圆的切线的证明专题学案
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圆的切线判定和性质(教案)第一章:圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念,讲解切线的定义和特点展示圆的切线示意图,让学生理解切线与圆的关系1.2 圆的切线判定条件讲解圆的切线的判定条件通过示例和练习,让学生掌握如何判断一条直线是否为圆的切线第二章:圆的切线性质2.1 圆的切线性质介绍圆的切线的性质,如切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等展示切线性质的示意图,让学生理解并记忆这些性质2.2 圆的切线定理讲解圆的切线定理,如切线定理、切线长定理等通过示例和练习,让学生掌握切线定理的应用和证明方法第三章:圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义和特点讲解圆的切线方程的定义和特点展示切线方程的示意图,让学生理解切线方程的形式和含义3.2 圆的切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程通过示例和练习,让学生掌握求解切线方程的方法和技巧第四章:圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切讲解圆的切线与圆相切的情况和特点展示切线与圆相切的示意图,让学生理解切线与圆的切点、切线与半径的关系4.2 圆的切线与圆相离讲解圆的切线与圆相离的情况和特点通过示例和练习,让学生掌握如何判断切线与圆的位置关系第五章:圆的切线应用5.1 圆的切线与圆的切点应用讲解如何利用切点性质解决问题,如求解切线长度、切线与半径的关系等通过示例和练习,让学生掌握切点性质的应用方法5.2 圆的切线与圆的方程应用讲解如何利用切线方程解决问题,如求解切线方程、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习,让学生掌握切线方程的应用方法第六章:圆的切线与圆的交点应用6.1 圆的切线与圆的交点性质讲解圆的切线与圆的交点的性质,如切线与圆的交点与圆心连线垂直、交点到圆心的距离等于半径等展示切线与圆的交点性质的示意图,让学生理解并记忆这些性质6.2 圆的切线与圆的交点应用讲解如何利用切线与圆的交点解决问题,如求解交点坐标、判断交点与圆的关系等通过示例和练习,让学生掌握切线与圆的交点的应用方法第七章:圆的切线与圆的切线应用7.1 圆的切线与圆的切线相交讲解圆的切线与圆的切线相交的情况和特点展示切线与切线相交的示意图,让学生理解切线与切线的交点、切线与半径的关系7.2 圆的切线与圆的切线平行讲解圆的切线与圆的切线平行的情况和特点通过示例和练习,让学生掌握如何判断切线与切线的位置关系第八章:圆的切线与圆的切线综合应用8.1 圆的切线与圆的切线相切讲解圆的切线与圆的切线相切的情况和特点展示切线与切线相切的示意图,让学生理解切线与切线的切点、切线与半径的关系8.2 圆的切线与圆的切线综合应用讲解如何利用切线与切线综合解决问题,如求解切线与切线的交点、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习,让学生掌握切线与切线综合的应用方法第九章:圆的切线与圆的应用实例9.1 圆的切线与圆的切割应用实例讲解圆的切线与圆的切割应用实例,如切割线段、切割角度等展示切割应用实例的示意图,让学生理解切割原理和应用9.2 圆的切线与圆的轨迹应用实例讲解圆的切线与圆的轨迹应用实例,如轨迹方程、轨迹图形等通过示例和练习,让学生掌握切线与圆的轨迹的应用方法第十章:圆的切线综合练习10.1 圆的切线综合练习题提供一系列圆的切线综合练习题,让学生巩固所学知识通过解答练习题,让学生提高解题能力和综合运用能力10.2 圆的切线综合练习解答提供练习题的解答和解析,帮助学生理解和掌握解题方法通过练习解答,让学生巩固知识,提高学习效果重点和难点解析一、圆的切线定义和判定(第一章)重点关注内容:圆的切线的定义和特点,以及如何判断一条直线是否为圆的切线。
圆的切线的性质教案教案标题:探索圆的切线的性质教学目标:1. 理解圆的切线的定义和性质。
2. 能够应用切线的性质解决与圆相关的问题。
3. 培养学生的观察、分析和推理能力。
教学准备:1. 教师准备:黑板、彩色粉笔、圆规、直尺、教学投影仪等。
2. 学生准备:笔、纸、圆规、直尺等。
教学过程:引入活动:1. 教师展示一张圆形的图片,引导学生观察圆的性质,并提出以下问题:- 圆的直径与半径有什么关系?- 圆的直径与周长有什么关系?- 圆的直径与面积有什么关系?- 圆的直径与切线有什么关系?2. 学生思考并讨论这些问题,教师引导学生逐步得出结论。
概念讲解:1. 教师通过投影仪展示圆的切线的定义,并解释切线与圆的关系。
2. 教师引导学生观察并发现切线与圆的性质,如切线与半径的关系、切线与切点的关系等。
示例分析:1. 教师通过投影仪展示一个具体的圆形图形,并标出切线和切点。
2. 教师引导学生观察切线与圆的性质,并解释切线与切点的关系。
3. 教师给出几个具体的问题,引导学生运用切线的性质解决问题。
练习活动:1. 学生分组进行练习活动,解决与圆的切线相关的问题。
2. 学生展示并讨论各自的解题思路和答案。
拓展活动:1. 学生自主探索圆的切线的性质,提出新的问题并解决。
2. 学生进行小组讨论和展示,分享自己的发现和解决方法。
总结与评价:1. 教师对学生的表现进行评价,并给予肯定和建议。
2. 教师总结本节课的重点内容,并强调学生需要掌握的知识和技能。
教学延伸:1. 学生可以通过实际测量和计算验证切线与圆的性质。
2. 学生可以进一步探究切线与圆锥曲线的关系,如椭圆、双曲线等。
注:根据具体教学情况,教案的内容和步骤可适当调整。
《圆的切线的判定及证明》复习学案一、教学目标:1、切线的判定定理,应用切线的判定定理证明直线是圆的切线。
2、初步掌握圆的切线证明题中辅助线的添加方法。
二、教学重点、难点重点:圆的切线判定及证明;难点:圆的切线证明问题中,辅助线的添加方法。
三、教学过程:活动一:知识回顾活动二:圆的切线判定方法1、圆的切线判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、定理说明:在此定理中,题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,结论为“直线是圆的切线”。
(两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线)L A (1)(2)(3)3、书写格式: 如上图(3)∵OA是半径,L⊥OA于点A ∴L是⊙O的切线。
活动三:切线的证明1、当直线和圆有交点时,连半径证垂直。
例1:ΔABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于D,DE⊥AC于E。
求证:DE是⊙O的切线。
直线和圆的位置关系l l l 直线和圆的位置关系公共点个数d与R的大小关系O.lAO.lABOOF EDCBA2、当直线和圆的交点不确定时,做垂直证半径。
例2: 已知:如图,P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点.PE ⊥OA 于E .以P 点为圆心,PE 长为半径作⊙P .求证:⊙P 与OB 相切.3、回顾例1与例2圆的切线证明问题中,辅助线的添加方法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。
简记为:连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。
简记为:作垂直,证半径。
四、学以致用:1、如图,AB 是⊙O 的直径,E 是AB 延长线上的一点,D 是⊙O 上的一点,且AD 平 分 ∠F AE ,ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C .判断直线CE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论。
2、已知:△ABC 中AB=AC ,O 为BC 的中点,以O 为圆心的圆与 AC 相切于点E 。
证明圆的切线的两种常用方法一、教学目的要求:1.知识目的:(1)掌握切线的判定定理.(2)应用切线的判定定理证明直线是圆的切线,掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.2.能力目的:(1)培养学生动手操作能力.(2)培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力.3.情感目的:通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程,激发学生学习几何的积极性。
二、教学重点、难点1.重点:切线的判定定理.2.难点:圆的切线证明问题中,辅助线的添加方法.三、教学过程:(一)复习引入回答下列问题:(口述)1.直线和圆有哪三种位置关系?这三种位置关系是如何定义?如何判定的?2.什么叫做圆的切线?根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线?①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(要求学生举手回答,教师用教具演示)(二)新课讲解证明直线与圆相切是一类常见题目,解决这类问题常用的方法有两种。
方法一、连接半径,证明垂直若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先连结过此点的半径,再证其与直线垂直。
例1 如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆交于BC于D,作DE⊥AC于E。
求证:DE为⊙O的切线。
证明:连结OD∵OB=OD∴∠B=∠ODB∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C∵DE⊥AC∴∠C+∠CDE=90°∴∠ODB+∠CDE=90°∴∠ODE=90°,即DE⊥OD∴DE是⊙O的切线。
例2 如图(2)所示,AB是⊙O的直径,过A点作⊙O的切线,在切线上任取一点C,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC 于E,求证:CD是△ADE外接圆的切线。
证明:取AE的中点F,连结FD。
∵AB为直径,∴AD⊥BD∵FD=FE(=FA)∴∠FED=∠FDE∵∠CDE=∠BDO=∠B∠FEB+∠B=90°∴∠FDE+∠CDE=90°即FD⊥CD∴CD是△ADE的外接圆的切线。
圆的切线的判定(教案)章节一:圆的切线的定义与性质1.1 教学目标让学生了解圆的切线的定义。
让学生掌握圆的切线的性质。
1.2 教学内容圆的切线的定义。
圆的切线的性质。
1.3 教学步骤1.3.1 引入利用实物或图片展示圆和切线,引导学生思考圆的切线的定义。
1.3.2 讲解讲解圆的切线的定义,强调圆的切线与圆的接触点是切点。
讲解圆的切线的性质,如切线与半径垂直,切线与圆的切点处的切线斜率为0等。
1.3.3 练习提供一些图形,让学生判断哪些是圆的切线,并解释原因。
1.4 教学评价通过学生的练习和提问,评估学生对圆的切线的定义和性质的理解程度。
章节二:圆的切线的判定定理2.1 教学目标让学生了解圆的切线的判定定理。
让学生能够运用判定定理判断一条直线是否为圆的切线。
2.2 教学内容圆的切线的判定定理。
判定定理的应用。
2.3 教学步骤2.3.1 引入回顾上一章节的圆的切线的性质,引导学生思考如何判断一条直线是否为圆的切线。
2.3.2 讲解讲解圆的切线的判定定理,包括定理的表述和证明过程。
讲解判定定理的应用,如何通过已知条件判断一条直线是否为圆的切线。
2.3.3 练习提供一些题目,让学生运用判定定理判断直线是否为圆的切线,并提供解题思路和步骤。
2.4 教学评价通过学生的练习和提问,评估学生对圆的切线的判定定理的理解程度和应用能力。
章节三:圆的切线方程的求法3.1 教学目标让学生了解圆的切线方程的求法。
让学生能够运用求法求出圆的切线方程。
3.2 教学内容圆的切线方程的求法。
切线方程的求法应用。
3.3 教学步骤3.3.1 引入回顾上一章节的内容,引导学生思考如何求出圆的切线方程。
3.3.2 讲解讲解圆的切线方程的求法,包括切线方程的一般形式和求法步骤。
讲解切线方程的求法应用,如何根据已知条件求出圆的切线方程。
3.3.3 练习提供一些题目,让学生运用求法求出圆的切线方程,并提供解题思路和步骤。
3.4 教学评价通过学生的练习和提问,评估学生对圆的切线方程的求法的理解程度和应用能力。
圆的切线证明专题复习教学设计一、教学目标:1、熟练掌握圆的切线的判定定理及性质定理。
2、灵活掌握圆切线的两个条件。
3、灵活运用切线的判定定理证明圆的切线。
二、知识梳理:1、圆的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、具备是圆的切线的两个条件:a 、经过半径的外端;b 、垂直于这条半径。
3、圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径 。
4、证明圆的切线的方法: (1)连接圆心与切点;(2)证明这条直线与过圆心的半径所成的角是直角。
三、专题例题:例题1,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在圆上,且四边形AOCD 是平行四边形,过点D 作⊙O 的切线,分别交OA 延长线与OC 延长线与点E 、F,连接BF , 求证:BF 是⊙O 的切线。
例题2,如图,⊙O 的直径为AC ,过点A 作直线MN ,使∠BAM=21∠AOB, 求证:MN 是⊙O 的切线。
例题3、如图,在ΔABC 中,以BC 为直径的⊙O 交AB 于D , 且D 是AB 的中点,过D 作DE ⊥AC ,垂足为E , 求证:DE 是⊙O 的切线。
四、课堂练习:1、如图1,若以 ABCD 的一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ,则∠C= 度。
M F C D E B C BA O N D OCB A E 例3 例2 例1 DB A O • CO A (1)•2、如图2,直线AB经过⊙O上的C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线。
3、如图,在直角ΔABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC 于点E,求证:AC是⊙O的切线4、如图4,AB是⊙O的直径,过点O作弦BC的垂线交切线BD于点D,OD与⊙O交于点E,交BC于点F,连接AE,CE。
(1)、求证:∠D=∠AEC;(2)、若OB=2.5,BC=4,求DE的长。
五、课堂小结:课外练习:中考先锋相关习题。
2.5.2 圆的切线的判定、性质和画法 导学案【学习目标】1、探究圆的切线的判定定理,并掌握圆的切线的判定定理;2、会利用切线的判定定理证明直线是圆的切线,并初步掌握切线证明问题中辅助线的添加方法。
【学习过程】 一、课前抽测1、直线与圆的位置关系有: 、 、 三种。
2、与圆相切的直线叫 线,与圆 个交点,这个交点叫 点。
3、已知⊙O 的直径为6cm ,如果圆心O 到直线l 的距离为3cm ,则直线l 与⊙O 的位置关系是 。
二、问题探究探究一:切线的判定定理例1:已知:如图,AB 是⊙O 的直径,D 是BC 弧的中点,DE ⊥AC ,交AC 的延长线于E,求证:DE 是⊙O 的切线。
探究二:切线的性质例2:已知:如图,AB 切⊙O 于点B ,OA 与⊙O 交于点C ,点P 在⊙O 上,若∠BAC=40°,则∠BPC 的度数为( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°学法指导:切线的判定方法:(1)若切点已知,则连半径,证垂直; (2)若切点未知,则作垂直(过圆心作线段垂直直线),证半径(证明垂线段的长度等于半径)。
学法指导: 切线的性质:如果出现圆的切线,则通常连结圆心和切点(作半径),得垂直。
简称“见切点,连半径,得垂直”三、知识归纳1、切线的判定方法:经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线。
如图1所示,⊙O 的半径OA=2cm ,过点A 作直线l 与OA 垂直。
⑴圆心O 到直线l 的垂线段是 ; ⑵圆心O 到直线l 的距离等于 cm ;⑶直线l 与⊙O 的位置关系是 ,直线l 是⊙O 的 线。
2、切线的性质:圆的切线 半径。
四、课堂检测1、下列命题中是真命题的是( )A 、经过半径外端的直线是圆的切线B 、直线和圆有公共点,则直线和圆相交C 、圆的切线垂直于半径D 、过圆上一点有且只有一条直线与圆相切 2、如图,AB 是⊙O 的直径,下列条件中不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是( ) A. AB=4,AT=3,BT=5 B. ∠B=45°,AB=AT C. ∠B=55°,∠TAC=55°D. ∠ATC=∠B3、如图所示,AB 是⊙O 的弦,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,BC 经过圆心。
圆的切线的判定(教案)第一章:圆的切线定义与性质1.1 圆的切线定义引入圆的切线的概念,给出圆的切线的定义。
通过图形和实例解释圆的切线的性质和特点。
1.2 圆的切线性质探讨圆的切线的性质,如切线与半径垂直、切线与圆只有一个交点等。
通过几何证明和实例来加深对圆的切线性质的理解。
第二章:圆的切线判定定理2.1 切线判定定理的引入引入圆的切线判定定理,并解释其意义和作用。
通过图形和实例来展示切线判定定理的应用。
2.2 切线判定定理的证明几何证明切线判定定理,解释定理的证明过程和逻辑推理。
通过证明过程来加深对切线判定定理的理解和应用。
第三章:圆的切线方程3.1 切线方程的引入引入圆的切线方程,并解释其意义和作用。
通过图形和实例来展示切线方程的应用。
3.2 切线方程的求解学习如何求解圆的切线方程,包括斜率存在和不存在的情况。
通过例题和练习来掌握切线方程的求解方法。
第四章:圆的切线与圆的位置关系4.1 切线与圆相切探讨切线与圆相切的情况,包括切线与圆的切点和切线与圆的切线。
通过图形和实例来展示切线与圆相切的特点和性质。
4.2 切线与圆相离和相交探讨切线与圆相离和相交的情况,包括切线与圆的交点和切线与圆的内切。
通过图形和实例来展示切线与圆相离和相交的特点和性质。
第五章:圆的切线在实际问题中的应用5.1 切线在几何问题中的应用探讨圆的切线在几何问题中的应用,如求解角度、距离等问题。
通过例题和练习来展示切线在几何问题中的应用方法。
5.2 切线在实际生活中的应用探讨圆的切线在实际生活中的应用,如自行车轮子、圆形操场等。
通过实例来展示切线在日常生活中的重要性和作用。
第六章:圆的切线判定定理的拓展6.1 切线判定定理的推广探讨将切线判定定理应用到更一般的情况下,如非圆形的曲线。
通过图形和实例来展示切线判定定理的推广应用。
6.2 切线判定定理与其他数学概念的联系探讨切线判定定理与其他数学概念的联系,如代数、几何等。
通过例题和练习来展示切线判定定理与其他数学概念的结合应用。
广东中考疑难问题《圆的切线的证明》教学设计教学环节教学互动设计思路一、引入1、复习圆的切线的判定定理:经过半径的外端点并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的证明难度虽大,但根据切线的判定定理,归纳起来有两种证法,一是“作垂直,证半径”,二是“作半径,证垂直”,而近年的考题多数是用第二种方法来证。
本节课只针对第二种方法作出分析归纳。
而“作半径,证垂直”细分起来,又有两种方法: 1、没有已知切线,通过两角互余证半径和直线垂直;2、有已知切线,通过证三角形全等证半径和直线垂直。
通过复习圆的切线判定定理引出本节课学习内容,明确学习目的。
二、例题分析1、(2013 年广东中考第24 题)如图,⊙O 是Rt△ABC 的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC 交DC 的延长线于点E.求证:BE 是⊙O 的切线.2、分析:1、以中考题为例题,让学生从整体上感知中考题的题型、问题的广度、深⑴因为图中与BE 垂直的半径尚未出现,所以可以断定本题属于度。
通过学生“作半径,证垂直”的类型。
⑵连接OB,因为本题没有已知切线,独立思考、师所以本题属于“没有已知切线,通过两角互余证半径和直线垂直”生合作探究,的类型,只需证明OB⊥BE 即可,即证∠EBC+∠OBC=90°。
对问题进行⑶寻找与∠EBC、∠OBC 有关系的角(此处体现出学生综合运用剖析,化解问已学过的性质和定理的能力):∠EB C+∠E CB=90°,∠OB C=题的难点,培∠OCB。
即只要证到∠ECB=∠OCB 就解决本题。
⑷根据圆的内养学生的读接四边形的外角等于它的内对角可得∠ECB=∠BAD,由弦图能力和分BD=BA,可得∠OCB=∠BAD。
析问题的能⑸等量代换后可得∠OCB=∠ECB,即∠EBC+∠OBC=90°,得力。
证BE 是⊙O 的切线。
2、本题考查(续二)3、逆向思路如下:BE 是⊙O 的切线4、证明过程(要求学生自行写出)5、本题点评:解决本题的证明,首要判断正确问题所属类型(“作半径,证垂直”中的方法1)。
圆的切线判定和性质(教案)章节一:圆的切线判定教学目标:1. 理解圆的切线的定义2. 学习圆的切线的判定方法教学内容:1. 圆的切线的定义2. 圆的切线的判定方法教学步骤:1. 引入圆的切线的定义,引导学生理解圆的切线与圆的关系。
2. 讲解圆的切线的判定方法,引导学生通过实例进行理解和掌握。
教学活动:1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的定义。
2. 组织学生进行小组讨论,探讨圆的切线的判定方法。
教学评价:1. 通过测试题检查学生对圆的切线的定义的理解。
2. 通过解答题检查学生对圆的切线的判定方法的掌握。
章节二:圆的切线性质教学目标:1. 理解圆的切线的性质2. 学习圆的切线的性质的证明和应用教学内容:1. 圆的切线的性质2. 圆的切线的性质的证明和应用教学步骤:1. 引入圆的切线的性质,引导学生理解圆的切线的性质。
2. 讲解圆的切线的性质的证明和应用,引导学生通过实例进行理解和掌握。
教学活动:1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的性质。
2. 组织学生进行小组讨论,探讨圆的切线的性质的证明和应用。
教学评价:1. 通过测试题检查学生对圆的切线的性质的理解。
2. 通过解答题检查学生对圆的切线的性质的证明和应用的掌握。
章节三:圆的切线方程教学目标:1. 理解圆的切线的方程2. 学习圆的切线的方程的求法教学内容:1. 圆的切线的方程2. 圆的切线的方程的求法教学步骤:1. 引入圆的切线的方程,引导学生理解圆的切线的方程的概念。
2. 讲解圆的切线的方程的求法,引导学生通过实例进行理解和掌握。
教学活动:1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的方程的概念。
2. 组织学生进行小组讨论,探讨圆的切线的方程的求法。
教学评价:1. 通过测试题检查学生对圆的切线的方程的理解。
2. 通过解答题检查学生对圆的切线的方程的求法的掌握。
章节四:圆的切线与圆的位置关系教学目标:1. 理解圆的切线与圆的位置关系2. 学习圆的切线与圆的位置关系的判定方法教学内容:1. 圆的切线与圆的位置关系2. 圆的切线与圆的位置关系的判定方法教学步骤:1. 引入圆的切线与圆的位置关系,引导学生理解圆的切线与圆的位置关系的概念。
《圆切线的判定》导学案
一.复习
问题一:1.直线和圆有哪些位置关系?
2.如何判断直线和圆相切?
二.探究新知
1.问题二:
在⊙O中,经过半径OA的外端的点A作OA⊥l,
则圆心O到直线l的距离等于_______,
直线l和⊙O的位置关系是__________,
所以直线l是⊙O的__________.
2.归纳总结:切线的判定定理
___________________________________并且________________________________________ 的直线是圆的切线。
符号语言:∵ __________________________________________
∴ __________________________________________
3.问题三:若应用切线的判定定理证明圆的切线时,如何判断直线过半径的外端?
三.例题精讲,总结方法—学生板书并讲解。
1.
方法总结:
2.
方法总结:A O
C
D
四.热身练习—学生自行完成并讲解
1.
2.
五.能力提升—学生小组讨论并讲解
1.
2.
六.超越自我—学生小组讨论并讲解
1.
2.
七.小结
本节课你有哪些收获?。
圆的切线的判定(教案)第一章:引言教学目标:1. 理解圆的切线的概念。
2. 能够识别圆的切线。
教学内容:1. 引入圆的切线的定义。
2. 解释圆的切线与圆的关系。
教学方法:1. 使用图形和实物模型来展示圆的切线。
2. 通过示例来说明圆的切线的特点。
教学活动:1. 引导学生观察和描述圆的切线。
2. 让学生通过实际操作来绘制圆的切线。
练习题:1. 判断给定的线段是否是圆的切线。
第二章:切线的判定条件教学目标:1. 掌握圆的切线的判定条件。
2. 能够判断一条直线是否是圆的切线。
教学内容:1. 介绍圆的切线的判定条件。
2. 解释判定条件的意义。
教学方法:1. 通过图形和示例来解释判定条件。
2. 使用问题来引导学生思考和理解判定条件。
教学活动:1. 让学生通过观察和分析图形来发现判定条件。
2. 引导学生通过逻辑推理来验证判定条件。
练习题:1. 判断给定的直线是否是圆的切线。
第三章:切线的性质教学目标:1. 理解圆的切线的性质。
2. 能够应用切线的性质解决几何问题。
教学内容:1. 介绍圆的切线的性质。
2. 解释切线性质的应用。
教学方法:1. 使用图形和实物模型来说明切线性质。
2. 通过示例来展示切线性质的应用。
教学活动:1. 引导学生观察和描述切线的性质。
2. 让学生通过实际操作来应用切线性质解决几何问题。
练习题:1. 应用切线性质解决给定的几何问题。
第四章:切线与弦的关系教学目标:1. 理解圆的切线与弦的关系。
2. 能够判断切线与弦的位置关系。
教学内容:1. 介绍圆的切线与弦的关系。
2. 解释切线与弦位置关系的判定方法。
教学方法:1. 使用图形和示例来说明切线与弦的关系。
2. 通过问题来引导学生思考和理解切线与弦的位置关系。
教学活动:1. 引导学生观察和描述切线与弦的位置关系。
2. 让学生通过实际操作来判断切线与弦的位置关系。
练习题:1. 判断给定的切线与弦的位置关系。
第五章:综合应用教学目标:1. 能够综合运用圆的切线的判定和性质解决几何问题。
圆的切线判定和性质(教案)第一章:圆的切线判定1.1 引入:复习圆的定义和基本概念,引出切线的概念。
1.2 讲解:讲解圆的切线的判定条件,即切线与半径垂直。
1.3 例题:给出几个判断题,让学生判断给定的直线是否为圆的切线。
1.4 练习:让学生独立判断一些直线是否为圆的切线,并解释原因。
第二章:圆的切线性质2.1 引入:复习上一章的内容,引出圆的切线性质。
2.2 讲解:讲解圆的切线的性质,如切线与半径垂直,切线与圆只有一个交点等。
2.3 例题:给出几个关于圆的切线性质的题目,让学生解答。
2.4 练习:让学生独立解答一些关于圆的切线性质的题目,并解释原因。
第三章:圆的切线方程3.1 引入:复习上一章的内容,引出圆的切线方程的求法。
3.2 讲解:讲解如何求解圆的切线方程,包括切点在圆内和切点在圆外的情况。
3.3 例题:给出几个求解圆的切线方程的题目,让学生解答。
3.4 练习:让学生独立求解一些圆的切线方程,并解释原因。
第四章:圆的切线与圆的位置关系4.1 引入:复习上一章的内容,引出圆的切线与圆的位置关系。
4.2 讲解:讲解圆的切线与圆的位置关系,包括相切、相离和相交的情况。
4.3 例题:给出几个关于圆的切线与圆的位置关系的题目,让学生解答。
4.4 练习:让学生独立解答一些关于圆的切线与圆的位置关系的题目,并解释原因。
第五章:圆的切线与圆的切点5.1 引入:复习上一章的内容,引出圆的切线与圆的切点的关系。
5.2 讲解:讲解圆的切线与圆的切点的关系,如切线与切点的切线垂直,切线与切点的切线相交于切点等。
5.3 例题:给出几个关于圆的切线与圆的切点的题目,让学生解答。
5.4 练习:让学生独立解答一些关于圆的切线与圆的切点的题目,并解释原因。
第六章:圆的切线与圆的切线6.1 引入:复习上一章的内容,引出圆的切线与圆的切线的关系。
6.2 讲解:讲解圆的切线与圆的切线的关系,如两条切线相交于圆内一点,两条切线平行等。
第1题B 第2题A第3题圆的切线的证明圆的切线的证明题,从直线与圆有无公共点来看,有两大类型:一是直线与圆有公共点; 二是直线与圆没有公共点。
从具体的证明方法来看又分为多种类型 一、直线与圆有公共点 总体思路:“连”(连接圆心与公共点),证垂直. (一)利用相似证垂直1。
如图,AB 是圆O 的直径,点P 在BA 的延长线上,弦CD⊥AB 与点E,且PC ²=PE ×PO 。
(1)求证:PC 是圆O 的切线。
(二)利用全等证垂直2.如图Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以BC 为直径的圆O 交AB 于点D ,E 、F 是圆O 上的两点, 连接AE 、CF 、DF ,满足EA=CA 。
(1)求证:AE 圆O 的切线。
(三)利用勾股定理证垂直3。
如图,圆O 的直径AB=12,点P 是AB 延长线上一点,且PB=4,点C 是圆O 上一点,PC=8。
求证:PC 是圆O 的切线。
(四)利用平行线证垂直4.如图,△ABC 内接于圆O ,CD 平分∠ACB 交于圆O 于D ,过点D 作PQ∥AB 分别交CA 、CB 的延长线于P 、Q 。
求证:PQ 是圆O 的切线.(五)利用角的转化证垂直5。
如图,△ABC 是圆O 的内接三角形,E 是弦BD 的中点,点C O 外一点,且∠DBC=∠A,连接OE 并延长与圆相交于点F ,与BC 相交于点C. (1)求证:BC 是圆O 的切线.DCAEOBBCA二、直线与圆的公共点未知 总体思路:“作”垂直(圆心到直线的垂线),证相等(垂线与半径). (一)利用角平分线证相等1.如图,梯形ABCD 中,AD∥BC,AE⊥BC 于E ,∠ADC 的平分线交AE 于O,以点O 为圆心,OA 为半径的圆经过点B 。
求证:CD 与圆O 相切.(二) 利用面积法证相等2。
如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C 为圆心,半径为2.4作圆C 。
《过圆外一点作圆的切线》导学案一、学习目标1、理解圆的切线的定义和性质。
2、掌握过圆外一点作圆的切线的方法。
3、能够运用切线的性质和判定解决相关的几何问题。
二、学习重难点1、重点(1)切线的定义和性质。
(2)过圆外一点作圆的切线的作图方法。
2、难点(1)运用切线的性质和判定进行推理和计算。
(2)理解切线长定理及其应用。
三、知识回顾1、圆的基本性质(1)圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点称为圆心,定长称为半径。
(2)圆的直径是通过圆心且两端都在圆上的线段,直径等于半径的 2 倍。
2、直线与圆的位置关系(1)直线与圆相离:直线和圆没有公共点。
(2)直线与圆相切:直线和圆有唯一公共点,这时直线叫做圆的切线,公共点叫做切点。
(3)直线与圆相交:直线和圆有两个公共点。
四、新课导入在生活中,我们经常会遇到与圆的切线相关的问题,比如在机械加工中,需要确定刀具与圆形零件的相切位置;在建筑设计中,要计算圆形建筑物周边道路的切线长度等。
那么,如何过圆外一点作出圆的切线呢?这就是我们今天要学习的内容。
五、知识讲解1、切线的定义当直线和圆只有一个公共点时,称直线与圆相切,此时直线叫做圆的切线,公共点叫做切点。
2、切线的性质(1)切线与圆只有一个公共点。
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径。
(3)切线垂直于经过切点的半径。
3、过圆外一点作圆的切线的方法(1)连接圆外一点与圆心。
(2)以连接的线段为直径作圆。
(3)两圆交点与圆外一点的连线即为圆的切线。
例 1:已知圆 O 的半径为 3,点 P 在圆 O 外,OP = 5,求过点 P 作圆 O 的切线的长度。
解:连接 OP 与圆 O 交于点 A,OA = 3,OP = 5根据勾股定理,切线长=√(OP² OA²) =√(5² 3²) = 4例 2:如图,圆 O 外一点 P ,以 P 为圆心作圆 P 与圆 O 相切,切点为 A 、 B ,连接 OP 交圆 O 于点 C ,已知圆 O 的半径为 5 , OP =13 ,求圆 P 的半径。
证明圆的切线的方法导学案(一)、无交点1、如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.求证:AC是⊙O 的切线.2、如图,OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D和OA相切于点E,连接CE.(1)求证:OB与⊙D相切;(2)若OE=4,⊙D的半径为3,求CE的长.(二)有交点1、(利用平行证垂直)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画圆,交AC于点D,DF⊥AB于点F,连接OF,且AF=1.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求线段OF的长度.2、(两侧角互余)如图,AB是⊙O的直径,点D在直径AB上(D与A,B不重合),CD⊥AB,且CD=AB,连接CB,与⊙O交于点F,在CD上取一点E,使得EF=EC.求证:EF是⊙O的切线;3、(利用全等等量代换)如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,连接OC,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E.求证:CD是⊙O的切线;4、(等量代换)如图,已知AB是⊙O的直径,AB=BE,点P在BA的延长线上,连接AE交⊙O于点D,过点D作PC⊥BE垂足为点C.求证:PC与⊙O相切;练习:1、如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC是⊙O直径,BE∥AD交DC延长线于点E,若BC平分∠ACE.(1)求证:BE是⊙O的切线;(2)若BE=3,CD=2,求⊙O的半径.2、如图,AB为半圆的直径,点C是弧AD的中点,过点C作BD延长线的垂线交于点E.(1)求证:CE是半圆的切线;(2)若OB=5,BC=8,求CE的长.3、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若∠C=30°,CE=6,求⊙O的半径.4、如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若CF=4,DF=,求⊙O的半径r及sinB.5、如图,为的直径,为上两点,且为弧的中点,过点作的垂线,交的延长线于点,交的延长线于点,连结(1)求证:是的切线;(2)当时,求的长.6、如图,AB为⊙O的切线,B为切点,过点B作BC⊥OA,垂足为点E,交⊙O于点C,连接CO 并延长CO与AB的延长线交于点D,连接AC.(1)求证:AC为⊙O的切线;(2)若⊙O半径为2,OD=4.求线段AD的长.7、如图,在中,为的中点,以为直径的分别交于点两点,过点作于点.(1)试判断与的位置关系,并说明理由.(2)若求的长.16.如图,在中,以为直径的交于点D,交于点M,点D是的中点,连接,点N为延长线上的一点,,(1)求证:是的切线;(2)若,求出的长.。
课题:圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内,证明圆的切线常用的方法有:一、若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.求证:EF与⊙O相切.证明:连结OE,AD.∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.又∵AB=BC,∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE,∠1=∠2.又∵OB=OE,OF=OF,∴△BOF≌△EOF(SAS).∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切,∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”例2 如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.求证:AC与⊙D相切.证明一:连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.∵AB是⊙D的切线,∴DE⊥AB.∵D F⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵BD=CD,∴△BDE≌△CDF(AAS)∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二:连结DE,AD,作DF⊥AC,F是垂足.∵AB与⊙D相切,∴DE⊥AB.∵AB=AC,BD=CD,∴∠1=∠2.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是几道中考题汇编:(2013中考)22.(本题8分)如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12。
圆的切线证明圆的切线的判定方法有三种:1、与圆一个公共点的直线是圆的切线。
2、圆心到直线的的直线是圆的切线。
(d = r)3、半径的外端并且的直线是圆的切线。
热身练习:1.已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB。
求证:直线AB是⊙O的切线。
2.已知:O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作⊙O。
求证:⊙O与AC相切。
题组一:切点明确型例题:如图,A是⊙O外一点,B是⊙O上一点,AO•的延长线交⊙O于点C,连结BC,∠C=22.5°,∠A=45°。
求证:直线AB是⊙O的切线。
练习:1.如图,△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 交边BC 于P ,PE ⊥AC 于E 。
求证:PE 是⊙O 的切线。
2.(2013四川绵阳)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是半圆O 上的一点,AC 平分∠DAB ,AD ⊥CD ,垂足为D ,AD 交⊙O 于E ,连接CE 。
判断CD 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论;题型二:切点不明确型 例题:△AOB中,OA =OB =10,∠AOB =120°,以O 为圆心5为半径的⊙O 与OA 、OB 相交。
求证:AB 是⊙O 的切线。
练习:(2013湖北省十堰市)如图1,△ABC 中,CA=CB ,点O 在高CH 上,OD ⊥CA 于点D ,OE⊥CB 于点E ,以O 为圆心,OD 为半径作⊙O . 求证:⊙O 与CB 相切于点E ;.B课后练习:1. (2013福建福州)如图,在△ABC 中,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点M ,弦MN ∥BC 交AB 于点E ,且ME =1,AM =2,AE =求证BC 是⊙O 的切线;2. (2013湖北省鄂州市)已知:如图,AB 为⊙O 的直径,AB ⊥AC ,BC 交⊙O 于D ,E 是AC 的中点,ED 与AB 的延长线相交于点F .求证:DE 为⊙O 的切线.3. (2013四川宜宾)如图,Rt △ABC 中,∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ,E 是边BC 的中点,连接DE .求证:直线DE 是⊙O 的切线4. (2014长沙)如图,以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O , ⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 边的中点D ,过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ,求证:DE ⊥AC ;E C5、(2013长沙)如图,⊿ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC. (1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=30切线证明方法总结切点明确型切点不明确型B A。
第1题
B 第2题
A
第3题第4题
圆的切线的证明
圆的切线的证明题,从直线与圆有无公共点来看,有两大类型:一是直线与圆有公共点; 二是直线与圆没有公共点。
从具体的证明方法来看又分为多种类型
一、直线与圆有公共点
总体思路:“连”(连接圆心与公共点),证垂直。
(一)利用相似证垂直
1.如图,AB 是圆O 的直径,点P 在BA 的延长线上,弦CD ⊥AB 与点E,且PC ²=PE ×PO.
(1)求证:PC 是圆O 的切线.
(二)利用全等证垂直
2.如图Rt △ABC 中,∠ACB=90°,以BC 为直径的圆O 交AB 于点D,E 、F 是圆O 上的两点, 连接AE 、CF 、DF ,满足EA=CA. (1)求证:AE 圆O 的切线.
(三)利用勾股定理证垂直
3.如图,圆O 的直径AB=12,点P 是AB 延长线上一点,且PB=4,点C 是圆O 上一点,PC=8. 求证:PC 是圆O 的切线.
(四)利用平行线证垂直
4.如图,△ABC 内接于圆O,CD 平分∠ACB 交于圆O 于D,过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 的延长线于P 、Q. 求证:PQ 是圆O 的切线.
E C
F O B D A D C A E O B B
C A (五)利用角的转化证垂直
5.如图,△ABC 是圆O 的内接三角形,E 是弦BD 的中点,点C 是圆O 外一点,且∠DBC=∠A,
连接OE 并延长与圆相交于点F ,与BC 相交于点C.
(1)求证:BC 是圆O 的切线.
二、直线与圆的公共点未知
总体思路:“作”垂直(圆心到直线的垂线),证相等(垂线与半径).
(一)利用角平分线证相等
1.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AE ⊥BC 于E,∠ADC 的平分线交AE 于O,以点O 为圆心,OA 为半径的圆经过点B.
求证:CD 与圆O 相切.
(二) 利用面积法证相等
2.如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C 为圆心,半径为2.4
作圆C.
求证:圆C 与AB 相切.
练习:
1.(2017*乐山改编)如图,以AB 边为直径的圆O 经过点P ,且∠ACP=60°,D 是AB 延长线上一点,PA=PD.
求证:PD 是圆O 的切线.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的圆O交AB于点E.
求证:DE是圆O的切线.
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,DE=DC,以点D为圆心,BD长为半径作圆D,AB=5,EB=2.
(1)求证:AC是圆O的切线.
(2)求线段AC的长.
4.(2017*贵港改编)如图,在菱形ABCD中,点P在对角线AC上,且PA=PD,圆O是△PAD的外接圆.
求证:AB是圆O的切线.
5.如图,AB为圆O的直径,AD、BD是弦,BC是圆O的切线,切点为PB,OC∥AD,BA、CD 的延长线交于点E.
(1)求证:DC是圆O的切线.
(2)若AE=1,ED=3,求圆O的半径.
6.如图,圆O的直径CD=6,A、B为圆周上的两点,且四边形OABC是平行四边形,过A点作直线EF∥BD,
分别交CD、CB的延长线于点E,F,AO与BD交于G点。
(1)求证:EF是圆O的切线.
(2)求AE的长.
7.(2017黔南州)如图,以△ABC的边AB为直径作圆O,点C在圆O上,BD是圆O的弦,∠A=∠CBD,过点C作
CF⊥AB于点F,交BD于点G,过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
(1)求证:CE是圆O的切线.
(2)求证:CG=BG.
(3)若∠DBA=30°,CG=4,求BE的长.
8.如图在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作圆O,交BD于点E,连接CE,过D作DF⊥AB
于点F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求证:AB是圆O的切线.
(2)若∠A=60°,DF=√3,求圆O的直径BC的长.。