高等数学（上）期中测试题
一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设
1
(1)
,0
(),0
x x x f x x a
x ⎧⎪
-<=⎨⎪+≥⎩在
(,)-∞+∞上处处连续，则a =---。
解
()()1
11
10
lim 1lim 1x
x
x x x x e -
-
---→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭
()0
lim x x a a +
→+=,有连续性有a =-1
e
2. 已 知
(3)2f '=,则 0
(3)(3)lim 2h f h f h
→--=1-。
解 已知
()0(3)(3)
3lim
2h f f h f h
→--'==
则
00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h
→→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0,
]
2
π
上的最大值为6
π+解 令
()12sin 0f x x '=-=得6
x π
=
则最大值为
6
π
+
4. 设
5(sin )5(1cos )
x t t y t =+⎧⎨
=-⎩
， 则
t dy dx
=0,2
2t d y dx
==120
解
()
5sin 0
51cos t t t dy dy t dt
dx dx
t dt
=====
=+
5. 设
1(0)x y x x +=>，则y '=
()1ln x x x x x ++
解 两边取对数有
()ln 1ln y x x =+
两边关于
x 求导得1ln y x x y x
'
+=+,整理后即得结果
6. 设函数
()y y x =由方程
cos()0
x y xy ++=确定，则
dy =sin 1
1sin y xy dx x xy --。
解 对方程两边关于x 求导 得:
sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy =
sin 11sin y xy dx x xy
-- 7. 曲线
2x
y e
-=在点(0,1)M 处的曲率K
=25
解
200
22x
x x y e
-=='=-=- 200
44x
x x y e
-==''==
则
()
(
)3
3
222
2
4
25
112y k y
''
=
=
=⎡⎤'++-⎣⎦
8.函数()x
f x xe =在0
1x =处的二阶泰勒公式为()f x =
解 由
()
()()n x
f
x n x e
=+,代入泰勒公式即得
二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当
0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ）
。
A. lg sin x ；
B.1cos x ；
C. 1
sin x
； D. 12
x e
-
。
解0.limlg sin x A x →=-∞ 01
.limcos x B x →不存在
01
.limsin x C x
→不存在 2
1
0.lim 0x x D e -→=
2.
设21sin ,0
()0
,0x f x x
x ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（C ）。 A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续； C ．连续，但不可导； D. 可导。
解
由()201
lim sin 00x f x →== 则()f x 在点0x =处连续
又
()()(
)2
1
sin 00lim
lim
x x f x f x f x x
→→-'==-
20
1lim
sin x x
→=不存在 则
()f x 在点0x =处不可导
3.设arccos sin 2x y =，则1
()2y '=（A ）。
A. 12-；
B. 2-；
C. 12；
D. 2
。
解
1
2
12
arccos 111
cos 222
x x x y ==
⎛⎫'=⋅⋅=- ⎪
⎝⎭ 4.曲线cos sin x t t y t t
=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程是（ B ）。
A.
4()848
y x ππππ-+-=-+；
B. 4()848
y x ππππ+-=--+ ； C. y x =；
D.
y x =-。
解
4
4
4
sin cos 4cos sin 4t t t dy dy t t t dt dx dx
t t t
dt
π
π
π
π
π
=
=
=
++==
=
--
