第1题
B 第2题
A
第3题第4题
圆的切线的证明
圆的切线的证明题，从直线与圆有无公共点来看，有两大类型：一是直线与圆有公共点； 二是直线与圆没有公共点。从具体的证明方法来看又分为多种类型
一、直线与圆有公共点
总体思路：“连”（连接圆心与公共点），证垂直。
(一)利用相似证垂直
1.如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 与点E,且PC ²=PE ×PO.
(1)求证：PC 是圆O 的切线.
(二)利用全等证垂直
2.如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D,E 、F 是圆O 上的两点， 连接AE 、CF 、DF ，满足EA=CA. (1)求证：AE 圆O 的切线.
(三)利用勾股定理证垂直
3.如图，圆O 的直径AB=12,点P 是AB 延长线上一点，且PB=4,点C 是圆O 上一点，PC=8. 求证：PC 是圆O 的切线.
(四)利用平行线证垂直
4.如图，△ABC 内接于圆O,CD 平分∠ACB 交于圆O 于D,过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 的延长线于P 、Q. 求证：PQ 是圆O 的切线.
E C
F O B D A D C A E O B B
C A (五)利用角的转化证垂直
5.如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是圆O 外一点，且∠DBC=∠A,
连接OE 并延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C.
(1)求证：BC 是圆O 的切线.
二、直线与圆的公共点未知
总体思路：“作”垂直(圆心到直线的垂线)，证相等(垂线与半径).
(一)利用角平分线证相等
1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AE ⊥BC 于E,∠ADC 的平分线交AE 于O,以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B.
求证：CD 与圆O 相切.
(二) 利用面积法证相等
2.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C 为圆心，半径为2.4
作圆C.
求证：圆C 与AB 相切.
练习：
1.(2017*乐山改编)如图，以AB 边为直径的圆O 经过点P ，且∠ACP=60°,D 是AB 延长线上一点，PA=PD.
求证：PD 是圆O 的切线.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,D为BC的中点，以AC为直径的圆O交AB于点E.
求证：DE是圆O的切线.
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，DE=DC,以点D为圆心，BD长为半径作圆D,AB=5,EB=2.
(1)求证：AC是圆O的切线.
(2)求线段AC的长.
4.(2017*贵港改编)如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上,且PA=PD,圆O是△PAD的外接圆.
求证：AB是圆O的切线.
5.如图，AB为圆O的直径，AD、BD是弦，BC是圆O的切线，切点为PB,OC∥AD,BA、CD 的延长线交于点E.
(1)求证：DC是圆O的切线.
(2)若AE=1,ED=3,求圆O的半径.
6.如图，圆O的直径CD=6,A、B为圆周上的两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD,
分别交CD、CB的延长线于点E,F,AO与BD交于G点。
(1)求证：EF是圆O的切线.
(2)求AE的长.
7.(2017黔南州)如图，以△ABC的边AB为直径作圆O,点C在圆O上，BD是圆O的弦，∠A=∠CBD,过点C作
CF⊥AB于点F,交BD于点G,过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
(1)求证：CE是圆O的切线.
(2)求证：CG=BG.
(3)若∠DBA=30°,CG=4,求BE的长.
8.如图在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作圆O，交BD于点E,连接CE,过D作DF⊥AB
于点F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求证：AB是圆O的切线.
(2)若∠A=60°,DF=√3,求圆O的直径BC的长.
