数学专业英语3—A符号指示集一组的概念如此广泛利用整个现代数学的认识是所需的所有大学生。
集是通过集合中一种抽象方式的东西的数学家谈的一种手段。
集，通常用大写字母：A、B、C、进程运行·、X、Y、Z ；由小写字母指定元素：a、 b 的c、进程运行·，若x、y z.我们用特殊符号x∈S 意味着x 是S 的一个元素或属于美国的x如果x 不属于S，我们写xS.≠当方便时，我们应指定集的元素显示在括号内；例如，由符号表示的积极甚至整数小于10 集{2,468} {2，4.6，进程运行·} 作为显示的所有积极甚至整数集，而三个点等的发生。
点的和等等的意思是清楚时，才使用。
上市的大括号内的一组成员方法有时称为名册符号。
涉及到另一组的第一次基本概念是平等的集。
DEFINITIONOFSETEQUALITY。
两组A 和B，据说是平等的（或相同的）如果它们包含完全相同的元素，在这种情况下，我们写A = B。
如果其中一套包含在另一个元素，我们说这些集是不平等，我们写A = B。
EXAMPLE1。
根据对这一定义，由于他们都是由构成的这四个整数2，4.6 和8 两套{2,468} 和{2,864} 一律平等。
因此，当我们用来描述一组的名册符号，元素的显示的顺序无关。
动作。
集{2,468} 和{2,2,4,4,6,8} 是平等的即使在第二组，每个元素2 和4 两次列出。
这两组包含的四个要素2,468 和无他人；因此，定义要求我们称之为这些集平等。
此示例显示了我们也不坚持名册符号中列出的对象是不同。
类似的例子是一组在密西西比州，其值等于{M、我、s、p} 一组单词中的字母，组成四个不同字母M、我、s 和体育3 —B子集S.从给定的集 S，我们可能会形成新集，称为.的子集例如，组成的那些正整数小于 10 整除 4 （集合{8 毫米}）的一组一般是的所有甚至小于 10.整数集的一个子集，我们有以下的定义。
子集的定义。
A 一组据说是B，集的一个子集，我们写A B每当A的每个元素也属于B.我们还说包含B A或B包含。
关系称为集。
A和B的声明并不排除可能性，B。
事实上，我们可能B A和B A，但只有当A和B都具有相同的元素发生这种情况。
换句话说，A = B当且仅当B和B A。
这一命题是上述定义的平等和包容的直接后果。
如果A和B，但A≠B，然后我们说的就是你的真子集我们表明这通过编写B.在所有的应用程序集理论，我们有一套固定事先，S，我们只关心这给定组的子集。
底层的设置的不同而有所不同从一个应用程序，到另一台；它将转交作为每个特定的话语的通用组。
符号{X∣X∈S和X满足P}，将指定的所有元素X在S中满足该属性集体育当通用设置为我们所指的id的理解，我们省略参照以S，我们只需写{X∣X满足P}。
这读取 '"集的所有这种x满足p。
' "在此方法中指定的设置说笔下定义的属性，例如，所有正实数的一组可以被指定为{X∣X大于 0} ；通用集S，在这种情况下理解为所有实数集。
当然，这封信x是个笨蛋，并可由任何其他方便的符号替换。
因此，我们可以写{x∣x大于0} = {y∣y大于0} = {t∣t大于 0} 等等。
它有可能设置为不包含任何元素。
这套被称为空集或无效设置，并将由symbolφ表示。
我们会考虑φto是每一集的一个子集。
有些人觉得很有用的一套类似于一个容器（例如，一个袋子或框）包含某些对象，其元素。
空集则类似于一个空的容器。
为了避免逻辑的困难，我们必须区分元素x和集{x}的唯一元素是x,(A box with a hat in it is conceptually distinct from the hat itself.)尤其是，空的setφis集合{φ}不相同。
事实上，空设置φcontains没有元素而集{φ}有一个元素φ（一个框，其中包含一个空框不是空的）。
组成一个元素的集合，有时也称为一个元素集。
2.4 整数、有理数与实数 4－A Integers and rational numbers There exist certain subsets of R which are distinguished because they have special properties not shared by all real numbers. In this section we shall discuss such subsets, the integers and the rational numbers. 有一些 R 的子集很著名，因为他们具有实数所不具备的特殊性质。
在本节我们将讨论这样的子集，整数集和有理数集。
To introduce the positive integers we begin with the number 1, whose existence is guaranteed by Axiom 4. The number 1+1 is denoted by 2, the number 2+1 by 3, and so on. Thenumbers 1,2,3,…, obtained in this way by repeated addition of 1 are all positive, and they are called the positive integers. 我们从数字 1 开始介绍正整数，公理 4 保证了 1 的存在性。
1+1 用 2 表示，2+1 用 3 表示，以此类推，由 1 重复累加的方式得到的数字 1,2,3，…都是正的，它们被叫做正整数。
Strictly speaking, this description of the positive integers is not entirely complete because we have not explained in detail what we mean by the expressions “and so on”, or “repeated addition of 1”. 严格地说，这种关于正整数的描述是不完整的，因为我们没有详细解释“等等”或者“1 的重复累加”的含义。
Although the intuitive meaning of expressions may seem clear, in careful treatment of the real-number system it is necessary to give a more precise definition of the positive integers. There are many ways to do this. One convenient method is to introduce first the notion of an inductive set. 虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的，但是在认真处理实数系统时必须给出一个更准确的关于正整数的定义。
有很多种方式来给出这个定义，一个简便的方法是先引进归纳集的概念。
DEFINITION OF AN INDUCTIVE SET. A set of real numbers is called an inductiveset if it has the following two properties: (a) The number 1 is in the set. (b) For every x in the set, the number x+1 is also in the set.For example, R is an inductive set. So is the set . Now we shall define the positive integers to be those real numbers which belong to every inductive set. 现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。
Let P denote the set of all positive integers. Then P is itself an inductive set because (a) it contains 1, and (b) it contains x+1 whenever it contains x. Since the members of P belong to every inductive set, we refer to P as the smallest inductive set. 用 P 表示所有正整数的集合。
那么 P 本身是一个归纳集，因为其中含 1，满足(a)；只要包含 x 就包含 x+1, 满足(b)。
由于 P 中的元素属于每一个归纳集，因此 P 是最小的归纳集。
This property of P forms the logical basis for a type of reasoning that mathematicians call proof by induction, a detailed discussion of which is given in Part 4 of this introduction. P 的这种性质形成了一种推理的逻辑基础，数学家称之为，在介绍的第四部分将给出这种方法的详细论述。
归纳证明4-B读者是无疑熟悉实数的一条直线上的点的几何表示形式。
代表0，有权代表1，在图2-4-1 所示的0 及另一人，选择一个点。
此选项确定规模。
如果一个采用一套合适的欧几里德几何公理，然后每个真实的数字对应于这条线上的一个点，相反，在行上的每个点对应于一个且仅一个实数。
为此线通常称为真正的直线或实轴，而且很习惯使用单词实际数量和互换点。
因此我们经常讲点的x，而不是点对应的实数。
实数的订购关系有一个简单的几何解释。
如果x < y、点x 位于左侧的点的y，如图2-4-1 所示。
正数躺到左侧的0 0，负数的权利。
如果< b、点x 满足不等式< x < b 当且仅当x 是之间和b。
此设备的几何表示实数是非常有价值的工具，有助我们去发现和更好地了解实数的某些属性。
然而，读者应意识到必须将所有属性都被视为定理的实数的推断出从不涉及任何几何公理。
这并不意味着人不应该让几何研究的实数属性中的使用。
相反，几何往往表明特定的定理证明的方法和有时几何参数是比纯粹的解析证明（一个完全取决于公理的实数）更加出色。
