
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横
坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心
距离Z =.
（1）{,)}(,)D
P X Y D f x y dxdy ∈=??
22
2228
8
1
11
248x y r D
e
dxdy e
rdrd πθππ
+--
==
?????
222
112
2
8
8
8
2
11
()8
r r r
e d e
e e ---
-
=--=-=-?；
（2）228
18x y EZ E e
dxdy π
+-
+∞
-∞-∞
==??
22
228
80
1
184r r re
rdrd e r dr πθπ
-
-
+∞+∞=
=??
?
2228
8
8
r r r re
e dr dr +∞
---
+∞+∞-∞
=-+=
=?
?
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今
抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.
（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===
222
0.05
0.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ=== 解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为 /2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α=====
所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22(1)n αχχ≥-.
22
1515 1.6240.1
S χ=
=?=，2
0.05(15)24.996χ=
因为 22
0.05
2424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .
《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不
相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________. （2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，
今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.
（3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,
()0,x x f x <
其它, 现对X 进行四
次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则
2EY =___________.
（4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为
(,)
(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)
0.4
0.2
X Y P
a
b
若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.
（5） 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若
2()0.01P S a >=，则a =____________.
（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）
解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+ 因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ??，故ABC C = 同理 ABC AB =.
()()()0.20.50.50.45P ABC ABC P C P AB +=+=+?=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’， 1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’
则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()
(|)()()()
P AB P B P B A P A P B P B =
=
+ 2222
3322122222555533
(),()100100
C C C C P B P B C C C C =?==?=
所以 21
(|)2
P B A =.
（3）~(4,),Y B p
其中 10.5
220
01(0.5)24
p P X xdx x
=≤===
?， 113341,44
444EY DY =?==??=，
2215
()144
EY DY EY =+=+=.
（4）(,)X Y 的分布为
0.4a b +=0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==
0.620.4 1.4EX =+?=，0.5EY =
故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =-=-=.
（5）2
2
16(){4}0.014
S P S a P a >=>= 即 2
0.01
(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤
（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+-
（D ）()().P C P A B ≥ （ ） （2）设随机变量X 的概率密度为
2
(2)4
(),x f x x +-=
-∞<<∞
且~(0,1)Y
aX b N =+，则在下列各组数中应取 （A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b ==
（C）1/2,1
a b
==-. （D
）2,
a b
==（）（3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为
01
0.40.6
X
P
01
0.40.6
Y
P
则有
（A）()0.
P X Y
==（B）()0.5.
P X Y
==
（C）()0.52.
P X Y
==（D）() 1.
P X Y
==（）（4）对任意随机变量X，若EX存在，则[()]
E E EX等于
（A）0.（B）.X（C）.
EX（D）3
().
EX （）
（5）设
12
,,,
n
x x x为正态总体(,4)
Nμ的一个样本，x表示样本均值，则μ的
置信度为1α
-的置信区间为
（A）
/2/2
(x u x u
αα
-+
（B）
1/2/2
(x u x u
αα
-
-+
（C）(x u x u
αα
-+
（D）
/2/2
(x u x u
αα
-+
（）
解（1）由(|)1
P C AB=知()()
P ABC P AB
=，故()()
P C P AB
≥
()()()()()()()1
P C P AB P A P B P A B P A P B
≥=+-≥+-
应选C.
（2）
2
2
(2)
4
()
x
f x
+
-
==
即~(2,)
X N-
故当a b
===时~(0,1)
Y aX b N
=+
应选B.
（3）()(0,0)(1,1)
P X Y P X Y P X Y
====+==
0.40.40.60.60.52
=?+?=
应选C.
（4）[()]
E E EX EX
=
应选C.
（5）因为方差已知，所以μ的置信区间为
/2
/2
(X u X u αα-+
应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都
是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设A =‘从箱中任取2件都是一等品’ i B =‘丢失i 等号’ 1,2,3i =.
则 112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++
222
5542229991312
21059
C C C C C C =?+?+?=；
所求概率为111()(|)3
(|)()8
P B P A B P B A P A =
=.
四、（10分）设随机变量X 的概率密度为
1,02,
()0,
.ax x f x +≤≤?=?
?其它 求（1）常数a ； （2）X 的分布函数()F x ； （3）(13).P X <<
解：（1）222
001()(1)()222
a f x dx ax dx x x a +∞-∞==+=+=+??
∴ 1
2
a =-
（2）X 的分布函数为
00,
0,()()(1),02,21, 2.x x
x u
F x f u du du x x -∞
>????
20,
0,,
02,41,
2.
x x x x x
?
=-≤≤??>?? （3）3
2
111(13)()(1)24
x
P x f x dx dx <<==-=??. 五、（12分）设(,)X Y 的概率密度为
0,
,(,).0,
x y x e f x y -<
?其它 求（1）边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）(1)P X Y +<； （3）Z X Y =+的概率密度()Z f z .
0,0,),0.x
x x y dy e dy x +∞
-≤??
=?>??
?0,0,,0.x
x xe x -≤?=?>? 0,0()(,),0.Y x y
y f y f x y dx e dx y +∞+∞--∞≤??
==?>????
0,
0,,
0.
y
y e y -≤?=?>?
（2）1120
1
(1)(,)y x y
x y P X Y f x y dxdy e dx dy --+
=????
???? 1
1
1
12
20
()12y
y
e e e dy e e ----=-?=-+?. （3）()(,)Z
f z f x z x dx +∞
-∞=-?
,0,2,
(,)0,.
x e x x z x f x z x -?><≤?-=???其它
当 0z ≤ 时 ()0Z f z = 0z > 时 2
2
()z
z x z z Z f z e dx e e -
--==-?
所以
20,0,(),0.
z Z z z f z e e z --≤??
=??->?
六、（10分）（1）设~[0,1]X U ，~[0,1]Y U 且X 与Y 独立，求||E X Y -； （2）设~(0,1),~(0,1)X N Y N 且X 与Y 独立，求||E X Y -. ||(,)||E X Y f x y x y dxdy +∞
+∞
-∞-∞-=-??
1110
()()x x
x y dxdy y x dxdy =-+-?
?
?
?
13
=； （2）因,X Y 相互独立，所以~(0,2)Z X Y N =-
~(0,1)N =
=
||E X Y -=. 七、（10分）设总体的概率密度为
101,
,(;).0,x x f x θθθ-<
?
其它 (0)θ> 试用来自总体的样本12,,,n x x x ，求未知参数θ的矩估计和极大似
然估计.
解：先求矩估计 1
101
EX x dx θθμθθ===+?
1
1
1μθμ∴
=
- 故θ的矩估计为1X X θ=-
再求极大似然估计
1111
1
(,,;)()n
n n i n i L x x x x x θθθθθ--===∏
1
ln ln (1)ln n
i i L n x θθ==+-∑
1
ln ln 0n
i i d L n x d θθ==+
∑
所以θ的极大似然估计为 1
11ln n
i i x n θ==-
∑.
《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =，则,A B 至少发生一个的概率
为_________. （2） 设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X >=___________.
（3） 设随机变量X 的概率密度函数为1
(1),02,
()40
,x x f x ?+<
??其他. 今对
X 进行8次独立观测，以Y 表示观测值大于1的观测次数，则DY =___________.
（4） 元件的寿命服从参数为
1
100
的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_____________. （5） 设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ，今随机
地测量16个零件，得16
1
8i i X ==∑，16
21
34i i X ==∑. 在置信度0.95下，
μ的置信区间为___________.
0.050.025((15) 1.7531,(15) 2.1315)t t == 解：（1）()()()
0.8(|)1()0.5
P BA P B P AB P B A P A -==
=- 得 ()0.2P AB =
()()()() 1.10.20.9P A B P A P B P AB =+-=-=.
（2）222~(),6()X P EX DX EX λλλ==+=+ 故 2λ=. (1)1(1)1(0)(1)P X P X P X P X >=-≤=-=-= 2221213e e e ---=--=-.
（3）~(8,)Y B p ，其中2
115(1)(1)48
p P X x dx =>=+=? 5315
8888
DY =??=
.
（4）设第i 件元件的寿命为i X ，则1
~(
),1,2,3,4,5100
i X E i =. 系统的寿命为Y ，所求概率为
125(100)(100,100,,100)P Y P X X X >=>>> 51551[(100)][11].P X e e --=>=-+= （5）μ的置信度1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 162
2
21
10.5,[16]2, 1.4142,1615i i X S X X S n ===-===∑
0.025(15) 2.1315.t =
所以μ的置信区间为（0.2535,1.2535-）.
二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ）
中，每小题3分，共15分）
（1）,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A ）()A B B A B -=.
（B ）()A B A B -=.
（C ）()A B AB AB AB -=.
（D ）()()()A B C A C B C =--.
（ ）
（2）设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使
12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值
中应取
（A ）32,5
5a b ==-. （B ）22,33
a b ==.
（C ）13,22a b =-=. （D ）13
,22
a b ==.
（ ）
（3）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =
（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -. （C ）3()5X y F +. （D ）31()5
X y
F --. （ ）
（4）设随机变量12,X X 的概率分布为
10
1
1114
2
4
i
X P
- 1,2i =.
且满足12(0)1P X X ==，则12,X X 的相关系数为1
2
X X ρ=
（A ）0. （B ）14. （C ）12
. （D ）1-. （ ） （5）设随机变量1
~[0,6],~(12,
)4
X U Y B 且,X Y 相互独立，根据切比
雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+
（A ）0.25≤. （B ）512≤
. （C ）0.75≥. （D ）5
12
≥. （ ） 解：（1）（A ）：成立，（B ）：()A B A B A B -=-≠ 应选
（B ）
（2）()1F a b +∞==+. 应选（C ）
（3）()()(35)((3)/5)Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=>- 331()1()55
X y y
P X F --=-≥=- 应选（D ）
（4）12(,)X X 的分布为
12120,0,0EX EX EX X ===，所以12cov(,)0X X =，
于是 1
2
0X X ρ=. 应
选（A ）
（5）(33)(||3)P X Y X P Y X -<<+=-<
()0E Y X EY EX -=-= 921()34
4
D Y X DY DX -=+=+= 由切比雪夫不等式
21
5
4(||3)1912
P Y X -<≥-=
应选（D ）
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，
求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。
解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,k = n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,1,n k k =+ 则 ()()()(|)n n n n k
n k
P B P C B P C P B C ∞
∞
====∑∑
(1)!
n
k k
n k n n k
e C p p n λλ∞
--==-∑
()(1)!()!
k n k n k n k p e p k n k λλλ-∞--==
--∑ ()!
k p
p e k λλ-= 0,1,k =.
四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参
数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生
的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）
EY 和DY .
((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ=
解：（1）~(100,)Y B p ，其中8472
(6084)()p P X σ
-=<≤=Φ
6072
12
(
)2()1σ
σ
--Φ=Φ-
由 9672
24
0.023(96)1()1()P X σ
σ
-=>=-Φ=-Φ
得 24
()0.977σ
Φ=，即
24
2σ
=，故
12
1σ
=
所以 2(1)10.6826p =Φ-=.
故Y 的分布列为100100
()(0.6826)(0.3174)k
k k P Y k C -== （2）1000.682668.26EY =?=，68.260.317421.6657DY =?=.
五、（10分）设(,)X Y 在由直线21,,0x x e y ===及曲线1y x
=所围成的区域
上服从均匀分布，
（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求(2)P X Y +≥. 解：区域D 的面积 2
2
11
1ln 2e e D S dx x x
===?
(,)X Y 的概率密度为
1
,(,),
(,)2
0,x y D f x y ?∈?=???其它. （1）1201,1,()(,)2
0,.
x
X dy x e f x f x y dy +∞
-∞
?≤≤?
==???
??其它
21
,
1,20,
.
x e x
?≤≤?=???其它
2211
211
,1,21,
1,()(,)20,e y Y dx y e dx e y f y f x y dx -+∞--∞
?≤≤???
<≤==???
??
???
其它
2
221(1),1211
,
1220,
e y e e y y --?-≤≤??
?-<≤=????
?其它
（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立. （3）2
(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-
??
1113110.7522
4
4
=-?=-==.
六、（8分）二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区
域上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。
(,)X Y 的概率密度为
设Z 的概率密度为()Z f z ， ()(,)Z f z f z y y dy +∞
-∞=-? 1,01,211(,)0,y y z f z y y ?≤≤-<
??其它
当 1z <-或1z >时()0Z f z =
一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=
《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期
实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、
A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,
《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)
概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》
实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数
a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的
进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配
概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1>
plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果：
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】