圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线一、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（大于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表示椭圆；2a | F1F2|表示线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离心率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2ec(0 e 1) （离心率越大，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |二、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表示双曲线的一支。

2a | F1 F2|表示两条射线； 2a| F1F2 |没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，焦点在 y 轴上标准x2y21( a 0,b 0)y2x21(a 0, b 0) 22方程 a 2 b 2a bP y2 F图形P y B2x xF1 A 1O A 2F2O B1F1顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线A1 ( a,0), A2 ( a,0)B1(0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2aF1 ( c,0), F2 ( c,0)F1 (0,c), F2 (0, c) | F1F2 | 2c(c 0) c 2 a 2b2ec(e 1)（离心率越大，开口越大）aybx y a xa b通径2b2a （3）双曲线的渐近线：①求双曲线 x 2y21的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得x2y 20 ，因式分解得到xy0。

经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。

（1）中点弦问题：（上题麻烦了。

是圆不用中点法）（2）轨迹以及弦长最大问题。

（3）利用通径最断解题（4）利用第二定义求离心率?我在楼上说的方法不很好，有焦点弦和准线了，当然要想第二定义过P做PD垂直准线于D,那么可得,PF/PD=e,PD/PM=1/2所以PF/e=1/2PM,又PF/PM=sin60/sin45=根3/根2,所以最终可得离心率为根6 ?????????和楼上算的怎么不一样?（5）抛物线的一证明，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,通过点A 和抛物线的顶点的直线与抛物线的准线交于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴.我没搞懂为什么必须用平几？为什么学解析几何，就是想把我们从烦琐的平几中解放出来，前人开创这个来干吗的呀？建系我就不说了，看图加解答。

令22y px=，1122(,),(,)A x y B x y ，:()2p A B y k x =-连立两方程消x 可得212y y p =-，其实这是一个结论又令0(,)2p D y -，则01101122y y y p y p x x =⇒=--，又2112y x p=，则有2021p y y y -==。

完（6）抛物线（7）很好的一题，圆锥曲线都实用这题的问题不在思路上，而是在计算上。

看我的。

这题做了你们可以自己再去做下05江西文21题。

练练。

第一问我不想说了就是重新高考的思路，算出椭圆方程为22340x y +-=（为哈要弄成这样？因为一般式对于一会直线联立不容易出错，我的习惯）开动了。

分析下意思，就是直线CP 与直线CQ 要关于C 点对称才行。

所以这题思路，令出两直线方程，都过C 点，斜率相反数，解出两点坐标，算出斜率为定。

解：若斜率不存在，CP ，CQ 重合，故两直线都有斜率，令:(1)11C P y k x kx k =-+=-+。

:(1)11C Q y k x kx k =--+=-++由222221(13)6(1)3610340y kx k k x k k x k k x y =-+⎧⇒+--+--=⎨+-=⎩，从这里就要解出P x 来。

目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。

题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

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圆锥曲线 1。

圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a一定要小于｜F 1F 2|,定义中的“绝对值"与2a ＜|F 1F 2｜不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2｜，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1(0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？(ABC ≠0，且A,B ，C 同号，A ≠B)。

(2）双曲线：焦点在x 轴上:2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

高考数学之圆锥曲线常见习题及解析(经典版)_ss 圆锥曲线常见习题及解析（经典版）1一.多项选择题：x2y2x2y2??1,双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,1.已知椭圆方程43ab则双曲线的离心率为a、 2b。

3c。

2d。

三x2y22．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为f1，f2，渐近线分别为l1,l2，点p在第AB在第一象限，在L1上。

如果L2⊥ Pf1，L2//PF2，双曲线的偏心率是A.5[答案]Bb．2c、 3（）d.2bbx，l2:y？？x、因为点P在Aa1的第一象限，在L1上，让P（x0，Y0），x0？0，因为L2⊥ Pf1，那么Pf1呢？PF2，即OP？f1f2？c、 l2//pf22bb222即x02?y02?c2，又y0?x0，代入得x0?(x0)?c，解得x0?a,y0?b，即p(a,b)。

所以aabbb？？(?)?? 1bla，因为2⊥ Pf1，那么a？cakpf1L2的斜率为a?c【解析】双曲线的左焦点f1(?c,0)，右焦点f2(c,0)，渐近线l1:y?2b2?a(a?c)?a?ac?c?2a，所以c2?ac?2a2?0，所以e2?e?2?0，解得e?2，所以双曲线你说呢？所以选择Bx2y23．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2?43x的焦如果AB点重合，双曲线的偏心率等于a．2b．3c、二,2d、二,34.抛物线y？如果4x2上的点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标为a78b.1516c。

34d.0x2y2？？由1的两条渐近线包围的三角形的面积是5条抛物线y°？？12x和双曲线932a 3b。

23c。

2d。

33[答]dx2y233??1的两渐近线为y?【解析】抛物线y??12x的准线为x?3，双曲线x和y??x，93332令x?3，分别解得y1?3,y2??3，所以三角形的低为3?(?3)?23，高为3，所以三角形的面积为1.23? 3.33，选择d.226抛物线y？4x的焦点形成一条直线，并在两点a和B处与抛物线相交，它们到达直线x？？2的距离之和等于5，则这样的直线a、是的，只有一个B。

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1. 椭圆的概念在平面内与两定点F i、F2的距离的和等于常数(大于|F I F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距____集合p = {M||MF i |+ |MF2|= 2a}, |F I F2|= 2c,其中a>0, c>0，且a, c 为常数：(1) 若业，则集合P为椭圆；⑵若a^c，则集合P为线段；⑶若空，则集合P为空集.2. 椭圆的标准方程和几何性质若/ PF i F 2=5/ PF Z F I ,则椭圆的离心率为例6•写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1) 长轴与短轴的和为 18，焦距为6; ____________________ . (2) 焦点坐标为(,3,0),(,3,0),并且经过点(2，1); _________________ .1(3) 椭圆的两个顶点坐标分别为(3,0) ,(3,0),且短轴是长轴的 丄；3(4) 离心率为—，经过点(2，0); ______________________ .22典型例题例 1.F 1，F 2 是定点，且 |F 1F 2|=6, (A)椭圆 例2.已知 ABC 2X(A)—252y_16(B)直线 的周长是 2X(B)—— 25 16, 2y_ 动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则M 点的轨迹方程是() (C)圆(D)线段3,0)，B (3,0)，则动点的轨迹方程是( )y 2A(i(y 2 0) (C)16 2y_ 25 2’ X 1 (D)— 16 例3.若 2X F( c ，0)是椭圆字2 y ab21的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为 M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于(A)( c ，£)ab 2(B)( c,-)a(C)(0 ，土 b) (D) 不存在例 4.设 F i (- c .0)、F 2(C , 0)是椭圆2 2x y=1( a>b>0)的两个焦点，P 是以F I F 2为直径的圆与椭圆的一个交点b(A) i3(B)_6 3(C)(D)2例5 P 点在椭圆—45 2—1 上, F 1、20F 2是两个焦点，若 PF i PF 2，贝U P 点的坐标是X 2例7 F2是椭圆y 1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则| PR | | PF2 |的最大值是________________ 4第二部分：双曲线1. 双曲线的概念平面内动点P与两个定点F i、F2(|F I F2|=2C>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c),则点P的轨迹叫双曲线•这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. _______集合p = {M|||MF i|—|MF2||= 2a} , |F I F2|=2C,其中a、C为常数且a>0, C>0:(1) 当a<C时，P点的轨迹是双曲线；(2) 当a = C时，P点的轨迹是两条射线；(3) 当a>c时，P点不存在.2. 双曲线的标准方程和几何性质例13•根据下列条件，求双曲线方程⑴与双曲线2 x 2 y 1有共冋渐近线，且过点(-3, 2 3)；9162 2⑵与双曲线x y 1有公共焦点，且过点,2).16 42例14设双曲线x 2 十 1上两点A 、B , AB 中点M (1 , 2) ⑴求直线AB 方程；⑵如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于 C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么?典型例题 例8•命题甲：动点P 到两定点A 、B 甲是命题乙的( )(A)充要条件 的距离之差的绝对值等于 2a(a>0);命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

圆锥曲线大题梳理考情分析圆锥曲线问题是高考的热点问题之一，多数情况在倒数第二题出现，难度为中高档题型。

纵观近几年高考试卷，圆锥曲线的大题主要有以下几种类型：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。

各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可循。

热点题型突破题型一：最值问题1(2024·安徽合肥·统考一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F 0,1，过点F的直线l与C交于A,B两点，过A,B作C的切线l1,l2，交于点M，且l1,l2与x轴分别交于点D,E.(1)求证：DE= MF；d1d(2)设点P是C上异于A,B的一点，P到直线l1,l2,l的距离分别为d1,d2,d，求2d2的最小值.【思路分析】(1)利用导函数的几何意义求得直线l1,l2的表达式，得出D,E,M三点的坐标，联立直线l与抛物线方程根据韦达定理得出 DE= MF；d1d2d2k=221+1≥2，可求出d d12d2(2)利用点到直线距离公式可求得【规范解答的最小值.】(1)因为抛物线C的焦点为F 0,1，所以p=2，即C的方程为：x2=4y，如下图所示：设点A x 1,y 1,B x 2,y 2，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设l :y =kx +1 ，=y =联立 x kx 2 y 4+1得x 2-4kx -4=0，所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.11由x 2=4y ，得y =4x 2,y =2x ，所以l 1:y -y 1=x 1 x -x 1，即y =x 122x -x 14.2令y =0，得x =x 12x12，即D ,0 ，同理l 2:y =x 222x -x 24x22，且E ,0 ，1 1所以 DE =2 x 1-x 2=2 x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+1.x 122x 14x 22x -x -2x 24由y =y ==2y ，得 x =-k1，即M 2k ,-1 .所以 MF =4k 2+4=2 k 2+1，故 DE = MF .(2)设点P x 0,y 0，结合(1)知l 1:y -y 1=x12x -x 1，即l 1:2x 1x -4y -x 2=101因为x 2=4y 1,x 2=4y 00，所以d 1=4y -x 022x 1x 01-24x 1+16=0-2x 0-x 21 2x 1x42x 1+16x =1-x 0222x 1+4.同理可得d 2=x 2-x 022x 2+24，所以d 1d 2=x x 10- 222x 1+4-x ⋅2x 0222x 2+4x =1-2x 0x +x 21 + 0x x 22x 42x 122+4x + 1x 222 +16-4=kx -0+4 x 022k 322+1.又d =y kx 0+01-k 2+12=x 04kx 0+1-+k 21 4kx 0+2=x 04-4k 2+1，d 1所以d 2d 2-4=kx 0 -04+x 2232+k 2116⋅k 2+1 -2x 04kx 0 +42k =221+1≥2.当且仅当k =0时，等号成立；d21即直线l 斜率为0时，d 1d 2取最小值2；求最值及问题常用的两种方法：(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决；(2)代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。

圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 2121yy k x x -=-②点0(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =③夹角公式：直线111222::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离①AB =12AB x =-=③12AB y =-（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）111222::l y k x b l y k x b =+=+①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且（Ⅱ）11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=①1212120l l A A B B ⊥⇔+=② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111222A B C A B C =≠者（2220A B C ≠） 两平行线距离公式1122::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩ 距离1221d k =+ 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离1222d A B =+ 二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}. 点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) px y 22=参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心原点O （0，0） 原点O （0，0）顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.【备注1】双曲线：⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb y a x .【备注2】抛物线：（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p ，开口向上；抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p，开口向下. （2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x pMF -=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2p AB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（ ） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线 y = kx + m ，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题1. 定义与轨迹方程问题2. 交点与中点弦问题3. 弦长及面积问题4. 对称问题5. 范围问题6. 存在性问题7. 最值问题8. 定值，定点，定直线问题第二部分 知识储备一．与一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 相关的知识（三个“二次”问题）1.判别式：2. 韦达定理：若一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 有两个不等的实数根 x 1, x 2 ，则，3. 求根公式：若一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 有两个不等的实数根 x 1, x 2 ，则x + x = - b1 2ax ⋅ x = c1 2 a ∆ = b 2 - 4acp p AB = 1+ k 2 x - x = (1+ k 2 )[(x + x )2 - 4x x ]( 或 AB = 1+ 1y - y )1 2 1 2 1 2k 2 12x =x 1 + x 1 , y = y 1 + y 22 2二．与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率： y = tan ，∈[0,) ；②点到直线的距离公式：d = Ax 0 + By 0 + C（一般式）或 （斜截式） A 2 + B 23. 弦长公式：直线 y = kx + b 上两点 A (x 1, y 1), B (x 2 , y 2 ) 间的距离：4. 两直线 l 1 : y 1 = k 1x 1 + b 1, l 2 : y 2 = k 2 x 2 + b 2 的位置关系：①5. 中点坐标公式：已知两点 A (x 1, y 1), B (x 2 , y 2 ) ，若点 M (x , y )线段 AB 的中点，则三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。

圆锥曲线大题归类•定点问题X2例1•已知椭圆C:孑+ /= 1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M : (x-3)2+ (y—1)2 = 3 相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线I与椭圆C交于P, Q两点，且APAQ= 0,求证：直线I过定点，并求该定点的坐标.［解析］⑴圆M的圆心为(3,1)，半径r = 3.由题意知A(0,1), F(c,0),x直线AF的方程为c+ y= 1,即x+ cy—c= 0,w解得c2= 2, a2= c2+ 1 = 3,x2故椭圆C的方程为3+y2= 1.(2)方法一：由=0知AP I AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直，1 故可设直线AP的方程为y= kx+1,直线AQ的方程为y=—只+ 1.y= kx+ 1,联立x22整理得(1+ 3k2)x2+ 6kx= 0,3 + y2= 1，解得x= 0 或x= 1+；：2,―6k 1 ― 3 k2故点P的坐标为(1 + 3k2，1 + 3k2)，6k k 2— 3同理，点 Q 的坐标为（QT 匚3，Q 品）k 2 — 3 1 — 3k 2k 2 + 3 ― 1 + 3k 2 k 2 — 16k — = 4k ，k 2 + 3— 1 + 3k 21•••直线i 过定点（o ，— 2）.方法二：由=0知AP I AQ ,从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线I 的方程为y = kx + t （t 丰1），y = kx +1， 联立X 2 23+宀3整理得(1 + 3k 2)x 2 + 6ktx + 3(t 2— 1) = 0.—6ktx1 +x 汁碍， 设 P(X 1, y”，Q(x 2, y 2)则3t 2— 1(*)x1x2=7+3?，由△= (6kt)2 — 4(1 + 3k 2) x 3(t 2— 1)>0，得 3k 2>t 2— 1•由=0，得 =(冷，y 1 — 1) •(，y 2 — 1)= (1 +『)x 1x 2+ k(t — 1)(x 1 + X 2) + (t — 1)2 = 0，1将(*)代入，得t = — 1，•••直线i 过定点（0，—刁.3•••直线I 的斜率为•••直线I 的方程为y = k 2— 1 6k k 2 — 34k % — k 2+ 3) + k 2 +3，即y = k 2—1 1 4k x — 2.例2•已知抛物线C :寸=2px(p>0)的焦点F(1,0), O为坐标原点，A, B是抛物线C上异于0的两点.(1)求抛物线C的方程;1⑵若直线OA, 0B的斜率之积为—㊁，求证：直线AB过x轴上一定点.［解析］(1)因为抛物线y2= 2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以号二1,所以p =2.所以抛物线C的方程为y2= 4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A(4, t), B(4,—t).1因为直线OA, OB的斜率之积为一刃t —t 1所以』= —q,化简得t2= 32.4 4所以A(8, t), B(8,—t)，此时直线AB的方程为x= 8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y= kx+ b, A(X A, y A), B(X B, y B),2y2= 4x,联立得化简得ky2—4y + 4b= 0.y= kx+ b,根据根与系数的关系得y A y B=4b，因为直线OA,OB的斜率之积为一2,所以y A^B=—2，2 x A x B 2y A y B即X A X B + 2y A y B = 0.即；壬 + 2y A y B= 0,解得y A y B = 0(舍去)或y A y B= —32所以y A y B =匸=—32,即b= —8k,所以y= kx —8k, y= k(x —8).综上所述，直线AB过定点(8,0).圆锥曲线中定点问题的两种解法(1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量， 再研究变化 的量与参数何时没有关系，找到定点.(2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变 量无关. 二.定值问题X y例3•已知椭圆C:孑+ bj>= 1(a>b>0)的两个焦点分别为F i (— ,2,0),F 2「2,0),点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.导学号30072628(1) 求椭圆C 的方程；⑵过点M(1,0)的直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，设点N(3,2)，记直线 AN , BN 的斜率分别为k 1, k 2,求证：k 1+ k 2定值. ［解析］(1)依题意，由已知得c = ,2,则a 2— b 2= 2,x 2 由已知易得b = |OM|= 1,所以a = .3,所以椭圆的方程为"3 + y 2^ 1. ⑵①当直线I 的斜率不存在时，不妨设 A(1,书，B (1，—¥)，则k 1 + k 22 J6 2丄血2—3 2十 3=—2 — + —2 — = 2 为定值.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y = k(x — 1),依题意知，直线I 与椭圆C 必相交于两点，设A (X 1, y”, B (X 2, y 2), 冲 6k 2 3k 2 — 3 e则 x 1 + X 2= 3k 2 + 1, x 1x 2 = 3k 2+ 1，又 y 1 = k(X 1 — 1), y 2 = k(X 2— 1),y =k x —1 ,由x3+宀1得(3k 2 + 1)x 2 — 6/x + 3k 2— 3 = 0,所以k1+k2=3—1+3—2=2 — y 13 — X 2 + 2 — y 3 —X 13 — X 3 — X[2 — kx i —1] 3 — X 2 + [2 — kx 2— 1 ] 3— x i3 — x i 3— X 2 12— 2 x i + x ? + k[2x i x 2—4 x i + x 2 + 6]9— 3 x i + X 2 + X 1X 26k 2 3k 2 — 3 6k 212— 2X3k +1+ k[2 % 3k +1— 4X 3k^ + 6] 12 2k 2 + 1 c二 6k 2~~3k 2— 二 6 2k 2+ 1 二 2，9 — 3X3k +1+ 3k +1 综上，得k i + k 2为定值2. 例4 （2016北京理科） 求定值问题常见的方法（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 三•探索性问题例5.（2015新课标全国U, 12分，理）已知椭圆C : 9x 2 + y 2= m 2（m>0），直 线I 不过原点O 且不平行于坐标轴，I 与C 有两个交点A ，B ,线段AB 的中点 为M.（1）证明：直线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值；⑵若l 过点（m ，m ），延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平 行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.［解析］（1）设直线 l : y = kx + b （k M 0，0），A （x i ，y i ），B （x ，y 2），M （X M , y M ）.将 y = kx + b 代入 9X 2 + y 2= m 2得（『+ 9）x 2 + 2kbx + b 2 — m 2= 0，故于是直线OM 的斜率kOM 二豐二-4即kOM k =- 9. 所以直线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.x i + X 2 — kb 2 二 k 2+ 9, y M = kx M + b = 9bk 2+ 9.⑵四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线I 过点(m , m),所以I 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k>0,心 3.9 由(1)得OM 的方程为y = — RX .设点P 的横坐标为X P .9由尸—宀得应 9/ + y 2= m 2k 2m 2 ikm_9k 2+ 81,即 x p — 3 &9.将点(m , m)的坐标代入 I 的方程得bm3— k，因此X M Y —3,.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分，即X P=2X M .因为 k i >0, k i 丰3, i = 1,2,所以当I 的斜率为4— .7或4+ .7时，四边形OAPB 为平行四边形. X 2 y 2例6.已知椭圆C:孑+含=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且AF|(1)求椭圆C 的标准方程；⑵若动直线l : y = kx + m 与椭圆C 有且只有一个交点P ,且与直线x =4 交于点Q,问：是否存在一个定点M(t,0),使得=0.若存在，求出点M 的坐标； 若不存在，说明理由.［解析］⑴由 c = 1, a — c = 1,得 a = 2,二 b=>3,2 2故椭圆C 的标准方程为X +3=1.于是ikm3求+ 92X k k — 3 m 3 k 2+ 9， 解得 k i = 4— 7, k 2= 4+ . 7.y = kx + m , ⑵由 3X 2+ 4y 2= 12,消去 y 得(3 + 4k 2)x 2+ 8kmx + 4m 2— 12= 0,••• △= 64k 2m 2— 4(3+ 4k 2)(4m 2— 12)= 0,即 m 2 = 3 + 4k 2., 4k 2 3 前 z 4k 3、y p = kx p + m = — — + m = m ，即卩 p ( — m ，伸- ••• M(t,0), Q(4,4k + m),4k 3••• = (― m — t, m),=(4 — t,4k + m),4k 3 4k••• = (—^— t) • —t)+m • (4+ m)=t 2—4t +3+ m (t —1)=0 恒成立,•••存在点M(1,0)符合题意.故 t =1, 故 t 2—4t + 3= 0,即 t = 1.•••存在点M(1,0)符合题意.设 P(x p , y p ),则 X P =4km 3+ 4k 24k m ,y p = kx p + m =—空 + m = 3 m m 即P(-半m)-••• M(t,0), Q(4,4k + m),••=(—签—t , m )‘= (4 — t,4k + m),4k4k —1) • —1)+-(4+ m) = t 2— 4t + 3+ 4km (t —1)= 0恒成立,故 t =1, 故 t 2—4t + 3= 0,即 t = 1.四、取值范围问题x例7.（2015浙江，15分）已知椭圆+ 卄1上两个不同的点A , B 关于直线1 y = mx +2 对称.（1）求实数m 的取值范围；⑵求△ AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）.1［解析］ ⑴由题意知 m 工0，可设直线 AB 的方程为y 二一冷乂 + b.由 消去 y ,得(2 + m^x 2 — 2b x + b 2— 1 = 0.因为直线 y =—三乂+ bx 2 4与椭圆2 + y 2 = 1有两个不同的交点，所以 △= — 2b 2+ 2 +帚2>0,①2mbm 2b设M为AB 的中点，则M （m +2, R ，1 m2 + 2代入直线方程y = mx + 2，解得b =— 2m 2 .② 由①②得m< — f 或m 〉-^.上2 +丄⑵令t = m € （—普^, 0）U （0，普），则且O 到直线AB 的距离d ^j==. 设厶AOB 的面积为S （t ），所以 —2t 2— ；2+ 2=子，当且仅当t 2 =殳时，等号成立•2 ___ 、/- 2t 4+ 2t 2 + 号故厶AOB 面积的最大值为_2_.|AB|= . t 2+ 1 • 1 ，x 2 V 2例8.已知圆x 2 + y 2= 1过椭圆孑+詁=1（a>b>0）的两焦点，与椭圆有且仅有x 2 2 2+y = 1, 1 u 尸—m x+ b ，S(t)= 2|AB | d =t 2+- t+2两个公共点，直线I : y = kx + m 与圆x 3 + y 2= 1相切，与椭圆孑+詁=1相交于 — —— 23A ,B 两点.记A OA?OB •且于U 4. (1) 求椭圆的方程； (2) 求k 的取值范围；(3) 求厶OAB 的面积S 的取值范围.解：(1)由题意知2c = 2,所以c = 1•因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而bx 2=1,故a = .2,所以所求椭圆方程为2 + y 2^ 1.(2)因为直线I : y = kx + m 与圆x 2 + y 2= 1相切，所以原点O 到直线I 的距离为是-1,-今u2 1(3)|ABf = (X 1-X 2)2+ (y 1-y 2)2= (1 + k 2)[(x 1 + X 2)2-4x 1X 2]二 2— 2疋+〔 2,由236 4 1 1< k 2< 1,得"2 = AB|<3.设△ OAB 的 AB 边上的高为 d ,贝U S = 2AB|d = 2AB|, 所以S < 2■.即△ OAB 的面积S 的取值范围是 专，2 .例9•已知椭圆E:彳+ y3 = 1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A , M 两点，点N 在E 上, MA 丄NA.得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2- 2 = 0.设 A (X 1, y 1), B(x 2, y 2),则 X 1 + x 2 = —4km 1+ 2k 2, 2m 2— 2x1x2 二 G? "A=X 1X 2+ y 〔y 2 = (122k 2 +1+ k 2)X 1 x 2 + km(x 1 + X 2)+ m 2=仔？ 2 3 1 由3^圧4,得2=1, 即卩k 的取值范围 =1, 即 卩 m 2= k 2 + 1.由y = kx + m ,⑴当t = 4, |AM|= |AN|时，求△ AMN的面积;⑵当2AM|=|AN|时，求k的取值范围.x y【解】(1)设M(x i, y i),则由题意知y i>0.当t= 4时，E的方程为+号=、. n1, A( —2, 0).由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AMX y212的方程为y= x+ 2.将x=y —2代入4 + = 1得7y2—12y= 0.解得y= 0或y=〒,12 1 12 12 144所以y1 =—.因此△ AMN的面积S MMN = 2X 2^7 X-y = 药.x2(2)由题意知t>3, k>0, A( —t, 0).将直线AM的方程y= k(x+ . t)代入yy2t2k2—3t+ 3 = 1 得(3 + tk2)x2+ 2录tk2x + t2k2—3t = 0.由X1 •—*) = "3+lk^得为=t 1 + k22 k由2AM E IAN得穴二冇，即(k3—2)t= 3k(2k—1).当k= 3 2时上式不成立，因此3k 2k—1 y人十k3—2k2+ k—2 k—2 k2+ 1t-卞〒.t>3等价于k3 —2 - k3 -2 <0，即厂<0.由此得k3 —2<0,或k3—2>0, 解得3 2<k<2.因此k的取值范围是(32, 2).kz2 k—2>°，誹k—2<0,由题设知，直线AN的方程为y= —k(x+Jl),故同理可得五.最值问题卡左、右焦点分别是F i , F 2.以F i 为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、 以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上.(1)求椭圆C 的方程；x 2 y⑵设椭圆E ：荷+ 4b 2= 1, P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y = kx + m 交椭圆E 于A , B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.① 求器|的值；② 求△ ABQ 面积的最大值.解】(1)由题意知2a =4,则a = 2.又a =^，a 2-c 2二b 2,可得 b = 1,a 2 X 2 y 2⑵由⑴知椭圆E 的方程为16+ 4 = 1.由题意知Q(—入x,—入y . 因为弓+y o = 1,所以入=2,即|OQ|| = 2. 所以椭圆C 的方程为4 + y 2= 1.②设 A(X 1, y 1), B(x 2, y 2).将y = kx + m 代入椭圆E 的方程，可得(1 + 4k 2)x 2+ 8kmx + 4m 2 — 16= 0,由 40,可得 m 2<4 + 16k 2.① ①设P(x o , y o ), 1OQ1_ .|OP|_ 人2 2刊一入x —入y又 + 儿16 =1,即处 + y 0 = 1,因为直线y = kx + m 与y 轴交点的坐标为(0, m),所以△ OAB 的面积1 2 16k 2 + 4— m 2|m|S = 2|m||x1 — X2I = 一 1 + 4k 2将y = kX + m 代入椭圆C 的方程， 可得(1 + 4k 2)X 2 + 8kmx + 4m 2 — 4 = 0, 由0,可得m 2< 1 + 4k 2.② 由①②可知0<t w 1, 因此 S = 2「4 — 11= 2 . — t 2 + 4t , 故 S < 2 ,3.当且仅当t = 1,即m 2= 1 + 4k 2时取得最大值2,3. 由①知，△ ABQ 的面积为3S , 所以△ ABQ 面积的最大值为6.3. 例11.定圆M : (X +. 3)2 + y 2= 16,动圆N 过点F( 3, 0)且与圆M 相切, 记圆心N 的轨迹为E.①求轨迹E 的方程;贝U 有 X l + X 2 = 8km 1+ X 1X 2 = 4m 2 — 16 1+ 4k 2 .所以 x 〔 一 X 2I = 4 16k 2 + 4— m 2 1 + 4k 2 m 2 1 +4k 2 t. 216k 2+ 4— m 2m 2 1+ 4k 2 ^2 24— m 2 m 2 一 1+ 4k 2 1+②设点A , B , C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC| = |BC|，当△ ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程.⑵解：①••• F( 3，0)在圆M : (x + 3)2 + y 2= 16内，.••圆N 内切于圆M. ••• |NM|+ |NF|=4>|FM|,「.点N 的轨迹E 为椭圆，且2a = 4, c =. 3,二b = 1 ,二轨迹x 2E 的方程为4 + y 2= 1.②a.当AB 为长轴(或短轴)时，1S A ABC = 2|OC| AB|= 2.b .当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y = kx , A(X A ,X 2丄 2 d2 + y 2= 14 4k 2 y A ),联立方程 4得，x A 二 1+40 y A 二帀恳，：|°A|2= x A +y A 二y = kx 4 1 + k 2 1 4 1 + k 21+ 4k 2 •将上式中的k 替换为一R ,可得|OC|2= 0 + 4 .S\ABC = 2S ^AOC = |OA| OC|••• 1+ 4k 2 k 2 + 4 < 5 1 + R 2 8= 2 , • S A ABC >8，当且仅当1 + 4k 2= k 2 + 4,即k =±l 时等号成立,8 8 o此时△ ABC 面积的最小值是°.v 2>8，.・.A ABC 面积的最小值是 三 此时直线 5 5 5 AB 的方程为y =x 或y = — x. 4 1 + k 2 1+ 4k 2 •4 1 + k 2 k 2 + 4 4 1 + k 2 .1+ 4k 2 k 2 + 4。

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．1.设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0. 由Ax+0(,)0{By c f x y +==，消元。

如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为kP 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2| |P 1P 2|(2)当斜率k (利用轴上两点间距离公式)．4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k＝p y 0. 题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．[思维启迪](1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． 解析：(1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)解 由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16，∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.[探究提高]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．变式训练1 (2012·四川)如图，动点M 与两定点 A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |<|PR |.求|PR ||PQ |的取值范围．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；此时，MA 的斜率为yx ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0. 故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0， 而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1. 设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m 2＋121＋3m 2－1＝1＋221＋3m 2－1. 此时1＋3m2>1，且1＋3m 2≠2，所以1<1＋221＋3m 2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q <3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】 已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[思维启迪]可设直线AE 的斜率来计算直线EF 的斜率，通过推理计算消参． 解析(1)解 由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1.得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x E ＋x F ＋2k x F －x E ＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[探究提高]求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．变式训练2 椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32且离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，将其代入求得c 2＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.题型三 圆锥曲线中的探索性问题【例3】 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[思维启迪]可先假设l 存在，然后根据与C 有公共点和与OA 距离等于4两个条件探求． 解析解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且有⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一． [探究提高]解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．变式训练3 (2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2. (1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t <0)，使得l 与PA ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，|MA →＋MB →|＝－2x2＋2－2y2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x2＋2－2y2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件， 则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意． ②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x24，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t2x 0＋1－t，x E ＝x 20＋4t2x 0＋t －1，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－t －12.又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t8·x 20＋4t 2t －12－x 20，又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·x 20－4[x 20－t －12]x 20＋4t2＝41－t ·x 40－[4＋t －12]x 20＋4t －12x 40＋8tx 20＋16t2.对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只需t 满足⎩⎨⎧－4－t －12＝8t ，4t －12＝16t 2. 解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2. 该直线恒过一个定点A (12，0)．19.圆锥曲线中的函数思想 思想与方法典例：(12分)已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标． 审 题 视 角(1)引入参数PQ 中点的纵坐标，先求k PQ ，利用直线PQ 的方程求解． (2)建立|PB |关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．规 范 解 答(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎨⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n， ∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)．当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， |PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.温 馨 提 醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围.思想方法·感悟提高 方 法 与 技 巧1．解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程y ＝kx＋c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1整理出关于x (或y )的一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，Δ＝B 2－4AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为1＋k 2Δ|A |)．2．圆锥曲线综合问题要四重视： (1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．失 误 与 防 范 1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．练出高分A 组 专项基础训练1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0解 析由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( ) A ．b 2 B ．ab C ．acD ．bc解 析设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)， 则S △FAB ＝12|OF ||2y 1|＝c |y 1|≤bc .3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2解 析记抛物线y 2＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，BC ⊥AA 1，垂足分别是A 1、B 1、C ，则有cos 60°＝|AC ||AB |＝|AA 1|－|BB 1||AF |＋|BF |＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝3，选C.4．(2011·山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解 析∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知x 1＋x 2＝2，且x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减整理得，y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12，所以直线AB 的方程为x －2y ＋7＝0.将x ＝2y －7代入 x 2＝4y 整理得4y 2－32y ＋49＝0，所以y 1＋y 2＝8，又由抛物线定义得|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋2＝10.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝______.将x ＝－3代入椭圆方程得y p ＝12，由|PF 1|＋|PF 2|＝4⇒|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.7．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于不同两点A 、B ，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4k ＋2]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4k ＋2k 2＝2×2，∴⎩⎨⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2， 即k ＝2.8．(10分)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ>0， 即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)>0 ⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0， ∵a >b >0，∴a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 21－b 2a 2＋b 2.由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0. 式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2. ④∴1a 2＋1b2＝2. (2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数由e ＝c a⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 221－e 2＝12＋121－e 2.∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a >0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围为[5，6]．9．(12分)给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程； (3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0.(2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy， ①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线，得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y ＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，x 2－y22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．练出高分B 组 专项能力提升1．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 ( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解 析∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得 (b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.2．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( ) A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解 析设直线AB 的方程为y ＝x ＋b .由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b .又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12·－12－4×－2＝3 2.3．如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是______________．∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >1，b >0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0)与(1,0)到直线x a －yb＝1的距离之和s ≥45c ，则e 的取值范围是__________．解 析由题意知s ＝|－b －ab |a 2＋b 2＋|b －ab |a 2＋b 2＝2ab c ≥45c ， ∴2c 2≤5ab ，∴2c 2a 2≤5b a.又b a ＝c 2－a 2a2＝e 2－1，∴2e 2≤5e 2－1，∴4e 4≤25(e 2－1)，∴4e 4－25e 2＋25≤0， ∴54≤e 2≤5，∴52≤e ≤ 5. 6．若过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为____________．如图，过A 、B 分别作AD 、BE 垂直于准线，垂足分别为D 、E .由|BC |＝2|BF |，即|BC |＝2|BE |，则∠BCE ＝30°，又|AF |＝3，即|AD |＝3，|AC |＝6， ∴F 为AC 的中点，KF 为△ACD 的中位线， ∴p ＝|FK |＝12|AD |＝32，所求抛物线方程为y 2＝3x .7．(13分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．。